《反证法》习题
1、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为
A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数
2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设正确的是
A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°
3、设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋，c＋，b＋中
A．都不大于－2 B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2
4、若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则
A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
5、设a，b，c，d均为正数，求证：下列三个不等式①a＋b＜c＋d，②，③中至少有一个不正确.
《反证法》教案
教学目标
1、使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.
2、培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.
教学重点
反证法证题的步骤.
教学难点
理解反证法的推理依据及方法.
教学方法
讲练结合教学.
教学过程
一、提问：
师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？
生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？
生：共分三步：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
师：反证法是一种间接证明命题的基本方法.在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明.
例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？
解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2+b2＝c2.
二、探究
问题：
若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C≠90°”，请问结论a2+b2≠c2成立吗？请说明理由.
探究：
假设a2+b2＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾.假设不成立，从而说明原结论a2+b2≠c2成立.
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确.像这样的证明方法叫做反证法.
三、应用新知
例1：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C
证明：假设，∠B＝∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾．假设不成立．∴∠B≠∠C.
小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确.
例2已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c，b//c.求证：a//b
证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A.那么过点A就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立.∴a//b.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾.
例3求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC，求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°.
则∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°.
即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立.
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
三、课堂练习：课本P164练习.
四、课时小结
本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用.对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高.
五、课后作业：课本P164习题.
课件11张PPT。17.5 反证法小故事: 中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么？王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的吗？他运用了怎样的推理方法？假设“李子甜”树在道边则李子少与已知条件 “树在道边而多子”产生矛盾假设 “李子甜”不成立所以“树在道边而多子，此必为苦李” 是正确的王戎推理方法是:先假设原命题不成立，
然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与已知条件矛盾，或者与学过定义、公理、定理等矛盾，
从而得出假设是错误的，原结论是正确的.在证明一个命题时，有时反证法:这种证明方法叫做反证法.证明：一个三角形中最多有一个直角反证法的步骤第一步，假设命题的结论不成立第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实.已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.练一练 用反证法证明（填空）:在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°.这与________________________________相矛盾.所以______不成立，所求证的结论成立. 已知: ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证: ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大 于
或等于60°.证明: 假设所求证的结论不成立，即
∠A ___ 60° ，∠B ___ 60° ，∠C ___60°
则∠A+∠B+∠C < 180°.<<<三角形三个内角的和等于180°假设试一试∴∠1=∠2 (两直线平行，同位角相等)这与已知的∠1≠∠2矛盾∴假设不成立证明：假设结论不成立，则a∥b例1 用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.合作学习:求证:在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.已知:如图，l1∥l2 ，l 2 ∥l 3求证： l１∥l３ ∵l１∥l２ ， l２∥l３， 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交，设交点为p.p所以假设不成立，所求证的结论成立，即 l１∥l３ 反证法的一般步骤:假设命题结论不成立.假设不成立（即命题结论反面成立）与已知条件矛盾假设推理得出的结论与定理，定义，公理矛盾所证命题成立课件3张PPT。用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.分析：解题的关键是反证法的第一步否定结
论，需要分类讨论.已知：在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B、∠C为锐角.证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那
么只有两种情况：(1)两个底角都是直角；
(2)两个底角都是钝角.(1)由∠A=∠B=90°，
则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°，
这与三角形内角和定理矛盾，
∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.(2)由90°<∠B<180°， 90°<∠C<180°，
则∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理矛盾.
∴两个底角都是钝角这个假设也不成立.
故原命题正确?
∴等腰三角形的底角必定是锐角.说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况.这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解.课件2张PPT。1.求证：在一个三角形中，如果两条边不相
等，那么它们所对的角也不相等.证：将原题转化为在△ABC中，AB≠AC，假设∠B=∠C，则AB=AC（等角对等边）这与已知AB≠AC矛盾.∴假设不成立.∴∠B≠∠C.求证：∠B≠∠C2.求证：两条直线被第三条直线所截，如果
内错角不相等，那么这两条直线不平行.证：假设这两条直线平行.则它们被第三条直线所截，内错角相等（平行线的性质）这与已知条件内错角不相等相矛盾，假设不成立.∴这两条直线不平行.求证的命题正确.课件2张PPT。若下列三个方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围.解：若三个方程都无实根故所求实数a的取值范围是
