山东省烟台市栖霞市（五四制）2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（含答案）

山东省烟台栖霞市（五四制）2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．东方美学钟爱“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后得到两个全等的纸并与纸相似（图②），则图中纸长与宽的比值为（ ）
A． B． C． D．
2．关于的一元二次方程的根是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式从左到右一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，D、F、E分别为边 上一点，连接，它们相交于点G，连接，若四边形是平行四边形，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（　　）
A．测量两组对边是否相等
B．测量对角线是否相等
C．测量对角线是否互相平分
D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等
7．如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中相似的三角形有（ ）

A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
8．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是31个，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．如图，在中，是边上中线，F是线段上一点，且，连接并延长交于E，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若，则代数式的值为 ．
12．若等腰的一边长为，另外两边恰好是关于的方程的两个实数根，则的周长是 ．
13．如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为5，一条对角线为8时，则阴影部分的面积为 ．
14．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且与位似，原点O是位似中心，则与的面积比为 ．
15．如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供学生赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的直角边（如图所示）为 ．
16．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，点，在对角线上．若四边形是菱形，则的长是 ．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)
18．解方程
(1)（用配方法）
(2)
19．如图，在中，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从B开始沿边运动，速度为，如果P，Q两动点同时运动，那么何时与相似？
20．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域，预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点，分别在，上，点，在上，求汽车盲区的长度．
21．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．求证：
(1)；
(2)．
22．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程的两个根满足，求m的值．
23．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升．
(1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．
(2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
24．【模型建立】
（1）如图1，正方形中，E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，连接，当点恰好落在上时，求的值；
【模型应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，求的值（用含的式子表示）．
参考答案
1．C
解：设纸长与宽分别为，
则纸长与宽分别为，
∵对折后得到两个全等的纸并与纸相似，
∴，
即：，
∴，
∴，
故选：C
2．A
解：
或
∴，．
3．B
解：∵，
∴，
∴
，
故选：B．
4．C
解：A．不能化简，原式不符合题意；
B．的符号不确定，需分情况，不符合题意；
C．，，∴，符合题意；
D．，的符号不确定，不符合题意；
故选：C．
5．D
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，故A说法错误；
∵，
∴，，
∴，故B说法错误；
∵，
∴，
∴，故C说法错误．
∵，，
∴．故D说法正确．
故选：D．
6．D
A.测量两组对边是否相等，能判定平行四边形，故A错误；
B.对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定四边形的形状，故B错误；
C.测量对角线是否互相平分，能判定平行四边形，故C错误；
D.根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形．故D正确．
故选：D．
7．D
解：根据题意，，，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴．
综上所述，图中相似的三角形有，，，，，，，，共计8对．
故选：D．
8．B
解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：B．
9．C
解：如图，过点D作，交于H，
∵是边上中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
10．A
解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形：
设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，
则，，
由勾股定理得，，
．
故选：A．
11．8
解：∵，
∴
，
故答案为：8．
12．
解：当为腰长时，将代入原方程，
∴，
∴方程为，
解得：，，
∴三边为，，，能构成三角形，
∴的周长是；
当为底边长时，
由题意可得根的判别式，
解得：，
∴方程为，
解得：，
∴三边为，，，不能构成三角形，
综上可得：的周长是，
故答案为：．
13．12
解：连接AC、BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=5，OA=OC=AC=4，OB=OD，AC⊥BD，
∴，
∴BD=2OB=6，
∴菱形ABCD的面积= AC×BD= ×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形，
∴阴影部分的面积=×24=12；
故答案为：12．
14．
解：∵与位似，原点O是位似中心，，，
∴，，
∴，
∴
故答案为：．
15．1
解：由题意可得，
即，
解得：或（舍），
故答案为：1．
16．5
解：如图，连接EF，交AC于点O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵∠FOC=∠EOA，
∴△COF≌△AOE，
∴AO=CO，
∵，，
∴ ，
∴ ，
∵∠OAE=∠BAC，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE～△ABC，
∴ ，
即 ，解得： ．
故答案为：5．
17．(1)
(2)
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．(1)
(2)
（1）解：，
，
，
，
，
或，
或，
所以方程的解为．
（2）解：，
，
，
，
或，
或，
所以方程的解为．
19．经过或秒时，与相似，
解：设经过秒时，与相似，
，
,
当时，,
,
解得：,
当时，，
,
解得：,
综上所述：经过或秒时，与相似，
20．汽车盲区的长度为．
解：如图，过作于点，交于点，
∴，，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴汽车盲区的长度为．
21．(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
由（）可知：，
∴，
∴．
22．(1)；
(2)．
（1）∵方程有两个实数根，
，
解得；
（2）和是一元二次方程的两个根，
，，
，
，
，
解得，．
，
．
23．(1)
(2)21万元
（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为．
根据题意得：．
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为．
（2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元．则每辆汽车的销售利润为万元，
平均每周可售出辆．
根据题意得：，整理得：．
解得：，．
又要尽量让利于顾客，
．
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
24．（1）2；（2）
解：（1）∵，
∴，
∴，，
由翻折的性质可知，，
∴，
由正方形的性质和折叠的性质可得，，
∴,
在与中，
，
∴，
∴，
由翻折的性质可得，，，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（2）由（1）知，，，
∵，
∴，
∴，即．