《角的平分线》习题
1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．
下列结论中错误的是( )
A．PC＝PD B．OC＝OD
C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝PC
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，若AC＝10cm，则△DBE的周长等于( )
A．10cm B．8cm
C．6cm D．9cm
3．角平分线的性质定理：角平分线上的点_____________________________．
4．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB＝AD，BC＝CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．
求证：CE＝CF．
5．已知：如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC．
求证：BC＝AB＋AD．
《角的平分线》教案
教学目标
(一)教学知识点
1．角平分线的性质定理的证明．
2．角平分线的逆定理的证明．
3.定理的应用.
(二)能力训练要求
1．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．
2．体验解决问题策略的多样性，提高实践能力．
(三)情感与价值观要求
1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重点
角平分线的定理的证明．
教学难点
1．正确地表述角平分线性质定理的逆命题．
2．正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明．
教学方法
探索——引导法
教学过程
一、设置情境问题，搭建探究平台
问题：同学们知道角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？
下面我们用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：
(1)在一张纸上任意画一个角∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合
(2)在折痕(即角平分线)上任意取一点C
(3)过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA边的交点，即垂足
(4)将纸打开，新的折痕与OB边的交点为E
从折纸过程中，我们可以得出CD＝CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等．
[师]你能证明它吗？
二、展示思维空间，构建活动空间
[师]我们从折纸过程中得到了角平分线上的点的性质，我们还需运用所学的公理和已证的定理证明它．请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．
[生]已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD＝PE．
证明：∵∠1＝∠2，OP＝OP，
∠PDO＝∠PEO＝90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)．
(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)
[师]我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题．你能写出这个定理的逆命题吗？
我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．
[生]如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．
[生]我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．
[师]这位同学思考问题很仔细．事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部．如上图所示，到∠AOB两边距离相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF，但其中只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．
谁再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题呢？
[生]在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
[师]它是真命题吗？
[生]没有加“在角的内部”时，是假命题．但根据题意我觉得应加上“在角的内部”这一条件，因此角平分线性质定理的逆命题是真命题．
[师]你能证明它吗？
(由大家自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)
[生]证明如下：
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD＝PE，
求证：点P在∠AOB的角平分线上．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP＝OP，PD＝PE，
∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．
∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等)．
[师]逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．给它起个名字吗？
[生]我们就把它叫做角平分线的判定定理吧，因为满足条件的点在角平分线上，连接角的顶点与此点就得到了这个角的角平线了．
[师]很好！我们就把它叫做角平分线的判定定理吧！我们一起再来陈述一下它的内容：
在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
三、例题解析
例：已知：△ABC中，∠B的角平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P.
求证：AP平分∠BAC.
证明：过点P作PM⊥BC，PNAB，垂足分别为M，N，Q.
∵BE是∠B的平分线，点P在BE上，
∴PQ=PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等)
同理，PN=PM.
∴PN=PQ(等量代换)
∴AP平分∠BAC.(角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上)
四、随堂训练
如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？
解：∵AD平分∠CAB，
∴∠1＝∠2＝∠CAB．
又∵AE平分∠CAF，
∴∠3＝∠4＝∠CAF．
∵∠CAB＋∠CAF＝180°，
∴∠1＋∠3＝(∠CAB＋∠CAF)＝×180°＝90°，即AD⊥AE．
四、课时小结
这节课我们在折纸的基础上，证明了线段的垂直平分线的性质定理和应用，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
五、课后作业
1．P122练习、P122-P123习题．
2．习题15.4.
六、活动与探究
如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OQ＝OP，OT＝OS，PT和QS相交于点C．
求证：OC平分∠AOB．
证明：在△OPT和△OQS中，
OP＝OQ，OT＝OS，∠POT＝∠QOS，
∴△OPT≌△OQS(SAS)．
∴∠OTC＝∠OSC(全等三角形的对应角相等)．
在△CQT和△CPS中，
∵OT＝OS，OP＝OQ，∴OT－OQ＝OS－OP即QT＝SP，
又∵∠PCS＝∠QCT，∠OTC＝∠QSC，
∴△CQT≌△CPS(AAS)．
∴CT＝CS(全等三角形的对应边相等)．
在△OCT和△OCS中，OC＝OC，OT＝OS，CT＝CS．
∴△OCT≌△OCS(SSS)．
∴∠TOC＝∠SOC(全等三角形的对应角相等)，即OC平分∠AOB．
