滚动习题(六)
B [解析] ∵AB∥PQ,BC∥QR,且∠ABC=60°,∴∠PQR=60°或120°.故选B.
2.B [解析] 对于A,如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面可能相交或重合,故A错误;对于B,若四点不共面,则其中任意三点不共线,故B正确;对于C,空间中,相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内,如三棱锥P-ABC,相交于同一点P的三条直线PA,PB,PC不在同一平面内,故C错误;对于D,如图,三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分,故D错误.故选B.
3.D [解析] 由题意易得平面α,β可能平行,也可能相交,故选D.
4.D [解析] 若m∥α,n∥α,则m,n可能平行、相交或异面,故A错误;若m∥α,m∥β,则α∥β或α,β相交,故B错误;若m∥n,m∥α,则n∥α或n α,故C错误;若α∥β,m α,则m∥β,故D正确.故选D.
5.D [解析] 对于选项A,连接PS,QR,易证PS∥QR,∴P,S,R,Q四点共面;对于选项B,过P,S,R,Q可作一个正六边形,∴P,S,R,Q四点共面;对于选项C,连接PQ,RS,易证PQ∥RS,∴P,Q,R,S四点共面;对于选项D,连接PQ,RS,易知直线PQ与RS异面,∴P,Q,R,S四点不共面.故选D.
6.D [解析] 取A1D1的中点E,在DD1上取点F,使D1F=2DF,连接EF,C1E,C1F,则易知平面CMN∥平面C1EF.∵P是侧面ADD1A1内一动点(含边界),C1P∥平面CMN,∴P∈线段EF.∵C1E==5,C1F==5,∴当P与EF的中点重合时,线段C1P的长度取得最小值,当P与点E或点F重合时,线段C1P的长度取得最大值.取EF的中点O,连接C1O,则由题意知EF=4,C1O===,∴线段C1P的长度的取值范围是[,5].故选D.
7.AB [解析] 对于A,若α∩β=直线l,点A∈α且点A∈β,则A∈α∩β,即A∈l,故A正确;对于B,若C∈β,又A∈β,B∈β,则α和β重合,不成立,故B正确;对于C,若直线a α,直线b β,则a与b为异面直线或a∥b或a,b相交,故C错误;对于D,若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c异面或a,c相交或a,c平行,故D错误.故选AB.
8.ABD [解析] 对于A,因为EG 平面ACC1A1,C1∈平面ACC1A1且C1 EG,B 平面ACC1A1,所以EG与BC1为异面直线,故A正确.对于B,几何体Ω的棱有A1D,A1C1,DC1,A1E,EG,EF,CC1,C1B,DB,FG,GC,CB,FB,共13条,故B正确.对于C,几何体Ω的顶点有A1,D,C1,E,G,C,B,F,共8个,故C错误.对于D,如图,取AB的中点H,连接A1H,DH,CH,因为AB=4AF,所以F是AH的中点,又D,G,E分别为所在棱的中点,所以EF∥A1H,FG∥CH.因为A1D∥BH,A1D=BH,所以四边形A1DBH为平行四边形,故A1H∥DB,则EF∥DB,又EF 平面BDC1,DB 平面BDC1,故EF∥平面BDC1.易证DH∥BB1∥CC1,且DH=BB1=CC1,故四边形DC1CH为平行四边形,则C1D∥CH,故FG∥C1D,又FG 平面BDC1,DC1 平面BDC1,故FG∥平面BDC1,又EF∩FG=F,所以平面EFG∥平面BDC1,故D正确.故选ABD.
9.{0,1,2,3} [解析] 三个平面可以互相平行,可以交于同一条直线,可以两个平面平行且被第三个平面所截,也可以两两相交,故n的取值集合为{0,1,2,3}.
10.1 无数 [解析] 过平面外一点作与该平面平行的平面,这样的平面有且只有1个.过平面外一点作与该平面平行的直线,这样的直线有无数条,这些直线都在过该点且与所给平面平行的平面内.
11.①③ [解析] 连接PR,QS,因为P,Q,R,S分别是C1D1,CC1,A1B1,B1B的中点,所以PR∥B1C1,QS∥B1C1,且PR=B1C1,QS=B1C1,所以PR∥QS且PR=QS,所以四边形PRSQ是平行四边形,即PQ与RS共面,故①正确;连接QN,C1B,PM,则由题意得QN=C1B=PM,QN∥C1B∥PM,所以四边形PQNM为梯形,所以PQ与MN共面,故③正确;MN与RS异面,故②错误.故填①③.
12. [解析] 因为平面A1C1ED与BB1平行,平面BCC1B1∩平面A1C1ED=C1E,平面ABB1A1∩平面A1C1ED=A1D,所以BB1∥C1E,BB1∥A1D.因为平面A1B1C1∥平面ABC,平面A1B1C1∩平面A1C1ED=A1C1,平面ABC∩平面A1C1ED=DE,所以A1C1∥DE,故几何体A1B1C1-ABC为三棱柱.设该三棱柱的高为h,则=S△BDE·h.因为D,E分别是AB,BC的中点,所以S△ABC=4S△BDE,由台体的体积公式得=(+S△ABC+)h=S△BDE·h,故=.
13.证明:(1)如图,连接EF,EB,DF,B1D1.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
易得B1D1∥BD.
∵E,F分别是B1C1和C1D1的中点,∴EF∥B1D1,∴EF∥BD,
∴ E,F,D,B四点共面.
(2)连接A1C1,C1M.∵AA1∥CC1,
∴A,A1,C,C1确定一个平面AA1C1C.
∵O∈A1C,A1C 平面AA1C1C,∴O∈平面AA1C1C,
∵A1C与平面BDC1交于点O,∴O∈平面BDC1,
∴O在平面AA1C1C与平面BDC1的交线上.
∵AC∩BD=M,AC 平面AA1C1C,BD 平面BDC1,
∴M∈平面AA1C1C且M∈平面BDC1,又C1∈平面AA1C1C,C1∈平面BDC1,∴平面AA1C1C∩平面BDC1=C1M,∴O∈C1M,即点C1,O,M共线.
14.解:(1)证明:取BE的中点Q,连接NQ,MQ,∵CB∥DE,N,Q分别为CD,BE的中点,∴NQ∥DE,又∵NQ 平面AED,DE 平面AED,∴NQ∥平面AED.∵M,Q分别为BA,BE的中点,∴MQ∥AE,又∵MQ 平面AED,AE 平面AED,∴MQ∥平面AED.∵MQ∩NQ=Q,MQ 平面MNQ,NQ 平面MNQ,∴平面MNQ∥平面AED,
又MN 平面MNQ,∴MN∥平面AED.
(2)连接BD,设BD交CE于点G,连接FG.
∵AB∥平面CEF,平面CEF∩平面ABD=FG,AB 平面ABD,∴AB∥FG,∴=.在直角梯形BCDE中,△BCG∽△DEG,∴==,∴==,
∴AD=4AF,∴λ=4.
15.解:(1)证明:取AD的中点H,连接NH,MH,
因为M,H分别为PD,AD的中点,所以MH∥PA,
又因为MH 平面PAB,PA 平面PAB,所以MH∥平面PAB.由题意知四边形ABCD为平行四边形.
因为H,N分别为AD,BC的中点,所以NH∥AB,
又因为NH 平面PAB,AB 平面PAB,所以NH∥平面PAB.因为MH∩NH=H,且MH,NH 平面MNH,所以平面MNH∥平面PAB,
又因为MN 平面MNH,所以MN∥平面PAB.
(2)当E,F分别为PC,AD的中点时,平面EMFN∥平面PAB.
证明如下:如图,连接ME,NE,MF,NF,在△PCD中,因为M,E分别为PD,PC的中点,所以ME∥CD,
因为F,N分别为AD,BC的中点,所以NF∥CD,
所以ME∥NF,所以点E,M,F,N四点共面,
由(1)知平面MNF∥平面PAB,即平面EMFN∥平面PAB,即过直线MN作一平面与平面PAB平行,且分别交PC,AD于点E,F,此时E,F分别为PC,AD的中点.滚动习题(六)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知AB∥PQ,BC∥QR,且∠ABC=60°,则∠PQR= ( )
A.60° B.60°或120°
C.120° D.以上结论都不对
2.下列说法中正确的是 ( )
A.如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合
B.若四点不共面,则其中任意三点不共线
C.空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内
D.三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分
3.已知三条互相平行的直线a,b,c中,a α,b β,c β,则平面α,β的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.垂直 D.平行或相交
4.[2024·重庆南开中学高一期中] 设有两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β,则下列说法正确的是 ( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m∥n,m∥α,则n∥α
D.若α∥β,m α,则m∥β
5.如图所示,P,Q,R,S分别是其所在棱的中点,则在下列几个几何体(正方体或三棱锥)中,这四个点不共面的是 ( )
A B C D
6.如图,在长方体ABCD - A1B1C1D1中,AA1=6,AB=3,AD=8,M是棱AD的中点,点N在棱AA1上,且满足AN=2NA1,P是侧面ADD1A1内一动点(含边界),若C1P∥平面CMN,则线段C1P的长度的取值范围是 ( )
A.[3,] B.[4,5]
C.[3,5] D.[,5]
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是 ( )
A.若α∩β=直线l,点A∈α且点A∈β,则A∈l
B.若A,B,C是平面α内不共线的三个点,A∈β,B∈β,则C β
C.若直线a α,直线b β,则a与b为异面直线
D.若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c异面
8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,G,E分别为所在棱的中点,AB=4AF,直三棱柱ABC-A1B1C1去掉两个三棱锥A-EFG,B1-BC1D后所得的几何体记为Ω,则 ( )
A.EG与BC1为异面直线
B.Ω有13条棱
C.Ω有7个顶点
D.平面BDC1∥平面EFG
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.设空间中三个平面之间的交线条数为n,则n的取值集合为 .
10.过平面外一点作与该平面平行的平面有 个,过平面外一点作与该平面平行的直线有 条.
11.如图所示,在正方体ABCD - A1B1C1D1中,M,N,P,Q,R,S分别是AB,BC,C1D1,C1C,A1B1,BB1的中点,给出下列说法:
①PQ与RS共面;②MN与RS共面;③PQ与MN共面.其中正确说法的序号是 .
12.如图所示,过三棱台ABC-A1B1C1的上底面的一边A1C1,作一个平行于棱BB1的截面,与下底面的交线为DE,若D,E分别是AB,BC的中点,则= .
四、解答题(本大题共3小题,共38分)
13.(10分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和C1D1的中点.
(1)证明:E,F,D,B四点共面;
(2)若A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:点C1,O,M共线.
14.(13分)如图,在四棱锥A-BCDE中,DE⊥平面ABE,DE∥BC,M,N分别是AB,CD的中点,DE=3BC.
(1)求证:MN∥平面AED;
(2)若点F在棱AD上且满足AD=λAF,AB∥平面CEF,求λ的值.
15.(15分)如图①,在四边形PBCD中,PD∥BC,A在PD上,且BC=PA=AD.现将△ABP沿AB折起得到图②,点M是PD的中点,点N是BC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAB;
(2)在图②中,过直线MN作一平面与平面PAB平行,且分别交PC,AD于点E,F,注明E,F的位置,并证明.(共36张PPT)
滚动习题（六）范围8.4～8.5
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.已知，，且 ，则 ( )
A. B. 或
C. D.以上结论都不对
[解析] ，，且 ， 或
.故选B.
√
2.下列说法中正确的是( )
A.如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
B.若四点不共面，则其中任意三点不共线
C.空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
D.三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分
√
[解析] 对于A，如果两个平面有三个公共点，
那么这两个平面可能相交或重合，故A错误；
对于B，若四点不共面，则其中任意三点不共
线，故B正确；
对于C，空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，
如三棱锥，相交于同一点的三条直线 ，， 不在同
一平面内，故C错误；
对于D，如图，三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，故D
错误.故选B.
3.已知三条互相平行的直线,,中， , , ，则平面
， 的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行或相交
[解析] 由题意易得平面 ， 可能平行，也可能相交，故选D.
√
4.[2024·重庆南开中学高一期中]设有两条不同的直线， 和两个不
同的平面 ， ，则下列说法正确的是( )
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若， ，则 D.若 ， ，则
[解析] 若 ， ，则， 可能平行、相交或异面，故A错
误；
若 ， ，则 或 , 相交，故B错误；
若， ，则 或 ，故C错误；
若 ， ，则 ，故D正确.故选D.
√
5.如图所示,，，， 分别是其所在棱的中点,则在下列几个几何
体（正方体或三棱锥）中，这四个点不共面的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于选项A，连接，,易证,，，， 四点
共面;
对于选项B，过，，，可作一个正六边形,，，， 四点共面;
对于选项C，连接，,易证,，，， 四点共面；
对于选项D，连接,，易知直线与异面，,, , 四点不共
面.故选D.
√
6.如图，在长方体中，， ，
，是棱的中点，点在棱上，且满足，
是侧面内一动点（含边界），若平面 ，则线段
的长度的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取的中点，在上取点，使 ，
连接，，，则易知平面平面
是侧面内一动点（含边界），平面 ，
线段
，，
当与的中点重合时，线段 的长度取得最小值，
当与点或点重合时，线段 的长度取得最大值．
取的中点，连接，则由题意知 ，
，
线段的长度的取值范围是 ．故选D．
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
7.已知 , 是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A.若直线,点 且点 ，则
B.若,,是平面 内不共线的三个点， , ，则
C.若直线 ，直线 ，则与 为异面直线
D.若直线,是异面直线，直线,是异面直线，则直线, 异面
√
√
[解析] 对于A，若直线,点 且点 ，则 ，
即，故A正确；
对于B，若 ，又 , ，则 和 重合，不成立，
故B正确；
对于C，若直线 ，直线 ，则与为异面直线或或
,相交，故C错误；
对于D，若直线, 是异面直线，直线,是异面直线，则直线,异面
或,相交或, 平行，故D错误.故选 .
8.如图，在直三棱柱中，，, 分别为所
在棱的中点，，直三棱柱 去掉
两个三棱锥， 后所得的几何体记为
，则( )
A.与为异面直线 B. 有13条棱
C. 有7个顶点 D.平面平面
√
√
√
[解析] 对于A，因为 平面，
平面且， 平面 ，
所以与 为异面直线，故A正确.
对于B，几何体 的棱有，，， ，
，，，，，，， ，，
共13条，故B正确.
对于C，几何体 的顶点有，D，，，，C，B， ，共8个，
故C错误.
对于D，如图，取的中点，连接，， ，
.
因为 ，，所以四边形 为平
行四边形，故，则，
又 平面， 平面，故平面 .
易证，且 ，
故四边形为平行四边形，则 ，故，
又 平面， 平面，故平面，
又 ，所以平面平面 ，故D正确.故选 .
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.设空间中三个平面之间的交线条数为,则 的取值集合为_________.
[解析] 三个平面可以互相平行,可以交于同一条直线,可以两个平面平
行且被第三个平面所截,也可以两两相交,故的取值集合为 .
10.过平面外一点作与该平面平行的平面有___个，过平面外一点作与
该平面平行的直线有______条.
1
无数
[解析] 过平面外一点作与该平面平行的平面，这样的平面有且只有1
个.
过平面外一点作与该平面平行的直线，这样的直线有无数条，这些直
线都在过该点且与所给平面平行的平面内．
11.如图所示，在正方体中，，，，， ，
分别是，，，，， 的中点，给出下列说法：
与共面；与共面；与 共面.其中正确说法的
序号是______.
①③
[解析] 连接，，因为，,,分别是,,, 的中点，
所以，，且， ，所以
且，所以四边形是平行四边形，即与 共
面，故①正确；
连接，, ，则由题意得，，
所以四边形 为梯形，所以与共面，故③正确；
与 异面，故②错误.故填①③.
12.如图所示，过三棱台 的上底面
的一边，作一个平行于棱 的截面，与
下底面的交线为，若，分别是， 的
中点，则 __ .
[解析] 因为平面与 平行，
平面 平面，
平面 平面，
所以 ，.
因为平面平面 ，平面 平面，
平面 平面 ，所以，
故几何体为三棱柱.
设该三棱柱的高为 ，则.
，
故 .
四、解答题（本大题共3小题，共38分）
13.（10分）如图，在长方体中，，分别是
和 的中点.
（1）证明：，，， 四点共面；
证明：如图，连接,，， .
在长方体 中，
易得 .
，分别是和的中点，
， ，
，，， 四点共面.
（2）若与平面交于点，,交于点，求证：点, ,
共线.
解： 连接, ，
,,,确定一个平面 .
, 平面， 平
面 ，
与平面交于点， 平面
，
在平面与平面 的交线上.
， 平面，
平面 ，
平面且 平面 ，
又 平面， 平面，
平面 平面 ，
，即点,, 共线.
14.（13分）如图，在四棱锥中，
平面，，，分别是， 的中
点， .
（1）求证：平面 ；
证明：取的中点，连接，，
，， 分别为，的中点，，
又 平面， 平面 ，
平面
，分别为，的中点， ，
又 平面， 平面， 平面
， 平面， 平面，
平面平面 ，
又 平面，平面 .
（2）若点在棱上且满足， 平
面，求 的值.
解：连接，设交于点，连接 .
平面，平面 平面 ，
平面，， .
在直角梯形中，， ，
，， .
15.（15分）如图①，在四边形中，，在 上，且
.现将沿折起得到图②，点是 的中点，
点是 的中点.
（1）求证：平面 ；
证明：取的中点 ，连接, ，
因为，分别为， 的中点，
所以 ，
又因为 平面， 平面，所以平面 .
由题意知四边形 为平行四边形.
因为,分别为,的中点，所以 ，
又因为 平面， 平面，所以平面 .
因为，且, 平面，
所以平面平面 ，
又因为 平面，所以平面 .
（2）在图②中，过直线作一平面与平面 平行，且分别交
，于点，，注明， 的位置，并证明.
解：当,分别为, 的中点时，平面
平面 .
证明如下：如图，连接,，， ，在
中，因为,分别为, 的中点，所
以 ，
因为,分别为,的中点，所以 ，
所以，所以点,,, 四点共面，
由（1）知平面平面，即平面平面 ，即过直
线作一平面与平面平行，且分别交，于点， ，此时
，分别为， 的中点.
