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17.2 用公式法分解因式
（第2课时）
第十七章 因式分解
人教版(新教材)数学八年级上册
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
学习目标
了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解.
一
体会逆向思维，转化思想和整体思想，发展代数推理能力和运算素养，培养严谨的数学思维习惯.
二
复习引入
原题重现 用两种方法表示图中图形的面积：
a2+2ab+b2
(a+b)2
=
复习引入
原题重现 用两种方法表示图中图形的面积：
a2 2ab+b2
(a b)2
=
合作探究
答 等式的左边是两项的平方和(a2+b2)加上(或减去)两项乘积的二倍(2ab).
追问1 这个等式的左边有什么特点？
追问2 这个等式的右边有什么特点？
答 等式的右边是形如(a±b)2的多项式相乘.
追问3 你能用文字语言描述这个规律吗？
答 两个数(式子)的平方和加上 (或减去)这两个数(式子)的积的2倍，等于这两个数(式子)的和(或差)的平方．
a2±2ab+b2=(a±b)2.
合作探究
（因式分解的）完全平方公式
文字语言 两个数(式子)的平方和加上 (或减去)这两个数(式子)的积的2倍，等于这两个数(式子)的和(或差)的平方．
a2+2ab+b2=(a+b)2.
a2 2ab+b2=(a b)2.
合作探究
完 全 平 方 式
我们把a2+2ab+b2和a2 2ab+b2这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式．
a2+2ab+b2
a2 2ab+b2
典例分析
例3 分解因式：
(1) x2+4x+4 ； (2) 16x2 24x+9 .
2·x·2
x
2
x
2
( )2+( )+( )2=( + )2.
a 2 + 2ab + b 2 =( a + b )2.
完全平方式
典例分析
例3 分解因式：
(1) x2+4x+4 ； (2) 16x2 24x+9 .
完全平方式
4x
3
2·4x·3
4x
3
( )2 ( )+( )2=( )2.
a 2 2ab + b 2 =( a b )2.
典例分析
解 (1)原式=x2+2·x·2+22
=(x+2)2 ；
(2)原式=(4x)2 2·4x·3+32
=(4x 3)2 .
例3 分解因式：
(1) x2+4x+4 ； (2) 16x2 24x+9 .
典例分析
解 (1)原式=(a+b)2 2·(a+b)·6+62
=(a+b 6)2 .
例4 分解因式：
(1) (a+b)2 12(a+b)+36 ； (2) x2+4xy 4y2 .
把a+b看成一个整体
温馨提示 公式中的a和b可以是数字，也可以是单项式或多项式.
典例分析
解 (2)原式= (x2 4xy+4y2)
例4 分解因式：
(1) (a+b)2 12(a+b)+36 ； (2) x2+4xy 4y2 .
添括号后出现完全平方式
温馨提示 添括号时要注意是否需要变号.
= [x2 2·x·2y+(2y)2]
= (x 2y)2 .
特殊形式
具体方法
典例分析
整式的乘法
相反变形
因式分解
a2 b2=(a+b)(a b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
乘法公式
(a+b)(a b)=a2 b2
(a±b)2=a2±2ab+b2
把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式．运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法．
相反变形
公式法
巩固练习
1. 下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2 4a+4 ；
(2) 1+4a2 ；
(3) 4b2+4b 1 ；
(4) a2+ab+b2 .
是
不是
不是
原式=(a 2)2.
不是
修改：1+4a+4a2.
修改：4b2+4b+1.
修改：a2+2ab+b2.
2. 如果x2 6x+N是一个完全平方式，那么N是( )
A . 11 B. 9
C. 11 D. 9
巩固练习
B
3. 如果x2 mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________.
巩固练习
±8
分析 ∵16=(±4)2，
∴ m=2×(±4)=±8.
4. 分解因式：
(1)a2+2a+1 ； (2)x2 12x+36 ； (3)4x2 4x+1 ；
巩固练习
解 （1）原式=a2+2·a·1+12=(a+1)2 .
（2）原式=x2 2·x·6+62=(x 6)2 .
（3）原式=(2x)2 2·2x·1+12=(2x 1)2 .
4. 分解因式：
(4)4p2+12pq+9q2 ； (5)(x+y)2 10(x+y)+25 ； (6) 2xy x2 y2 .
巩固练习
解 （4）原式=(2p)2+2·(2p)·3q+(3q)2=(2p+3q)2 .
（5）原式=(x+y)2 2·(x+y)·5+52=(x+y 5)2 .
（6）原式= (x2+2xy+y2)= (x+y)2 .
5. 利用完全平方公式计算：
(1)1002 2×100×99+99 ； (2)342+34×32+162.
巩固练习
解 (1)原式=(100 99)
=1 ；
(2)原式=342+2×34×16+162
=(34＋16)2
=2 500 .
归纳总结
因式分解——完全平方公式法 符号 语言 a2±2ab+b2= .
文字 语言 两个数(式子)的 加上 (或减去)这两个数(式子)的 ，
等于这两个数(式子)的和(或差)的 ．
完全 平方式 我们把 和 这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式．
平方和
积的2倍
平方
a2+2ab+b2
a2 2ab+b2
(a±b)2
感受中考
1.(2022·湖南永州)下列因式分解正确的是( )
A. ax+ay=a(x+y)+1 B. 3a+3b=3(a+b)
C. a2+4a+4=(a+4)2 D. a2+b=a(a+b)
B
感受中考
2.(2024·江苏常州)分解因式：x2 4xy+4y2= .
3.(2025·甘肃兰州)因式分解：2x2+4x+2= .
(x 2y)2
2(x+1)2
4.(2025·四川成都)多项式 4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 (填一个即可)
4x
感受中考
5.(2024·山东淄博)若多项式 4x2 mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则 m 的值是 .
±12
分析 ∵4x2=(±2x)2，9y2=(±3y)2，
∴ mxy=2·(±2x)·(±3y)=±12xy，
∴ m=±12.
感受中考
6.(2024·山东威海)因式分解：(x+2)(x+4)+1= .
(x+3)2
解 (x+2)(x+4)+1
=x2+4x+2x+8+1
=x2+6x+9
=(x+3)2.
整式乘法与因式分解相结合
小结梳理
整式的乘法
相反变形
因式分解
提公因式法
特殊形式
具体方法
a2 b2=(a+b)(a b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
公式法
乘法公式
(a+b)(a b)=a2 b2
(a±b)2=a2±2ab+b2
相反变形
布置作业
必做题：习题17.2 第2，4(1)题.
1
探究性作业：习题17.2 第8题.
2
人教版八年级上册
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17.2 用公式法分解因式（第2课时）教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学生学习了因式分解的平方差公式的基础上，研究第二个公式——完全平方公式，学习运用完全平方公式来分解形式为完全平方式的多项式。
2. 内容分析
本节课的核心是引导学生从整式乘法的完全平方公式逆向思考，将完全平方式分解为整式乘积的形式。这既是对因式分解方法的补充与完善，也深化了“整式乘法与因式分解互逆”的逻辑关系，为后续更复杂的代数式变形、分式运算等内容提供重要工具，是代数运算体系中逆向思维应用的延续与拓展。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并运用完全平方公式进行因式分解。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解。
（2）体会逆向思维与转化思想，发展代数推理能力和运算素养，培养严谨的数学思维习惯。
2. 目标解析
（1）学生需明确完全平方式的特征——由三项组成，其中两项为平方项（符号相同），第三项为这两项底数乘积的2倍（符号可正可负）；同时理解完全平方公式因式分解的形式： a2±2ab+b2=(a±b)2，理解“完全平方式”与“完全平方公式”的联系与区别。通过实例练习，能准确识别多项式是否为完全平方式，熟练运用完全平方公式将其分解为整式平方的形式。
（2）从整式乘法中“和（差）的平方展开为完全平方式”到因式分解中“完全平方式还原为和（差）的平方”，进一步强化对数学运算双向性的理解，感受逆向思维和转化思想。在分析多项式是否为完全平方式、推导分解的过程中，锻炼代数推理能力；通过规范书写步骤、检查符号与系数的准确性，提升运算素养，培养严谨细致的数学思维习惯。
三、教学问题诊断分析
学生可能存在的问题：对完全平方式的结构特征把握不清，易忽略“两项为平方项且符号相同”“第三项为两底数乘积的2倍”等关键条件；分解时易混淆符号（如a2 4ab+4b2错解为(a+2b)2）。应对策略：通过对比练习强化结构辨析，总结“找平方项→验中间项→定符号”的判断流程，结合整式乘法验证分解结果的正确性，通过错题展示引导学生反思，总结解题技巧。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：熟练运用完全平方公式对多项式进行因式分解。
四、教学过程设计
（一）复习引入
原题重现 用两种方法表示图中图形的面积：
第一种算法： a2+2ab+b2 ，第二种算法：(a+b)2，所以a2+2ab+b2=(a+b)2.
第一种算法： a2 2ab+b2 ，第二种算法：(a b)2，所以a2 2ab+b2=(a b)2.
设计意图：借助几何图形面积计算，唤醒学生对整式乘法中图形面积计算的知识储备，以直观的方式呈现因式分解的完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，将代数公式与几何意义关联，降低公式的理解难度。
（二）合作探究
追问1 这个等式的左边有什么特点？
答 等式的左边是两项的平方和(a2+b2)加上(或减去)两项乘积的二倍(2ab).
追问2 这个等式的右边有什么特点？
答 等式的右边是形如(a±b)2的多项式相乘.
追问3 你能用文字语言描述这个规律吗？
答 两个数(式子)的平方和加上 (或减去)这两个数(式子)的积的2倍，等于这两个数(式子)的和(或差)的平方．
归纳 （因式分解的）完全平方公式
符号语言 a2+2ab+b2=(a+b)2，a2 2ab+b2=(a b)2.
文字语言 两个数(式子)的平方和加上 (或减去)这两个数(式子)的积的2倍，等于这两个数(式子)的和(或差)的平方．
概念 完全平方式
我们把a2+2ab+b2和a2 2ab+b2这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式．
设计意图：引导学生从式子左右两边的形式特点，逐步抽象出完全平方公式的本质规律，并用文字语言精准描述，帮助学生深度理解公式结构，为后续运用公式分解因式筑牢认知基础，同时培养学生观察、分析、归纳的数学思维能力。
（三）典例分析
例3 分解因式：
(1) x2+4x+4 ； (2) 16x2 24x+9 .
解 (1)原式=x2+2·x·2+22=(x+2)2 ；
(2)原式=(4x)2 2·4x·3+32=(4x 3)2 .
例4 分解因式：
(1) (a+b)2 12(a+b)+36 ； (2) x2+4xy 4y2 .
解 (1)原式=(a+b)2 2·(a+b)·6+62=(a+b 6)2 .
温馨提示 公式中的a和b可以是数字，也可以是单项式或多项式.
解 (2)原式= (x2 4xy+4y2)= [x2 2·x·2y+(2y)2]= (x 2y)2 .
温馨提示 添括号时要注意是否需要变号.
概念 把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式．运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法．
设计意图：通过例3让学生初步熟悉完全平方公式的应用；例4则进阶到含多项式，需运用整体思想或提取负号的情况，拓宽公式的应用场景。强调添括号的细节，帮助学生规范解题步骤，逐步提升运用完全平方公式分解因式的熟练度与灵活度。
（四）巩固练习
1. 下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2 4a+4 ；是，原式=(a 2)2.
(2) 1+4a2 ；不是，修改：1+4a+4a2.
(3) 4b2+4b 1 ；不是，修改：4b2+4b+1.
(4) a2+ab+b2 .不是，修改：a2+2ab+b2.
2. 如果x2 6x+N是一个完全平方式，那么N是( B )
A . 11 B. 9 C. 11 D. 9
3. 如果x2 mx+16是一个完全平方式，那么m的值为___±8___.
4. 分解因式：
(1)a2+2a+1 ； (2)x2 12x+36 ； (3)4x2 4x+1 ；
(4)4p2+12pq+9q2 ； (5)(x+y)2 10(x+y)+25 ； (6) 2xy x2 y2 .
解 （1）原式=a2+2·a·1+12=(a+1)2 .
（2）原式=x2 2·x·6+62=(x 6)2 .
（3）原式=(2x)2 2·2x·1+12=(2x 1)2 .
（4）原式=(2p)2+2·(2p)·3q+(3q)2=(2p+3q)2 .
（5）原式=(x+y)2 2·(x+y)·5+52=(x+y 5)2 .
（6）原式= (x2+2xy+y2)= (x+y)2 .
5. 利用完全平方公式计算：
(1)1002 2×100×99+992； (2)342+34×32+162.
解 (1)原式=(100 99)2 =1 ；
(2)原式=342+2×34×16+162=(34＋16)2=2 500 .
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
归纳总结
感受中考
1．（2022·湖南永州）下列因式分解正确的是（ B ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江苏常州）分解因式： ．
3．（2025·甘肃兰州）因式分解： ．
4．（2025·四川成都）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
5．（2024·山东淄博）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
6．（2024·山东威海）因式分解： ．
解：.
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：借助思维导图，清晰呈现整式乘法与因式分解的互逆关系，以及平方差公式和完全平方公式在两者间的反向变形联系。梳理提公因式法、公式法等因式分解方法，帮助学生构建系统的知识框架，理解知识间的逻辑关联，强化对因式分解与整式乘法体系的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题17.2 第2，4(1)题.
2.探究性作业：习题17.2 第8题.
五、教学反思
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