滚动习题(七)
1.B [解析] 对于A,若l∥m,m α,则l∥α或l α,故A错误;对于B,若l⊥α,m α,则l⊥m,故B正确;对于C,若l⊥m,l⊥α,则m α或m∥α,故C错误;对于D,若l∥α,m α,则l∥m或l与m异面,故D错误.故选B.
2.D [解析] 在△ABC中,因为=,所以DE∥BC,又BC 平面α,DE 平面α,所以BC∥平面α.故选D.
3.C [解析] 当l与平面α相交时,在α内不存在直线与直线l平行,故①是假命题,其余均是真命题.故选C.
4.B [解析] 由题意知,正方体的四条体对角线AC1,A1C,B1D,BD1满足与AB,AD,AA1所成的角都相等,其中经过点A的一条体对角线为AC1,再将其余三条体对角线平移到过点A即可,所以这样的直线l可以作4条.故选B.
5.D [解析] 取AB的中点D,连接PD,QD,PQ,设PQ交平面ABC于点O,连接OD.由正棱锥的性质及对称性易知O为△ABC的中心,且PD⊥AB,DQ⊥AB,故∠PDQ即为二面角P-AB-Q的平面角,设正三棱锥的侧棱长为2,易得AB=2,PD=DQ=,OD=AB=,则PQ=2PO=2×=.在△PDQ中,由余弦定理得cos∠PDQ===-.故选D.
6.A [解析] 在正方形SG1G2G3中,因为SG1⊥G1E,SG3⊥G3F,所以在四面体中有SG⊥EG,SG⊥FG,又GE∩GF=G,所以 SG⊥△EFG所在平面.故选A.
7.AD [解析] 对于A,可知直线a与平面α内两条相交直线垂直,则a⊥α,故A正确;对于B,缺少条件a β,所以不能保证a⊥α,故B错误;对于C,当a与两平面的交线不垂直时,a⊥α不成立,故C错误;对于D,因为l⊥α,a∥l,所以a⊥α,故D正确.故选AD.
8.ABC [解析] 对于A,如图①所示,连接B1D1,D1C,A1C1,AC,由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1,CC1⊥平面A1B1C1D1,因为B1D1 平面A1B1C1D1,所以B1D1⊥CC1,又A1C1∩CC1=C1,A1C1,CC1 平面ACC1A1,所以B1D1⊥平面ACC1A1.因为AC1 平面ACC1A1,所以B1D1⊥AC1.同理可得AC1⊥B1C.因为B1D1∩B1C=B1,B1D1,B1C 平面B1CD1,所以AC1⊥平面B1CD1,又D1P 平面B1CD1,所以D1P⊥AC1,故A正确.对于B,如图②所示,连接CD1,B1D1,易证BD∥B1D1,A1D∥B1C,因为A1D 平面A1BD,B1C 平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.因为BD 平面A1BD,B1D1 平面A1BD,所以B1D1∥平面A1BD,又B1D1∩B1C=B1,B1D1,B1C 平面B1CD1,所以平面A1BD∥平面B1CD1,又D1P 平面B1CD1,所以D1P∥平面A1BD,故B正确.对于C,如图③所示,设P到平面A1D1D的距离为h,则==·h,因为CD⊥平面DD1A1A,所以h=CD,点P是B1C上一个动点,因为A1D∥B1C,A1D 平面A1ADD1,B1C 平面A1ADD1,所以B1C∥平面A1ADD1,所以点P到平面A1ADD1的距离为定值,又△A1D1D的面积也为定值,所以三棱锥A1-DPD1的体积是定值,故C正确.对于D,连接C1P,因为D1C1⊥平面BCC1B1,所以∠D1PC1即为直线D1P与平面BCC1B1所成的角,tan∠D1PC1=,当P从B1移动到C的过程中,C1P的长度先变小后变大,D1C1的长度不变,所以tan∠D1PC1先变大后变小,故D错误.故选ABC.
9.若a⊥α,b∥α,则a⊥b [解析] 过b作平面β,使得β∩α=c,∵b∥α,b β,β∩α=c,∴b∥c,又a⊥α,c α,∴a⊥c,∴a⊥b.
10. [解析] ∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∠PAC=90°,即PA⊥AC,PA 平面PAC,∴PA⊥平面ABC.又AB 平面ABC,∴PA⊥AB,∴PB==.
11. [解析] 因为E,F分别为棱AA1,BB1的中点,所以EF∥AB且EF=AB=1,又AB⊥平面ADD1A1,所以EF⊥平面ADD1A1,又D1E 平面ADD1A1,所以EF⊥D1E,又D1E==,所以=×1×=.连接B1E,B1D1,则=×××1×1=,设点B1到平面D1EF的距离为d,则由=,得×d=,解得d=,故点B1到平面D1EF的距离为.
12.π [解析] 因为A1B1⊥平面BB1C1C,且A1P=,所以点P的轨迹是圆心为B1,半径r==
=的圆在△BCC1内的部分.取BC1的中点E,连接B1E,则B1E⊥BC1,且B1E=BC1=,设圆弧交BC1于M,N两点,连接B1M,B1N,则sin∠B1ME==×=,所以∠B1ME=,又因为B1M=B1N,所以△B1MN为等边三角形,所以∠MB1N=,故点P的轨迹的长度是r=×=π.
13.解:(1)证明:如图,连接BC1,AD1,
由题意可知,四边形BB1C1C为正方形,则B1C⊥BC1,
因为C1D1⊥平面BCC1B1,B1C 平面BCC1B1,所以B1C⊥C1D1,
又BC1∩C1D1=C1,BC1,C1D1 平面ABC1D1,所以B1C⊥平面ABC1D1,
又BD1 平面ABC1D1,所以BD1⊥B1C.
(2)由题意可知,AB⊥平面ADD1A1,则∠AD1B即为直线BD1与平面ADD1A1所成的角,
因为AB=3,AD1=2,
所以tan∠AD1B==,
故直线BD1与平面ADD1A1所成角的正切值为.
14.证明:(1)∵CD=2AB,E为CD的中点,∴AB=DE,
又AB∥CD,∴四边形ABED为平行四边形,则AD∥BE.
∵AD 平面PAD,BE 平面PAD,
∴BE∥平面PAD.
(2)由AB∥CD,AB⊥AD,得CD⊥AD,
∵平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,CD 平面ABCD,∴CD⊥平面PAD.
∵E,F分别为CD,PC的中点,∴EF∥PD,
又EF 平面PAD,PD 平面PAD,∴EF∥平面PAD.
∵BE∩EF=E,∴平面BEF∥平面PAD,
∴CD⊥平面BEF.
15.解:(1)证明:因为PA=PD,E为AD的中点,
所以PE⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PE 平面PAD,所以PE⊥平面ABCD,
又BC 平面ABCD,所以PE⊥BC.
(2)证明:由(1)知,PE⊥平面ABCD,
又CD 平面ABCD,所以PE⊥CD.
在矩形ABCD中,AD⊥CD,
因为AD∩PE=E,AD,PE 平面PAD,
所以CD⊥平面PAD,
又AP 平面PAD,所以CD⊥AP.
因为PA⊥PD,CD∩PD=D,CD,PD 平面PCD,所以PA⊥平面PCD,
又PA 平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)当M为PC的中点时,DM∥平面PEB.
证明如下:如图,取PB的中点F,连接EF,FM,
因为M为PC的中点,所以FM∥BC,且FM=BC.
在矩形ABCD中,因为E为AD的中点,
所以ED∥BC,且ED=BC,
所以ED∥FM,且ED=FM,
所以四边形EFMD为平行四边形,所以DM∥EF,
又EF 平面PEB,DM 平面PEB,
所以DM∥平面PEB.滚动习题(七) [范围8.5~8.6]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知直线l,m和平面α,则下列说法中正确的是 ( )
A.若l∥m,m α,则l∥α
B.若l⊥α,m α,则l⊥m
C.若l⊥m,l⊥α则m⊥α
D.若l∥α,m α,则l∥m
2.如图所示,平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于点D,E,且AD∶DB=AE∶EC,则BC与α的位置关系是 ( )
A.异面 B.相交
C.平行或相交 D.平行
3.已知l是平面α外的一条直线,给出下列命题:
①在α内存在无数条直线与直线l平行;
②在α内存在无数条直线与直线l垂直;
③在α内存在无数条直线与直线l异面;
④一定存在过直线l且与α垂直的平面β.
其中真命题的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与AB,AD,AA1所成的角都相等,则这样的直线l可以作 ( )
A.1条 B.4条
C.8条 D.12条
5.将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图,在“正双三棱锥”P-ABC-Q中,PA,PB,PC两两互相垂直,则二面角P-AB-Q的余弦值为 ( )
A.- B.-
C.- D.-
6.如图,在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2和G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,则在四面体SEFG中必有 ( )
A.SG⊥△EFG所在平面
B.SD⊥△EFG所在平面
C.GF⊥△SEF所在平面
D.GD⊥△SEF所在平面
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知a,b,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下面条件中能推出a⊥α的是 ( )
A.b α,l α,a⊥b,a⊥l,b∩l=O
B.α∩β=l,α⊥β,a⊥l
C.α⊥β,a∥β
D.l⊥α,a∥l
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是B1C上一个动点,则下列结论正确的是 ( )
A.D1P⊥AC1
B.D1P∥平面A1BD
C.三棱锥A1-DPD1的体积是定值
D.当P从B1移动到C的过程中,直线D1P与平面BCC1B1所成的角先变小后变大
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.已知a,b是两条不同的直线,α是一个平面,给出下列三个论断:①a⊥b;②a⊥α;③b∥α.
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论的真命题为 .
10.如图所示,在三棱锥P-ABC中,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB= .
11.[2024·湖北宜昌高一期中] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点, 则点B1到平面D1EF的距离为 .
12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在三棱锥C1-BCD的侧面C1CB上运动,且A1P=,则点P的轨迹的长度是 .
四、解答题(本大题共3小题,共38分)
13.(10分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=BB1=2.
(1)求证:BD1⊥B1C;
(2)求直线BD1与平面ADD1A1所成角的正切值.
14.(13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,E,F分别是CD,PC的中点.求证:
(1)BE∥平面PAD;
(2)CD⊥平面BEF.
15.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E为AD的中点.
(1)求证:PE⊥BC.
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.
(3)在线段PC上是否存在点M,使得DM∥平面PEB 若存在,求出点M的位置;若不存在,请说明理由.(共32张PPT)
滚动习题（七）范围8.5～8.6
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.已知直线,和平面 ，则下列说法中正确的是( )
A.若， ，则 B.若 , ，则
C.若， 则 D.若 , ，则
[解析] 对于A，若， ，则 或 ，故A错误；
对于B，若 , ，则，故B正确；
对于C，若 ， ,则 或 ，故C错误；
对于D，若 , ，则或与 异面，故D错误.故选B.
√
2.如图所示,平面 与的两边, 分别
交于点,,且,则与 的位
置关系是( )
A.异面 B.相交
C.平行或相交 D.平行
[解析] 在中,因为,所以,又 平面 ,
平面 ,所以平面 .故选D.
√
3.已知是平面 外的一条直线，给出下列命题：
①在 内存在无数条直线与直线 平行；
②在 内存在无数条直线与直线 垂直；
③在 内存在无数条直线与直线 异面；
④一定存在过直线且与 垂直的平面 .
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 当与平面 相交时，在 内不存在直线与直线 平行，故①
是假命题，其余均是真命题.故选C.
√
4.过正方体的顶点作直线，使与，，
所成的角都相等，则这样的直线 可以作( )
A.1条 B.4条 C.8条 D.12条
[解析] 由题意知，正方体的四条体对角线，，， 满
足与，， 所成的角都相等，
其中经过点A的一条体对角线为，再将其余三条体对角线平移到
过点A即可，所以这样的直线 可以作4条.故选B.
√
5.将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何
体称为“正双棱锥”.如图，在“正双三棱锥”
中，,, 两两互相垂直，
则二面角 的余弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取的中点D，连接,,，设 交
平面于点，连接 .
由正棱锥的性质及对称性易知为的中心，
且, ，故即为二面角
的平面角，
设正三棱锥的侧棱长为2，易得 ，,
，则.
在 中，由余弦定理得 .
故选D.
6.如图，在正方形中，，分别是 和
的中点，是的中点，现在沿，及
把这个正方形折成一个四面体，使，， 三点
重合，重合后的点记为，则在四面体 中必有
( )
A.所在平面 B. 所在平面
C.所在平面 D. 所在平面
[解析] 在正方形中，因为， ，所以在
四面体中有，，又，所以
所在平面.故选A.
√
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
7.已知,,是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下面
条件中能推出 的是( )
A. ， ，,,
B., ，
C. ，
D. ，
√
√
[解析] 对于A，可知直线与平面 内两条相交直线垂直，则 ，
故A正确；
对于B，缺少条件 ，所以不能保证 ，故B错误；
对于C，当与两平面的交线不垂直时， 不成立，故C错误；
对于D，因为 ，，所以 ，故D正确.故选 .
8.如图，在正方体中，点是 上一个动点，则
下列结论正确的是( )
A.
B.平面
C.三棱锥 的体积是定值
D.当从移动到的过程中，直线 与平
面 所成的角先变小后变大
√
√
√
[解析] 对于A，如图①所示，连接 ，，
， ,由正方体的性质可得，
平面 ，
因为 平面，所以 ，
又，, 平面，
所以 平面 .
因为 平面，所以 .同理可得.
因为， , 平面，所以 平
面 , 又 平面，所以 ，故A正确.
对于B，如图②所示，连接, ，
易证，，
因为 平面， 平面，
所以 平面.
因为 平面， 平面，
所以平面 ，又,, 平面 ，
所以平面平面，
又 平面，所以平面 ，故B正确.
对于C，如图③所示，设到平面 的距离
为，则 ，
因为 平面，所以，点
是上一个动点，
因为， 平面，
平面 ，所以平面，所以点到平面
的距离为定值，
又 的面积也为定值，所以三棱锥 的体积是定值，
故C正确.
对于D，连接，因为 平面，
所以即为直线 与平面 所成
的角，，
当从 移动到C的过程中， 的长度先变
小后变大， 的长度不变，
所以先变大后变小，故D错误.故选 .
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.已知，是两条不同的直线， 是一个平面，给出下列三个论
断：； ； .
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论的真命题为
_________________________.
若 ， ，则
[解析] 过作平面 ，使得， ， ，
，，又 ， ，， .
10.如图所示,在三棱锥中,侧面 底
面,且 ,,,则
____.
[解析] 平面 平面,平面 平面
, ,即, 平面
, 平面.
又 平面, , .
11.[2024·湖北宜昌高一期中] 在棱长为1的正方体
中，，分别为棱，的中点，则点到平面 的距离为
_ __.
[解析] 因为，分别为棱，的中点，所以 且
，又 平面，所以 平面 ，
又 平面，所以，
又 ，所以.
连接， ，则，
设点到平面的距离为 ，则由，
得，解得，故点 到平面的距离为 .
12.已知正方体的棱长为1，点在三棱锥
的侧面上运动，且，则点 的轨迹的长度是_ ____.
[解析] 因为 平面，且，所以点 的轨迹是
圆心为，半径的圆在 内
的部分.
取的中点，连接，则 ，且，
设圆弧交于，两点，连接, ，则
，所以 ，
又因为，所以为等边三角形，所以，
故点 的轨迹的长度是 .
四、解答题（本大题共3小题，共38分）
13.（10分）如图，在长方体中， ,
.
（1）求证： ；
证明：如图，连接, ，由题意可知，
四边形为正方形，则 ，
因为 平面， 平面
，所以 ，
又，, 平面，
所以 平面 ，
又 平面，所以 .
（2）求直线与平面 所成角的正切值.
解：由题意可知， 平面，
则 即为直线与平面 所成的角，
因为, ，
所以 ，
故直线与平面所成角的正切值为 .
14.（13分）如图，在四棱锥 中，
，，，平面 底面
，，分别是， 的中点.求证：
（1）平面 ；
证明：，为的中点， ，
又， 四边形为平行四边形，则 .
平面， 平面 ，
平面 .
（2） 平面 .
证明： 由，，得 ，
平面 底面，平面 底面
， 平面， 平面 .
,分别为，的中点， ，
又 平面， 平面， 平面 .
， 平面平面 ，
平面 .
15.（15分）如图，在四棱锥中，底面 为矩形，平面
平面，，，为 的中点.
（1）求证： .
证明：因为,为 的中点，
所以 ，
又平面 平面，平面 平
面， 平面，所以 平面 ，
又 平面，所以 .
（2）求证：平面 平面 .
证明：由（1）知， 平面 ，
又 平面，所以 .
在矩形中， ，
因为，, 平面 ,
所以 平面 ，
又 平面，所以 .
因为,，, 平面，所以 平面 ，
又 平面，所以平面 平面 .
（3）在线段上是否存在点，使得平面 若存在，求出
点 的位置；若不存在，请说明理由.
解：当为的中点时，平面 .
证明如下：如图，取的中点，连接, ，
因为为的中点，所以，且 .
在矩形中，因为为 的中点，
所以，且 ，
所以，且 ，
所以四边形为平行四边形，所以 ，
又 平面, 平面 ，
所以平面 .
