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8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.3 平面与平面垂直
第2课时 平面与平面垂直的性质
探究点一 面面垂直的性质定理的应用
探究点二 线线、线面、面面垂直的综合
应用
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面垂直的性质
定理,并能够证明.
2.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
知识点 平面与平面垂直的性质定理
1.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
两个平面垂直，如果一 个平面内有一直线垂直 于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个 平面______ ____________________________________________ _____________________________ 面面垂直
线面垂直
垂直
2.面面垂直的性质定理的作用:
（1）判定直线与平面垂直;
（2）由平面外一点作平面的垂线时，确定垂足的位置.
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若两个平面垂直，则两个平面内任意两条直线互相垂直.( )
×
[解析] 满足条件的这两条直线不一定垂直，如图所示，平
面 平面 ， ， ，， 不垂直.
（2）若平面 平面 ，，，则 .( )
×
[解析] 因为直线不一定在平面 内，所以直线不一定垂直于平面 .
2.黑板所在平面与地面所在平面垂直，如何在黑板上画一条直线与地
面垂直？
解：记黑板所在平面与地面所在平面的交线为 ，则由面面垂直的性
质定理知，只要在黑板上画出一条与交线 垂直的直线，则所画直线
必与地面垂直.
探究点一 面面垂直的性质定理的应用
例1 如图，在三棱锥中， 为正三角
形，，平面 平面.求证：
平面 .
证明：取的中点，连接,， 为
正三角形，
平面 平面 ，平面 平面， 平面，
平面
平面，. 又， ，
平面， 平面， 平面 .
变式 如图所示，四边形是矩形，，为 的中点，
以为折痕将折起，使到达的位置，且平面 平面
，得到四棱锥 .
（1）求证: ;
证明: 四边形是矩形，，为 的中点，
， 都是等腰直角三角形，
， ，即
平面 平面，平面 平面，
平面， 平面， .
（2）求二面角 的余弦值.
解：由（1）知是等腰直角三角形， .
平面，，，
是二面角 的平面角，
二面角的余弦值为 .
［素养小结］
当利用面面垂直的性质定理证明线面垂直问题时，要注意以下三点:
①两个平面垂直;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于两
平面的交线.
探究点二 线线、线面、面面垂直的综合应用
例2 如图，在直三棱柱中， ，
，分别为，的中点，且 .
（1）证明： 平面 .
证明：在中，因为， ，
所以 为正三角形.
因为为的中点，所以 .
因为 平面， 平面 ，
所以 .
因为，， 平面 ，
所以 平面 .
（2）证明：平面 平面 .
证明： 取的中点，连接， ，如图.
因为，分别为，的中点，
所以且 .
又且 ，
所以且 ，
所以四边形为平行四边形，所以 .
由（1）知 平面，所以 平面 ，
又 平面，所以平面 平面 .
变式 如图①，在等腰梯形中，，， ，
，，分别为腰，的中点，，分别为， 的中
点.将四边形沿折起，使平面 平面 ，如图②.
（1）求证： 平面 ；
证明： 四边形是等腰梯形，为的中点，为 的
中点，
平面 平面，平面 平面，
平面， 平面 ．
（2）请在图②所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面
垂直，并给出证明.
解：在图②中，，这两个点所在直线与
平面 垂直．证明如下：
连接，，由（1）知 平面，
平面， .
，且， 四边形 是菱形， .
，
平面，， 这两点所在直线与平面 垂直.
［素养小结］
在证明两平面垂直时，一般从其中一个平面内寻找另一个平面的垂线，
若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.在已知两平面垂
直用性质定理解题时，一般从其中一个平面内寻找与交线垂直的直线，
如果这样的直线在图中不存在，也需通过作辅助线来解决.
拓展 正四棱锥的底面边长为2，高为2，是 的中点，
动点在其表面上运动，并且总保持，则动点 的轨迹的长
度为_________.
[解析] 如图所示，分别取，的中点 ，
，连接，，， ，则易知
， ，
因为， 平面，， 平面，
所以 平面，平面.
因为 ，所以平面平面.
设 ，连接，则 平面，则，
易知，又 ，所以 平面，
则可得 平面，故动点的轨迹是 的三边（除去点 ）.
， ，
所以动点 的轨迹的长度为
.
面面垂直的性质定理解读
（1）平面与平面垂直的性质定理包含三个条件:①两个平面垂直;②
有一条直线在一个平面内（或与平面平行）;③这条直线垂直于两个
平面的交线.
（2）两个平面垂直，分别在两个平面内的两条直线可能平行、相交
（含垂直相交）或异面.
运用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线.若已知有面面垂直的
条件，可设法找出一个平面内的一条直线垂直于它们的交线，这样
就能得到线面垂直的结论.
1.线面、面面垂直的转化证明
例1 如图，多面体中，四边形 为正方
形，平面 平面， ，
，若是的中点，求证： .
证明：因为四边形 为正方形，
所以 ，
又因为平面 平面 ，平面
平面， 平面
，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 .
连接，则 ，
在 中，
，
所以 .
因为，，, 平面
，且 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 .
因为，，, 平面
，且 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又因为，所以 .
因为是的中点，，所以 .
因为, 平面，且 ，
所以 平面 ，
又因为 平面，所以 .
2.三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：
若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，
则它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理：
若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜
线在平面内的射影垂直.
三垂线定理的证明：
如图所示，直线与平面 交于点，过直线上一点 作平面 的垂
线，垂足为.已知为平面 内的一条直线，且.因为
， ，所以，又，，所
以 平面，又直线 平面，所以必有直线 直线 .
三垂线定理的逆定理的证明：
已知是斜线在平面 内的射影，为平面 内的一条直线，且
，， .因为 ， ，所以，
又， ，所以 平面，又 平面 ，
所以必有直线 .
由此可见，三垂线定理及其逆定理给出了斜线 、射影和直线 之间
的垂直关系.
简单来说就是：若平面内的直线和斜线在这个平面内的射影垂直，则该
直线必与斜线垂直；若平面内的直线和斜线垂直，则该直线必与斜线在
这个平面内的射影垂直.
三垂线定理实质上是通过证明线面垂直来论证线线垂直.
例2 如图所示，已知是所在平面外的一点，且 平面
，平面 平面.求证: .
证明：如图，作垂直于点 .
平面 平面，平面 平面
， 平面，，
平面 ，
又 平面， .
平面， 平面， .
，, 平面， 平面 ，
又 平面， .
例3 如图，在四棱锥 中，底
面为梯形，且 ，
，等边三角形 所在的平面
垂直于底面， .
（1）求证： 平面 ；
证明：如图所示，取的中点，连接 ，
是等边三角形，是 的中点，
，
又平面 平面，且平面 平面
， 平面 ，
平面，又 平面, .
，，, 平面 ，
平面 .
（2）若直线与平面所成角的正弦值为 ，求二面角
的余弦值.
解：如图所示，连接，过点， 分别作
，，垂足分别为，，
过点 作，交于点，连接 ，
设，， ，则
.
由（1）得 平面，即为直线与平面 所成的
角.
由（1）知 平面， ，
则 ，
，可得 ，
故， ，
由 ，得
，可得 ，
， .
平面，， 平面 ，
则 ，则，
由 ，
得 ，
可得，， ，
点为的中点，故点为 的中点，
， .
，
二面角的余弦值为 .
练习册
一、选择题
1.设平面 平面 ，若平面 内的一条直线垂直于平面 内的
一条直线 ，则( )
A.直线必垂直于平面
B.直线必垂直于平面
C.直线不一定垂直于平面
D.过的平面与过 的平面一定垂直
[解析] 当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才
垂直于另一个平面.
√
2.下列说法中错误的是( )
A.如果平面 平面 ,平面 平面 ,,那么
B.如果平面 平面 ,那么平面 内一定存在直线平行于平面
C.如果平面 平面 ,过 内任意一点作交线的垂线,那么此垂线
必垂直于
D.如果平面 不垂直于平面 ,那么平面 内一定不存在直线垂直于
平面
√
[解析] 对于A,平面 平面 ,平面 平面 ,,则 ,
A中说法正确;
对于B,平面 平面 ,不妨设,作直线 ,且 ,则
,B中说法正确;
对于C,所作垂线不一定在平面 内,则该垂线不一定垂直于 ,C中说
法错误;
对于D,假设平面 内存在直线垂直于平面 ,则平面 垂直于平面 ,
这与已知平面 与平面 不垂直矛盾,所以假设不成立,D中说法正确.
故选C.
3.在长方体的侧面内任取一点 ，作
于 ,则( )
A. 平面 B. 平面
C.平面 D.以上都有可能
[解析] 如图， 平面， ，
即 平面， 平面 ，
又平面 平面 ，平面
平面， ，
平面 .故选A.
√
4.已知，是两条不同的直线， ， 是两个不重合的平面，则下
列命题为假命题的是( )
A.若， ，则与 相交
B.若 ， ， ，则
C.若 ， ， ，则
D.若 ， ， ，则
√
[解析] 对于A，若， ，则与 可能相交，也可能
平行，故A是假命题；
对于B，由 ， 得 ，又 ，所以 ，故B是
真命题；
对于C，由 ， ，得 或 ，又 ，所以
，故C是真命题；
对于D，由 ， ，得 ，又 ，所以 ，故D是
真命题.故选A.
5.如图所示，平面 平面 ， ， ， 与
平面 ， 所成的角分别为和.过点， 分别作两平
面交线的垂线，垂足分别为，，则 等于
( )
A. B. C. D.
[解析] 如图所示，连接，，则由已知得 平
面 ，， 平面 ， .
设，则，，
则在 中，可得，所以 .
√
6.如图,在三棱柱 中，平面
平面，则“ ”是“
”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 若，因为平面
平面，平面 平面 ，
且 平面 ，所以由面面垂直的性质
定理可得 平面，又 平
面，所以 ，所以“
”是“ ”的必要条件；
若三棱柱是直三棱柱，底面 是正三角形，则
底面，又 平面 ，所以满足条件侧面 底
面，又 平面，所以 ，但此时与不垂直，
所以“”不是“ ”的充分条件. 综上所述，“”
是“ ”的必要不充分条件.故选B.
7.在四棱柱中，已知平面 平面 ，
且，，则与 的位置关系为 ( )
A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面但不垂直
[解析] 如图，在四边形中， ，
，
平面 平面，平面 平
面， 平面， 平
面.
又 平面， .故选C.
√
8.（多选题）若平面 平面 ,，点 , ，则下列
说法中正确的是( )
A.过点且垂直于的平面垂直于
B.过点且垂直于的直线垂直于
C.过点且垂直于 的直线平行于
D.过点且垂直于 的直线在 内
√
√
√
[解析] 易知A正确；
对于B，当过点且垂直于的直线不在 内时，
该直线不与 垂直，故B不正确；
对于C，由平面 平面 ,，点 ,，在 内作直
线 ，由面面垂直的性质定理得 ，设过点且垂直于 的
直线为，即 ，则，由线面平行的判定定理可知 ，
故C正确；
对于D，由面面垂直的性质定理可知D正确.故选 .
9.（多选题）如图所示,在三棱锥中,平面 平面 ,
, ,则下列说法错误的是( )
A. 平面
B. 平面
C.与平面 相交但不垂直
D.平面
[解析] ,,.
又 平面 平面 ,平面 平面, 平面,
平面 .故选 .
√
√
√
二、填空题
10.给出下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面相
互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直;
③垂直于同一条直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另
一个平面也不垂直.
其中所有真命题的序号是______.
②④
[解析] ①中，若这两条直线平行，则这两个平面不一定相互平行，
①是假命题;
②是面面垂直的判定定理，故是真命题;
③中，垂直于同一条直线的两条直线不一定相互平行，如正方体中共
顶点的三条棱，故是假命题;
易知④是真命题.
11.如图所示，在三棱锥中，平面
底面，且，则 是______
三角形.
直角
[解析] 设在平面上的射影为 平面 底面 ，平面
平面， .
连接，，，是 的外心，
且是的中点， 是直角三角形.
12.三棱锥的高为，若其三个侧面两两垂直，则 为
的____心.
垂
[解析] 连接,, .由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，
易得 平面, 平面, 平面,则有 ，
，.
由，，，得 平面，则
.
同理可得，，所以 为 的垂心.
三、解答题
13.如图，在三棱锥中，侧面
底面，，， ，
，是 的中点.证明：
（1） 平面 ；
证明：在三棱锥 中，
因为侧面 底面，侧面 底面
，， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面，所以 .
因为，是的中点，所以 ，
又,, 平面 ，
所以 平面 .
证明： 因为 平面， 平面 ，
所以 ，
又，,, 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面，所以 ，
又，, 平面 ，所以，
又 平面， 平面 ，所以平面 .
（2）平面 .
14.如图，在正三棱柱中，，，， 分
别为，， 的中点.
（1）求证：平面 ；
证明：如图，连接， ，
四边形为矩形，为 的中点，
为 的中点.
又为 的中点， .
平面 ， 平面 ，
平面 .
证明： 在矩形中， ，则
， ，
，
， .
，.
在正三棱柱中，底面 平面,
为的中点，为正三角形， .
（2）求证： 平面 .
平面， ，
又， .
， 平面 .
15.（多选题）如图，在梯形中， ，
,, ,将 沿
折起.设折起后点的位置为 ，得到三棱锥
，若平面 平面 ，则下列结
论中正确的是( )
A. B.三棱锥的体积为
C. 平面 D.平面 平面
√
√
[解析] 取的中点，连接.由 ,
, ，得
.又 ，所以为等腰直
角三角形，所以 .因为平面 平
面,平面 平面,
平面 ，所以 平面，故C正确.
由为的中点，得 ，又平面 平面，平面
平面, 平面 ，所以 平面，所以
.
假设 ，则由，可得
平面，故 ，与已知矛盾，故
假设不成立，故A错误.
三棱锥 的体积为 ，故B错误.
在直角三角形中，，所以 .
在中，,, ，满足，
所以 .又，,所以 平面 ，
因为 平面,所以平面 平面 ，故D正确.故选 .
16.如图，在四棱锥中， ， ，
，侧面 底面，为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
证明:取的中点，连接, ，如图.
因为，分别为，的中点，
所以 且 ，
又且 ，
所以且 ，
所以四边形为平行四边形，所以 .
因为平面 平面，平面 平面
，， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面，所以 .
因为，为的中点，所以 ，
又，, 平面 ，
所以 平面，所以 平面 .
（2）若，求二面角 的余弦值.
解：取的中点，在平面内过 作
，交的延长线于，连接, ，
因为，为 的中点，
，
又平面 平面，平面 平面，
平面 ，
所以 平面 .
因为 平面，所以 .
因为，所以 平面 ，
又 平面，所以 ，
所以为二面角 的平面角.
设，则, ，则
,则 ，
所以二面角的余弦值为 .第2课时 平面与平面垂直的性质
1.C [解析] 当两个平面垂直时,在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.
2.C [解析] 对于A,平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,则l⊥γ,A中说法正确;对于B,平面α⊥平面β,不妨设α∩β=a,作直线b∥a,且b α,则b∥β,B中说法正确;对于C,所作垂线不一定在平面α内,则该垂线不一定垂直于β,C中说法错误;对于D,假设平面α内存在直线垂直于平面β,则平面α垂直于平面β,这与已知平面α与平面β不垂直矛盾,所以假设不成立,D中说法正确.故选C.
3.A [解析] 如图,∵M∈平面ABB1A1,E∈AB,即E∈平面ABB1A1,∴ME 平面ABB1A1,又平面ABB1A1⊥平面ABCD,平面ABB1A1∩平面ABCD=AB,ME⊥AB,∴ME⊥平面ABCD.故选A.
4.A [解析] 对于A,若α∩β=b,a α,则a与β可能相交,也可能平行,故A是假命题;对于B,由a⊥α,a⊥β得α∥β,又b α,所以b∥β,故B是真命题;对于C,由α⊥β,a⊥α,得a∥β或a β,又b⊥β,所以a⊥b,故C是真命题;对于D,由α∥β,a⊥α,得a⊥β,又b∥β,所以a⊥b,故D是真命题.故选A.
5.A [解析] 如图所示,连接AB',A'B,则由已知得AA'⊥平面β,∠ABA'=,BB'⊥平面α,∠BAB'=.设AB=a,则BA'=a,BB'=a,则在Rt△BA'B'中,可得A'B'=a,所以AB∶A'B'=2∶1.
6.B [解析] 若BC⊥AB,因为平面ABB1A1⊥平面ABC,平面ABB1A1∩平面ABC=AB,且BC 平面ABC,所以由面面垂直的性质定理可得BC⊥平面ABB1A1,又BB1 平面ABB1A1,所以BC⊥BB1,所以“BC⊥BB1”是“BC⊥AB”的必要条件;若三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,底面ABC是正三角形,则BB1⊥底面ABC,又BB1 平面ABB1A1,所以满足条件侧面ABB1A1⊥底面ABC,又BC 平面ABC,所以BC⊥BB1,但此时BC与AB不垂直,所以“BC⊥BB1”不是“BC⊥AB”的充分条件.综上所述,“BC⊥BB1”是“BC⊥AB”的必要不充分条件.故选B.
7.C [解析] 如图,在四边形ABCD中,∵AB=BC,AD=CD,∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD 平面ABCD,∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1 平面AA1C1C,∴BD⊥CC1.故选C.
8.ACD [解析] 易知A正确;对于B,当过点P且垂直于l的直线不在α内时,该直线不与β垂直,故B不正确;对于C,由平面α⊥平面β,α∩β=l,点P∈α,P l,在β内作直线m⊥l,由面面垂直的性质定理得m⊥α,设过点P且垂直于α的直线为n,即n⊥α,则m∥n,由线面平行的判定定理可知n∥β,故C正确;对于D,由面面垂直的性质定理可知D正确.故选ACD.
9.ACD [解析] ∵PA=PB,AD=DB,∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,PD 平面PAB,∴PD⊥平面ABC.故选ACD.
10.②④ [解析] ①中,若这两条直线平行,则这两个平面不一定相互平行,①是假命题;②是面面垂直的判定定理,故是真命题;③中,垂直于同一条直线的两条直线不一定相互平行,如正方体中共顶点的三条棱,故是假命题;易知④是真命题.
11.直角 [解析] 设P在平面ABC上的射影为O.∵平面PAB⊥底面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,∴O∈AB.连接OC,∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,∴O是△ABC的外心,且是AB的中点,∴△ABC是直角三角形.
12.垂 [解析] 连接AH,BH,CH.由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直,易得PA⊥平面PBC,PB⊥平面PAC,PC⊥平面PAB,则有BC⊥PA,AB⊥PC,CA⊥PB.由BC⊥PA,PH⊥BC,PA∩PH=P,得BC⊥平面PAH,则BC⊥AH.同理可得AB⊥CH,CA⊥BH,所以H为△ABC的垂心.
13.证明:(1)在三棱锥D-ABC中,
因为侧面ACD⊥底面ABC,侧面ACD∩底面ABC=AC,AC⊥BC,BC 平面ABC,
所以BC⊥平面ACD,
又AE 平面ACD,所以BC⊥AE.
因为AC=AD,E是CD的中点,所以AE⊥CD,
又BC∩CD=C,BC,CD 平面BCD,
所以AE⊥平面BCD.
(2)因为AE⊥平面BCD,BD 平面BCD,所以AE⊥BD,
又AF⊥BD,AE∩AF=A,AE,AF 平面AEF,
所以BD⊥平面AEF,
又EF 平面AEF,所以BD⊥EF,
又CH⊥BD,EF,CH 平面BCD,
所以EF∥CH,又EF 平面AEF,CH 平面AEF,
所以CH∥平面AEF.
14.证明:(1)如图,连接A1B,BC1,
∵四边形ABB1A1为矩形,F为AB1的中点,
∴F为A1B的中点.
又E为A1C1的中点,
∴EF∥BC1.
∵BC1 平面BB1C1C,
EF 平面BB1C1C,
∴EF∥平面BB1C1C.
(2)在矩形BCC1B1中,BC=BB1,则tan∠CBC1=,tan∠B1MB=,
∴tan∠CBC1·tan∠B1MB=1,
∴∠CBC1+∠B1MB=,∴BC1⊥B1M.
∵EF∥BC1,∴EF⊥B1M.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC⊥平面BB1C1C,∵M为BC的中点,△ABC为正三角形,∴AM⊥BC.
∵平面ABC∩平面BB1C1C=BC,AM 平面ABC,
∴AM⊥平面BB1C1C.
∵BC1 平面BB1C1C,∴AM⊥BC1,
又EF∥BC1,∴EF⊥AM.
∵AM∩B1M=M,∴EF⊥平面AB1M.
15.CD [解析] 取BD的中点E,连接A'E.由AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,得∠DBC=∠ADB=45°.又∠BCD=45°,所以△BCD为等腰直角三角形,所以CD⊥BD.因为平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,CD 平面BCD,所以CD⊥平面A'BD,故C正确.由E为BD的中点,得A'E⊥BD,又平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,A'E 平面A'BD,所以A'E⊥平面BCD,所以A'E⊥BC.假设A'D⊥BC,则由A'E∩A'D=A',可得BC⊥平面A'BD,故BC⊥BD,与已知矛盾,故假设不成立,故A错误.三棱锥A'-BCD的体积为××××=,故B错误.在直角三角形A'CD中,A'C2=CD2+A'D2,所以A'C=.在△A'BC中,A'B=1,BC=2,A'C=,满足BC2=A'B2+A'C2,所以BA'⊥CA'.又BA'⊥DA',DA'∩CA'=A',所以BA'⊥平面A'DC,因为BA' 平面A'BC,所以平面A'BC⊥平面A'DC,故D正确.故选CD.
16.解:(1)证明:取PD的中点M,连接AM,ME,如图.
因为E,M分别为PC,PD的中点,所以ME∥CD且ME=CD,
又AB∥CD且AB=CD,
所以ME∥AB且ME=AB,
所以四边形ABEM为平行四边形,所以AM∥BE.
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,CD 平面ABCD,
所以CD⊥平面PAD,
又AM 平面PAD,所以AM⊥CD.
因为PA=AD,M为PD的中点,所以AM⊥PD,
又PD∩CD=D,PD,CD 平面PCD,
所以AM⊥平面PCD,所以BE⊥平面PCD.
(2)取AD的中点O,在平面ABCD内过O作OH⊥BC,交CB的延长线于H,连接PO,PH,
因为PA=PD,O为AD的中点,所以PO⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO 平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD.
因为BC 平面ABCD,所以PO⊥BC.
因为PO∩OH=O,所以BC⊥平面POH,
又PH 平面POH,所以BC⊥PH,
所以∠PHO为二面角P-BC-D的平面角.
设AD=2,则PO=,OH=,则tan∠PHO==,则cos∠PHO=,
所以二面角P-BC-D的余弦值为.第2课时 平面与平面垂直的性质
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面垂直的性质定理,并能够证明.
2.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点 平面与平面垂直的性质定理
1.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面 a⊥α 面面垂直 线面垂直
2.面面垂直的性质定理的作用:
(1)判定直线与平面垂直;
(2)由平面外一点作平面的垂线时,确定垂足的位置.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两个平面垂直,则两个平面内任意两条直线互相垂直. ( )
(2)若平面α⊥平面β,α∩β=l,b⊥l,则b⊥β. ( )
2.黑板所在平面与地面所在平面垂直,如何在黑板上画一条直线与地面垂直
◆ 探究点一 面面垂直的性质定理的应用
例1 如图,在三棱锥P-ABC中,△PAC为正三角形,AB⊥AC,平面PAB⊥平面PAC.求证:AB⊥平面PAC.
变式 如图所示,四边形ABCD是矩形,AB=2BC,E为CD的中点,以BE为折痕将△BEC折起,使C到达C'的位置,且平面BEC'⊥平面ABED,得到四棱锥C'-ABED.
(1)求证:AE⊥BC';
(2)求二面角C'-AE-B的余弦值.
[素养小结]
当利用面面垂直的性质定理证明线面垂直问题时,要注意以下三点:①两个平面垂直;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于两平面的交线.
◆ 探究点二 线线、线面、面面垂直的综合应用
例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=,N,M分别为AB,CC1的中点,且AB=AC.
(1)证明:CN⊥平面ABB1A1.
(2)证明:平面AMB1⊥平面ABB1A1.
变式 如图①,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=3,CD=1,BC=2,E,F分别为腰AD,BC的中点,H,M分别为EF,AB的中点.将四边形CDEF沿EF折起,使平面EFC'D'⊥平面ABFE,如图②.
(1)求证:MH⊥平面EFC'D';
(2)请在图②所给的点中找出两个点,使得这两点所在直线与平面D'HM垂直,并给出证明.
[素养小结]
在证明两平面垂直时,一般从其中一个平面内寻找另一个平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.在已知两平面垂直用性质定理解题时,一般从其中一个平面内寻找与交线垂直的直线,如果这样的直线在图中不存在,也需通过作辅助线来解决.
拓展 正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是BC的中点,动点P在其表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的长度为 . 第2课时 平面与平面垂直的性质
一、选择题
1.设平面α⊥平面β,若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则 ( )
A.直线a必垂直于平面β
B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β
D.过a的平面与过b的平面一定垂直
2.下列说法中错误的是 ( )
A.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ
B.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C.如果平面α⊥平面β,过α内任意一点作交线的垂线,那么此垂线必垂直于β
D.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ABB1A1内任取一点M,作ME⊥AB于E,则 ( )
A.ME⊥平面ABCD B.ME 平面ABCD
C.ME∥平面ABCD D.以上都有可能
4.已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题为假命题的是 ( )
A.若α∩β=b,a α,则a与β相交
B.若a⊥α,a⊥β,b α,则b∥β
C.若α⊥β,a⊥α,b⊥β,则a⊥b
D.若a⊥α,b∥β,α∥β,则a⊥b
5.如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与平面α,β所成的角分别为和.过点A,B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A',B',则AB∶A'B'等于 ( )
A.2∶1 B.3∶1
C.3∶2 D.4∶3
6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABB1A1⊥平面ABC,则“BC⊥BB1”是“BC⊥AB”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1的位置关系为 ( )
A.平行 B.相交
C.垂直 D.异面但不垂直
8.(多选题)若平面α⊥平面β,α∩β=l,点P∈α,P l,则下列说法中正确的是 ( )
A.过点P且垂直于l的平面垂直于β
B.过点P且垂直于l的直线垂直于β
C.过点P且垂直于α的直线平行于β
D.过点P且垂直于β的直线在α内
9.(多选题)如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,则下列说法错误的是 ( )
A.PD 平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
二、填空题
10.给出下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直;
③垂直于同一条直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中所有真命题的序号是 .
11.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥底面ABC,且PA=PB=PC,则△ABC是 三角形.
12.三棱锥P-ABC的高为PH,若其三个侧面两两垂直,则H为△ABC的 心.
三、解答题
13.如图,在三棱锥D-ABC中,侧面ACD⊥底面ABC,AC=AD,AC⊥BC,AF⊥BD,CH⊥BD,E是CD的中点.证明:
(1)AE⊥平面BCD;
(2)CH∥平面AEF.
14.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=BB1,E,F,M分别为A1C1,AB1,BC的中点.
(1)求证:EF∥平面BB1C1C;
(2)求证:EF⊥平面AB1M.
15.(多选题)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,将△ABD沿BD折起.设折起后点A的位置为A',得到三棱锥A'-BCD,若平面A'BD⊥平面BCD,则下列结论中正确的是 ( )
A.A'D⊥BC
B.三棱锥A'-BCD的体积为
C.CD⊥平面A'BD
D.平面A'BC⊥平面A'DC
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,PA=AD=AB=CD,侧面PAD⊥底面ABCD,E为PC的中点.
(1)求证:BE⊥平面PCD;
(2)若PA=PD,求二面角P-BC-D的余弦值.第2课时 平面与平面垂直的性质
【课前预习】
知识点
1.垂直
诊断分析
1.(1)× (2)× [解析] (1)满足条件的这两条直线不一定垂直,如图所示,平面α⊥平面β,a α,b β,a,b不垂直.
(2)因为直线b不一定在平面α内,所以直线b不一定垂直于平面β.
2.解:记黑板所在平面与地面所在平面的交线为l,则由面面垂直的性质定理知,只要在黑板上画出一条与交线l垂直的直线,则所画直线必与地面垂直.
【课中探究】
探究点一
例1 证明:取PA的中点M,连接CM,BM,∵△PAC为正三角形,∴CM⊥PA.∵平面PAB⊥平面PAC,平面PAB∩平面PAC=PA,CM 平面PAC,∴CM⊥平面PAB.∵AB 平面PAB,∴AB⊥CM.又AB⊥AC,CM∩AC=C,AC 平面PAC,CM 平面PAC,∴AB⊥平面PAC.
变式 解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,AB=2BC,E为CD的中点,∴△ADE,△BCE都是等腰直角三角形,∴∠AED=∠BEC=45°,∴∠AEB=90°,即AE⊥EB.∵平面BEC'⊥平面ABED,平面BEC'∩平面ABED=BE,AE 平面ABED,∴AE⊥平面BEC',∴AE⊥BC'.
(2)由(1)知△BC'E是等腰直角三角形,∴∠BEC'=45°.∵AE⊥平面BEC',∴EB⊥AE,EC'⊥AE,∴∠BEC'是二面角C'-AE-B的平面角,∴二面角C'-AE-B的余弦值为.
探究点二
例2 证明:(1)在△ABC中,因为∠BAC=,AB=AC,所以△ABC为正三角形.
因为N为AB的中点,所以CN⊥AB.
因为AA1⊥平面ABC,CN 平面ABC,所以AA1⊥CN.
因为AA1∩AB=A,AA1,AB 平面ABB1A1,
所以CN⊥平面ABB1A1.
(2)取AB1的中点D,连接DM,DN,如图.
因为N,D分别为AB,AB1的中点,所以DN∥BB1且DN=BB1.
又CM∥BB1且CM=BB1,
所以DN∥CM且DN=CM,
所以四边形CNDM为平行四边形,所以DM∥CN.
由(1)知CN⊥平面ABB1A1,所以DM⊥平面ABB1A1,
又DM 平面AMB1,所以平面AMB1⊥平面ABB1A1.
变式 解:(1)证明:∵四边形ABCD是等腰梯形,H为EF的中点,M为AB的中点,∴MH⊥EF.∵平面EFC'D'⊥平面ABFE,平面EFC'D'∩平面ABFE=EF,MH 平面ABFE,∴MH⊥平面EFC'D'.
(2)在图②中,C',E这两个点所在直线与平面D'HM垂直.证明如下:连接C'E,C'H,由(1)知MH⊥平面EFC'D',∵C'E 平面EFC'D',∴MH⊥C'E.
∵C'D' EH, 且C'D'=D'E,∴四边形C'D'EH是菱形,
∴C'E⊥D'H.
∵MH∩D'H=H,∴C'E⊥平面D'HM,∴C',E这两点所在直线与平面D'HM垂直.
拓展 + [解析] 如图所示,分别取CD,SC的中点F,G,连接BD,EF,GF,GE,则易知GF∥SD,GE∥SB,因为GF,GE 平面SBD,SD,SB 平面SBD,所以GF∥平面SBD,GE∥平面SBD.因为GF∩GE=G,所以平面GEF∥平面SBD.设AC∩BD=O,连接SO,则SO⊥平面ABCD,则SO⊥AC,易知BD⊥AC,又BD∩SO=O,所以AC⊥平面SBD,则可得AC⊥平面GEF,故动点P的轨迹是△EFG的三边(除去点E).又EF=DB=,GF=GE=SB=,所以动点P的轨迹的长度为EF+FG+GE=+.
