4.2.1 实际问题的函数刻画 同步训练（含答案）

4.2.1
实际问题的函数刻画
同步训练
(30分钟
50分)
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.某种生物增长的数量y与时间x的关系如下表：
下面函数关系式中，能表达这种关系的是(
)
（A）y=x2-1
（B）y=2x-1
（C）y=2x-1
（D）y=1.5x2-2.5x+2
2.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的物质为原来的，则经过多少年，剩余的物质是原来的
(
)
（A）5
（B）4
（C）3
（D）2
3.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：
y=,其中，x代表拟录用人数，
y代表面试人数，若应聘的面试人数为60人，则该公司拟录用人数为(
)
（A）15
（B）40
（C）25
（D）130
4.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝［x］(［x］表示不大于x的最大整数)可以表示为(
)
（A）y＝［］
（B）y＝［］
（C）y＝［］
（D）y＝［］
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是__________元．
6.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为______元（用数字作答）．
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.琼海市菠萝从5月1日起开始上市，通过市场调查，得到菠萝种植成本Q（单位：元/100
kg）与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述菠萝种植成本Q与上市时间t的变化关系Q=at+b;
Q=at2+bt+c;Q=a·bt;Q=a·logbt.
（2）利用你选取的函数，求菠萝种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
8.(易错题）甲商店某种商品9月份（30天，9月1日为第一天）的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系如图（1）所示，该商品日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系如图（2）所示.
（1）写出：图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式P=f(t)，图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式Q=g(t)，及日销售金额M（元）与时间的函数关系M=h(t).
（2）乙商店销售同一种商品，在9月份采用另一种销售策略，日销售金额N（元）与时间t（天）之间的函数关系为N=-2t2-10t+2
750，比较9月份每天两商店销售金额的大小.
【挑战能力】
(10分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.
（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大利益，其最大收益是多少万元？
答案解析
1.【解析】选D.
把点的坐标（1,1）（3,8）代入四个选项检验，可知只有D选项符合题意.
2.【解析】选C.假设经过x年,剩余的物质是原来的.由题意可知()x=.解得x=3.
3.【解析】选C.若4x=60,则x=15>10，不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.故拟录用人数为25人.
【举一反三】若应聘的面试人数为90人，其他条件不变，则该公司拟录用人数为(
)
（A）15
（B）40
（C）25
（D）130
【解析】选B.若4x=90，则x=22.5>10，不合题意;若2x+10=90,则x=40，满足题意；若1.5x=90,则x=60<100，不合题意.故拟录用人数为40人.
4.【解题指南】求解本题可抓住“当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表”这一特征，并借助特殊值法求解.
【解析】选B.由题意，可用特殊值法求解，当x＝17时，A选项错误，当x＝16时，［］＝2，［］＝2，所以C，D选项错误，故选B.
【方法技巧】特殊值法解选择题的方法技巧
用特殊值(特殊数值、特殊图形、特殊位置、特殊情形等)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特殊值有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等,注意:特殊值法只能否定选择项，不能肯定选择项.
当正确的选择对象在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略.
5.【解析】设每台彩电原价为x元，依题意有80%·x(1＋40%)－x＝270.解得x＝2
250.
答案：2
250
6.【解析】应付的电费应分两部分构成：
高峰部分为50×0.568+150×0.598；
低谷部分为50×0.288+50×0.318，
两部分之和为148.4．
答案：148.4
【变式训练】一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.
（1）图中阴影部分的面积等于_______;
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2
004
km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数S
km与时间t
h的函数解析式为______.
【解析】(1)阴影部分面积为：
50×1+80×1+90×1+75×1+65×1＝360.
（2）根据图有：
S=
答案：（1）360
7.【解析】（1）由表中的数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，故只能选取Q=at2+bt+c,
即
解得：Q=.
(2)由（1）知Q=
=
(t-150)2+100.
当t=150天时，菠萝种植成本最低为Q=100元/100
kg.
8.【解析】（1）设价格函数是y=kt+b，过（0，15），（30，30）,
则
∴f(t)=t+15(0≤t≤30,t∈N).
设销售量函数y=at+m,过(0,160),(30,40),
则
∴g(t)=-4t+160(0≤t≤30,t∈N).
则M=(t+15)(-4t+160)=-2t2+20t+2
400(0≤t≤30,t∈N).
(2)N=-2t2-10t+2
750(t∈N),M-N=30t-350.
当0≤t≤11时M-N<0,当12≤t≤30时M-N>0.
即前11天甲商店销售额少，以后乙商店均比甲商店少.
【挑战能力】
【解析】（1）设两种产品的收益与投资额的函数关系分别为f(x)=k1x,g(x)=k2,所以f(1)==k1,g(1)==k2,
即f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0);
(2)设投资债券类产品x万元，则股票类投资为(20-x)万元，
依题意得：y=f(x)+g(20-x)=+(0≤x≤20),
令t=(0≤t≤)，
则y=,
所以当t=2,即x=16万元时，收益最大，ymax=3万元.