第三章 指数函数和对数函数章末归纳提升 教案

第三章
指数和对数函数
章末归纳提升
教案
(见学生用书第60页)
指数函数和对数函数　　互为反函数指数函数指数分数
指数幂a＝a－＝正整数
指数幂an(a＞0，a≠1，n∈N＋)无理
指数幂an(a＞0，n是无理数)是实数运算性质aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)性质定义域R图像解析式y＝ax(a＞0，a≠1)值域(0，＋∞)单调性a＞1时为增函数；0＜a＜1时为减函数奇偶性非奇非偶函数定点(0,1)对数函数对数定义若ax＝N，x叫作以a为底N的对数(a＞0，a≠1)运算性质(a>0，
a≠1，M>0，N>0)loga(M·N)＝logaM＋logaN负数和零没有对数，loga1＝0，logaa＝1loga＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)性质定义域(0，＋∞)图像解析式y＝logax(a＞0，a≠1)值域R单调性a＞1时为增函数；0＜a＜1时为减函数奇偶性非奇非偶函数定点(1,0)不同增长的
函数模型y＝xn(n＞0)增长较快y＝logax(a＞1)增长越来越慢y＝ax(a＞1)爆炸式增长
专题1
指数、对数的运算
1.指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要问题类型，也是高考的必考内容．
2．指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数、根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价．运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
　(1)化简：÷(1－2)×；
(2)求值：lg
－lg
＋lg
.
【思路点拨】　(1)化根式为分数指数幂，提公因式，化简；
(2)利用对数的运算法则求之．
【规范解答】　(1)原式＝××ab
＝×a×ab
＝a.
(2)原式＝(lg
32－lg
49)－lg
2＋lg
245
＝(5lg
2－2lg
7)－×lg
2＋lg
7＋lg
5
＝lg
2＋lg
5－2lg
2
＝(lg
10－lg
5)＋lg
5＝.
计算：0.25－1×()×(6)＋log2×log3×log6.
【解】　原式＝()－1××＋log22－1×log336－1×log69－1
＝4×－×
＝6－4＝2.
专题2
指数函数、对数函数的图像和性质
　　　指数函数和对数函数是中学数学中两个重要的基本初等函数，它们的图像与性质始终是高考考查的重点，应熟练掌握图像的画法及形状，熟记性质．由于指数函数y＝ax，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图像与性质都与a的取值有密切的联系，a变化时，函数的图像与性质也随之改变，因此，在a的值不确定时，要对它们进行分类讨论．
　已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(3)·g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图像可能是图中的(　　)
【思路点拨】　本题的关键是确定a与1的关系，转化成指数函数与对数函数的关系．可利用排除法进行判断．
【解析】　由于f(x)与g(x)互为反函数，所以它们的图像应关于直线y＝x对称，由此，可排除A、D.又f(3)>0，而f(3)·g(3)<0，则g(3)<0，据此可知C正确，故应选C.
【答案】　C
已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图像是(　　)
【解析】　因为函数y＝log2x的反函数是y＝2x，所以f(x)＝2x.故f(1－x)＝21－x，因为此函数在R上是减函数，且过点(0,2)．因此选C.
【答案】　C
专题3
比较大小
　　　指数、对数函数大小比较的一般规律是：(1)当底数相同时，用指数、对数函数的性质直接比较；(2)当底数不同，指数或真数相同时，用图像作比较；(3)当底数和指数(真数)都不相同时，常找一个“中间变量”统一底数或指数(真数)，常用“0”或“1”作为中介数．
　(1)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(ln
)，b＝f(log43)，c＝f(0.41.2)，则a，b，c的大小关系是________．
(2)已知实数a，b满足等式()a＝()b，下列五个关系式：①0A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
【思路点拨】　(1)单调性法；(2)图像法．
【解析】　(1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，
∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且a＝f(ln
)＝f(－ln
3)＝f(ln
3)．
∵ln
3>ln
e＝1，＝log42∴0.41.23，故f(0.41.2)>f(log43)>f(ln
3)，即c>b>a.
(2)在同一直角坐标系中画出指数函数y＝()x和y＝()x的图像，由图可以看出，若()a＝()b，则ab>0.故选B.
【答案】　(1)c>b>a　(2)B
比较下列各组数的大小．
(1)422与333；(2)log0.57与log0.67.
【解】　(1)422＝42×11＝(42)11＝1611,333＝33×11＝(33)11＝2711，
在同一直角坐标系内作出指数函数y＝16x和y＝27x的图像(图1)，可得1611<2711，即422<333.
(2)在同一直角坐标系内作出对数函数y＝log0.5x和y＝log0.6x的图像(图2)，可得log0.57>log0.67.
图1　　　　　　　　　图2
专题4
思想方法
　数形结合思想
“数缺形时少直观，形缺数时欠入微”，把数量关系的精确刻画与几何图形的直观形象有机地结合起来，可以充分显示问题的条件与结论之间的内在联系，恰当地变更问题，使问题化难为易，化繁为简．本章中，指数函数和对数函数的图像简明、直观，对解决某些问题很有帮助，如研究两函数图像的交点问题，判断方程实数解的个数，根据图像求参数，图像的平衡和对称问题等．
　若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是________．
【思路点拨】　分别作出函数y＝2a和y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图像求解．
【解析】　函数y＝|ax－1|的图像可看作y＝ax的图像向下平移1个单位长度，再把x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方得到．当01时，y＝|ax－1|的图像如图2所示，要使y＝2a与y＝|ax－1|有两个不同交点，需0<2a<1，显然无解．综上易知，0图1　　　　　　　　　　　图2
【答案】　(0，)
已知实数a，b满足等式()a＝()b，下列五个关系式：①0A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
【解析】　画出函数y＝()x与y＝()x的图像，如图所示．
当x<0时，()a＝()b，则有a当x>0时，()a＝()b，则有a>b>0；
当x＝0时，()a＝()b，则有a＝b＝0.
所以题中的五个关系式中不可能成立的有两个．
【答案】　B