浙江省浙南名校联盟2025-2026学年高二上学期开学返校联考数学试卷(含解析)

浙江省浙南名校联盟2025-2026学年高二上学期返校联考数学试题
一、单选题
1．设集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.如图的分布形态中，分别表示众数、平均数、中位数，则（ ）
A． B．
C． D．
3．“点在函数图像上”是“点在函数图像上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在中，为边上的中线，E为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．根据以往考试统计，某学生数学考试不及格的概率为，英语考试不及格的概率为，而他数学或英语考试至少有一门不及格的概率为，则他数学和英语两门都不及格的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为异面直线，为两个不同平面，，且直线，则下列结论中可能正确的是( )
A．，且与相交 B．，且与垂直
C．与相交，且交线垂直 D．与相交，且交线平行
7．四棱锥，平面平面，四边形为正方形，，则四棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数满足，则（ ）
A． B．
C．的最大值为2 D．
二、多选题
9．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．的最大值为
C．存在，使得
D．存在，使得在上的投影向量为
10．在图书馆的借书抽奖活动中，工作人员准备了编号为的4个神秘书签，书签除编号外完全相同.小张依次不放回地抽取两张书签，依次抽出后记录编号（ ）
A．小张不可能两次都抽出编号为1的书签
B．“两书签编号之和为6”的概率是
C．“抽到第一张书签编号为奇数”与“两书签编号和为5”相互独立
D．“抽到第一张书签编号为奇数或两书签编号和为5”的概率为
11．已知函数和的定义域均为，且，若函数关于直线对称，则下列各式正确的是（ ）
A． B．函数周期为4
C．关于对称 D．
三、填空题
12．已知为虚数单位，复数，则 ．
13．已知函数，若函数恰有1个零点，则实数的取值范围为 .
14．在三棱锥中，平面平面为棱上的点.若平面与平面所成角的余弦值为，记三棱锥 三棱锥体积分别记作，则 .
四、解答题
15．在中，角所对的边分别为，若从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知条件．条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求的大小；
(2)若，求面积的最大值．
16．设函数且.
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)当时，在上恒成立，求实数的取值范围.
17．为筹备“2025浙江省城市篮球联赛（浙BA）”城市争霸赛，某市级联队面向社会公开选拔战术助理教练，选拔流程包括两轮测试，重点考察选手的篮球知识储备与临场战术应对能力：第一轮为战术理解测试：从5道经典战术分析题中任选2题作答，若两题均答对得40分，其余情况得0分；第二轮为实战应变测试：从5道实战应变题中任选2题作答，每答对1题得30分，答错得0分；若两轮总成绩不低于60分，选手将获得面试资格，且进入正式教练团队备选名单.现有两位候选人甲与乙参加此次测试，甲对两轮题目中每道题的答对概率均为0.5；乙第一轮测试题仅掌握其中4题（掌握的题必答对，未掌握的题必答错），乙第二轮每题答对的概率为0.4；所有测试中，每项成功与否互不影响.
(1)求甲两轮测试总分为30分的概率；
(2)求乙在第一轮测试中得40分的概率；
(3)试判断谁更有可能进入正式教练团队备选名单？
18．如图，在矩形中，为线段上的点，且，将沿折起，点翻折至位置，连接，形成四棱锥.
(1)若为棱上的点，且满足平面，求的值；
(2)若二面角的平面角大小为，求到平面的距离；
(3)求直线与平面所成角的正切值取值范围.
19．人教A版必修2教材第81页阐述一个数学定理——代数基本定理：，任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根，且在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.比如：.
(1)写出方程的复数根；
(2)下面我们探究1的立方根和四次方根的几何性质.我们知道1的立方根有3个，可分别表示成，它们对应点将单位圆三等分；1的四次方根有四个，可以分别表示成，.
（i）根据上述探究，请你猜想并证明1的5次方根；提示：若，则
（ii）求的值（用表示）.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B B D A B ABD ACD
题号 11
答案 ACD
1．D
【详解】易知，所以.
故选：D
2．C
【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底边的中点值，
由单峰频率分布直方图且数据分布图左“拖尾”，可知平均数小于中位数，且中位数为右起第三个矩形内，所以.
故选：C.
3．B
【详解】函数，因为，所以函数的定义域为，
函数，要使根式有意义，则，所以函数的定义域为，
若点在函数图像上，则可以取任意实数，当时点不在函数图像上，
所以“点在函数图像上”不能推出“点在函数图像上”，充分性不成立；
若点在函数图像上，则，此时，
所以若“点在函数图像上”可以推出“点在函数图像上”，必要性成立；
综上“点在函数图像上”是“点在函数图像上”的必要不充分条件.
故选：B
4．B
【详解】由D为中点，根据向量的运算法则，
可得，
故选：B.
5．B
【详解】设数学考试不及格为事件，英语考试不及格为事件.
由题意可得
因为，
所以.
故选：B.
6．D
【详解】因为为异面直线，，所以与不平行，即与必相交，
又，所以直线与与均平行，
即直线与和的交线平行，
故选：D
7．A
【详解】
如图，设，取的中点，连接，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，，
在中，，，，
，
为中点，，，
又在正方形中，，，
，，
点为四棱锥外接球的球心，且半径为，
四棱锥的外接球的体积为.
故选：A.
8．B
【详解】A选项，，故，A错误；
BC选项，两边平方得，
整理得，令，，
方程转化为，
将其看成一个关于的二次方程，则，
解得，
取，
求导得，
令得，解得，
故当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值，极大值为，
当时，，当时，，
故，
再取，
求导得，
令得，解得，
故当时，，
故在上单调递增，
所以，
综上，，故，，B正确；
的最大值为4，C错误；
D选项，，故，D错误.
故选：B
9．ABD
【详解】对于A，因为，故即，
故，故，故A正确；
对于B，，
当且仅当时等号成立，故的最大值为，故B正确；
对于C，若，则，故，矛盾.
故C错误；
对于D，，
则在上的投影向量为，
故，故，
由A可得，故D正确.
故选：ABD.
10．ACD
【详解】选项A，不放回抽取，第一次抽到编号为1的书签后，第二次不可能再抽到编号为1的书签，
因此“两次都抽出编号为1的书签”是不可能事件，所以A正确；
选项B，不放回抽取书签的所有可能结果有种，“两书签编号之和为6”的有序数对为和，
共2种结果，概率为，所以B错误；
选项C，设事件“抽到第一张书签编号为奇数”，事件“两书签编号和为5”，
对事件：第一张书签编号为奇数（1或3），有2种可能，第二张书签编号无要求，共种结果，所以；
对事件：两书签编号和为5的有序数对为，共4种结果，所以.
因此事件：抽到第一张书签编号为奇数且两书签编号和为5，有，共2种结果，.
由于，所以事件与事件相互独立，所以C正确；
选项D，根据上述分析，，所以D正确.
11．ACD
【详解】因为，令，所以，即，A正确；
因为函数关于直线对称，所以关于轴对称，即为偶函数，
因为，所以，.
因为，所以，
即，所以关于对称，C正确；
由C可知，，由可得，所以；
因为，所以函数周期不为4，B不正确；
因为，所以，
所以，D正确.
故选：ACD
12．1
【详解】
13．
【详解】由题意当时，，
当时，由可知，函数周期为，
当时，，
此时，
又，
作出函数图象如下：
函数恰有1个零点，即与有且仅有一个交点，
由函数图像可知：，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
14．/
【详解】
取的中点为，连接，交于，连接.
因为，故三角形为等边三角形且，
而平面平面，平面平面，
平面，故平面，而平面，
故，而平面，
故平面，在平面中，设到直线的距离为，
平面与平面所成角为，则，
故.
在平面中，过作的垂线，垂足为，故，
因为，故，故，
故在的中垂线上，而也在上，故重合，
故，而，故为等腰直角三角形，
故.
在中，，故，
由正弦定理有即，
故，故，
而，
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）选择条件①：
则，
由正弦定理，，
∵，∴，
∴，即，
∵，∴；
选择条件②：
由正弦定理，，
因，
代入可得，
即，
又，∴，故，即，
∵，∴；
选择条件③：，
由正弦定理，，
因，
代入可得，
即，
又，∴，故，即，
由于，故；
（2）由余弦定理，，
由于，
故，当且仅当时取等号，
故面积为，
故面积的最大值为．
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为且，所以在上单调递增，
若在上单调递减，
由复合函数单调性可知，，解得：，
所以的取值范围为；
（2）当时，，则在上单调递减，
由得，即，
所以对上恒成立，
令， ，则且对恒成立，
即对上恒成立，
因为在上单调递增，则，因此，
故实数的取值范围为.
17．(1)
(2)
(3)乙
【详解】（1）设“甲两轮总分得30分”为事件，“甲第一轮答错一题得0分，
第二轮答对一题得30分”为事件；“甲当第一轮答错两题得0分，第二轮答对一题得30分”为事件.
则；
（2）对第一轮的5个问题进行编号：，第一轮从5个问题中任选两题作答，
则有共10种，
设乙只能答对4个问题的编号为：，则乙在第一轮得40分，有
共6种，
则乙在第一轮得40分的概率为：；
（3）由（2）知，乙在第一轮得40分的概率为，则乙在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总分不低于60分，
当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时，
甲和乙晋级复赛的概率分别为：；
；
当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时，
甲和乙获得面试资格的概率分别为：
；
当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时，
甲和乙获得面试资格的概率分别为：
当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时，
甲获得面试资格的概率分别为：，
甲获得面试资格的概率为：；
乙获得面试资格的概率为：
乙更有机会获得面试资格，进入正式教练团队备选名单.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在中，，则
在线段上截取，连接，由
可得四边形为平行四边形，则，
又平面平面，则平面，
因为平面，又，则平面平面，
因为平面平面，平面平面，所以，
又，则
（2）过点作，垂足为，则，易知，
为二面角的平面角的补角，
又，故到平面的距离为；
（3）（3）连接，在中，，则，又在中，，则，故三点共线.
易得平面，又平面平面平面，则即直线与平面所成角
由题可知，在以为圆心，为半径的圆上，则当直线与圆相切，最大值，此时.故直线与平面所成角的正切值取值范围为.
19．(1)
(2)（i）答案见解析；（ii）
【详解】（1）由题意有，
所以；
（2）（i）由已知有1的5次方根为：易知是方程的根，
由提示，，则是方程的根，
又，
依次类推均为1的五次方根，命题得证；
（ii）（*），
由（2）易证：若，则均为方程的根.
由代数基本定理可知，
所以，
所以
又均为方程的根，，
所以，
则（*）等于，
因为，
所以分
.