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8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
第3课时 空间距离与线面垂直的综合问题
探究点一 线面距离与面面距离
探究点二 线面垂直的综合应用
【学习目标】
1.能够解决简单的线面距离和面面距离问题.
2.进一步能熟练运用线面垂直的判定和性质定理证明一些与垂直
有关的问题.
知识点 线面距离和面面距离
1.一条直线与一个平面平行时，这条直线上__________到这个平面的
距离，叫作这条直线到这个平面的距离.
2.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的__________到另一个平
面的距离都相等，我们把它叫作这两个平行平面间的距离.
任意一点
任意一点
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）棱柱、棱台的上、下底面间的距离就是它们的高.( )
√
（2）若 ，为平面 内任意一条直线，则直线到平面 的距
离等于这两个平行平面间的距离.( )
√
（3）若 ， ， ，则线段 的长度就是这两个平行
平面间的距离.( )
×
[解析] 只有当 ， 时，线段 的长度才是这两个平
行平面间的距离.
2.如何求直线到平面的距离和两个平行平面间的距离？
解：根据定义，可将直线到平面的距离转化为直线上一个点到平面
的距离.
两个平行平面间的距离可先转化为直线到平面的距离，再转化为直线
上一个点到平面的距离，也可直接转化为平面上一个点到平面的距离.
探究点一 线面距离与面面距离
例1 在长方体中，,， .
（1）求点到平面 的距离；
解：如图.点到平面的距离为 .
（2）求直线到平面 的距离；
解：如图. 平面， 平面， 到平面
的距离为 .
（3）求平面与平面 之间的距离.
解：如图. 平面平面， 平面，
平面， 平面与平面之间的距离为 .
变式（1） 如图，在四面体中，， ，
两两垂直，已知， ，则点
到平面 的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得,, ，
在 中，由余弦定理得
，所以 ，
所以.
设点 到平面的距离为，由 ，
得，解得 ，
即点到平面的距离为 .故选D.
（2）如图所示，在长方体中， ，
，，分别过和的两个平行平面（平面
和平面，其中，分别在，，， 上）将
长方体分为体积相等的三部分，求这两个平行平面之间的距离.
解：长方体夹在两个平行平面之间的部
分是一个棱柱，它以四边形 为底
面， 为高.
根据题意得 ，
即， .
作，为垂足， 平面， 平面 ，
.
又， 平面
，即 的长度是所求两个平行平
面之间的距离.
在 中，
，
即这两个平行平面之间的距离为 .
［素养小结］
1.利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直
线或平面上的一点到平面的距离.
2.利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离
借助中点（等分点）转化为另一点到平面的距离.
3.通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面
扩展（分割），以方便求底面积和高.
探究点二 线面垂直的综合应用
例2 如图，矩形是圆柱 的一个轴截面，
点在圆上（异于，），为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
证明：因为 平面， 平面 ，
所以 .
因为为圆的直径，所以 .
又， 平面， 平面 ，
所以 平面 .
（2）当直线与平面所成的角为 时，证明： 平面
.
证明： 因为 平面， 平面 ，
所以，
易知即为直线与平面 所成的角，
所以 ，
所以为等腰直角三角形， .
因为为的中点，所以 .
由（1）知， 平面，又 平面 ，
所以 .
又， 平面， 平面 ，
所以 平面 .
变式 如图，在三棱柱中，
平面，底面三角形 是边长为2的等边三角
形，为 的中点.
（1）求证：平面 ；
证明：连接交于点，连接 .
，分别为，的中点， .
又 平面， 平面 ，
平面 .
（2）若直线与平面所成的角为 ，求三
棱锥 的体积.
解：在等边三角形中， ，
平面， 平面， ，
又，， 平面 ，
平面 ，
故为与平面 所成的角.
在中， ， ，
， ，
故 .
例 如图，是圆的直径，点是圆上异于， 的
点，垂直于圆所在的平面，且 .
（1）若为的中点，求证： 平面 ；
证明：连接，在中，因为，为 的中点，
所以 .
垂直于圆所在的平面，即 平面，所以 .
因为，， 平面，所以 平面 .
（2）求三棱锥 体积的最大值.
解：因为点在圆 上，
所以当时，到 的距离最大，且
最大距离为1.
因为，所以面积的最大值为 ，
又三棱锥的高为 ，
所以三棱锥体积的最大值为 .
练习册
一、选择题
1.已知平面平面 ，则到 的距离与到 的距离之比为 的点
的集合是( )
A.1个平面 B.2个平面 C.3个平面 D.4个平面
[解析] 若点在平面 与平面 之间，则点的集合为1个平面；
若点不在平面 与平面 之间，则点的集合也为1个平面.
故满足题意的点的集合为2个平面.故选B.
√
2.设，是两条不同的直线， 是一个平面，则下列说法中正确的
是( )
A.若 ， ，则
B.若 ， ，则
C.若 ，，则
D.若 ，，则
√
[解析] 对于A，若 ， ，则 ，故A正确；
对于B，若 ， ，则, 平行、相交或异面，故B错误；
对于C，若 ，，则 或 ，故C错误；
对于D，若 ，，则 或 或与 相交，故D错误.
故选A.
3.在三棱柱中，侧棱 底面 ，底面是边长为2
的等边三角形，点是的中点，则到平面 的距离为
( )
A. B.1 C. D.
[解析] 如图，取的中点，连接 ，易得
平面.
设的中点为，连接 ，则，
平面，
到平面的距离为 .故选A.
√
4.如图所示，如果垂直于菱形 所在平
面，那么与 的位置关系是( )
A.平行 B.垂直相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
[解析] 因为四边形是菱形，所以.
因为 平面， 平面，所以.
因为， ， 平面，所以 平面，
又 平面 ，所以.显然直线与直线 不相交．
故选C.
√
5.在棱长为2的正方体中，是平面 内一点，
则点到平面 的距离是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 在正方体中，平面平面 ，
又 平面 ，当两平面平行时，一个平面内的任意一点到
另一个平面的距离相等，所以点到平面 的距离等于棱长2.
故选B.
√
6.如图所示，在长方体 中，
， ，则下列结论中正确的是
( )
A. B.平面
C. D. 平面
[解析] 连接.由题意知四边形 为正方形，
平面， 平面 ， .
又， 平面
平面， .故选C.
√
7.已知在中，，，，若 平面
，，则点到直线 的距离是( )
A.5 B.3 C. D.
√
[解析] 在中，，， ，
.
过C作，交于，连接 ， 平面，，
又， ， 平面，，
点到直线的距离为线段 的长.
由，得 ，
则， 点到直线 的距离为3.
故选B.
8.如图，设平面， ， ，垂足分别是， ，
若增加一个条件，就能推出 ，则这个条件可能是( )
A. B.
C. D.与 ， 所成的角相等
√
[解析] 由 ， ， ，得
，，.
显然 平面，但由垂直于平面
内的两条平行直线不能推出垂直于
平面 ，进而不能推出垂直于 ，所以增加的条件
只要能推出垂直于平面内与（或 ）相交的一条直线即可.
若 ,因为 ，所以，又, 所以
平面，又 平面，所以 .故选A.
9.[2024·安徽江南十校高一联考]学校组织学生去工厂参加社会实践
活动，任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕，方法如下:如图①，
取正方形的边的中点，分别沿，将 和
翻折，将，用胶水粘起来，使得点，重合于点 ，
这样就做成了一个簸箕 （如图②）.如果这个簸箕的容量为
，则原正方形铁皮的边长是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 在三棱锥中，设为 的
中点，连接,，如图.
易知 , ，
则,，
又 , 平面， ，
所以 平面.
设正方形的边长为 ，则有，，
， ，，
所以，则 ，
，得，即 ,
所以原正方形铁皮的边长是 .故选B.
二、填空题
10.已知四棱锥中，侧棱 平面，底面 是矩
形，则该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是 ___ .
4
[解析] 如图，在四棱锥 中，侧棱
平面，可得， ，
所以， 均为直角三角形.
因为四边形是矩形，所以 ，
结合，，可得 平面
，
又因为 平面，所以 ，所以为直角三角形，
同理， 也为直角三角形，
故该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是4.
11.已知点，到平面 的距离分别为与，则的中点到平面
的距离为_______.
或
[解析] 作 , ，垂足分别
为，，则 ，连接，
设，的中点分别为，，连接.
如图①，当点， 在平面 的同侧时，
四边形为梯形，
则 ；
如图②，当，在平面 的异侧时，
记 ，
因为 ， ，所以，
又为 的中点，
所以，所以.
综上，的中点到平面 的距离为 或 .
12.如图，在三棱柱中，已知 平面 ，
，当底面满足条件____________时，有 .
[解析] 当底面满足条件 时，
有.
证明如下：连接， 平面，
， 四边形 是正方形，
，，，
, 平面， 平面 ，
又， 平面 平面， ，
又，, 平面， 平面 ，
.
三、解答题
13.如图,在三棱锥中，点为的垂心，且 平面
.
（1）若，证明： ；
证明：如图①，连接并延长，交于 ，连接，
点为的垂心， .
平面， 平面， ，
又，， 平面，
平面
平面， ，
又，， 平面 .
平面， .
（2）若，证明： .
证明： 如图②，取的中点，连接， ，
由（1）可得
，为 的中点，，
又，， 平面 ，
平面，
又 平面， .
在中，为的中点， ，
.
14.如图，在三棱柱 中，侧面
和侧面 均为正方形，
， ，是棱 的
中点，为与 的交点.
（1）求证：平面 ；
证明：因为为与的交点，四边形 为正方形，所
以为 的中点.
如图，连接，因为，分别为，
的中点，所以,
又 平面 , 平面 ，
所以平面 .
（2）求点到平面 的距离.
解：由题意得 ,
，
所以 是等腰直角三角形，
则 , ,
又 ,
所以 ,
,，所以 ，
即，所以 .
由 ，得
，
又，设到平面 的距
离为 ，
所以,可得，即点 到平面的距离为 .
15.如图所示，正方体 的棱长
为1，，是上的动点，过点
作平面的垂线，交平面于点 ，
则点到点 距离的最小值为( )
A. B. C. D.1
√
[解析] 连接, ，在正方体
中，易得 平面 ，
因为 平面，所以或 与
重合,所以与共面.
因为, ,D都在平面内，所以点在平面 内，
又点在平面内，平面 平面 ，
所以点在上，则点到点A距离的最小值为A到的距离.
连接 ,因为是边长为的等边三角形，所以点 到点A距离
的最小值为 .故选B.
16.如图，在四棱锥中， 底面
，， ，
， .
（1）求证： 平面 .
证明：由题意可得，所以 ，
即.
因为 底面，所以，
又因为，所以 平面 .
（2）在棱上是否存在点，使得 平面 ？若存在，确定
点 的位置；若不存在，请说明理由.
解：当时， 平面 .理由如下：
过点作，垂足为 ，如图，
由（1）可得，
又，所以 平面 .
在中，，，则 .
由，可得 ，则，
即在棱上存在点，且，使得 平面 .第3课时 空间距离与线面垂直的综合问题
【学习目标】
1.能够解决简单的线面距离和面面距离问题.
2.进一步能熟练运用线面垂直的判定和性质定理证明一些与垂直有关的问题.
◆ 知识点 线面距离和面面距离
1.一条直线与一个平面平行时,这条直线上 到这个平面的距离,叫作这条直线到这个平面的距离.
2.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的 到另一个平面的距离都相等,我们把它叫作这两个平行平面间的距离.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)棱柱、棱台的上、下底面间的距离就是它们的高. ( )
(2)若α∥β,l为平面α内任意一条直线,则直线l到平面β的距离等于这两个平行平面间的距离. ( )
(3)若α∥β,A∈α,B∈β,则线段AB的长度就是这两个平行平面间的距离. ( )
2.如何求直线到平面的距离和两个平行平面间的距离
◆ 探究点一 线面距离与面面距离
例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2.
(1)求点A到平面BCC1B1的距离;
(2)求直线AB到平面A1B1C1D1的距离;
(3)求平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离.
变式 (1)如图,在四面体OABC中,OA,OB,OC两两垂直,已知OA=OB=2,OC=1,则点O到平面ABC的距离为 ( )
A. B.
C. D.
(2)如图所示,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=12,BC=6,AA'=5,分别过A'D'和BC的两个平行平面(平面A'EFD'和平面BE'F'C,其中E,F,E',F'分别在AB,CD,A'B',C'D'上)将长方体分为体积相等的三部分,求这两个平行平面之间的距离.
[素养小结]
1.利用线面、面面平行转化:利用线面距、面面距的定义,转化为直线或平面上的一点到平面的距离.
2.利用中点转化:如果条件中具有中点条件,将一个点到平面的距离借助中点(等分点)转化为另一点到平面的距离.
3.通过换底转化:一是直接换底,以方便求几何体的高;二是将底面扩展(分割),以方便求底面积和高.
◆ 探究点二 线面垂直的综合应用
例2 如图,矩形ABCD是圆柱OO1的一个轴截面,点E在圆O上(异于A,B),F为DE的中点.
(1)证明:BE⊥平面DAE;
(2)当直线DE与平面ABE所成的角为45°时,证明:AF⊥平面BDE.
变式 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,底面三角形ABC是边长为2的等边三角形,D为AB的中点.
(1)求证:BC1∥平面A1CD;
(2)若直线CA1与平面A1ABB1所成的角为30°,求三棱锥B1-A1CD的体积.第3课时 空间距离与线面垂直的综合问题
一、选择题
1.已知平面α∥平面β,则到α的距离与到β的距离之比为2∶1的点的集合是 ( )
A.1个平面 B.2个平面
C.3个平面 D.4个平面
2.设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,则下列说法中正确的是 ( )
A.若m⊥α,n α,则m⊥n
B.若m∥α,n∥α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是边长为2的等边三角形,点E是B1C1的中点,则E到平面ABB1A1的距离为 ( )
A. B.1 C. D.
4.如图所示,如果MC垂直于菱形ABCD所在平面, 那么MA与BD的位置关系是 ( )
A.平行
B.垂直相交
C.垂直但不相交
D.相交但不垂直
5.在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中,P是平面ABCD内一点,则点P到平面A'B'C'D'的距离是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,AB=BC,则下列结论中正确的是 ( )
A.BD1∥B1C
B.A1D1∥平面AB1C
C.BD1⊥AC
D.BD1⊥平面AB1C
7.已知在△ABC中,BC=3,AC=4,AC⊥BC,若PC⊥平面ABC,PC=,则点P到直线AB的距离是 ( )
A.5 B.3 C.3 D.
8.如图,设平面α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分别是B,D,若增加一个条件,就能推出BD⊥EF,则这个条件可能是 ( )
A.AC⊥β
B.AC⊥CD
C.AC∥BD
D.AC与α,β所成的角相等
9.[2024·安徽江南十校高一联考] 学校组织学生去工厂参加社会实践活动,任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕,方法如下:如图①,取正方形ABCD的边AB的中点M,分别沿MC,MD将△MBC和△MAD翻折,将MA,MB用胶水粘起来,使得点A,B重合于点E,这样就做成了一个簸箕E-MCD(如图②).如果这个簸箕的容量为576cm3,则原正方形铁皮的边长是 ( )
A.12 cm B.24 cm
C.12 cm D.24 cm
二、填空题
10.已知四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形,则该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是 .
11.已知点A,B到平面α的距离分别为d与3d,则AB的中点到平面α的距离为 .
12.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AA1⊥平面ABC,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件 时,有AB1⊥BC1.
三、解答题
13.如图,在三棱锥P-ABC中,点H为△ABC的垂心,且PH⊥平面ABC.
(1)若AP⊥PC,证明:AP⊥PB;
(2)若PB=AB,证明:CP=CA.
14.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BCC1B1和侧面ABB1A1均为正方形,AB=BC=1,∠ABC=90°,D是棱A1C1的中点,O为A1B与AB1的交点.
(1)求证:BC1∥平面AB1D;
(2)求点A1到平面AB1D的距离.
15.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,BD∩AC=O,M是D1O上的动点,过点M作平面ACD1的垂线,交平面A1B1C1D1于点N,则点N到点A距离的最小值为 ( )
A. B. C. D.1
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=1,PA=AD=2.
(1)求证:CD⊥平面PAC.
(2)在棱PC上是否存在点H,使得AH⊥平面PCD 若存在,确定点H的位置;若不存在,请说明理由.第3课时 空间距离与线面垂直的综合问题
【课前预习】
知识点
1.任意一点 2.任意一点
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)× [解析] (3)只有当AB⊥α,AB⊥β时,线段AB的长度才是这两个平行平面间的距离.
2.解:根据定义,可将直线到平面的距离转化为直线上一个点到平面的距离.两个平行平面间的距离可先转化为直线到平面的距离,再转化为直线上一个点到平面的距离,也可直接转化为平面上一个点到平面的距离.
【课中探究】
探究点一
例1 解:如图.
(1)点A到平面BCC1B1的距离为AB=4.
(2)∵AB∥平面A1B1C1D1,AA1⊥平面A1B1C1D1,∴AB到平面A1B1C1D1的距离为AA1=2.
(3)∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1,AB⊥平面ADD1A1,AB⊥平面BCC1B1,∴平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为AB=4.
变式 (1)D [解析] 由题意得AB=2,AC=,BC=,在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB==,所以sin∠ACB=,所以S△ABC=×××=.设点O到平面ABC的距离为d,由VA-BOC=VO-ABC,得××2×1×2=×·d,解得d=,即点O到平面ABC的距离为.故选D.
(2)解:长方体夹在两个平行平面之间的部分是一个棱柱,它以四边形A'EBE'为底面,A'D'为高.
根据题意得S四边形A'EBE'·A'D'=V长方体,即A'E'·AA'·A'D'=AB·BC·AA',∴A'E'=AB=4.
作E'H⊥A'E,H为垂足,∵A'D'⊥平面ABB'A',E'H 平面ABB'A',∴E'H⊥A'D'.
又A'E∩A'D'=A',∴E'H⊥平面A'EFD',即E'H的长度是所求两个平行平面之间的距离.在Rt△A'HE'中,E'H=A'E'·sin∠E'A'H=4sin∠B'E'B=4×==,即这两个平行平面之间的距离为.
探究点二
例2 证明:(1)因为DA⊥平面ABE,BE 平面ABE,
所以DA⊥BE.
因为AB为圆O的直径,所以BE⊥AE.
又DA∩AE=A,DA 平面DAE,AE 平面DAE,
所以BE⊥平面DAE.
(2)因为DA⊥平面ABE,AE 平面ABE,
所以DA⊥AE,易知∠DEA即为直线DE与平面ABE所成的角,所以∠DEA=45°,
所以△DAE为等腰直角三角形,AD=AE.
因为F为DE的中点,所以AF⊥DE.
由(1)知,BE⊥平面DAE,又AF 平面DAE,所以BE⊥AF.
又BE∩DE=E,BE 平面BDE,DE 平面BDE,
所以AF⊥平面BDE.
变式 解:(1)证明:连接AC1交A1C于点E,连接DE.
∵D,E分别为AB,AC1的中点,∴DE∥BC1.
又BC1 平面A1CD,DE 平面A1CD,∴BC1∥平面A1CD.
(2)在等边三角形ABC中,CD⊥AB,
∵AA1⊥平面ABC,CD 平面ABC,∴AA1⊥CD,
又AB∩AA1=A,AB,AA1 平面A1ABB1,
∴CD⊥平面A1ABB1,
故∠CA1D为CA1与平面A1ABB1所成的角.
在Rt△A1DC中,∠CA1D=30°,CD=,
∴A1D==3,∴AA1==2,
故==××CD=×2×=.第3课时 空间距离与线面垂直的综合问题
1.B [解析] 若点在平面α与平面β之间,则点的集合为1个平面;若点不在平面α与平面β之间,则点的集合也为1个平面.故满足题意的点的集合为2个平面.故选B.
2.A [解析] 对于A,若m⊥α,n α,则m⊥n,故A正确;对于B,若m∥α,n∥α,则m,n平行、相交或异面,故B错误;对于C,若m⊥α,m⊥n,则n α或n∥α,故C错误;对于D,若m∥α,m⊥n,则n α或n∥α或n与α相交,故D错误.故选A.
3.A [解析] 如图,取A1B1的中点F,连接C1F,易得C1F⊥平面ABB1A1.设FB1的中点为H,连接EH,则EH∥C1F,∴EH⊥平面ABB1A1,∴E到平面ABB1A1的距离为EH=C1F=.故选A.
4.C [解析] 因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC.因为MC⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以BD⊥MC.因为AC∩MC=C,AC,MC 平面AMC,所以BD⊥平面AMC,又MA 平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不相交.故选C.
5.B [解析] 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,平面ABCD∥平面A'B'C'D',又AA'⊥平面A'B'C'D',当两平面平行时,一个平面内的任意一点到另一个平面的距离相等,所以点P到平面A'B'C'D'的距离等于棱长2.故选B.
6.C [解析] 连接BD.由题意知四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.∵DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴AC⊥DD1.又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1.∵BD1 平面BDD1,∴AC⊥BD1.故选C.
7.B [解析] 在△ABC中,∵BC=3,AC=4,AC⊥BC,∴AB==5.过C作CM⊥AB,交AB于M,连接PM,∵PC⊥平面ABC,∴PC⊥AB,又CM⊥AB,PC∩CM=C,∴AB⊥平面PCM,∴PM⊥AB,∴点P到直线AB的距离为线段PM的长.由S△ABC=AC·BC=AB·CM,得CM===,则PM===3,∴点P到直线AB的距离为3.故选B.
8.A [解析] 由AB⊥α,CD⊥α,EF α,得AB⊥EF,CD⊥EF,AB∥CD.显然BD 平面ABDC,但由EF垂直于平面ABDC内的两条平行直线不能推出EF垂直于平面ABDC,进而不能推出EF垂直于BD,所以增加的条件只要能推出EF垂直于平面ABDC内与AB(或CD)相交的一条直线即可.若AC⊥β,因为EF β,所以AC⊥EF,又AC∩AB=A,所以EF⊥平面ABDC,又BD 平面ABDC,所以EF⊥BD.故选A.
9.B [解析] 在三棱锥E-MCD中,设F为CD的中点,连接EF,MF,如图.易知MC=MD,EC=ED,则EF⊥CD,MF⊥CD,又EF,MF 平面MEF,EF∩MF=F,所以CD⊥平面MEF.设正方形ABCD的边长为2a,则有EC=ED=CD=2a,EF=a,MC=MD=a,MF=2a,ME=a,所以MF2=ME2+EF2,则ME⊥EF,所以S△MEF=ME·EF=,则VE-MCD=S△MEF·CD=××2a==576,得a3=1728,即a=12,所以原正方形铁皮的边长是24 cm.故选B.
10.4 [解析] 如图,在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AD,PA⊥AB,所以△PAD,△PAB均为直角三角形.因为四边形ABCD是矩形,所以AB⊥BC,结合PA⊥BC,PA∩AB=A,可得BC⊥平面PAB,又因为PB 平面PAB,所以BC⊥PB,所以△PBC为直角三角形,同理,△PCD也为直角三角形,故该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是4.
11.d或2d [解析] 作AC⊥α,BD⊥α,垂足分别为C,D,则AC∥BD,连接CD,设AB,CD的中点分别为E,F,连接EF.如图①,当点A,B在平面α的同侧时,四边形ACDB为梯形,则EF=(AC+BD)=2d;如图②,当A,B在平面α的异侧时,记AB∩α=O,因为AC∥BD,==,所以=,又E为AB的中点,所以==,所以EF=d.综上,AB的中点到平面α的距离为d或2d.
12.A1C1⊥B1C1 [解析] 当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时,有AB1⊥BC1.证明如下:连接B1C,∵AA1⊥平面ABC,BC=CC1,∴四边形BCC1B1是正方形,∴BC1⊥B1C.∵A1C1⊥C1C,A1C1⊥B1C1,CC1∩B1C1=C1,CC1,B1C1 平面BCC1B1,∴A1C1⊥平面BCC1B1,又AC∥A1C1,∴AC⊥平面BCC1B1.∵BC1 平面BCC1B1,∴BC1⊥AC,又AC∩B1C=C,AC,B1C 平面ACB1,∴BC1⊥平面ACB1,∴BC1⊥AB1.
13.证明:(1)如图①,连接AH并延长,交BC于M,连接PM,∵点H为△ABC的垂心,∴AM⊥BC.
∵PH⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴BC⊥PH,
又PH∩AM=H,PH,AM 平面PAM,∴BC⊥平面PAM.∵AP 平面PAM,∴AP⊥BC,
又AP⊥PC,PC∩BC=C,∴AP⊥平面PBC.
∵PB 平面PBC,∴AP⊥PB.
(2)如图②,取AP的中点N,连接BN,CN,
由(1)可得AP⊥BC.∵PB=AB,N为AP的中点,∴AP⊥BN,又BN∩BC=B,BN,BC 平面BCN,
∴AP⊥平面BCN,又CN 平面BCN,∴AP⊥CN.
在△ACP中,∵N为AP的中点,CN⊥AP,∴CA=CP.
14.解:(1)证明:因为O为A1B与AB1的交点,四边形ABB1A1 为正方形,所以O为A1B的中点.
如图,连接OD,因为O,D分别为A1B,A1C1的中点,所以OD∥BC1,又OD 平面AB1D,BC1 平面AB1D,
所以BC1∥平面AB1D.
(2)由题意得A1B1=B1C1=1,
∠A1B1C1=∠ABC=90°,所以△A1B1C1是等腰直角三角形,则A1C1=A1B1=,A1D=A1C1=,
又AA1=1,所以AD===,又B1D=,AB1=,所以AD2+B1D2=A,即AD⊥B1D,所以=B1D·AD=.
由=B1D·A1D=,得=AA1·=,
又=,设A1到平面ADB1的距离为d,
所以d·=,可得d=,即点A1到平面AB1D的距离为.
15.B [解析] 连接B1D1,B1D,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易得B1D⊥平面ACD1,因为MN⊥平面ACD1,所以B1D∥MN或B1D与MN重合,所以B1D与MN共面.因为B1,M,D都在平面BDD1B1内,所以点N在平面BDD1B1内,又点N在平面A1B1C1D1内,平面A1B1C1D1∩平面BDD1B1=B1D1,所以点N在B1D1上,则点N到点A距离的最小值为A到B1D1的距离.连接AB1,因为△AB1D1是边长为的等边三角形,所以点N到点A距离的最小值为×=.故选B.
16.解:(1)证明:由题意可得DC=AC=,所以AC2+DC2=AD2,即AC⊥DC.因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥DC,又因为PA∩AC=A,所以DC⊥平面PAC.
(2)当PH=PC时,AH⊥平面PCD.理由如下:
过点A作AH⊥PC,垂足为H,如图,由(1)可得CD⊥AH,又PC∩CD=C,所以AH⊥平面PCD.
在Rt△PAC中,PA=2,AC=,则PC=.由cos∠APH==,可得PH=,则PH=PC,即在棱PC上存在点H,且PH=PC,使得AH⊥平面PCD.
