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第二章 有理数及其运算
2.5.1有理数的混合运算
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
新知探究
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
掌握有理数混合运算的顺序（先乘方、再乘除、后加减，括号优先），能准确计算含乘方、括号的混合算式
01
感受数学与生活的联系，养成 “分步检验” 的严谨习惯，增强解决复杂问题的信心。
03
体会运算律的简化作用，提升运算策略的灵活性。
02
02
新知导入
学校旁的超市做促销：
薯片原价每包10元，会员打8折（原价×0.8）；一次性买3包及以上，折后每包再减1元；
会员积分规则：消费总金额（折后且满减后）的平方就是本次积分（积分能换小礼品）。
小明是会员，买了4包薯片，要算：
①实际花了多少钱？
②能得多少积分？
③带50元买完薯片剩多少钱？
02
新知导入
单包折后价：元（正数×小数）
单包满减后价格：元（正数减正数）
4包总花费：元（正数×整数）
剩余的钱：元（再用有理数减法）
=22
积分计算：总金额是28元，积分是
02
新知导入
在小学，我们学习过四则混合运算。现在，我们将数的范围扩大到了有理数，并且学习了有理数的加、减、乘、除及乘方运算，那么在有理数混合运算中，运算顺序是怎样的呢？
例如，如何计算 呢？
02
新知导入
事实上，与小学数学中的四则混合运算类似，有理数的混合运算可以按下面的法则进行。
先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
02
新知导入
例题1 计算：
解：
乘除运算从左到右”及“符号规则（同号得正、异号得负）
02
新知导入
括号内优先计算，同时展示乘法分配律在有理数运算中的简化作用
03
新知讲解
你会玩“24点”游戏吗？
从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或－24。其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，A，J， Q ，K分别代表1，11，12，13。
尝试·交流
03
新知讲解
（1）小飞抽到了 ，他运用下面的方法凑
成了24：7×(3+3÷7)=24。
如果抽到的是 ，你能凑成24吗？
03
新知讲解
如果抽到的是 呢？
2）请将下面每组扑 克牌牌面上的数字凑成24。
① ②
3×（-1）×（-12）-12=24
这组无解
02
新知导入
在上述“24点”游戏中，你积累了哪些经验？与同伴进行交流。
我的游戏经验总结
1. 优先凑乘法组合：把24分解为常见乘法形式，再用牌面数字凑出因数。
2. 巧用负数符号：利用 “负负得正”，将负数转化为正数参与运算，扩大组合可能性。
3. 灵活使用括号：通过括号改变运算顺序，优先计算能凑出关键数字的部分。
4. 结合分数运算：遇到除法时，可构造 “被除数与除数的分母约分” 的情况，快速得到整数结果。
课堂练习
计算：（1）
（2）计算：
04
新知探究
（3）计算：
（4）计算：
04
新知探究
05
课堂小结
有理数乘方
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号时先算括号里面的
有理数混合运算的核心规则
实践活动灵活运用运算规则解决问题，提升了混合运算的应用能力
灵活应用
基础练习
1.计算时，第一步应先算（ ）
A. 加法 B. 乘方 C. 乘法 D. 减法
2.下列计算结果正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
06
作业布置
B
A
3.若，则的计算结果是（ ）
B. C. D.
4.计算：。
5.若运算的第一步算，则第二步应算_______________________________（填“括号内的减法”或“括号外的减法”）。
06
作业布置
C
-1
括号内的减法
能力提升
6.下列运算中，运用乘法分配律简化计算的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.计算。
06
作业布置
06
作业布置
8.计算 (1)
=
=
=
(2)
=
。
06
作业布置
(3)
= 1 0.3
0.3
0.7
=-0.3
06
作业布置
拓展训练
9.计算
(1)
=
=
(2)
=
(3)
=
06
作业布置
10.小明买了5包薯片，每包原价12元，会员打7折，买4包及以上折后每包再减1元。小明是会员，实际花了多少钱？
答案：32元
解析： 单包折后价：元；
满减后单价：元；
总花费：元
混合
06
作业布置
（3）光的速度约为米/秒，太阳光到达地球约需秒，求地球与太阳的距离（用科学记数法表示）。
答案：米
解析：距离=速度×时间米。
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分课时学案
课题 2.5.1有理数的混合运算 单元 第二单元 学科 数学 年级 七年级上册
学习 目标 1.掌握有理数混合运算的顺序（先乘方、再乘除、后加减，括号优先），能准确计算含乘方、括号的混合算式 2.体会运算律的简化作用，提升运算策略的灵活性。 3. 感受数学与生活的联系，养成 “分步检验” 的严谨习惯，增强解决复杂问题的信心。
重点 明确 “乘方＞乘除＞加减” 的层级，以及括号内运算的优先性。通过例题板书和错题辨析，强化 “先标顺序再计算” 的操作流程（如在算式中标注①乘方、②乘除、③加减），确保学生能规范执行运算步骤。
难点 负数乘方的符号、乘除中的符号法则（同号得正）是学生的高频错误点，需通过 “符号分步标注法”（每一步先定符号再算数值）突破。
教学过程
导入新课 学校旁的超市做促销： 薯片原价每包10元，会员打8折（原价×0.8）；一次性买3包及以上，折后每包再减1元； 会员积分规则：消费总金额（折后且满减后）的平方就是本次积分（积分能换小礼品）。 小明是会员，买了4包薯片，要算： ①实际花了多少钱？ ②能得多少积分？ ③带50元买完薯片剩多少钱？” 回答： 计算时，我们先算折扣（乘法），再算满减（减法），最后算积分（乘方）。如果把这些步骤合并成一个式子，比如“，甚至加上积分的乘方，该先算什么、后算什么呢？ 回答：
新知讲解 1.有理数混合运算顺序 在小学，我们学习过四则混合运算。现在，我们将数的范围扩大到了有理数，并且学习了有理数的加、减、乘、除及乘方运算，那么在有理数混合运算中，运算顺序是怎样的呢？ 例如，如何计算 呢？ 事实上，与小学数学中的四则混合运算类似，有理数的混合运算可以按下面的法则进行。 先算______，再算_______，最后算_______；如果有_______，先算_______里面的。 例题1 计算： 解： 乘除运算从左到右”及“符号规则（同号得正、异号得负） 解法一： 解法二： 括号内优先计算，同时展示乘法分配律在有理数运算中的简化作用 2.尝试·交流 你会玩“24点”游戏吗？ 从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或－24。其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，A，J， ，K分别代表1，11，12，13。 （1）小飞抽到了，他运用下面的方法凑成了24：
如果抽到的是，你能凑成24吗？ 解答： 如果抽到的是呢？ 解答： （2）请将下面每组扑克牌牌面上的数字凑成24。 ① ② 在上述“24点”游戏中，你积累了哪些经验？与同伴进行交流。 你的游戏经验总结：
课堂练习 课堂练习 计算： （1） （2）计算： （3）计算： （4）计算：
课堂小结 1.本节课你认为自己解决的最好的问题是什么 2.本节课你有哪些收获 有什么体会 请你和同学分享交流。 3.你想进一步探究的问题是什么
课后作业 基础练习 1.计算时，第一步应先算（ ） A. 加法 B. 乘方 C. 乘法 D. 减法 2.下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3.若，则的计算结果是（ ） A. B. C. D. 4.计算：。 5.若运算的第一步算，则第二步应算____________（填“括号内的减法”或“括号外的减法”）。 能力提升 6.下列运算中，运用乘法分配律简化计算的是（ ） A. B. C. D. 7.计算。 8.计算 拓展训练 9.计算 10.小明买了5包薯片，每包原价12元，会员打7折，买4包及以上折后每包再减1元。小明是会员，实际花了多少钱？
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2.5.1有理数的混合运算
学科 数学 年级 七年级上册 课型 新授课 单元 第二单元
课题 有理数的混合运算 课时 2.5.1
课标要求 本节课紧扣义务教育数学课程标准中 “数与代数” 领域的核心要求，强调掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单混合运算，理解运算顺序的合理性（先乘方、再乘除、后加减，括号优先），并能运用运算律简化计算。课标突出 “运算能力” 和 “应用意识” 的培养，要求学生通过解决实际问题（如超市促销计算、“24 点” 游戏），体会混合运算的现实意义，同时发展逻辑推理能力和符号意识。
教材分析 本节课选自北师大版七年级上册第二单元，是在学生掌握有理数四则运算和乘方的基础上，进一步整合运算规则的核心课。教材以 “超市促销” 生活情境为切入点，衔接小学四则运算顺序，通过 “小明买薯片” 的分步计算，自然引出含乘方的混合运算需求；再通过例题 1（纯符号运算）、例题 2（括号与分配律）和 “24 点” 游戏，构建 “情境 — 规则 — 应用” 的学习路径，强化运算顺序的规范性和符号处理的严谨性。教材突出 “运算顺序的普适性” 和 “运算律的简化价值”，为后续代数式化简、方程求解奠定基础。
学情分析 学生已掌握小学四则运算顺序（先乘除后加减），但对 “乘方作为最高优先级” 和 “负数参与混合运算” 存在认知断层：①易混淆(-3)2与-32的符号；②在乘除混合中忽略 “从左到右” 的顺序；③面对负数时不敢或不会使用运算律简化计算。此外，七年级学生具象思维为主，需通过生活案例（如积分计算）和游戏化活动（24 点）降低抽象规则的理解难度，同时通过分步标注符号、对比错例等方式，突破符号处理和顺序执行的易错点。
教学目标 1.掌握有理数混合运算的顺序（先乘方、再乘除、后加减，括号优先），能准确计算含乘方、括号的混合算式 2.体会运算律的简化作用，提升运算策略的灵活性。 3. 感受数学与生活的联系，养成 “分步检验” 的严谨习惯，增强解决复杂问题的信心。
教学重点 明确 “乘方＞乘除＞加减” 的层级，以及括号内运算的优先性。通过例题板书和错题辨析，强化 “先标顺序再计算” 的操作流程（如在算式中标注①乘方、②乘除、③加减），确保学生能规范执行运算步骤。
教学难点 负数乘方的符号、乘除中的符号法则（同号得正）是学生的高频错误点，需通过 “符号分步标注法”（每一步先定符号再算数值）突破。
教法与学法分析 本节课采用 “情境 — 问题 — 探究” 三阶段教学法，以 “超市促销” 生活情境导入，激活学生四则运算旧知，制造对有理数混合运算顺序的认知需求；通过对例题的追问（如 “为什么先算乘方？”“分配律在这里有什么好处？”），引导学生自主归纳运算规则；以 “24 点” 游戏为载体，设计从基础数字组合到含负数组合的分层任务，推动学生对运算规则的灵活迁移。同时，指导学生运用 “分步标注法”，在算式中明确运算顺序与符号；运用 “对比归纳法”，通过例 2 不同解法的对比，总结 “观察式子结构→选择简便运算策略” 的思维路径；运用 “错题溯源法”，针对忽略括号内顺序等典型错误，组织小组合作分析错因，强化 “先算括号内再算括号外” 的运算意识。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 学校旁的超市做促销： 薯片原价每包10元，会员打8折（原价×0.8）；一次性买3包及以上，折后每包再减1元； 会员积分规则：消费总金额（折后且满减后）的平方就是本次积分（积分能换小礼品）。 小明是会员，买了4包薯片，要算： ①实际花了多少钱？ ②能得多少积分？ ③带50元买完薯片剩多少钱？” 单包折后价：元（回顾有理数乘法：正数×小数）。 单包满减后价格：元（回顾有理数减法：正数减正数）。 4包总花费：元（再用有理数乘法：正数×整数）。 积分计算：总金额是28元，积分是（这里出现乘方，是“新的运算层级”）。 剩余的钱：元（再用有理数减法）。 计算时，我们先算折扣（乘法），再算满减（减法），最后算积分（乘方）。如果把这些步骤合并成一个式子，比如“，甚至加上积分的乘方，该先算什么、后算什么呢？ 呈现超市促销情境及问题，引导学生回顾旧知运算 独立分析问题，分步计算实际花费、积分等，思考综合式子的运算顺序 通过生活情境回顾旧知，引出混合运算顺序的疑问，激发探究兴趣
环节二：新知讲解 1.有理数混合运算顺序 在小学，我们学习过四则混合运算。现在，我们将数的范围扩大到了有理数，并且学习了有理数的加、减、乘、除及乘方运算，那么在有理数混合运算中，运算顺序是怎样的呢？ 例如，如何计算 呢？ 事实上，与小学数学中的四则混合运算类似，有理数的混合运算可以按下面的法则进行。 先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 例题1 计算： 解： 乘除运算从左到右”及“符号规则（同号得正、异号得负） 括号内优先计算，同时展示乘法分配律在有理数运算中的简化作用 讲解有理数混合运算顺序，结合例题演示计算过程，强调运算要点（如乘除顺序、符号规则、分配律） 学习运算规则，观看例题解析，理解运算步骤和方法 明确混合运算顺序，通过例题掌握计算方法，体会运算律的简化作用
环节三:延申探究 2.尝试·交流 你会玩“24点”游戏吗？ 从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或－24。其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，A，J， ，K分别代表1，11，12，13。 （1）小飞抽到了，他运用下面的方法凑成了24：
如果抽到的是，你能凑成24吗？ 解答： 抽到含负数的牌 “7、3、-3、7”,可构造： （利用“负负得正”处理符号，再用分配律简化）。 如果抽到的是呢？ 解答： （2）请将下面每组扑克牌牌面上的数字凑成24。 ① ② 这组无解 在上述“24点”游戏中，你积累了哪些经验？与同伴进行交流。 游戏经验总结 优先凑乘法组合：把24分解为常见乘法形式，再用牌面数字凑出因数。 巧用负数符号：利用 “负负得正”，将负数转化为正数参与运算，扩大组合可能性。 灵活使用括号：通过括号改变运算顺序，优先计算能凑出关键数字的部分。 结合分数运算：遇到除法时，可构造 “被除数与除数的分母约分” 的情况，快速得到整数结果。 介绍 “24 点” 游戏规则，提供题目，引导学生尝试并总结经验 参与游戏，运用混合运算规则凑出 24，交流操作经验 通过游戏巩固运算顺序，培养灵活运用知识的能力，激发学习兴趣
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 计算： （1） 解析：先算乘方；再算乘除（从左到右）：，；最后算加法：。 答案： （2）计算： 解析：先算乘方；再算乘除（从左到右）：，；最后算减法：。 答案： （3）计算： 解析：先算乘方；再算乘除：，；最后算加法：。 答案： （4）计算： 解析：先算乘方，；再算乘除：，（注意“”即）；最后算加减：。 答案： 总结： 牢记运算顺序：严格遵循“先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”，可在草稿纸标注步骤顺序（如①乘方、②乘除、③加减）。 重视符号处理：每一步先确定符号（同号得正、异号得负），再计算数值（如区分与）。 分步计算，不跳步：乘除混合、含乘方的运算要分步写（如计算，先算乘方，再算除法）。 灵活用运算律：看到“括号+乘法/乘方”时，思考是否用分配律简化（如例2的方法二）。 布置课堂练习题，巡视指导，讲解解析思路 独立完成练习，核对答案，理解解析中的运算逻辑 通过练习巩固混合运算顺序和方法，检验学习效果，强化应用能力
课堂小结 1.通过本节课的学习你收获了什么？ ①有理数混合运算的核心规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号时先算括号里面的 ②实践活动灵活运用运算规则解决问题，提升了混合运算的应用能力 2.本课主要学习方法或数学思想 从生活实际情境（超市促销问题）抽象出数学运算问题的 “从具体到抽象” 方法；将复杂运算分解为分步运算、利用运算律简化计算的 “转化与简化” 思想； 引导学生回顾本节课知识，梳理核心内容和数学思想方法。 分享学习收获，总结科学记数法的知识点及从具体到抽象、转化与简化的思想。 帮助学生构建知识体系，提炼数学思想，促进知识内化与迁移。
板书设计 根据教案内容，本节课的板书设计如下，兼顾知识结构、运算逻辑与教学重点： 板书设计 主标题：2.5.1 有理数的混合运算 一、核心规则 先乘方 → 再乘除 → 后加减 括号内优先计算！ 符号法则： 乘方：(-a) （n偶正，n奇负） 乘除：同号得正，异号得负 二、例题示范 例1： 18 - 6 ÷ (-2) × (-) 步骤： = 18 - (-3) × (- （先乘除：6÷(-2)=-3） = 18 - 1 （符号：(-3)×(-)=1） = 17 例2： (-3) × [ - + (-) ] 解法1（常规）： = 9 × (-) = -11 解法2（分配律）： = 9×(-) + 9×(-) = -6 + (-5) = -11 三、24点游戏策略 凑乘法因子（如24=8×3） 巧用负数：负负得正（例：7×[3-(-3)÷7]=24） 括号改变顺序：优先算关键组合 将教案中分散的运算规则、例题解析、游戏策略、易错点整合为可操作的思维导图，既锚定重难点（顺序与符号），又通过生成区促进课堂互动，实现“规则可视化→方法程序化→应用灵活化”的进阶目标。
作业设计 基础练习 1.计算时，第一步应先算（ ） A. 加法 B. 乘方 C. 乘法 D. 减法 2.下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3.若，则的计算结果是（ ） A. B. C. D. 4.计算：。 5.若运算的第一步算，则第二步应算____（填“括号内的减法”或“括号外的减法”）。 能力提升 6.下列运算中，运用乘法分配律简化计算的是（ ） A. B. C. D. 7.计算。 8.计算 拓展训练 9.计算 10.小明买了5包薯片，每包原价12元，会员打7折，买4包及以上折后每包再减1元。小明是会员，实际花了多少钱？
教学反思 从该教案内容来看，其在情境创设（以超市促销情境切入，串联相关运算）和知识应用（引入“24点”游戏）环节有亮点，但也存在需反思之处：情境引入需考虑是否覆盖不同层次学生认知基础；新知讲解中对“乘除从左到右”“符号规则”等易错点，需反思变式练习是否足够及是否关注学生符号处理错误；“24点”游戏需反思难度是否适中、是否为不同水平学生提供参与机会及如何通过反馈发现学生对运算顺序的理解偏差；练习设计需反思是否应补充不同梯度课后作业以满足分层需求及是否有足够错题辨析环节；知识梳理需反思是否能确保学生准确提炼核心规则、易错点及转化思想，是否通过有效互动达成知识内化。总体而言，教案在学情适配、练习分层、错题处理等方面仍有优化空间，需结合实际教学中学生的反馈进一步调整以提升效果。
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