4.2.1 实际问题的函数刻画 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 4.2.1 实际问题的函数刻画 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 89.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-08-13 21:23:12 | ||
图片预览
文档简介
4.2.1
实际问题的函数刻画
( file: / / / D:\\TDDOWNLOAD\\各科教材\\成才之路·北师大版数学必修1\\4-2.ppt"
\t
"_parent )
( file: / / / D:\\TDDOWNLOAD\\各科教材\\成才之路·北师大版数学必修1\\4-2.ppt"
\t
"_parent )
同步练习
一、选择题
1．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋x2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为( )
A．18件
B．36件
C．22件
D．9件
[答案] A
[解析] y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－x2＝－x2＋18x－20.∴x＝18时，y有最大值．
2．下图A表示某年12个月中每月的平均气温，一般地，家庭用电量(kW·h)与气温(℃)有一定关系．图B表示某家庭在此年12个月的用电量．根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是( )
A．气温最高时，用电量最多
B．气温最低时，用电量最少
C．当气温大于某一值时，用电量随气温增加而增加
D．当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加
[答案] C
[解析] 逐月分析图像的升降趋势和变化率，排除干扰选项便能确定答案．
比较两图可以发现，2月份用电量最多，而2月份气温不是最高，因此排除A.同理可排除B.
8月至12月份气温一直下降，但用电量有增有减，排除D.
由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C正确．故选C.
3．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的图像大致为( )
[答案] D
[解析] 设原来的荒漠化土地面积为a，则ay＝a(1＋10.4%)x，即y＝1.104x(x≥0)．
4．2002年3月5日，第九届全国人民代表大会第五次会议《政府工作报告》指出：2001年，国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.如果“十五”期间(2001年～2005年)每年我国生产总值按此年增长，那么到“十五”末我国国内生产总值约为( )
A．115000亿元
B．120000亿元
C．127000亿元
D．135000亿元
[答案] C
[解析] 由于2001年生产总值已达95933亿元，则从2001年底到2005年底中时间只有4年，故x＝4.
则y＝95933×(1＋7.3%)4≈127000亿元．
5．某个企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元．从今年起，计划每人的年薪比上一年增加10%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么第x年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成x的函数，其表达式为( )
A．y＝(3x＋5)1.1x＋2.4
B．y＝8×1.1x＋2.4x
C．y＝(3x＋8)1.1x＋2.4
D．y＝(3x＋5)1.1x－1＋2.4
[答案] A
[解析] 第一年企业付给工人的工资总额为8×1.1＋3×0.8(万元)，
第二年应付给工人的工资总额为(8＋3)×1.12＋3×0.8(万元)，
依次类推：第x年企业付给工人的工资总额应为y＝[8＋3(x－1)]×1.1x＋2.4＝(3x＋5)×1.1x＋2.4.
6．据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2012年有湖水量为m，从2012年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为( )
A．y＝0.9
B．y＝(1－0.1)m
C．y＝0.9·m
D．y＝(1－0.150x)m
[答案] C
[解析] 湖水剩余量y与年数x构成指数函数关系，y＝0.9m.
二、填空题
7．为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况，某研究性学习小组对本地区2005年至2007年使用纸质饭盒的所有快餐公司进行了调查，根据下表及图提供的信息，可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒________万个．
年份
快餐公司数
2005
30
2006
45
2007
90
[答案] 85
[解析] 结合题中两个图表可得：
2005年消耗纸质饭盒总数＝1×30＝30(万个)；
2006年消耗纸质饭盒总数＝2×45＝90(万个)；
2007年消耗纸质饭盒总数＝1.5×90＝135(万个)；
故每年平均消耗纸质饭盒总数＝(30＋90＋135)÷3＝85(万个)．
8．某公司欲投资13亿元进行项目开发，现有以下6个项目可供选择：
项目
A
B
C
D
E
F
投资额(亿元)
5
2
6
4
6
1
利润(亿元)
0.55
0.4
0.6
0.5
0.9
0.1
设计一个投资方案，使投资13亿元所获利润大于1.6亿元，则应选的项目是______．(只需写出项目的代号)
[答案] A、B、E或B、D、E、F
[解析] 当投资为13亿元时，有以下两种投资选择方案：f(A，B，E)＝0.55＋0.4＋0.9＝1.85(投资13亿元)；
f(B，D，E，F)＝0.4＋0.5＋0.9＋0.1＝1.9(投资13亿元)．
三、解答题
9．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
[解析] 解法一：∵每次过滤杂质含量降为原来的，过滤n次后杂质含量为·n.
依题意，得·n≤，即n≤，
∵7＝>，8＝<，
∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．
解法二：接解法一：()n≤，
则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，
即n≥≈7.4，又n∈N＋，
∴n≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.
能
力
提
升
一、选择题
1.
如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；
③浮萍从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2m2、4m2、8m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1＋t2＝t3.
其中正确的是( )
A．①②
B．①②③④
C．②③④⑤
D．①②⑤
[答案] D
[解析] 设此指数函数为y＝ax(a>0且a≠1)，
由图像可知：(1,2)，(2,4)代入可得：
a＝2，∴y＝2x，故①正确．
当x＝5时，y＝25＝32>30，②正确．
当y＝4时，x＝2，当y＝12时，x＝log212>log22，从而可知浮萍从4m2蔓延到12m2用时超过1.5个月，③错，显然④错误．
把y＝2,4,8代入y＝2t分别得t1＝1，t2＝2，t3＝3，故⑤正确．因此选D.
2．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
[答案] B
[解析] 设至少要洗x次，则(1－)x≤，
∴x≥≈3.321，因此需4次．
二、填空题
3．伦敦市为成功举办2012年奥运会，决定从2008年底到2011年底三年间更新市内全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2009年底已更新现有总车辆数的百分比约为________(保留3位有效数字)．
[答案] 30.2%
[解析] 设现有车辆总数为a,2009年底更新了现有总车辆数的百分比为x，则a·x＋a·x(1＋10%)＋ax(1＋10%)2＝a.
∴x(1＋1.1＋1.12)＝1.
∴x≈30.2%.
4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
[答案] (1)y＝；(2)0.6.
[解析] 由图像可知，当0≤t<0.1时，y＝10t；
当t＜0.1时，由1＝0.1－a，得a＝0.1，
∴当t＞0.1时，y＝t－.
∴y＝，
由题意可知()t－＜0.25，得t＞0.6(小时)．
三、解答题
5．某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定提出商品A的销售金额的p%作为新产品开发费(即每销售100元提出p元)，并将商品A的年产销量减少了10p万件．
(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p的取值范围；
(2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p的值．
[解析] 由题意知，当开发费是商品A的销售金额的p%时，销售量为(80－10p)万件，此时销售金额为80×(80－10p)万元，
新产品开发金额f(p)＝80×(80－10p)×p%(万元)．
(1)由题设知
解得2≤p≤6.
即新产品开发费不少于96万元时，p的取值范围为2≤p≤6.
(2)当0＝－8(p－4)2＋128.
∴当p＝4时，f(p)max＝128.
即当p＝4时，开发金额最多，可达到128万元．
6．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？
[解析] 设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S，则窗框总长l＝＋x＋2y，
y＝，由y>0，得x∈(0，)．
S＝x2＋xy＝x2＋·x
＝－(x－)2＋，x∈(0，)．
当x＝时，Smax＝，此时，y＝＝.
答：窗户中的矩形高为，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大．
7．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选择二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
[解析] 设两个函数
y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)；
y2＝g(x)＝a·bx＋c.
依题意，有解得
∴y1＝f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，
∴f(4)＝1.3(万件)，
依题意，也有解得
∴y2＝g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4，
g(4)＝－0.8×(0.5)4＋1.4＝1.35(万件)．
经比较可知，g(4)＝1.35(万件)，比f(4)＝1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件．
∴选用y2＝g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4作为模拟函数较好．
实际问题的函数刻画
( file: / / / D:\\TDDOWNLOAD\\各科教材\\成才之路·北师大版数学必修1\\4-2.ppt"
\t
"_parent )
( file: / / / D:\\TDDOWNLOAD\\各科教材\\成才之路·北师大版数学必修1\\4-2.ppt"
\t
"_parent )
同步练习
一、选择题
1．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋x2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为( )
A．18件
B．36件
C．22件
D．9件
[答案] A
[解析] y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－x2＝－x2＋18x－20.∴x＝18时，y有最大值．
2．下图A表示某年12个月中每月的平均气温，一般地，家庭用电量(kW·h)与气温(℃)有一定关系．图B表示某家庭在此年12个月的用电量．根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是( )
A．气温最高时，用电量最多
B．气温最低时，用电量最少
C．当气温大于某一值时，用电量随气温增加而增加
D．当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加
[答案] C
[解析] 逐月分析图像的升降趋势和变化率，排除干扰选项便能确定答案．
比较两图可以发现，2月份用电量最多，而2月份气温不是最高，因此排除A.同理可排除B.
8月至12月份气温一直下降，但用电量有增有减，排除D.
由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C正确．故选C.
3．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的图像大致为( )
[答案] D
[解析] 设原来的荒漠化土地面积为a，则ay＝a(1＋10.4%)x，即y＝1.104x(x≥0)．
4．2002年3月5日，第九届全国人民代表大会第五次会议《政府工作报告》指出：2001年，国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.如果“十五”期间(2001年～2005年)每年我国生产总值按此年增长，那么到“十五”末我国国内生产总值约为( )
A．115000亿元
B．120000亿元
C．127000亿元
D．135000亿元
[答案] C
[解析] 由于2001年生产总值已达95933亿元，则从2001年底到2005年底中时间只有4年，故x＝4.
则y＝95933×(1＋7.3%)4≈127000亿元．
5．某个企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元．从今年起，计划每人的年薪比上一年增加10%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么第x年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成x的函数，其表达式为( )
A．y＝(3x＋5)1.1x＋2.4
B．y＝8×1.1x＋2.4x
C．y＝(3x＋8)1.1x＋2.4
D．y＝(3x＋5)1.1x－1＋2.4
[答案] A
[解析] 第一年企业付给工人的工资总额为8×1.1＋3×0.8(万元)，
第二年应付给工人的工资总额为(8＋3)×1.12＋3×0.8(万元)，
依次类推：第x年企业付给工人的工资总额应为y＝[8＋3(x－1)]×1.1x＋2.4＝(3x＋5)×1.1x＋2.4.
6．据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2012年有湖水量为m，从2012年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为( )
A．y＝0.9
B．y＝(1－0.1)m
C．y＝0.9·m
D．y＝(1－0.150x)m
[答案] C
[解析] 湖水剩余量y与年数x构成指数函数关系，y＝0.9m.
二、填空题
7．为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况，某研究性学习小组对本地区2005年至2007年使用纸质饭盒的所有快餐公司进行了调查，根据下表及图提供的信息，可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒________万个．
年份
快餐公司数
2005
30
2006
45
2007
90
[答案] 85
[解析] 结合题中两个图表可得：
2005年消耗纸质饭盒总数＝1×30＝30(万个)；
2006年消耗纸质饭盒总数＝2×45＝90(万个)；
2007年消耗纸质饭盒总数＝1.5×90＝135(万个)；
故每年平均消耗纸质饭盒总数＝(30＋90＋135)÷3＝85(万个)．
8．某公司欲投资13亿元进行项目开发，现有以下6个项目可供选择：
项目
A
B
C
D
E
F
投资额(亿元)
5
2
6
4
6
1
利润(亿元)
0.55
0.4
0.6
0.5
0.9
0.1
设计一个投资方案，使投资13亿元所获利润大于1.6亿元，则应选的项目是______．(只需写出项目的代号)
[答案] A、B、E或B、D、E、F
[解析] 当投资为13亿元时，有以下两种投资选择方案：f(A，B，E)＝0.55＋0.4＋0.9＝1.85(投资13亿元)；
f(B，D，E，F)＝0.4＋0.5＋0.9＋0.1＝1.9(投资13亿元)．
三、解答题
9．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
[解析] 解法一：∵每次过滤杂质含量降为原来的，过滤n次后杂质含量为·n.
依题意，得·n≤，即n≤，
∵7＝>，8＝<，
∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．
解法二：接解法一：()n≤，
则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，
即n≥≈7.4，又n∈N＋，
∴n≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.
能
力
提
升
一、选择题
1.
如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；
③浮萍从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2m2、4m2、8m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1＋t2＝t3.
其中正确的是( )
A．①②
B．①②③④
C．②③④⑤
D．①②⑤
[答案] D
[解析] 设此指数函数为y＝ax(a>0且a≠1)，
由图像可知：(1,2)，(2,4)代入可得：
a＝2，∴y＝2x，故①正确．
当x＝5时，y＝25＝32>30，②正确．
当y＝4时，x＝2，当y＝12时，x＝log212>log22，从而可知浮萍从4m2蔓延到12m2用时超过1.5个月，③错，显然④错误．
把y＝2,4,8代入y＝2t分别得t1＝1，t2＝2，t3＝3，故⑤正确．因此选D.
2．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
[答案] B
[解析] 设至少要洗x次，则(1－)x≤，
∴x≥≈3.321，因此需4次．
二、填空题
3．伦敦市为成功举办2012年奥运会，决定从2008年底到2011年底三年间更新市内全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2009年底已更新现有总车辆数的百分比约为________(保留3位有效数字)．
[答案] 30.2%
[解析] 设现有车辆总数为a,2009年底更新了现有总车辆数的百分比为x，则a·x＋a·x(1＋10%)＋ax(1＋10%)2＝a.
∴x(1＋1.1＋1.12)＝1.
∴x≈30.2%.
4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
[答案] (1)y＝；(2)0.6.
[解析] 由图像可知，当0≤t<0.1时，y＝10t；
当t＜0.1时，由1＝0.1－a，得a＝0.1，
∴当t＞0.1时，y＝t－.
∴y＝，
由题意可知()t－＜0.25，得t＞0.6(小时)．
三、解答题
5．某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定提出商品A的销售金额的p%作为新产品开发费(即每销售100元提出p元)，并将商品A的年产销量减少了10p万件．
(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p的取值范围；
(2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p的值．
[解析] 由题意知，当开发费是商品A的销售金额的p%时，销售量为(80－10p)万件，此时销售金额为80×(80－10p)万元，
新产品开发金额f(p)＝80×(80－10p)×p%(万元)．
(1)由题设知
解得2≤p≤6.
即新产品开发费不少于96万元时，p的取值范围为2≤p≤6.
(2)当0
∴当p＝4时，f(p)max＝128.
即当p＝4时，开发金额最多，可达到128万元．
6．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？
[解析] 设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S，则窗框总长l＝＋x＋2y，
y＝，由y>0，得x∈(0，)．
S＝x2＋xy＝x2＋·x
＝－(x－)2＋，x∈(0，)．
当x＝时，Smax＝，此时，y＝＝.
答：窗户中的矩形高为，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大．
7．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选择二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
[解析] 设两个函数
y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)；
y2＝g(x)＝a·bx＋c.
依题意，有解得
∴y1＝f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，
∴f(4)＝1.3(万件)，
依题意，也有解得
∴y2＝g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4，
g(4)＝－0.8×(0.5)4＋1.4＝1.35(万件)．
经比较可知，g(4)＝1.35(万件)，比f(4)＝1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件．
∴选用y2＝g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4作为模拟函数较好．