微突破 空间几何体与球外接、内切问题
【知识综述】
知识点
(1)①球心 ②半径
【典型例题】
题型一
例1 (1)24 (2)6π [解析] (1)记该正方体的棱长为a,外接球半径为R,则=36π,解得R=3.因为正方体的体对角线长即为外接球的直径,所以(2R)2=3a2=36,可得a=2,所以该正方体的体积为a3=(2)3=24.
(2)由题意知,长方体的体对角线长即为这个球的直径,即2r==,故这个球的表面积是4πr2=π(2r)2=6π.
题型二
例2 4π [解析] 如图,取AC的中点O,连接OB,OD,则OA=OB=OC=OD,∴该球的半径R=OA=AC=×=1,故该球的表面积S=4πR2=4π.
题型三
例3 A [解析] 因为正三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,所以可将正三棱锥P-ABC放到如图所示的棱长为a的正方体中,则该正三棱锥的外接球即为该正方体的外接球,该正方体的外接球的半径R==,所以所求外接球的表面积S=4πR2=4π×=3a2π.故选A.
变式 8π [解析] 将三棱锥S-ABC放入长方体中,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,如图所示,则则a2+b2+c2=8.因为球O的直径即为长方体的体对角线长,所以球O的半径为=,所以球O的表面积是4π×()2=8π.
题型四
例4 100π [解析] 如图,设△A1B1C1与△ABC的外心分别为O1,O2,连接O1O2,AO2,则线段O1O2的中点O为外接球的球心,连接OA.设△ABC外接圆的半径与该三棱柱外接球的半径分别为r,R,则OA=R,由正弦定理知=2r,解得r=3,在Rt△OO2A中,可得R==5,故三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积S=4πR2=100π.
变式 96π [解析] 设球O的半径为R,圆柱的底面半径为r,由题意可得解得所以圆柱的体积为6×πr2=96π.
题型五
例5 40 [解析] 设该圆锥的轴截面为等边三角形SAB,如图所示.设该圆锥内切球O的半径为r,连接SO并延长,交AB于H,连接AO,设AH=x,在Rt△AHO中,∠OAH=30°,所以r=OH=x,又SH=x,所以V圆锥=×π·x2·x=·x3,V球=·r3=×·x3=x3.设球形配件的重量为m克,则==,解得m=40.
变式 C [解析] 设正三棱柱底面正三角形的边长为a,则正三棱柱的内切球半径等于底面正三角形的内切圆半径,则内切球的半径r=a,所以正三棱柱的高h=2r=a.设底面正三角形的外接圆半径为r1,易得r1=a,所以正三棱柱外接球的半径R===a.故正三棱柱的外接球与内切球的体积之比为π×∶π×=5∶1.故选C.微突破 空间几何体与球外接、内切问题
1.A [解析] 由已知得长方体的体对角线长为l==2,所以外接球的半径R==,故外接球的表面积S=4πR2=24π,故选A.
2.B [解析] 依题意可得该圆柱的底面半径为1,高为2,易得该圆柱的内切球的半径为1,则该圆柱的内切球的体积为π×13=π.故选B.
3.C [解析] 圆锥与其内切球的轴截面如图所示,其中O1为内切球球心,D,O分别为内切球与侧面、底面的交点,由已知得O1D=1,SO1=2,可知∠O1SD=30°,所以圆锥的轴截面为正三角形.因为SO=3,所以圆锥底面圆的半径AO=SO·tan 30°=,母线SA==2,则圆锥的表面积为π×()2+π××2=9π.故选C.
4.B [解析] 如图,设O是AB的中点,连接OC,OD,因为∠ACB=∠ADB=90°,所以OA=OB=OC=OD,所以O是四面体ABCD外接球的球心,故外接球的半径为OA=OB=OC=OD=AB=1,所以外接球的表面积为4π×12=4π.故选B.
5.D [解析] 由题意知正三角形ABC的边长为6,其内切圆的半径r=<2,所以正三棱柱ABC-A1B1C1内的球的半径的最大值为,则V的最大值为πr3=4π,故选D.
6.B [解析] 设球O的半径为R,∵球O的体积为π,∴=π,解得R=.∵AB=AC=1,BC=,∴cos∠CAB===-,∴∠CAB=,∴S△ABC=×12×sin=,△ABC外接圆的半径r满足2r===2,解得r=1.设球心O到底面的距离为h,则h==2,∴这个直三棱柱的体积V=2h·S△ABC=2×2×=.故选B.
7.AD [解析] 由截面图可以看出,圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍,所以R=3r.圆柱的高等于球形巧克力的直径,即h=2r,则V1=,V2=πR2h=π·(3r)2·2r=18πr3,所以2V2=27V1.故选AD.
8.BCD [解析] 因为该正方体的棱长为,所以其体积为()3=5,表面积为6×()2=30,A错误,C正确.该正方体的内切球的直径为,所以内切球的体积为π×=π,B正确.该正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长,即为×=,所以外接球的表面积为4π×=15π,D正确.故选BCD.
9.ABC [解析] 由题可知,该多面体是棱长均为2的正八面体,如图所示,其中四棱锥A-BCDE和四棱锥F-BCDE均为正四棱锥,连接BD,CE,交于点O,连接AO,则AO为正四棱锥A-BCDE的高,易知BD=CE=2,AO==,∴该多面体的体积V=2V四棱锥A-BCDE=2××S四边形BCDE×AO=2××2×2×=,该多面体的表面积S=8S△ABC=8××2×2×=8,故A正确,D错误.由题易知,该多面体的外接球的半径为,内切球的半径为,故该多面体的外接球的表面积为8π,内切球的体积为,故B,C正确,故选ABC.
10.61π [解析] 设圆台的上底面半径为r,下底面半径为R,则R=5,r=4.由题意可知,圆台的下底面为球的大圆,所以圆台的高h==3,所以其体积V=πh(R2+r2+Rr)=π×3×(52+42+5×4)=61π.
11.17π [解析] 四棱锥D1-ABCD的外接球即为长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球,因为AB=BC=2,AA1=3,所以长方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线长为=,则长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的半径R=,所以“阳马”D1-ABCD的外接球的表面积S=4πR2=4π×=17π.
12.π [解析] 设△ABC的外接圆圆心为O1,半径为r,直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心为O,半径为R.取AC的中点D,连接BD,OO1,O1A,OA,可知O1∈BD,O1A=r,OA=R,OO1=AA1=2且OO1∥AA1.因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC,则BD==,sin∠BAC==,可得r==,故R2=r2+O=,所以直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的表面积S=4πR2=π.
13.解:由题可知PA=PB=PC,又PA,PB,PC两两垂直,
∴此正三棱锥的外接球即为以PA,PB,PC为三条棱的正方体的外接球O.
∵球O的半径为,∴正方体的棱长为2,即PA=PB=PC=2,球心O到截面ABC的距离即为正方体的中心到截面ABC的距离.
设P到截面ABC的距离为h,则正三棱锥P-ABC的体积V=S△ABC×h=S△PAB×PC=××2×2×2=,又△ABC是边长为2的正三角形,
∴S△ABC=×(2)2=2,∴h==,
∴球心O到截面ABC的距离为-=.
14.解:如图,设底面△ABC的中心为O',连接PO',BO',则球心O在直线PO'上.
在正三角形ABC中,易知BO'=×3=.
在Rt△PO'B中,因为PB=2,BO'=,所以由勾股定理可得PO'==1,则O在PO'的延长线上,连接OB.设球的半径为R,则OP=OB=R,OO'=R-1.
在Rt△OO'B中,由勾股定理可得O'B2+OO'2=OB2,即()2+(R-1)2=R2,解得R=2,
所以该球的表面积S=4πR2=16π.
15.B [解析] 如图,作出轴截面.将第一个球O1靠近该圆柱右侧放置,球O1上的点到该圆柱底面的最大距离为2,将第二个球O2靠近圆柱左侧放置,O1与O2相切,过点O1作O1A垂直于该圆柱的母线,垂足为A,过点O2作O2B垂直于圆柱底面,垂足为B,设O1A∩O2B=C,则AC=BC=1,CO1=1,CO2==,则球O2上的点到该圆柱底面的最大距离为2+,将第三个球O3靠近该圆柱右侧放置,O2与O3相切,同理可得球O3上的点到该圆柱底面的最大距离为2+2,由此规律可得,每多放一个球,最上面的球上的点到该圆柱底面的最大距离增加.因为10+2<20<11+2,所以最多能装下小球的个数为11.故选B.
16.解:要使半球形容器内壁的半径最小,只需保证四个小球球心构成正方形,
相邻的两个小球相切,且四个小球与半球形的容器内壁都相切.如图所示,
O为半球的球心,A为其中一个小球的球心,连接OA,则OA是棱长为2的正方体的体对角线,且该小球与半球形容器内壁的切点与O,A共线,所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与OA长度之和,即2+2.微突破 空间几何体与球外接、内切问题
【知识综述】
一、解决与球有关的外接、内切问题的关键
(1)确定 的位置.
(2)构造直角三角形,确定球的 .
即球心定位置,半径定大小.
二、球与多面体
(1)多面体的外接球:多面体的顶点均在球面上;球心到各个顶点的距离相等.
(2)多面体的内切球:多面体的各面均与球面相切;球心到各面的距离相等.
三、球与旋转体
(1)旋转体的外接球:旋转体的顶点在球面上;底面为球的截面;球心在旋转轴上.
(2)旋转体的内切球:旋转体的各面均与球面相切;球心在旋转轴上.
◆ 题型一 长(正)方体与外接球
例1 (1)已知一个正方体的外接球的体积为36π,则该正方体的体积为 .
(2)长方体的所有顶点都在一个球面上,且该长方体的长、宽、高分别为2,1,1,那么这个球的表面积是 .
◆ 题型二 直接法
例2 已知矩形ABCD的两邻边长分别为1,,沿对角线AC折起,使四个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为 .
◆ 题型三 构造补型法
例3 已知正三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,则其外接球的表面积为 ( )
A.3a2π B.a2π C.12a2π D.4a2π
变式 已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球O的球面上,且SA=BC=2,SB=AC=,SC=AB=,则球O的表面积是 .
◆ 题型四 截面法
例4 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知BC=3,AA1=8,∠BAC=30°,则该三棱柱外接球的表面积为 .
变式 已知球O的表面积为100π,某个高为6的圆柱的上、下底面圆周都在此球面上,则此圆柱的体积为 .
◆ 题型五 内切球
例5 [2024·福建福州一中高一期中] 如图为一个圆锥形的金属配件,重90克,其轴截面是一个等边三角形,现将其打磨成一个体积最大的球形配件,则该球形配件的重量为 克.
变式 若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球的体积之比为 ( )
A.3∶1 B.5∶1
C.5∶1 D.6∶1微突破 空间几何体与球外接、内切问题
一、选择题
1.若长方体的长、宽、高分别为2,2,4,则长方体外接球的表面积为 ( )
A.24π B.2π
C.48π D.4π
2.[2024·河南开封高一期中] 已知某圆柱的轴截面是面积为4的正方形,则该圆柱的内切球的体积为 ( )
A.32π B.π
C.4π D.π
3.已知圆锥的高为3,若该圆锥的内切球的半径为1,则该圆锥的表面积为 ( )
A.6π B.6π
C.9π D.12π
4.如图,在四面体ABCD中,∠ACB=∠ADB=90°,AB=2,则四面体ABCD外接球的表面积为 ( )
A.2π B.4π
C.8π D.
5.在正三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB=6,AA1=4,则V的最大值是 ( )
A.16π B.
C.12π D.4π
6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在球O的球面上,且AB=AC=1,BC=.若球O的体积为π,则这个直三棱柱的体积等于( )
A. B.
C.2 D.
7.(多选题)某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒,每盒可装7个球形巧克力,每盒只装一层,相邻的球形巧克力相切,与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切,如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面.设包装盒的底面半径为R,球形巧克力的半径为r,每个球形巧克力的体积为V1,包装盒的体积为V2,则 ( )
A.R=3r B.R=6r
C.V2=9V1 D.2V2=27V1
8.(多选题) 若某正方体的棱长为,则 ( )
A.该正方体的体积为5
B.该正方体的内切球的体积为π
C.该正方体的表面积为30
D.该正方体的外接球的表面积为15π
9.(多选题)已知某多面体的平面展开图如图所示,每个面都是边长为2的正三角形,则下列结论正确的是 ( )
A.该多面体的体积为
B.该多面体的外接球的表面积为8π
C.该多面体的内切球的体积为
D.该多面体的表面积为8
二、填空题
10.若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为 .
11.我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BC=2,AA1=3,则“阳马”D1-ABCD的外接球的表面积为 .
12.[2024·浙南名校联盟高一期中] 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1=4,AB=BC=3,AC=4,则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的表面积为 .
三、解答题
13.在正三棱锥P-ABC中,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两垂直,求球心到截面ABC的距离.
14.已知正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为2,且顶点都在同一球面上,求该球的表面积.
15.用一个内底面直径为3,高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小球,最多能装下小球的个数为 ( )
A.10 B.11
C.12 D.13
16.[2024·浙江绍兴高一期中] 请你在桌面上放置四个半径都是2的玻璃小球,并用一个半球形的容器罩住这四个小球,求这个容器的内壁半径的最小值.(共50张PPT)
微突破 空间几何体与球外接、内切
问题
【知识综述】
一、解决与球有关的外接、内切问题的关键
（1）确定______的位置.
（2）构造直角三角形，确定球的______.即球心定位置，半径定大小.
球心
半径
二、球与多面体
（1）多面体的外接球：多面体的顶点均在球面上；球心到各个顶点
的距离相等.
（2）多面体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心到各面的
距离相等.
三、球与旋转体
（1）旋转体的外接球：旋转体的顶点在球面上；底面为球的截面；
球心在旋转轴上.
（2）旋转体的内切球：旋转体的各面均与球面相切；球心在旋转轴上.
题型一 长（正）方体与外接球
例1（1） 已知一个正方体的外接球的体积为 ，则该正方体的体
积为______.
[解析] 记该正方体的棱长为，外接球半径为，则 ，解
得 .
因为正方体的体对角线长即为外接球的直径，所以，
可得 ，所以该正方体的体积为 .
（2）长方体的所有顶点都在一个球面上，且该长方体的长、宽、高
分别为2，1，1，那么这个球的表面积是____.
[解析] 由题意知，长方体的体对角线长即为这个球的直径，即
，故这个球的表面积是
.
题型二 直接法
例2 已知矩形的两邻边长分别为1，，沿对角线 折起，使
四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为____.
[解析] 如图，取的中点，连接， ，
则， 该球的半径
，故该球的
表面积 .
题型三 构造补型法
例3 已知正三棱锥的侧棱，， 两两互相垂直，且
，则其外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为正三棱锥的侧棱 ，
，两两互相垂直，且 ，
所以可将正三棱锥 放到如图所示的棱
长为 的正方体中，
则该正三棱锥的外接球即为该正方体的外接球，
该正方体的外接球的半径 ，所以所求外接球的表
面积 .故选A.
变式 已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上，且
，，，则球 的表面积是
____.
[解析] 将三棱锥 放入长方体中，设
长方体的长、宽、高分别为,, ，如图所示，
则则.
因为球 的直径即为长方体的体对角线长，所以球的半径为
，所以球 的表面积是 .
题型四 截面法
例4 在直三棱柱中，已知， ，
，则该三棱柱外接球的表面积为______.
[解析] 如图，设与 的外心分别
为，，连接，，则线段 的中点
为外接球的球心，连接.
设 外接圆的半径与该三棱柱外接球的半径分
别为， ，则，
由正弦定理知，解得 ，
在中，可得 ，
故三棱柱 外接球的表面积 .
变式 已知球的表面积为 ，某个高为6的圆柱的上、下底面圆
周都在此球面上，则此圆柱的体积为_____.
[解析] 设球的半径为，圆柱的底面半径为 ，由题意可得
解得所以圆柱的体积为 .
题型五 内切球
例5 [2024·福建福州一中高一期中] 如图为一个圆锥形的金属配件，
重90克，其轴截面是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大
的球形配件，则该球形配件的重量为____克.
40
[解析] 设该圆锥的轴截面为等边三角形 ，如图所示.
设该圆锥内切球的半径为 ，连接并延长，
交于，连接，设 ，
在中， ，所以
,
又 ，所以 ,
.
设球形配件的重量为克，则 ，解得 .
变式 若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球
的体积之比为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设正三棱柱底面正三角形的边长为 ，则正三棱柱的内切球
半径等于底面正三角形的内切圆半径，则内切球的半径 ，所
以正三棱柱的高.
设底面正三角形的外接圆半径为 ，易得 ，所以正三棱柱外
接球的半径 .
故正三棱柱的外接球与内切球的体积之比为
.故选C.
练习册
一、选择题
1.若长方体的长、宽、高分别为2,2,4，则长方体外接球的表面积为
( )
A. B. C. D.
[解析] 由已知得长方体的体对角线长为 ，
所以外接球的半径，故外接球的表面积 ，
故选A.
√
2.[2024·河南开封高一期中]已知某圆柱的轴截面是面积为4的正方形，
则该圆柱的内切球的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意可得该圆柱的底面半径为1，高为2，易得该圆柱的内
切球的半径为1，则该圆柱的内切球的体积为 .故选B.
√
3.已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表面
积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 圆锥与其内切球的轴截面如图所示，
其中为内切球球心，D, 分别为内切球与
侧面、底面的交点，
由已知得 , ，可知
，所以圆锥的轴截面为正三角形.
因为 ，所以圆锥底面圆的半径 ，
母线 ，
则圆锥的表面积为 .故选C.
4.如图，在四面体 中，
， ，则四面体
外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，设是的中点，连接， ，
因为 ，
所以，
所以是四面体 外接球的球心，
故外接球的半径为 ，
所以外接球的表面积为 .故选B.
5.在正三棱柱内有一个体积为的球.若 ,
,则 的最大值是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知正三角形 的边长为6,其内切圆的半径
, , 所以正三棱柱内的球的半径的最大值为 ,
则的最大值为 ,故选D.
√
6.已知直三棱柱的各顶点都在球 的球面上，且
，.若球的体积为 ，则这个直三棱柱的
体积等于( )
A. B. C.2 D.
√
[解析] 设球的半径为， 球的体积为 ， ，
解得.
， ，
， ，，外接圆
的半径 满足，解得.
设球心到底面的距离为 ，则， 这个直三棱柱的
体积 .故选B.
7.（多选题）某球形巧克力设计了一种圆柱
形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒
只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装
盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧
面及上下底面都相切，如图是平行于底面且
过圆柱母线中点的截面.设包装盒的底面半径
A. B. C. D.
为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为 ，包装盒的
体积为 ，则 ( )
√
√
[解析] 由截面图可以看出，圆柱的底面直径
是球形巧克力直径的3倍，所以 .
圆柱的高等于球形巧克力的直径，即 ，
则 ，
，所以
.故选 .
8.（多选题） 若某正方体的棱长为 ，则( )
A.该正方体的体积为5
B.该正方体的内切球的体积为
C.该正方体的表面积为30
D.该正方体的外接球的表面积为
√
√
√
[解析] 因为该正方体的棱长为，所以其体积为 ，表
面积为 ，A错误，C正确.
该正方体的内切球的直径为，所以内切球的体积为
，B正确.
该正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即为
，所以外接球的表面积为 ，D正确.故选 .
9.（多选题）已知某多面体的平面展开图如图所示,每个面都是边长
为2的正三角形,则下列结论正确的是( )
A.该多面体的体积为
B.该多面体的外接球的表面积为
C.该多面体的内切球的体积为
D.该多面体的表面积为8
√
√
√
[解析] 由题可知,该多面体是棱长均为2的正
八面体,如图所示,
其中四棱锥 和四棱锥均
为正四棱锥,连接, ,交于点,连接,则
为正四棱锥 的高,
易知 , , 该多面体的体积 , 该多面体的表面积 ,故A正确,D错误.
由题易知,该多面体的外接球的半径为,
内切球的半径为 ,故该多面体的外接球的表面积为 ,内切球的体积为 ,故B,C正确,故选 .
二、填空题
10.若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下
底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为_____.
[解析] 设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则， .
由题意可知，圆台的下底面为球的大圆，所以圆台的高
，所以其体积
.
11.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形
且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所
示，在长方体 中，已知
，，则“阳马” 的外接
球的表面积为_____.
[解析] 四棱锥 的外接球即为长方体
的外接球，
因为 ，，
所以长方体 的体对角线
长为 ，
则长方体的外接球的半径 ，
所以“阳马” 的外接球的表面积 .
12.[2024·浙南名校联盟高一期中] 已知直三棱柱 中，
侧棱，，，则直三棱柱 的
外接球的表面积为______.
[解析] 设的外接圆圆心为，半径为 ，直三
棱柱的外接球的球心为，半径为 .
取的中点，连接，，， ，可知
，，， 且
.
因为，为的中点，所以 ，则
，，可得 ，
故，
所以直三棱柱 的外接球的表面积 .
三、解答题
13.在正三棱锥中,点,,,都在半径为的球面上,若 ,
,两两垂直,求球心到截面 的距离.
解：由题可知,又,, 两两垂直,
此正三棱锥的外接球即为以,, 为三条棱的正方体的外接球
.
球的半径为, 正方体的棱长为2,即,球心
到截面的距离即为正方体的中心到截面 的距离.
设到截面的距离为,则正三棱锥 的体积
,
, ,
球心到截面的距离为 .
14.已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，且顶点都在同一球面
上，求该球的表面积.
解：如图，设底面的中心为 ，连接
，，则球心在直线 上.
在正三角形中，易知 .
在中，因为， ，所
以由勾股定理可得 ，则
在的延长线上，连接.
设球的半径为，则 ， .
在 中，由勾股定理可得
，即
，解得 ，
所以该球的表面积 .
15.用一个内底面直径为3，高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小
球，最多能装下小球的个数为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
√
[解析] 如图，作出轴截面.
将第一个球 靠近该圆柱右侧放置，球 上的点到
该圆柱底面的最大距离为2，
将第二个球靠近圆柱左侧放置，与 相切，过
点作垂直于该圆柱的母线，垂足为A,
过点 作垂直于圆柱底面，垂足为B,
设 ,
则,, ，
则球上的点到该圆柱底面的最大距离为 ，
将第三个球靠近该圆柱右侧放置，与 相切，
同理可得球 上的点到该圆柱底面的最大距离为
，
由此规律可得，每多放一个球，最上面的球上的点
到该圆柱底面的最大距离增加 .
因为 ，
所以最多能装下小球的个数为11.故选B.
16.[2024·浙江绍兴高一期中] 请你在桌面上放置四个半径都是2的玻
璃小球，并用一个半球形的容器罩住这四个小球，求这个容器的内
壁半径的最小值.
解：要使半球形容器内壁的半径最小，只需保
证四个小球球心构成正方形，相邻的两个小球
相切，且四个小球与半球形的容器内壁都相切.
如图所示，为半球的球心，为其中一个小球的球心，连接，则
是棱长为2的正方体的体对角线，且该小球与半球形容器内壁的切点与
,共线，所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与 长度之
和，即 .
