(共33张PPT)
滚动习题（五）范围 8.1~8.3
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.若某球的半径为2,则此球的表面积是( )
A. B. C. D.
[解析] 由球的表面积公式得 .故选B.
√
2.下列说法中正确的是( )
A.圆锥的轴截面是等边三角形
B.用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台
C.将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几
何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成的
D.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的
公共边都互相平行的几何体叫棱柱
√
[解析] 圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A错误；
只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱
台，B错误；
将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体
是由一个圆柱和两个圆锥组合而成的，C错误；
由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻
两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，D正确.故选D.
3.水平放置的长方形在平面直角坐标系 中的
位置如图所示.在用斜二测画法画出的直观图中，四边
形 的周长为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
[解析] 根据题意，画出直观图.如图所示.
易得四边形 是边长为2的菱形，且
，故四边形 的周长为8.
故选B.
√
4.[2024·哈尔滨九中高一期中]如图所示，
正六棱柱 的底面
边长是2，若 ，则该正六棱柱的
表面积为( )
A. B.
C. D.
[解析] 连接，因为该正六棱柱的底面边长为2，所以 ，
又，所以 ，故该正六棱柱的表面
积为 .故选C.
√
5.若用平行于圆锥底面的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母
线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为( )
A. B. C. D.
[解析] 设圆锥的底面半径为，母线长为 ，则圆锥的侧面积
，截得的小圆锥的底面半径为，母线长为 ，
其侧面积 ，而圆台的侧面积
，所以 .故选B.
√
6.[2024·浙江宁波镇海中学高一期中]已知球 是棱长为1的正四面体
的外接球，若点是正四面体的表面上的一点，为球
的球面上的一点，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由正四面体的对称性与球的对称性可知球心
在正四面体的高上.
设外接球的半径为， 为外接球球心，为
的中心，设为 的中点，连接，则在上，
且.
连接，则 平面，在上，连接.
易知 ,, ，.
在中， ，即，
解得.
点 是正四面体的表面上的一点，
为球 的球面上的一点，
的最大值即为外接球的直径，
则 的最大值为 .故选D.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
7.[2024·广东六校高一期中]已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，
母线长为 ，则( )
A.圆台的轴截面是底角为 的等腰梯形
B.圆台的侧面积为
C.圆台的体积为
D.若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积
为
√
√
√
[解析] 对于A，因为圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为
，所以圆台的高为 ，易知圆台的轴截面
为等腰梯形，设底角为 ，则，故 ，A正确；
对于B，由圆台的侧面积公式得圆台的侧面积为
，B正确；
对于C，由圆台的体积公式得圆台的体积为
，C错误；
对于D，由题意可知球心在下底面下方，设球心到下底面的距离为 ，
球的半径为，由勾股定理得，解得 ，
则该球的半径，所以该球的表面积 ，D正确.
故选 .
8.阿基米德多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，截角
四面体就是其中的一种，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等
分点截去四个小正四面体得到的.已知一个截角四面体的棱长为2,则
下列说法正确的是( )
A.该截角四面体共有18条棱，12个顶点
B.该截角四面体的表面积为
C.该截角四面体的体积为
D.该截角四面体的外接球半径为
√
√
√
[解析] 如图，每截去一个角，就增加了3条棱，2
个顶点，所以截角四面体的棱数和顶点数分别为
, ，A正确；
截角四面体的表面由4个等边三角形和4个
正六边形构成，所以其表面积为
，B正确；
截角四面体的体积等于棱长为6的正四面体的体
积减去4个棱长为2的正四面体的体积，设是
正六边形的中心，是正三角形 的
中心，连接,, ，则小正四面体的高为
，
大正四面体的高为 ，所以截角四面体的体积 ，C错误；
，
在中， ，
在 中，
，
所以，故，D正确.故选 .
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.[2024·天津北辰区高一期中] 圆锥的轴截面是正三角形，那么它的
侧面积与底面积之比为___.
2
[解析] 设圆锥的底面半径为 ，因为圆锥的轴截面是正三角形，所以
母线长，所以 .
10.在正四棱锥中，底面 的面积为16，一条侧棱的长
为 ，则该棱锥的高为___.
6
[解析] 连接，，且与交于点，连接，则 就是正
四棱锥的高.
底面的面积为16， ，
又，， 正四棱锥
的高为6.
11.[2024·金华一中高一月考] 如图，圆柱形开
口容器（下底密封）的轴截面 是边长为2
的正方形.现有一只蚂蚁从外壁 处出发，沿外
壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到的中点 处，
则它所需经过的最短路程为________.
[解析] 将圆柱的侧面沿， 剪开，并将前
面的一半展开，得到矩形 ，如图，
其中 ,，为 的中点，问题
转化为在上找一点，使最短.
作关于 的对称点，连接，则与
的交点即为要找的点，则的最小值为 ，
故它所需经过的最短路程为 .
12.[2024·广州广雅中学高一期中] 已知圆锥底面圆的直径为2，高为
，在该圆锥内放置一个棱长为 的正四面体，并且正四面体在该
圆锥内可以任意转动，则 的最大值为_ ___.
[解析] 依题意，正四面体可以在圆锥内任意
转动，则当该正四面体的棱长最大时，该正
四面体的外接球即为这个圆锥的内切球.
设圆锥的内切球球心为，半径为 ，圆锥的底面
圆半径为 ，如图，作出轴截面，其中
，圆是 的内切圆， 为切点，连接，
, ，则
，即为正三角形，
故是 的中心，
连接，则平分 ，故
， 则 ，
故.
设半径 的球的内接正四面体的棱长为 ，
将正四面体放到正方体中，如图.
由图可知，当正四面体的棱长为时，
该正方体的棱长为 ，
又正四面体的四个顶点都是正方体的顶点，
所以正四面体的外接球即为该正方体的外
接球，所以 ，
故，所以的最大值为 .
四、解答题（本大题共3小题，共38分）
13.（10分）如图，该几何体上半部分是母线长为5，底面半径为3的
圆锥，下半部分是上底面半径为2，母线长为2的圆台，计算该几何
体的表面积和体积.
解：圆锥的侧面积 ，圆台的侧
面积 ，圆台的上底面面积
，所以该几何体的表面积
.
根据题意得，圆锥的高为，圆台的高为
,则圆锥的体积 ，
圆台的体积 ，
所以该几何体的体积 .
14.（13分）如图，在直三棱柱 中，
底面是以角 为直角的等腰直角三角形，且
腰长为2，为的中点，三棱柱的体积为 .
（1）求三棱柱的外接球的表面积和体积；
解：由三棱柱 的体积
，可得 .
设三棱柱的外接球的半径为 ，则
，可得 ，
所以外接球的表面积为 ，体积为.
（2）求三棱锥 的体积.
解：方法一：
.
方法二： .
15.（15分）如图，在圆锥中，过高上一点 作平行于底面的
截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，圆柱的另一个底面的圆心与
重合，称该圆柱为圆锥的内接圆柱.
（1）若底面直径和高均为的圆锥有一个底面半径为 ，高为
的内接圆柱.
①求与 的关系式；
解：如图，记与圆柱的上底面交于点 ，
连接，，则 ，
则，即 ，整理可得
，
所以与的关系式为 .
②求内接圆柱侧面积的最大值.
解：由①知， ，当且仅当
,时取等号，则 ，
故内接圆柱的侧面积 ，
所以当， 时，内接圆柱的侧面积取得
最大值，最大值为 .
（2）若圆锥的高为 ，底面直径为
，一只蚂蚁从底面圆周上的 点出发绕
着圆锥侧面爬行一周回到 点，求蚂蚁爬行
的最短距离.
解： 由圆锥的高为 ，底面直径为
，得圆锥的母线长
.
把圆锥的侧面沿母线 剪开并展开在平面
内，得如图所示的扇形，连接，则 即
为蚂蚁爬行的最短矩离，
显然弧的长为 ，故
.
在中，, ，则
，
所以蚂蚁爬行的最短距离是 .滚动习题(五)
1.B [解析] 由球的表面积公式得S表=4π×22=16π.故选B.
2.D [解析] 圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形,A错误;只有用一个平行于底面的平面去截棱锥,才能得到一个棱锥和一个棱台,B错误;将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周,所得几何体是由一个圆柱和两个圆锥组合而成的,C错误;由棱柱的定义得,有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱,D正确.故选D.
3.B [解析] 根据题意,画出直观图.如图所示.易得四边形O'A'B'C'是边长为2的菱形,且∠C'O'A'=45°,故四边形O'A'B'C'的周长为8.故选B.
4.C [解析] 连接B1E1,因为该正六棱柱的底面边长为2,所以B1E1=4,又BE1=2,所以BB1==2,故该正六棱柱的表面积为2×6××2×2×sin+6×2×2=12+24.故选C.
5.B [解析] 设圆锥的底面半径为r,母线长为2l,则圆锥的侧面积S=×2πr×2l=2πrl,截得的小圆锥的底面半径为,母线长为l,其侧面积S1=×πr×l=πrl,而圆台的侧面积S2=S-S1=2πrl-πrl=πrl,所以==.故选B.
6.D [解析] 由正四面体的对称性与球的对称性可知球心在正四面体的高上.设外接球的半径为R,O为外接球球心,G为△BCD的中心,设E为BD的中点,连接CE,则G在CE上,且CG=2EG.连接AG,则AG⊥平面BCD,O在AG上,连接OC.易知CE=,CG=CE=,∴AG==,∴OG=-R.在Rt△OCG中,OC2=OG2+CG2,即R2=+,解得R=.∵点P是正四面体ABCD的表面上的一点,Q为球O的球面上的一点,∴PQ的最大值即为外接球的直径,则PQ的最大值为2R=2×=.故选D.
7.ABD [解析] 对于A,因为圆台的上、下底面半径分别为1和3,母线长为2,所以圆台的高为=2,易知圆台的轴截面为等腰梯形,设底角为θ,则tan θ==1,故θ=45°,A正确;对于B,由圆台的侧面积公式得圆台的侧面积为π×(1+3)×2=8π,B正确;对于C,由圆台的体积公式得圆台的体积为π(12+1×3+32)×2=π,C错误;对于D,由题意可知球心在下底面下方,设球心到下底面的距离为d,球的半径为R,由勾股定理得9+d2=1+(2+d)2=R2,解得d=1,则该球的半径R=,所以该球的表面积S=4πR2=40π,D正确.故选ABD.
8.ABD [解析] 如图,每截去一个角,就增加了3条棱,2个顶点,所以截角四面体的棱数和顶点数分别为6+3×4=18,4+2×4=12,A正确;截角四面体的表面由4个等边三角形和4个正六边形构成,所以其表面积为4××4+6××4×4=28,B正确;截角四面体的体积等于棱长为6的正四面体的体积减去4个棱长为2的正四面体的体积,设O1是正六边形ABCDEF的中心,O2是正三角形MNG的中心,连接PO2,PO1,GO2,则小正四面体的高为PO2===,大正四面体的高为PO1=3PO2=2,所以截角四面体的体积V=××36×2-4×××4×=,C错误;易知截角四面体的外接球的球心O在大正四面体的高上,连接OA,OG,O1A,设球O的半径为R,在Rt△OO1A中,R2=4+O,在Rt△OO2G中,R2=O2G2+=+,所以OO1=,故R=,D正确.故选ABD.
9.2 [解析] 设圆锥的底面半径为r,因为圆锥的轴截面是正三角形,所以母线长l=2r,所以===2.
10.6 [解析] 连接AC,BD,且AC与BD交于点O,连接VO,则VO就是正四棱锥V-ABCD的高.∵底面ABCD的面积为16,∴AO=2,又VA=2,∴VO===6,∴正四棱锥V-ABCD的高为6.
11. [解析] 将圆柱的侧面沿AD,BC剪开,并将前面的一半展开,得到矩形ABCD,如图,其中AB=π,AD=2,P为BC的中点,问题转化为在CD上找一点Q,使AQ+PQ最短.作P关于CD的对称点E,连接AE,则AE与CD的交点即为要找的点Q,则AQ+PQ的最小值为AE=,故它所需经过的最短路程为.
12. [解析] 依题意,正四面体可以在圆锥内任意转动,则当该正四面体的棱长最大时,该正四面体的外接球即为这个圆锥的内切球.设圆锥的内切球球心为P,半径为r,圆锥的底面圆半径为R=1,如图,作出轴截面,其中SA=SB,圆P是△SAB的内切圆,
O为切点,连接SO,OA=OB=R=1,SO=,则SA=SB==2,即△SAB为正三角形,故P是△SAB的中心,连接BP,则BP平分∠SBA,故∠PBO=30°,则tan 30°=,故r=R=×1=.设半径r=的球的内接正四面体的棱长为m,将正四面体放到正方体中,如图.由图可知,当正四面体的棱长为m时,该正方体的棱长为m,又正四面体的四个顶点都是正方体的顶点,所以正四面体的外接球即为该正方体的外接球,所以2r=×m=m,故m==,所以a的最大值为m=.
13.解:圆锥的侧面积S1=π×3×5=15π,圆台的侧面积S2=π×(3+2)×2=10π,圆台的上底面面积S底=π×22=4π,所以该几何体的表面积S=S1+S2+S底=15π+10π+4π=29π.根据题意得,圆锥的高为=4,圆台的高为=,则圆锥的体积V1=×π×32×4=12π,圆台的体积V2=×π××(32+2×3+22)=π,所以该几何体的体积V=V1+V2=12π+π.
14.解:(1)由三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC·BB1=2BB1=4,可得BB1=2.设三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径为R,则2R==4,可得R=2,所以外接球的表面积为4π×22=16π,体积为π×23=π.
(2)方法一:=---=
4-×1×2-×1×2-×2×2=.
方法二:==·AB=××2×2×2=.
15.解:(1)①如图,记PA与圆柱的上底面交于点C,连接O1C,OA,则O1C∥OA,
则=,即=,整理可得2R+H=6,
所以R与H的关系式为2R+H=6.
②由①知,6=2R+H≥2,当且仅当R=,H=3时取等号,则R·H≤,
故内接圆柱的侧面积S=2πR·H≤2π×=9π,
所以当R=,H=3时,内接圆柱的侧面积取得最大值,最大值为9π cm2.
(2)由圆锥的高为6 cm,底面直径为6 cm,得圆锥的母线长PA==9(cm).
把圆锥的侧面沿母线PA剪开并展开在平面内,得如图所示的扇形,连接AA',则AA'即为蚂蚁爬行的最短矩离,
显然弧AA'的长为2π×3=6π(cm),故∠APA'==.
在△PAA'中,PA=PA'=9 cm,∠PAA'==,则AA'=2PA·cos=9(cm),
所以蚂蚁爬行的最短距离是9 cm.滚动习题(五)[范围8.1~8.3]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.若某球的半径为2,则此球的表面积是 ( )
A.12π B.16π C. D.
2.下列说法中正确的是 ( )
A.圆锥的轴截面是等边三角形
B.用一个平面去截棱锥,一定会得到一个棱锥和一个棱台
C.将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周,所得几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成的
D.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
3.水平放置的长方形OABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示.在用斜二测画法画出的直观图中,四边形O'A'B'C'的周长为 ( )
A.6 B.8
C.10 D.12
4.[2024·哈尔滨九中高一期中] 如图所示,正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长是2,若BE1=2,则该正六棱柱的表面积为 ( )
A.3+24 B.12+16
C.12+24 D.3+24
5.若用平行于圆锥底面的平面去截该圆锥,得到的小圆锥与圆台的母线长相等,则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为 ( )
A. B. C. D.
6.[2024·浙江宁波镇海中学高一期中] 已知球O是棱长为1的正四面体ABCD的外接球,若点P是正四面体ABCD的表面上的一点,Q为球O的球面上的一点,则PQ的最大值为 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2024·广东六校高一期中] 已知圆台的上、下底面半径分别为1和3,母线长为2,则 ( )
A.圆台的轴截面是底角为45°的等腰梯形
B.圆台的侧面积为8π
C.圆台的体积为π
D.若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上,则该球的表面积为40π
8.阿基米德多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体,截角四面体就是其中的一种,它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体得到的.已知一个截角四面体的棱长为2,则下列说法正确的是 ( )
A.该截角四面体共有18条棱,12个顶点
B.该截角四面体的表面积为28
C.该截角四面体的体积为15
D.该截角四面体的外接球半径为
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.[2024·天津北辰区高一期中] 圆锥的轴截面是正三角形,那么它的侧面积与底面积之比为 .
10.在正四棱锥V-ABCD中,底面ABCD的面积为16,一条侧棱的长为2,则该棱锥的高为 .
11.[2024·金华一中高一月考] 如图,圆柱形开口容器(下底密封)的轴截面ABCD是边长为2的正方形.现有一只蚂蚁从外壁A处出发,沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到BC的中点P处,则它所需经过的最短路程为 .
12.[2024·广州广雅中学高一期中] 已知圆锥底面圆的直径为2,高为,在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体,并且正四面体在该圆锥内可以任意转动,则a的最大值为 .
四、解答题(本大题共3小题,共38分)
13.(10分)如图,该几何体上半部分是母线长为5,底面半径为3的圆锥,下半部分是上底面半径为2,母线长为2的圆台,计算该几何体的表面积和体积.
14.(13分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是以角B为直角的等腰直角三角形,且腰长为2,D为BC的中点,三棱柱的体积为4.
(1)求三棱柱的外接球的表面积和体积;
(2)求三棱锥B1-ADC1的体积.
15. (15分)如图,在圆锥PO中,过高PO上一点O1作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,圆柱的另一个底面的圆心与O重合,称该圆柱为圆锥的内接圆柱.
(1)若底面直径和高均为6 cm的圆锥PO有一个底面半径为R,高为H的内接圆柱.
①求R与H的关系式;
②求内接圆柱侧面积的最大值.
(2)若圆锥PO的高为6 cm,底面直径为6 cm,一只蚂蚁从底面圆周上的A点出发绕着圆锥侧面爬行一周回到A点,求蚂蚁爬行的最短距离.
