浙江省绍兴市上虞区2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高三上·上虞期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
解不等式，可得，即集合，
则，
故答案为：A.
【分析】先解对数函数和一元二次不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2025高三上·上虞期末）的展开式中，不含的项是（ ）
A．第项 B．第项
C．第项 D．第项或第项
【答案】C
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：展开式的通项为：，
令，解得，则展开式中不含项是第13项.
故答案为：C.
【分析】写出展开式的通项，令的幂指数为0求解即可.
3．（2025高三上·上虞期末）已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，则，
向量在方向上的投影向量为，
则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量模的坐标表示求得，再根据投影向量公式计算即可.
4．（2025高三上·上虞期末）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
可得，
则，
即，
则.
故答案为：C.
【分析】利用两角和差的正、余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系化简求值即可.
5．（2025高三上·上虞期末）已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的应用；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：，
当，即，解得或，
因为，所以当或时，，当时，，
则当时，取得最小值.
故答案为：B.
【分析】将数列的通项公式化简变形可得，易知当或时，，当时，，从而求出取到最小值时的值即可.
6．（2025高三上·上虞期末）设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：记为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，如图所示：
易得，过作交于，过作，交于，
则，
则，即，，即.
故答案为：B.
【分析】记为中点，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，可得，表示角，，比较大小即可.
7．（2025高三上·上虞期末）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】排列及排列数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：6个集装箱不同的取法有种不同的取法，
每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱， 即顺序确定，属于定序问题，
则在装运过程中不同取法的种数是.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据定序问题解法求解即可.
8．（2025高三上·上虞期末）设分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作切线交轴于点，若，，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设点在第一象限，连接，如图所示：
由双曲线的光学性质可知：切线为的角平分线，
由，可得，
又因为，所以，所以，
在中，由正弦定理，
可得，即，
则.
故答案为：D.
【分析】不妨设点在第一象限，连接，由双曲线的光学性质可知：切线为的角平分线，由题意，求得各个内角，结合正弦定理求解即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9．（2025高三上·上虞期末）下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件相互独立，且，，则
B．样本数据2，2，3，4，6，8，9，10，12，12的上四分位数为11
C．某分层抽样有层，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，则总方差为
D．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与点的残差相等，则
【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；回归分析；相互独立事件；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、事件与事件相互独立，且，，
则，，故A正确；
B、样本数据2，2，3，4，6，8，9，10，12，12，，则该组数据的上四分位数为第8个数10，故B错误；
C、由题意可得：两层的样本总数为，
总平均数为，
总方差为，故C正确；
D、若样本点与点的残差相等，则，
解得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用独立事件的概率公式求解即可判断A；根据百分位数的定义求解即可判断B；根据分层抽样的平均数、方差公式求解即可判断C；根据残差的概念求解即可判断D.
10．（2025高三上·上虞期末）已知函数的最大值为，则下列说法中，正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数图象的一个对称中心为
D．函数在区间上单调递减
【答案】A,B
【知识点】两角和与差的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数
，
，其中，
因为函数的最大值为2，所以，
所以，解得，
又因为，所以，则函数
；
A、由分析可知：，故A正确；
B、函数，则的最小正周期为，故B正确；
C、令，则，当时，，
则图象的一个对称中心为，故C错误；
D、当时，，则，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用余弦的二倍角公式，结合两角和的余弦公式以及辅助角公式化简函数，再根据函数的最大值为2，结合求出的值，从而可得函数解析式，再逐项分析判断即可.
11．（2025高三上·上虞期末）在边长为的正三角形中，分别是上的动点（不含端点），将沿着翻折至，则（ ）
A．四棱锥必存在一个外接球
B．当∥时，四棱锥体积的最大值是
C．当是的中位线，且时，则是等腰直角三角形
D．当是的中位线，且时，四棱锥外接球表面积是
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、根据题意，在边长为的正三角形中，
分别是上的动点（不含端点），
当与不平行时，四边形对角不互补，
则四边形没有外接圆，即四棱锥没有外接球，故A错误；
B、当∥时，设时，则，
则，
要使四棱锥体积的最大，则平面平面，
此时四棱锥的高为，
四棱锥体积，
则，
当，，则单调递增，
当，，则单调递减，
故当时，，故B正确；
C、当是的中位线，连接，则，又，
平面，所以平面，
而平面，所以，
所以，
取中点，连接，
由于，而，则，
，平面，所以平面，
所以平面，则，所以，
则是等腰直角三角形，
又，所以是等腰直角三角形，故C正确；
D、根据C选项，可知，
所以点为四棱锥外接球球心，半径为2，
所以四棱锥外接球表面积为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，当与不平行时，四边形对角不互补，则四边形没有外接圆，所以四棱锥没有外接球即可判断A；当∥时，设时，要使四棱锥体积的最大，则平面平面，求出体积，利用导数求最值即可判断B；当是的中位线，结合条件可得平面，从而得，又平面，从而得则是等腰直角三角形即可判断C；根据C选项，点为四棱锥外接球球心，半径为2，求四棱锥外接球表面积即可判断D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高三上·上虞期末）已知，则 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的加减运算；共轭复数
【解析】【解答】解：令，则，即，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，令，利用共轭复数求得，再代入化简求解即可.
13．（2025高三上·上虞期末）设抛物线的焦点为，点. 若线段的中点在抛物线上，则焦点到准线的距离为 .
【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，
点 ，则线段的中点为，
因为点在抛物线上，所以，解得，
则焦点到准线的距离为.
故答案为：.
【分析】易知抛物线的焦点坐标，再由中点坐标公式求得点，代入抛物线方程求得，再根据抛物线的性质求解即可.
14．（2025高三上·上虞期末）设函数的定义域为.对于，定义集合.已知函数.若对于任意的，都有，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】集合间关系的判断；利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【解答】解：由题意可知：函数在其定义域内为增函数，
要使函数成立，则，即，解得，
则函数的定义域为，，
因为为增函数，所以，在恒成立，
即，，
，当且仅当时等号成立，
故，即实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意可知函数在定义域内单调递增，求函数的定义域，再求导，可得，在恒成立，分离参数结合基本不等式求参数的取值范围即可.
四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高三上·上虞期末）加强儿童青少年近视防控，促进儿童青少年视力健康是中央关心、群众关切、社会关注的“光明工程”．为了解青少年的视力与学习成绩间的关系，对某地区今年初中毕业生的视力和中考成绩进行调查．借助视力表测量视力情况，测量值5.0及以上为正常视力，5.0以下为近视．现从中随机抽取40名学生的视力测量值和中考成绩数据，得到视力的频率分布直方图如图：
其中，近视的学生中成绩优秀与成绩一般的人数比例为，成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为．
（1）根据频率分布直方图的数据，将下面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关；
学习成绩视力情况 视力正常 近视 合计
成绩优秀
成绩一般
合计
（2）将频率视为概率，从该地区今年初中毕业生中随机抽取3人，设近视的学生数为，求的分布列与期望．
附：，其中．
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】解：（1）由图可知，在抽取的40名学生样本中，视力正常的有人，近视的有，
因为近视的学生中成绩优秀与成绩一般的比例是，所以近视的学生中成绩优秀的有，成绩一般的有人；
又因为成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为，所以成绩一般的学生中，视力正常的学生有人，
完善列联表：
视力正常 近视 合计
成绩优秀 4 8 12
成绩一般 12 16 28
合计 16 24 40
零假设：没有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关，
，
则零假设成立，即没有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关；
（2）以频率视为概率，样本中近视的概率为，视力正常的概率为，
由题意可知，近视的学生数的可能取值为0，1，2，3，且服从二项分别，
，
，
，
，
X的分布列为：
0 1 2 3
．
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图结合题意，求出表中的数据，完善列联表，进行零假设，计算的值，对照临界表中的数据，比较即可即可；
（2）近视的学生数的可能取值为0，1，2，3，且服从二项分别，求出其对应的概率，列出分布列，根据数学期望的计算公式求解即可．
16．（2025高三上·上虞期末）已知△中，是边上的点且，面积是面积的 倍.
（1）求 的值；
（2）若， ，求和的面积.
【答案】（1）解：如图所示：
因为，所以为的角平分线，
根据三角形角平分线的性质可知：，
因为，，所以，即；
（2）解：设，
在中，因为，，所以，
所以①，
在中，，，
所以，所以②，
由①②可得，又因为，所以，，
在中，，，，因为，所以角为直角，
所以，
则.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由可得为的角平分线，利用三角形内角平分线的性质定理，结合正弦定理求的值即可；
（2）设，在、中，利用余弦定理分别表示，，结合（1）中的结论，求边，，进而求和的面积.
（1）如图：
由题意，为的角平分线，根据三角形角平分线的性质可知：，
又，，
所以，即.
（2）设，
在中，因为，，所以，所以.
在中，，，所以，
所以.
所以，又，所以，.
在中，，，，因为，所以角为直角，
所以，
所以.
17．（2025高三上·上虞期末）已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有极大值点，且时恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：函数的定义域为，
当时，，易知函数在上单调递增，
当时，函数，，
令，解得，
若，当时，，单调递减，当时，，单调递增；
若，当时，，单调递增，当时，，单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在单调递减，在单调递增，
当时，在单调递增，在单调递减；
（2）解： 若有极大值点 ，由（1）可得，函数，，
当时，；当时，，则为的极大值点，故符合；
当时，恒成立，即恒成立，即恒成立，
只需即可，
令，
，
令，易知恒成立，
故在上单调递减，，所以恒成立，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
且，
故的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，对函数求导，对的取值分类讨论，利用导数判断函数单调性即可；
（2） 若有极大值点 ，由（1）可知，函数，求导，利用导数判断函数的单调性，验证符合，分离参数原问题转化为，即，再构造新函数，求导，利用导数研究函数的单调性求的最大值即可求得的取值范围.
（1）由题意可得当时，在上单调递增，
当时，，令解得，
若，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
若，当时，，单调递增，当时，，单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在单调递减，在单调递增，
当时，在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）可得若有极大值点，则，，
此时，
当时，；当时，，故为的极大值点，
故符合.
当时恒成立，即恒成立，
即恒成立，
令，只需即可，
，
令，则恒成立，
故在上单调递减，，
所以恒成立，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
所以的取值范围为.
18．（2025高三上·上虞期末）已知数列中，，.
（1）计算的值；
（2）记，证明：数列为等比数列；
（3）记，求使成立的的最大值（其中表示不超过的最大整数）.
【答案】（1）解： 数列中，， ，
当时，由，可得，解得，
当时，由，可得，解得；
（2）解：由题意可得，则，
，
即，
因为，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；
（3）解：由（2）可知：，则，
，
因为当时，，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以
，
整理得，解得，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，
则.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的递推公式；数列与不等式的综合；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）根据递推式，给n赋值求即可；
（2）化简递推式可得，然后两边减1化简，再两边取倒减1化简变形，结合等比数列的定义证明即可；
（3）由（2）可求得，从而可求得，则可得，从而可求得，进而可求得使不等式成立的的最大值.
（1）当时，由，得，
因为，所以，解得，
当时，由，得，
所以，解得.
（2）由题意可得，则，
于是，
即，
因为，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列.
（3）由（2）可知：，则.
由得：
，
因为当时，，所以，
所以，所以，
所以，
所以.
所以
，
整理得，解得，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以
所以.
19．（2025高三上·上虞期末）在平面直角坐标系中，过椭圆中心作斜率为的一条弦，将坐标平面沿轴折成一个直二面角.
（1）求折起后的连线与轴所成夹角的大小；
（2）若此椭圆的离心率为，且过点，求：
（ⅰ）椭圆的标准方程；
（ⅱ）设点，过点作平面的垂线，且，问：椭圆上是否存在点，使得三角形的面积与三角形的面积之比为最小？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：在折后的平面内作轴，因为坐标平面沿轴折成一个直二面角，
则折后平面底面，又因为平面底面，且平面，
则底面，建立空间直角坐标系，如图所示：
则由题意知，折后，，则，轴的方向向量，
则，
则，则连线与轴所成夹角的大小为，
所以是等腰直角三角形，即与轴所成夹角为；
（2）（ⅰ）离心率，设，则，解得，，
则椭圆的坐标方程为：；
（ⅱ）在底面内过点作，垂足为，连，
则由坐标平面，即平面，因为平面，则，
又因为，且，平面，
所以平面，因为平面，所以，即，
，
则题意就是要使二面角的平面角最小，
即当最大时，最小，
假设这样的点存在，令，
则
当时，则，
当时，，
当且仅当是取到等号，
直线的方程是，联立，解得，则点.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；用空间向量求直线间的夹角、距离；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得底面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（2）（i）由题意，设，根据和关系即可得到椭圆方程；
（ii）作作，垂足为，利用三角形面积公式转化为求的最小值，即转化为求出的最大值，再结合点到直线的距离公式和基本不等式即可求出其最大值.
（1）在折后的平面内作轴，因为坐标平面沿轴折成一个直二面角，
则折后平面底面，又因为平面底面，且平面，
则底面，则建立如图所示空间直角坐标系，
则由题意知，折后，，则，
轴的方向向量，则，
则，则连线与轴所成夹角的大小为，
所以是等腰直角三角形，即与轴所成夹角为.
（2）（ⅰ）由离心率，
不妨设，则，得：，，
所以椭圆的坐标方程为：.
（ⅱ）在底面内过点作，垂足为，连，
则由坐标平面，即平面，因为平面，则，
又因为，且，平面，
所以平面，因为平面，所以，即.
，
则题意就是要使二面角的平面角最小，
即当最大时，最小.
假设这样的点存在，令，则：
当时，则，
当时，，
当且仅当是取到等号.
此时，的方程是，代入椭圆方程，
即联立，解得或（舍去）
则点.
1 / 1浙江省绍兴市上虞区2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高三上·上虞期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·上虞期末）的展开式中，不含的项是（ ）
A．第项 B．第项
C．第项 D．第项或第项
3．（2025高三上·上虞期末）已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三上·上虞期末）若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高三上·上虞期末）已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三上·上虞期末）设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A． B．
C． D．
7．（2025高三上·上虞期末）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高三上·上虞期末）设分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作切线交轴于点，若，，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9．（2025高三上·上虞期末）下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件相互独立，且，，则
B．样本数据2，2，3，4，6，8，9，10，12，12的上四分位数为11
C．某分层抽样有层，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，则总方差为
D．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与点的残差相等，则
10．（2025高三上·上虞期末）已知函数的最大值为，则下列说法中，正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数图象的一个对称中心为
D．函数在区间上单调递减
11．（2025高三上·上虞期末）在边长为的正三角形中，分别是上的动点（不含端点），将沿着翻折至，则（ ）
A．四棱锥必存在一个外接球
B．当∥时，四棱锥体积的最大值是
C．当是的中位线，且时，则是等腰直角三角形
D．当是的中位线，且时，四棱锥外接球表面积是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高三上·上虞期末）已知，则 .
13．（2025高三上·上虞期末）设抛物线的焦点为，点. 若线段的中点在抛物线上，则焦点到准线的距离为 .
14．（2025高三上·上虞期末）设函数的定义域为.对于，定义集合.已知函数.若对于任意的，都有，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高三上·上虞期末）加强儿童青少年近视防控，促进儿童青少年视力健康是中央关心、群众关切、社会关注的“光明工程”．为了解青少年的视力与学习成绩间的关系，对某地区今年初中毕业生的视力和中考成绩进行调查．借助视力表测量视力情况，测量值5.0及以上为正常视力，5.0以下为近视．现从中随机抽取40名学生的视力测量值和中考成绩数据，得到视力的频率分布直方图如图：
其中，近视的学生中成绩优秀与成绩一般的人数比例为，成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为．
（1）根据频率分布直方图的数据，将下面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关；
学习成绩视力情况 视力正常 近视 合计
成绩优秀
成绩一般
合计
（2）将频率视为概率，从该地区今年初中毕业生中随机抽取3人，设近视的学生数为，求的分布列与期望．
附：，其中．
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
16．（2025高三上·上虞期末）已知△中，是边上的点且，面积是面积的 倍.
（1）求 的值；
（2）若， ，求和的面积.
17．（2025高三上·上虞期末）已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有极大值点，且时恒成立，求的取值范围.
18．（2025高三上·上虞期末）已知数列中，，.
（1）计算的值；
（2）记，证明：数列为等比数列；
（3）记，求使成立的的最大值（其中表示不超过的最大整数）.
19．（2025高三上·上虞期末）在平面直角坐标系中，过椭圆中心作斜率为的一条弦，将坐标平面沿轴折成一个直二面角.
（1）求折起后的连线与轴所成夹角的大小；
（2）若此椭圆的离心率为，且过点，求：
（ⅰ）椭圆的标准方程；
（ⅱ）设点，过点作平面的垂线，且，问：椭圆上是否存在点，使得三角形的面积与三角形的面积之比为最小？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
解不等式，可得，即集合，
则，
故答案为：A.
【分析】先解对数函数和一元二次不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：展开式的通项为：，
令，解得，则展开式中不含项是第13项.
故答案为：C.
【分析】写出展开式的通项，令的幂指数为0求解即可.
3．【答案】C
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，则，
向量在方向上的投影向量为，
则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量模的坐标表示求得，再根据投影向量公式计算即可.
4．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
可得，
则，
即，
则.
故答案为：C.
【分析】利用两角和差的正、余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系化简求值即可.
5．【答案】B
【知识点】数列的应用；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：，
当，即，解得或，
因为，所以当或时，，当时，，
则当时，取得最小值.
故答案为：B.
【分析】将数列的通项公式化简变形可得，易知当或时，，当时，，从而求出取到最小值时的值即可.
6．【答案】B
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：记为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，如图所示：
易得，过作交于，过作，交于，
则，
则，即，，即.
故答案为：B.
【分析】记为中点，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，可得，表示角，，比较大小即可.
7．【答案】C
【知识点】排列及排列数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：6个集装箱不同的取法有种不同的取法，
每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱， 即顺序确定，属于定序问题，
则在装运过程中不同取法的种数是.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据定序问题解法求解即可.
8．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设点在第一象限，连接，如图所示：
由双曲线的光学性质可知：切线为的角平分线，
由，可得，
又因为，所以，所以，
在中，由正弦定理，
可得，即，
则.
故答案为：D.
【分析】不妨设点在第一象限，连接，由双曲线的光学性质可知：切线为的角平分线，由题意，求得各个内角，结合正弦定理求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；回归分析；相互独立事件；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、事件与事件相互独立，且，，
则，，故A正确；
B、样本数据2，2，3，4，6，8，9，10，12，12，，则该组数据的上四分位数为第8个数10，故B错误；
C、由题意可得：两层的样本总数为，
总平均数为，
总方差为，故C正确；
D、若样本点与点的残差相等，则，
解得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用独立事件的概率公式求解即可判断A；根据百分位数的定义求解即可判断B；根据分层抽样的平均数、方差公式求解即可判断C；根据残差的概念求解即可判断D.
10．【答案】A,B
【知识点】两角和与差的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数
，
，其中，
因为函数的最大值为2，所以，
所以，解得，
又因为，所以，则函数
；
A、由分析可知：，故A正确；
B、函数，则的最小正周期为，故B正确；
C、令，则，当时，，
则图象的一个对称中心为，故C错误；
D、当时，，则，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用余弦的二倍角公式，结合两角和的余弦公式以及辅助角公式化简函数，再根据函数的最大值为2，结合求出的值，从而可得函数解析式，再逐项分析判断即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、根据题意，在边长为的正三角形中，
分别是上的动点（不含端点），
当与不平行时，四边形对角不互补，
则四边形没有外接圆，即四棱锥没有外接球，故A错误；
B、当∥时，设时，则，
则，
要使四棱锥体积的最大，则平面平面，
此时四棱锥的高为，
四棱锥体积，
则，
当，，则单调递增，
当，，则单调递减，
故当时，，故B正确；
C、当是的中位线，连接，则，又，
平面，所以平面，
而平面，所以，
所以，
取中点，连接，
由于，而，则，
，平面，所以平面，
所以平面，则，所以，
则是等腰直角三角形，
又，所以是等腰直角三角形，故C正确；
D、根据C选项，可知，
所以点为四棱锥外接球球心，半径为2，
所以四棱锥外接球表面积为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，当与不平行时，四边形对角不互补，则四边形没有外接圆，所以四棱锥没有外接球即可判断A；当∥时，设时，要使四棱锥体积的最大，则平面平面，求出体积，利用导数求最值即可判断B；当是的中位线，结合条件可得平面，从而得，又平面，从而得则是等腰直角三角形即可判断C；根据C选项，点为四棱锥外接球球心，半径为2，求四棱锥外接球表面积即可判断D.
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的加减运算；共轭复数
【解析】【解答】解：令，则，即，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，令，利用共轭复数求得，再代入化简求解即可.
13．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，
点 ，则线段的中点为，
因为点在抛物线上，所以，解得，
则焦点到准线的距离为.
故答案为：.
【分析】易知抛物线的焦点坐标，再由中点坐标公式求得点，代入抛物线方程求得，再根据抛物线的性质求解即可.
14．【答案】
【知识点】集合间关系的判断；利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【解答】解：由题意可知：函数在其定义域内为增函数，
要使函数成立，则，即，解得，
则函数的定义域为，，
因为为增函数，所以，在恒成立，
即，，
，当且仅当时等号成立，
故，即实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意可知函数在定义域内单调递增，求函数的定义域，再求导，可得，在恒成立，分离参数结合基本不等式求参数的取值范围即可.
15．【答案】解：（1）由图可知，在抽取的40名学生样本中，视力正常的有人，近视的有，
因为近视的学生中成绩优秀与成绩一般的比例是，所以近视的学生中成绩优秀的有，成绩一般的有人；
又因为成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为，所以成绩一般的学生中，视力正常的学生有人，
完善列联表：
视力正常 近视 合计
成绩优秀 4 8 12
成绩一般 12 16 28
合计 16 24 40
零假设：没有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关，
，
则零假设成立，即没有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关；
（2）以频率视为概率，样本中近视的概率为，视力正常的概率为，
由题意可知，近视的学生数的可能取值为0，1，2，3，且服从二项分别，
，
，
，
，
X的分布列为：
0 1 2 3
．
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图结合题意，求出表中的数据，完善列联表，进行零假设，计算的值，对照临界表中的数据，比较即可即可；
（2）近视的学生数的可能取值为0，1，2，3，且服从二项分别，求出其对应的概率，列出分布列，根据数学期望的计算公式求解即可．
16．【答案】（1）解：如图所示：
因为，所以为的角平分线，
根据三角形角平分线的性质可知：，
因为，，所以，即；
（2）解：设，
在中，因为，，所以，
所以①，
在中，，，
所以，所以②，
由①②可得，又因为，所以，，
在中，，，，因为，所以角为直角，
所以，
则.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由可得为的角平分线，利用三角形内角平分线的性质定理，结合正弦定理求的值即可；
（2）设，在、中，利用余弦定理分别表示，，结合（1）中的结论，求边，，进而求和的面积.
（1）如图：
由题意，为的角平分线，根据三角形角平分线的性质可知：，
又，，
所以，即.
（2）设，
在中，因为，，所以，所以.
在中，，，所以，
所以.
所以，又，所以，.
在中，，，，因为，所以角为直角，
所以，
所以.
17．【答案】（1）解：函数的定义域为，
当时，，易知函数在上单调递增，
当时，函数，，
令，解得，
若，当时，，单调递减，当时，，单调递增；
若，当时，，单调递增，当时，，单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在单调递减，在单调递增，
当时，在单调递增，在单调递减；
（2）解： 若有极大值点 ，由（1）可得，函数，，
当时，；当时，，则为的极大值点，故符合；
当时，恒成立，即恒成立，即恒成立，
只需即可，
令，
，
令，易知恒成立，
故在上单调递减，，所以恒成立，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
且，
故的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，对函数求导，对的取值分类讨论，利用导数判断函数单调性即可；
（2） 若有极大值点 ，由（1）可知，函数，求导，利用导数判断函数的单调性，验证符合，分离参数原问题转化为，即，再构造新函数，求导，利用导数研究函数的单调性求的最大值即可求得的取值范围.
（1）由题意可得当时，在上单调递增，
当时，，令解得，
若，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
若，当时，，单调递增，当时，，单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在单调递减，在单调递增，
当时，在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）可得若有极大值点，则，，
此时，
当时，；当时，，故为的极大值点，
故符合.
当时恒成立，即恒成立，
即恒成立，
令，只需即可，
，
令，则恒成立，
故在上单调递减，，
所以恒成立，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
所以的取值范围为.
18．【答案】（1）解： 数列中，， ，
当时，由，可得，解得，
当时，由，可得，解得；
（2）解：由题意可得，则，
，
即，
因为，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；
（3）解：由（2）可知：，则，
，
因为当时，，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以
，
整理得，解得，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，
则.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的递推公式；数列与不等式的综合；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）根据递推式，给n赋值求即可；
（2）化简递推式可得，然后两边减1化简，再两边取倒减1化简变形，结合等比数列的定义证明即可；
（3）由（2）可求得，从而可求得，则可得，从而可求得，进而可求得使不等式成立的的最大值.
（1）当时，由，得，
因为，所以，解得，
当时，由，得，
所以，解得.
（2）由题意可得，则，
于是，
即，
因为，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列.
（3）由（2）可知：，则.
由得：
，
因为当时，，所以，
所以，所以，
所以，
所以.
所以
，
整理得，解得，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以
所以.
19．【答案】（1）解：在折后的平面内作轴，因为坐标平面沿轴折成一个直二面角，
则折后平面底面，又因为平面底面，且平面，
则底面，建立空间直角坐标系，如图所示：
则由题意知，折后，，则，轴的方向向量，
则，
则，则连线与轴所成夹角的大小为，
所以是等腰直角三角形，即与轴所成夹角为；
（2）（ⅰ）离心率，设，则，解得，，
则椭圆的坐标方程为：；
（ⅱ）在底面内过点作，垂足为，连，
则由坐标平面，即平面，因为平面，则，
又因为，且，平面，
所以平面，因为平面，所以，即，
，
则题意就是要使二面角的平面角最小，
即当最大时，最小，
假设这样的点存在，令，
则
当时，则，
当时，，
当且仅当是取到等号，
直线的方程是，联立，解得，则点.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；用空间向量求直线间的夹角、距离；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得底面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（2）（i）由题意，设，根据和关系即可得到椭圆方程；
（ii）作作，垂足为，利用三角形面积公式转化为求的最小值，即转化为求出的最大值，再结合点到直线的距离公式和基本不等式即可求出其最大值.
（1）在折后的平面内作轴，因为坐标平面沿轴折成一个直二面角，
则折后平面底面，又因为平面底面，且平面，
则底面，则建立如图所示空间直角坐标系，
则由题意知，折后，，则，
轴的方向向量，则，
则，则连线与轴所成夹角的大小为，
所以是等腰直角三角形，即与轴所成夹角为.
（2）（ⅰ）由离心率，
不妨设，则，得：，，
所以椭圆的坐标方程为：.
（ⅱ）在底面内过点作，垂足为，连，
则由坐标平面，即平面，因为平面，则，
又因为，且，平面，
所以平面，因为平面，所以，即.
，
则题意就是要使二面角的平面角最小，
即当最大时，最小.
假设这样的点存在，令，则：
当时，则，
当时，，
当且仅当是取到等号.
此时，的方程是，代入椭圆方程，
即联立，解得或（舍去）
则点.
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