5 弹性碰撞和非弹性碰撞
[物理观念] 2.不变 减少 最大
[科学推理] m1v1+m2v2=(m1+m2)v
m1+m2-(m1+m2)v2
例1 (1)0.1 m/s (2)0.135 J (3)0.7 m/s 0.8 m/s
[解析] (1)取质量为300 g物体的初速度方向为正方向,由题意知m1=300 g=0.3 kg,m2=200 g=0.2 kg,v1=50 cm/s=0.5 m/s,v2=-100 cm/s=-1 m/s
设两物体碰撞后粘合在一起的共同速度为v
由动量守恒定律得m1v1+m2v2=(m1+m2)v
代入数据解得v=-0.1 m/s,负号表示方向与v1的方向相反
(2)在(1)的情况下,碰撞后两物体损失的动能为
ΔEk=m1+m2-(m1+m2)v2
代入数据解得ΔEk=0.135 J
(3)如果碰撞是弹性碰撞,设碰后甲、乙两物体的速度分别为v1'、v2',由动量守恒定律得
m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'
由机械能守恒定律得
m1+m2=m1v1'2+m2v2'2
代入数据得v1'=-0.7 m/s,v2'=0.8 m/s,负号表示方向与v1方向相反
变式1 (1)2.9 m/s (2)非弹性碰撞
[解析] (1)设碰撞前保龄球的速度为v1,根据动量守恒定律有Mv1=Mv1'+mv2
解得v1=2.9 m/s
(2)保龄球和球瓶组成的系统初、末动能分别为
Ek0=M=21.025 J
Ek1=Mv1'2+m=16.75 J
因为Ek1
例2 AD [解析] 规定水平向右的方向为正方向,碰撞过程中A、B组成的系统动量守恒,所以有pA=pA'+pB,解得pB=3 kg·m/s,A正确,B错误;由于是弹性碰撞,所以没有动能损失,故=+,解得mB=3 kg,C错误,D正确.
变式2 D [解析] 由于甲球与乙球发生碰撞时间极短,乙球的位置来不及发生变化,这样乙球对丙球也就无法产生力的作用,即丙球不会参与此次碰撞过程,而甲球与乙球发生的是弹性碰撞,质量又相等,故它们在碰撞中实现速度交换,碰后甲球立即停止,乙球速度立即变为v,此后乙球与丙球碰撞,再一次实现速度交换,所以碰后甲球和乙球的速度为零,丙球的速度为v,故选D.
变式3 C [解析] A与B相碰时,由于A的质量小于B,故A被弹回,B获得速度与C碰撞,由于发生的碰撞为弹性碰撞且两球质量相等,故B静止,C获得速度,同理,C和D的碰撞及D与E的碰撞都是如此,E获得速度后与F碰撞的过程中,由于E的质量大于F,故碰后E、F都向右运动,所以碰撞之后,A、E、F三球运动,B、C、D三球静止,故选C.
例3 AB [解析] 碰前甲的速度大于乙的,有>,代入数据解得<,根据动量守恒定律得p1+p2=p1'+p2',解得p1'=2 kg·m/s,碰撞过程系统的总动能不增加,有+≤+,代入数据解得≤,碰撞后甲的速度不大于乙的速度,有≤,代入数据解得≥,所以≤≤,故A、B正确,C、D错误.
例4 B [解析] 如果两个小球发生的是完全非弹性碰撞,则有mv=(m+3m)v共,解得v共=,如果两个小球发生的是弹性碰撞,则有mv=mvA+3mvB,mv2=m+×3m,解得vA=-,vB=,故A错误,B正确;A球和B球所受最大冲量相等,根据动量定理有I=3m×=,故C、D错误.
素养提升
示例 CD [解析] 发生弹性碰撞时,根据动量守恒定律及机械能守恒定律有mAv1+mBv2=mAvA+mBvB,mA+mB=mA+mB,得vA=4 m/s ,vB=9 m/s,A球对B球的冲量为I=mBvB-mBv2=6 N·s,A错误;若发生完全非弹性碰撞,则有mAv1+mBv2=(mA+mB)v,得v=7 m/s,则碰撞后A球的速度在4 m/s到7 m/s之间,完全非弹性碰撞的机械能损失最大为ΔE=mA+mB-(mA+mB)v2=7.5 J,B错误,C正确;当两球发生的碰撞是完全非弹性碰撞时,A球对B球的冲量为I'=mBv-mBv2=3 N·s,D正确.
变式4 A [解析] 根据题意,设碰前两小球的速度大小为v,碰后小球乙的速度大小为v'.由动量守恒定律有3mv-mv=0+mv',所以v'=2v,碰前总动能Ek=×3mv2+mv2=2mv2,碰后总动能Ek'=mv'2=2mv2,则有Ek=Ek',即两小球发生的碰撞为弹性碰撞,故选A.
随堂巩固
1.C [解析] 设碰前A球的速度为v0,根据动量守恒定律有mv0=2mv,则压缩最紧(A、B有相同速度)时的速度v=,由系统机械能守恒得m=×2m×+Ep,解得v0=2,故选C.
2.AC [解析] 物体的动量p=,已知两物体动能Ek相等,又知m13.AC [解析] 若小球A与小球B发生完全非弹性碰撞,则有mv0=(m+2m)v,解得v= v0,若小球A与小球B发生弹性碰撞,则有mv0=mvA'+2mvB',m=mvA'2+×2mvB'2,解得vB'=v0,所以碰后B的速度v0≤vB≤v0,故选A、C.
4.BD [解析] 两球发生弹性碰撞,系统的动量守恒,能量守恒,取向右方向为正方向,根据动量守恒定律有m1v1+ m2v2=m1 v1'+m2 v2',由能量守恒定律可知m1+m2=m1v1'2+m2v2'2,联立解得v1'=v1+v2,v2'= v2+v1,若满足m1=m2,则有v1'=v2,v2'= v1,故B、D正确,A、C错误.5 弹性碰撞和非弹性碰撞
学习任务一 弹性碰撞和非弹性碰撞
[物理观念]
1.碰撞过程的特点
(1)碰撞相互作用时间极短.
(2)碰撞相互作用力极大,即内力远大于外力,满足系统动量守恒条件.
(3)可以认为物体在碰撞的瞬间位置不变.
2.填写碰撞从能量角度的分类与特点的相关知识
弹性碰撞 碰撞前后动能
非弹性碰撞 碰撞后动能
完全非弹性碰撞 碰撞后合为一体或碰后具有共同速度,这种碰撞动能损失
[科学推理] 如图所示,质量分别为m1、m2的两个大小相同的球分别以速度v1、v2在光滑的水平面上沿同一直线运动,其中v2>v1,两球碰撞后粘在一起以速度v运动.
系统碰撞前、后动量守恒,有
.
碰撞后系统动能损失ΔEk=
.
例1 质量分别为300 g和200 g的甲、乙两个物体在光滑的水平面上相向运动,速度分别为50 cm/s和100 cm/s.
(1)如果两物体碰撞并粘合在一起,求它们共同的速度大小;
(2)如果两物体碰撞并粘合在一起,求碰撞后损失的动能;
(3)如果碰撞是弹性碰撞,求甲、乙两物体碰撞后的速度大小.
变式1 如图所示,光滑水平桌面上一只质量为5.0 kg的保龄球,撞上一只原来静止、质量为1.5 kg的球瓶.此后球瓶以3.0 m/s的速度向前飞出,而保龄球以2.0 m/s的速度继续向前运动,求:
(1)碰撞前保龄球的速度大小;
(2)通过计算判断该碰撞是弹性碰撞还是非弹性碰撞.
学习任务二 弹性碰撞实例分析
[科学推理] 阅读教材,理解弹性碰撞.
两质量分别为m1、m2的小球发生弹性正碰,入射球的初速度v1≠0,被碰球的初速度v2=0,则有
m1v1=m1v1'+m2v2',
m1=m1v1'2+m2v2'2,
可得v1'=v1,v2'=v1.
分情况讨论:
(1)当m1=m2时,v1'=0,v2'=v1.(质量相等,速度交换)
(2)当m1>m2时,v1'>0,v2'>0,且v2'>v1'.(大碰小,一起跑)
(3)当m10.(小碰大,要反弹)
(4)当m1 m2时,v1'=v1,v2'=2v1.(极大碰极小,大不变,小加倍)
(5)当m1 m2时,v1'=-v1,v2'=0.(极小碰极大,小等速率反弹,大不变)
例2 (多选)如图所示,小球A的质量为mA=5 kg,动量大小为pA=4 kg·m/s,小球A水平向右运动,与静止的小球B发生弹性碰撞,碰后A的动量大小为pA'=1 kg·m/s,方向水平向右(水平面光滑),则 ( )
A.碰后小球B的动量大小为pB=3 kg·m/s
B.碰后小球B的动量大小为pB=5 kg·m/s
C.小球B的质量为15 kg
D.小球B的质量为3 kg
[反思感悟]
变式2 [2024·山东烟台二中月考] 质量相等的甲、乙、丙三个球沿同一直线放在光滑水平面上,如图所示,乙球与丙球靠在一起,且均静止,甲球以速度v向它们滚动.若它们在对心碰撞中无机械能损失,则碰撞后 ( )
A.甲球向左、乙球和丙球向右运动
B.乙球不动,甲球向左、丙球向右运动
C.甲球和乙球向左、丙球向右运动
D.甲球和乙球不动,丙球向右运动
[反思感悟]
变式3 如图所示,B、C、D、E、F五个小球并排放置在光滑的水平面上,B、C、D、E四个球质量相等,而F球的质量小于B球,A球的质量等于F球.若A球以速度v0向B球运动,所发生的碰撞均为弹性碰撞,则碰撞之后 ( )
A.5个小球静止,1个小球运动
B.4个小球静止,2个小球运动
C.3个小球静止,3个小球运动
D.6个小球都运动
[反思感悟]
学习任务三 碰撞的可行性
[物理观念] 弹性碰撞和完全非弹性碰撞是碰撞的两种极限情况,其余的碰撞结果应该是介于这两种极限情况之间.
正碰(即对心碰撞)既不是指弹性碰撞,也不是指完全非弹性碰撞,它是指一维碰撞,即碰撞前、后物体在同一条直线上运动,显然它既可能是弹性碰撞或完全非弹性碰撞,也可能是一般的非弹性碰撞.
例3 (多选)甲、乙两球在光滑水平轨道上同向运动,已知它们的动量分别是p1=4 kg·m/s,p2=6 kg·m/s,甲从后面追上乙并发生碰撞,碰后乙球的动量变为8 kg·m/s,则两球质量m1与m2间的关系可能是 ( )
A.3m1=m2 B.4m1=m2
C.5m1=m2 D.6m1=m2
例4 [2024·河南郑州一中月考] 在光滑水平面上,质量为m、速度大小为v的A球与质量为3m、静止的B球发生对心碰撞,则碰撞后 ( )
A.A球的速度大小可能是
B.B球的速度大小可能是
C.A球所受最大冲量为
D.B球所受最大冲量为
【要点总结】
动碰动的弹性碰撞
情境:若在一光滑水平面上有两个质量分别为m1、m2的刚性小球A和B,分别以初速度v1、v2运动,若它们能发生碰撞(为一维弹性碰撞),碰撞后它们的速度v1'和v2'分别是多大
【列式】碰撞过程中系统动量守恒:m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'
弹性碰撞中没有机械能损失:m1+m2=m1v1'2+m2v2'2
【结论】
v1'=;
v2'=.
示例 (多选)[2024·浙江杭州一中月考] 如图所示,光滑水平面上有一质量mA=1 kg的A球和一质量mB=1.5 kg的B球同向运动.已知A球的初速度v1=10 m/s,B球的初速度v2=5 m/s,运动一段时间后,两球发生对心正碰.下列说法正确的是 ( )
A.当两球发生的碰撞是弹性碰撞时,A球对B球的冲量为7.5 N·s
B.碰撞的过程中,系统损失的机械能可能为8 J
C.碰撞后,A球的速度可能为5 m/s
D.当两球发生的碰撞是完全非弹性碰撞时,A球对B球的冲量为3 N·s
[反思感悟]
变式4 [2024·福建福州期末] 小球甲、乙的质量之比为3∶1,两小球沿光滑的水平面在同一直线上以大小相等、方向相反的速度相对运动,经过一段时间两小球发生碰撞,碰后小球甲静止在光滑的水平面上,则下列说法正确的是 ( )
A.两小球发生的碰撞为弹性碰撞
B.两小球发生的碰撞为非弹性碰撞
C.两小球发生的碰撞为完全非弹性碰撞
D.由于题中的条件不充分,则该碰撞无法确定
[反思感悟]
1.(弹性碰撞)[2024·北京一中月考] 在光滑水平面上有两个相同的弹性小球A、B,质量都为m,B球静止,A球向B球运动,发生正碰.已知碰撞过程中机械能守恒,两球压缩最紧时弹性势能为Ep,则碰前A球的速度为 ( )
A. B.
C.2 D.2
2.(完全非弹性碰撞) (多选)如图所示,物体1和物体2在光滑水平面上以相同动能相向运动,它们的质量分别为m1和m2,且m1A.两物体将向左运动
B.两物体将向右运动
C.两物体组成系统能量损失最大
D.两物体组成系统能量损失最小
3.(碰撞的可行性)(多选)质量为m的小球A沿光滑水平面以速度v0与质量为2m的静止小球B发生正碰,则碰后B的速度可能是 ( )
A.v0 B.v0
C.v0 D.v0
4.(动碰动的弹性碰撞)(多选)如图所示,质量为m1的小球A以速度v1向右在光滑的地面上运动,质量为m2的小球B以速度v2也向右运动,且v1>v2,两球发生弹性碰撞,碰撞后的A的速度为v1',B的速度为v2',则 ( )
A.v1'=v2+v1
v2'=v1+v2
B.v1'=v1+v2
v2'=v2+v1
C.若m1=m2,则v1'=v1,v2'=v2
D.若m1=m2,则v1'=v2,v2'=v15 弹性碰撞和非弹性碰撞(A)
1.AB [解析] 选项A为非弹性碰撞,说法成立;选项B为弹性碰撞,说法成立;总动能为零时,其总动量一定为零,故选项C说法不成立;总动量守恒,则系统内各物体动量的变化量的总和一定为零,选项D说法不成立.
2.ABD [解析] 碰撞前A、B两球动能相同,且mA>mB,由Ek=mv2可得vB>vA,由动量和动能的关系p=可得pA>pB;由动量守恒定律可知,碰撞前后A球的动量变化量大小等于B球的动量变化量大小,碰撞后A球的速度一定为零,B球朝反方向运动,故A、B、D正确,C错误.
3.A [解析] 由图可知碰撞前A球的速度为6 m/s,碰撞后为-2 m/s,碰撞后B球速度为4 m/s,设A球质量为m,则有p初=mvA=6m,p末=mvA'+2mvB'=6m,E初=m=18m,E末=mvA'2+×2mvB'2=18m,则可得A、B两球组成的系统动量和机械能都守恒,故选A.
4.ABC [解析] 由于碰撞过程中无机械能损失,故是弹性碰撞,设甲、乙的质量分别为m1、m2,根据动量守恒定律和机械能守恒定律可以解得碰后甲的速度v1'=v1,乙的速度v2'=v1,当m1=m2时,v2'=v1,A正确;当m1 m2时,v2'=2v1,B正确;当m1 m2时,v1'=-v1,C正确;甲、乙碰撞过程中,只有甲对乙的力对乙做功,根据动能定理(合外力对物体做的功等于物体动能的变化)可知,D错误.
5.C [解析] 相同的小球在碰撞过程中满足动量守恒,机械能守恒,所以碰撞后进行速度交换,第1个球由静止释放后,与第2个球碰撞时,进行速度交换,依次类推,所以最终第5个球获得与第1个球相同的动量,应向右摆到与第1个球相同的高度处,故A错误;第1、2个球向右摆动,最终第4、5个球获得与第1、2个球相同的动量,摆到相同的高度,故B错误;第1、2、3个球一起向右摆动,速度交换后,最终第3、4、5个球获得与第1、2、3个球相同的动量,摆到相同的高度,故C正确;第1、2个球一起向右摆动,第4、5个球一起向左摆动,系统总动量为零,所以速度交换后,最终第1、2个球获得与第4、5个球相同的动量向左摆动,第4、5个球获得与第1、2个球相同的动量向右摆动,最终摆到相同的高度,故D错误.
6.2v0,方向向左 v0,方向向右
[解析] 规定向右为正方向,设碰后A、B的速度为vA、vB,A、B两滑块组成系统动量守恒,有
m·2v0-2m·v0=mvA+2mvB
由系统机械能守恒有
m(2v0)2+·2m=m+·2m
联立以上方程可解得
vA=-2v0,vB=v0
则碰后滑块A速度为2v0,方向向左,滑块B速度为v0,方向向右.
7.AD [解析] 设中子的质量为m,则氢核的质量为m,氮核的质量为14m,设中子和氢核碰撞后中子速度为v3,由动量守恒定律和机械能守恒定律可得mv0=mv1+mv3,m=m+m,联立解得v1=v0,设中子和氮核碰撞后中子速度为v4,由动量守恒定律和机械能守恒定律可得mv0=14mv2+mv4,m=×14m+m,联立解得v2=v0,可得v1=v0>v2,选项A正确,B错误;碰撞后氢核的动量为pH=mv1=mv0,氮核的动量为pN=14mv2=,可得pN>pH,选项C错误;碰撞后氢核的动能为EkH=m=m,氮核的动能为EkN=·14m=,可得EkH>EkN,选项D正确.
8.D [解析] 图像的斜率等于速度,可知碰撞后A的动量为pA=mAvA=2× kg·m/s=2 kg·m/s,选项A、B错误;碰撞后B的动量为pB=mBvB,vB= m/s=1 m/s,碰撞前A的动量为pA0=mAvA0=2× kg·m/s=8 kg·m/s,碰前B的动量为零,则由动量守恒定律可知mAvA0=mBvB+mAvA,解得mB=6 kg,选项C错误;碰撞过程中合外力对B的冲量为I=pB=6 N·s,选项D正确.
9.B [解析] 设甲球的初速度为v0,碰撞后甲球的速度大小为v1,乙球的速度大小为v2,从发生第一次碰撞到再次碰撞的时间间隔为t,甲、乙两球发生弹性碰撞则有km·v0=-kmv1+mv2,km=km+m,小球碰撞后,甲球运动了圆弧,乙球运动了圆弧之后再次发生碰撞,则有=,联立解得k=,B正确.
10.0 m/s m/s
[解析] 设丙球质量为m,则甲、乙两球的质量为2m,小球甲、小球乙发生弹性碰撞,碰后甲、乙两球的速度分别为v甲、v1,根据动量守恒定律及能量守恒定律有
2m·v0=2m·v1+2mv甲
·2m·=·2m·+·2m·
解得v甲=0,v1=4 m/s
小球乙和小球丙碰撞没有能量损失,设碰后乙、丙两球的速度分别为v乙、v丙,根据动量守恒定律及能量守恒定律有
2m·v1=2m·v乙+mv丙
·2m·=·2m·+m·
解得v乙= m/s,v丙= m/s
11.0.35 m
[解析] B球落地时的速度大小为
v1== m/s=2 m/s
此时A球的速度大小也为2 m/s
设B球撞地后上升t时间与A球相撞,则有
H-h=+
解得t=0.1 s
两球相撞前瞬间A球的速度大小为
vA=v1+gt=3 m/s
B球的速度大小为vB=v1-gt=1 m/s
对于碰撞过程,取向上为正方向,由动量守恒定律得5mvB-mvA=mvA'
解得vA'=2 m/s
两球第一次碰撞后小球A能上升的最大高度
h'==0.2 m
两球碰撞处离地高度
h″=v1t-gt2=0.15 m
所以两球第一次碰撞后小球A能达到的最大高度为H'=h'+h″=0.35 m.5 弹性碰撞和非弹性碰撞(A) (时间:40分钟 总分:68分)
(选择题每小题4分)
◆ 知识点一 碰撞中的守恒量
1.(多选)在两个物体碰撞前后,下列说法中可以成立的是 ( )
A.作用后的总动能比作用前小,但总动量守恒
B.作用前后总动量均为零,但总动能守恒
C.作用前后总动能为零,而总动量不为零
D.作用前后总动量守恒,而系统内各物体的动量变化量的总和不为零
2.(多选)[2024·湖南长沙一中月考] 动能相同的A、B两球(mA>mB)在光滑的水平面上相向运动,两球相碰后,若其中一球停止运动,则可判定 ( )
A.碰撞前A球的速度小于B球的速度
B.碰撞前A球的动量大于B球的动量
C.碰撞前后A球的动量变化量大于B球的动量变化量
D.碰撞后A球的速度一定为零,B球朝反方向运动
3.在水平面上小球A与静止的小球B发生对心碰撞(指碰撞前后速度方向在同一条直线上),不计碰撞相互作用的时间,它们在碰撞前后的v t图像如图所示,已知B球的质量是A球质量的2倍,在碰撞过程中,下列说法正确的是 ( )
A.A、B两球组成的系统动量和机械能都守恒
B.A、B两球组成的系统动量和机械能都不守恒
C.A、B两球组成的系统动量不守恒,但机械能守恒
D.A、B两球组成的系统动量守恒,但机械能不守恒
◆ 知识点二 弹性碰撞的实例分析
4.(多选)甲物体在光滑水平面上的运动速度为v1,与静止的乙物体相碰,碰撞过程中无机械能损失.下列结论正确的是 ( )
A.乙的质量等于甲的质量时,碰撞后乙的速度为v1
B.乙的质量远远小于甲的质量时,碰撞后乙的速度为2v1
C.乙的质量远远大于甲的质量时,碰撞后甲的速度为-v1
D.碰撞过程中甲对乙做的功大于乙的动能增量
5.[2025·江苏南京期末] 如图所示,牛顿摆是一组相互紧挨且悬挂在同一水平线上的相同小钢球,小明用牛顿摆进行探究活动, 下列四组实验中左图为释放前的初始状态,右图为他预测的某些球升至最高点的状态,则下列选项中可能与实际情况相符的是 ( )
A
B
C
D
6.(10分)[2024·湖北黄冈中学高二月考] 如图所示,两滑块A、B在光滑水平面上沿同一直线相向运动,滑块A的质量为m,速度大小为2v0,方向向右,滑块B的质量为2m,速度大小为v0,方向向左,求A、B两滑块发生弹性碰撞后的速度.
7.(多选)1932年,查德威克用未知射线轰击氢核,发现这种射线是由质量与质子大致相等的中性粒子(即中子)组成.如图所示,中子以速度v0分别碰撞静止的氢核和氮核,碰撞后氢核和氮核的速度分别为v1和v2.若碰撞为弹性正碰,氮核质量是氢核质量的14倍,氢核质量与中子大致相等,不考虑相对论效应,下列说法正确的是 ( )
A.v2小于v1
B.v2大于v0
C.碰撞后氮核的动量比氢核的小
D.碰撞后氮核的动能比氢核的小
8.[2024·江苏盐城中学月考] 在光滑的水平面上,一个质量为2 kg的物体A与另一物体B发生正碰,碰撞时间不计,两物体的位置随时间变化规律如图所示,以A物体碰前速度方向为正方向,下列说法正确的是 ( )
A.碰撞后A的动量为6 kg·m/s
B.碰撞后A的动量为4 kg·m/s
C.物体B的质量为2 kg
D.碰撞过程中合外力对B的冲量为6 N·s
9.[2025·江苏南京期末] 内壁光滑的圆环管道固定于水平面上,图为水平面的俯视图.O为圆环圆心,直径略小于管道内径的甲、乙两个等大的小球(均可视为质点)分别静置于P、Q处,PO⊥OQ,甲、乙两球质量分别为km、m.现给甲球一瞬时冲量,使甲球沿图示方向运动,甲、乙两球发生弹性碰撞,碰撞时间不计,碰后甲球立即反弹,甲球刚到P'处时,恰好与乙球再次发生碰撞,则 ( )
A.k=
B.k=
C.k=
D.k=
10.(10分)[2025·贵州六盘水期末] 如图所示,在光滑水平面上有三个小球,三个小球的质量m甲∶m乙∶m丙=2∶2∶1,小球乙、丙静止且并排靠着,小球甲以v0=4 m/s的速度与小球乙发生弹性碰撞,碰撞时间极短,所有碰撞都没有能量损失,求最终三个小球的速度大小v甲、v乙、v丙.
11.(16分)如图所示,小球A和小球B位于同一竖直线上,小球A距水平地面的高度为H=0.6 m,小球B距水平地面的高度为h=0.2 m,同时由静止释放两球.设B和地面为弹性碰撞,两球碰撞后B球速度为0,小球A的质量为m,小球B的质量为5m.重力加速度g取10 m/s2,忽略小球的直径、空气阻力及碰撞时间,小球所受重力远小于碰撞力.以地面为参考面,求两球第一次碰撞后小球A达到的最大高度.5 弹性碰撞和非弹性碰撞(B)
1.C [解析] 碰撞过程中,三个物块组成的系统动量守恒,有mv0=3mv1,得v1=,又因为Ek=m,Ek'=×3m,联立解得Ek'=×3m=×=,故C正确.
2.C [解析] 两球相碰前,由机械能守恒定律得mgL(1-cos 60°)=m,解得v1=,两球相碰过程中,由动量守恒定律得mv1=2mv2,解得v2=,碰后两球一起摆动,由机械能守恒定律得×2m=2mgh,解得h=L,选项C正确.
3.A [解析] 甲、乙相碰过程系统动量守恒,有m甲v甲+m乙v乙=m甲v甲'+m乙v乙',代入图像数据得,m乙=6 kg,碰撞过程两物块损失的机械能为ΔE=m甲+m乙-m甲v甲'2-m乙v乙'2,得ΔE=3 J,故A项正确.
4.A [解析] 根据碰后A球的动能恰好变为原来的,可得mv2=×m,解得vA=±v0,碰撞过程中小球A、B组成的系统动量守恒,则有mv0=mvA+2mvB,解得vB=v0或v0,故选A.
5.BC [解析] 设物体A碰前速度为v0,若两物体发生非弹性碰撞,则mv0=(m+3m)v,此时Ek=·3mv2,解得碰撞之前物体A的动能EkA=m=Ek,若两物体发生弹性碰撞,则有mv0=mv1+3mv2,m=m+·3m,解得v1=-v0,v2=v0,此时Ek=·3m,解得碰撞之前物体A的动能E'kA=m=Ek,则碰撞之前物体A的动能可能为3Ek和5Ek,B、C正确.
6.A [解析] 设两球质量均为m.碰撞前总动量p=pA+pB=12 kg·m/s,碰撞前总动能为Ek=+=+=(J),若pA'=6 kg·m/s,pB'=6 kg·m/s,则碰撞后总动量p'=pA'+pB'=12 kg·m/s,碰撞后总动能为Ek'=+=(J)<(J),满足动量守恒和总动能不增加原则,故A正确;若碰撞后pA'=8 kg·m/s,pB'=4 kg·m/s,可知碰撞后A的速度大于B的速度,不符合速度合理性,故B错误;若碰撞后pA'=2 kg·m/s,pB'=14 kg·m/s,则碰撞后总动量p'=pA'+pB'=16 kg·m/s,不满足动量守恒,故C错误;若碰撞后pA'=-4 kg·m/s,pB'=8 kg·m/s,则碰撞后总动量为p'=pA'+pB'=4 kg·m/s,不满足动量守恒,故D错误.
7.B [解析] 小球A从释放到最低点,由动能定理可知mg(L-Lcos 60°)=m-0,解得vA=,若A与B发生弹性碰撞,由能量守恒定律和动量守恒定律可知两者交换速度,即vB=vA=,B球上升过程中由动能定理可知-mgh=0-m,解得h=,若A与B发生完全非弹性碰撞即A、B粘在一起,由动量守恒定律可知mvA=2mv,解得v=,在A、B上升过程中,由动能定理可知-2mgh=0-×2mv2,解得h=,所以B球上升的高度≤h≤,高度可能是,B正确.
8.D [解析] 已知x t图的斜率代表速度,则vA=6 m/s,vA'=2 m/s,vB=3 m/s,vB'=5 m/s,根据动量定理有IA=mAvA'-mAvA =-4 N·s,IB=mBvB'-mBvB,再根据动量守恒定律有mAvA + mBvB=mAvA' + mBvB',解得mB=2 kg,IB=4 N·s,A、B、C错误;碰撞前、后系统的总动能分别为Ek=mA+mB=27 J,Ek'=mAvA'2+mBvB'2=27 J,则A、B两球发生的是弹性碰撞,D正确.
9.BCD [解析] 由题意可知,A、B系统所受合外力为零,系统动量守恒,故A错误;由图像可知vA=2.5 m/s,vA'=1 m/s,vB=0.5 m/s,vB'=3.0 m/s,碰撞前A的速度大于B的速度,碰撞后A的速度小于B的速度,碰撞过程A的速度减小,B的速度增大,碰撞过程是A追上B发生碰撞,故C正确;A、B组成的系统碰撞过程系统动量守恒,以A的初速度方向为正方向,由动量守恒定律得mAvA+mBvB=mAvA'+mBvB',代入数据解得mA∶mB=5∶3,故B正确;设A的质量为5m,则B的质量为3m,碰撞前系统总动能Ek1=·5m·+·3m·=16m,碰撞后系统总动能Ek1=·5m·12+·3m·32=16m,碰撞前后系统动能相等,碰撞为弹性碰撞,故D正确.
10.(1)1 m/s (2)1.25 J
[解析] (1)A、B两球相碰满足动量守恒定律,以v0的方向为正方向,有mv0=2mv1
代入数值解得v1=1 m/s,即两球跟C球相碰前的速度大小为1 m/s.
(2)两球与C球碰撞同样满足动量守恒定律,以v0的方向为正方向,有2mv1=mvC+2mv2
解得A、B球碰后的速度v2=0.5 m/s
两次碰撞共损失的动能
ΔEk=m-×2m-m=1.25 J.
11.(1)3 m/s (2)56 N (3)0.7
[解析] (1)子弹射击砂箱过程,据动量守恒定律可得m0v=(m0+M)v1
解得v1=3 m/s.
(2)子弹刚打入砂箱时,据牛顿第二定律可得
F-(m0+M)g=(m0+M)
解得F=56 N.
由牛顿第三定律得,砂箱对轻绳的作用力大小
F'=F=56 N
(3)子弹与砂箱共同上摆过程中,设最大摆角为θ,此时圆环与子弹和砂箱共速,设速度为v2,由水平方向动量守恒得(m0+M)v1=(m0+m+M)v2
根据机械能守恒定律可得
(m0+M)=(m0+M)gL(1-cos θ)+(m0+m+M)
联立解得cos θ=0.7.
12.BD [解析] 设撞碰后蓝壶的速度为v,由图乙可知,碰撞前红壶的速度v0=1.0 m/s,碰撞后速度为v1=0.2 m/s,红、蓝两壶组成的系统,在碰撞中动量守恒,则有mv0=mv1+mv,解得碰撞后蓝壶的瞬时速度v=0.8 m/s,碰撞前,两壶的机械能为Ek1=m=0.5m,碰撞后,两壶的机械能为Ek2=m+mv2=0.34m,所以,碰撞前后机械能变化量为ΔEk=Ek1-Ek2=0.16m,所以红、蓝两壶的碰撞是非弹性碰撞,A错误,B正确;由图像可知,碰后蓝壶移动的距离为x=t=×5 m=2.0 m,C错误;红、蓝两壶碰后至停止运动过程中,所受摩擦力的冲量大小等于两壶碰后动量的损失量,由动量定理得I红=mv1=0.2m,I蓝=mv=0.8m,则两壶所受摩擦力的冲量之比为I红∶I蓝=1∶4,D正确.5 弹性碰撞和非弹性碰撞(B) (时间:40分钟 总分:60分)
(选择题每小题4分)
◆ 知识点一 非弹性碰撞
1.质量相等的三个物块在一光滑水平面上排成一直线,且彼此隔开了一定的距离,如图所示.具有动能Ek的第1个物块向右运动,依次与其余两个静止物块发生碰撞,最后这三个物块粘在一起,这个整体的动能为 ( )
A.Ek B.
C. D.
2.如图所示,不可伸长的细线上端固定于O点,其下端系一小球,静止时细线长为L.现将细线和小球拉至图中实线位置,此时细线与竖直方向的夹角为θ=60°,并在小球原来所在的最低点放置一质量、体积均相同的泥球,然后使悬挂的小球从实线位置由静止释放,它运动到最低点时与泥球碰撞并合为一体,它们一起摆动中可达到的最大高度是 ( )
A. B.
C. D.
3.[2020·全国卷Ⅲ] 甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动. 甲追上乙,并与乙发生碰撞,碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示.已知甲的质量为1 kg.则碰撞过程两物块损失的机械能为 ( )
A.3 J B.4 J C.5 J D.6 J
◆ 知识点二 碰撞可能性
4.质量为m的小球A,沿光滑水平面以速度v0与质量为2m的静止小球B发生正碰.碰撞后,A球的动能变为原来的,那么小球B的速度可能是 ( )
A. B. C. D.
5.(多选)在光滑水平桌面上质量为m的物体A以某一速度与质量为3m、等大的物体B发生正碰,碰撞前物体B处于静止状态.已知碰撞后物体B的动能为Ek,则碰撞之前物体A的动能可能为 ( )
A.Ek B.3Ek
C.5Ek D.7Ek
6.[2024·江苏无锡一中月考] 质量相等的A、B两球在光滑水平面上,沿同一直线同一方向运动,A球的动量为pA=9 kg·m/s,B球的动量为pB=3 kg·m/s.当A球追上B球时发生碰撞,则碰撞后A、B两球的动量可能值是 ( )
A.pA'=6 kg·m/s,pB'=6 kg·m/s
B.pA'=8 kg·m/s,pB'=4 kg·m/s
C.pA'=2 kg·m/s,pB'=14 kg·m/s
D.pA'=-4 kg·m/s,pB'=8 kg·m/s
7.[2025·湖南湘潭二中月考] 两个完全相同的小球A、B用长度均为L的细线悬于天花板上,如图所示.若将A从图示位置由静止释放,则B球被碰后第一次速度为零时距离最低点的高度可能是 ( )
A.
B.
C.
D.
8.[2024·天津一中月考] A、B两小球在光滑水平面上沿同一直线运动,B球在前,A球在后,mA=1 kg.经过一段时间,A、B发生正碰,碰撞时间极短,碰撞前、后两球的位移—时间图像如图所示,根据以上信息可知 ( )
A.碰撞过程中B球受到的冲量为8 N·s
B.碰撞过程中A球受到的冲量为-8 N·s
C.B球的质量mB=4 kg
D.A、B两球发生的是弹性碰撞
9.(多选)[2024·河南郑州一中高二月考] 在没有其他外力作用的情况下,A、B两物体相 互作用前后的速度—时间(v t)图像如图所示,则由图像可知 ( )
A.A、B作用前后总动量不守恒
B.A、B的质量之比为5∶3
C.一定是A物体追及B物体发生碰撞
D.该碰撞是弹性碰撞
10.(10分)如图所示,在水平光滑直导轨上,静止着三个质量均为m=1 kg的相同小球A、B、C,现让A球以v0=2 m/s的速度向着B球运动,A、B两球碰撞后粘合在一起,两球继续向右运动并跟C球碰撞,C球的最终速度vC=1 m/s.求:
(1)(4分)A、B两球跟C球相碰前的共同速度大小;
(2)(6分)两次碰撞过程中共损失了多少动能.
11.(10分)如图所示,将一个质量为M=1.99 kg的砂箱,用长为L=0.5 m的轻绳悬挂在光滑的圆环上,圆环套在一个光滑的固定杆上,圆环质量为m=1 kg,一颗质量为m0=10 g的子弹水平射入砂箱,砂箱发生摆动,若子弹射击砂箱时的速度为v=600 m/s,求:
(1)(3分)子弹刚打入砂箱时,它们共同速度的大小;
(2)(3分)子弹刚打入砂箱时,砂箱对轻绳作用力的大小;
(3)(4分)子弹与砂箱共同上摆过程中,摆过了最大角度的余弦值.
12.(多选)[2024·福建厦门一中月考] 冰壶是第24届冬奥会比赛项目之一.如图甲所示,红壶以一定速度与静止在大本营中心的蓝壶发生对心碰撞(碰撞时间极短),碰撞前后两壶运动的v t图线如图乙中实线所示,其中红壶碰撞前后的图线平行,已知两壶质量相等且均视为质点,由图像可得 ( )
A.红蓝两壶碰撞过程是弹性碰撞
B.碰撞前瞬间,红壶瞬时速度为1.0 m/s
C.碰后蓝壶移动的距离为2.4 m
D.红、蓝两壶碰后至停止运动过程中,所受摩擦力的冲量之比为1∶4(共103张PPT)
5 弹性碰撞和非弹性碰撞
学习任务一 弹性碰撞和非弹性碰撞
学习任务二 弹性碰撞实例分析
学习任务三 碰撞的可行性
素养提升
随堂巩固
备用习题
◆
◆
练习册 A
练习册 B
答案核查【导】
答案核查【练A】
答案核查【练B】
学习任务一 弹性碰撞和非弹性碰撞
［物理观念］
1.碰撞过程的特点
(1)碰撞相互作用时间极短.
(2)碰撞相互作用力极大，即内力远大于外力，满足系统动量守恒条件.
(3)可以认为物体在碰撞的瞬间位置不变.
2.填写碰撞从能量角度的分类与特点的相关知识
弹性碰撞 碰撞前后动能______
非弹性碰撞 碰撞后动能______
完全非弹性 碰撞 碰撞后合为一体或碰后具有共同速度,这种碰撞动能损失______
不变
减少
最大
［科学推理］ 如图所示,质量分别为、 的两个大小相同的球分别以速度
、 在光滑的水平面上沿同一直线运动,其中 ,两球碰撞后粘在一
起以速度 运动.
系统碰撞前、后动量守恒,有__________________________.
碰撞后系统动能损失 _______________________________.
例1 质量分别为和 的甲、乙两个物体在光滑的水平面上相向运动,速
度分别为和 .
(1) 如果两物体碰撞并粘合在一起,求它们共同的速度大小;
[答案]
[解析] 取质量为 物体的初速度方向为正方向,由题意知
,， ,
设两物体碰撞后粘合在一起的共同速度为
由动量守恒定律得
代入数据解得,负号表示方向与 的方向相反
例1 质量分别为和 的甲、乙两个物体在光滑的水平面上相向运动,速
度分别为和 .
(2) 如果两物体碰撞并粘合在一起,求碰撞后损失的动能;
[答案]
[解析] 在(1)的情况下，碰撞后两物体损失的动能为
代入数据解得
例1 质量分别为和 的甲、乙两个物体在光滑的水平面上相向运动,速
度分别为和 .
(3) 如果碰撞是弹性碰撞,求甲、乙两物体碰撞后的速度大小.
[答案] ;
[解析] 如果碰撞是弹性碰撞,设碰后甲、乙两物体的速度分别为、 ,由动量
守恒定律得
由机械能守恒定律得
代入数据得,,负号表示方向与 方向相反
变式1 如图所示，光滑水平桌面上一只质量为 的保龄球，撞上一只原来
静止、质量为 的球瓶.此后球瓶以的速度向前飞出，而保龄球以
的速度继续向前运动，求：
(1) 碰撞前保龄球的速度大小；
[答案]
[解析] 设碰撞前保龄球的速度为，根据动量守恒定律
有
解得
(2) 通过计算判断该碰撞是弹性碰撞还是非弹性碰撞.
[答案] 非弹性碰撞
[解析] 保龄球和球瓶组成的系统初、末动能分别为
因为 ，所以该碰撞为非弹性碰撞
变式1 如图所示，光滑水平桌面上一只质量为 的保龄球，撞上一只原来
静止、质量为 的球瓶.此后球瓶以的速度向前飞出，而保龄球以
的速度继续向前运动，求：
学习任务二 弹性碰撞实例分析
［科学推理］ 阅读教材，理解弹性碰撞.
两质量分别为、的小球发生弹性正碰,入射球的初速度 ,被碰球的初
速度 ,则有
,
,
可得, .
分情况讨论:
(1)当时，， .(质量相等，速度交换)
(2)当时，，，且 .(大碰小，一起跑)
(3)当时，， .(小碰大，要反弹)
(4)当时，， .(极大碰极小，大不变，小加倍)
(5)当时，， .(极小碰极大，小等速率反弹，大不变)
例2 (多选)如图所示，小球的质量为，动量大小为 ，
小球水平向右运动，与静止的小球发生弹性碰撞，碰后 的动量大小为
，方向水平向右(水平面光滑)，则( )
A.碰后小球的动量大小为
B.碰后小球的动量大小为
C.小球的质量为
D.小球的质量为
√
√
[解析] 规定水平向右的方向为正方向，碰撞过程中、 组成的系统动量守恒，
所以有，解得 ，A正确，B错误；由于是弹性碰撞，
所以没有动能损失，故，解得 ，C错误，D正确.
变式2 ［2024·山东烟台二中月考］ 质量相等的甲、乙、丙三个球沿同一直线
放在光滑水平面上，如图所示，乙球与丙球靠在一起，且均静止，甲球以速度
向它们滚动.若它们在对心碰撞中无机械能损失，则碰撞后( )
A.甲球向左、乙球和丙球向右运动
B.乙球不动，甲球向左、丙球向右运动
C.甲球和乙球向左、丙球向右运动
D.甲球和乙球不动，丙球向右运动
√
[解析] 由于甲球与乙球发生碰撞时间极短，乙球的位置来不及发生变化，这样
乙球对丙球也就无法产生力的作用，即丙球不会参与此次碰撞过程，而甲球与
乙球发生的是弹性碰撞，质量又相等，故它们在碰撞中实现速度交换，碰后甲
球立即停止，乙球速度立即变为 ，此后乙球与丙球碰撞，再一次实现速度交换，
所以碰后甲球和乙球的速度为零，丙球的速度为 ，故选D.
变式3 如图所示，、、、、五个小球并排放置在光滑的水平面上， 、
、、四个球质量相等，而球的质量小于球，球的质量等于球.若 球以
速度向 球运动，所发生的碰撞均为弹性碰撞，则碰撞之后( )
A.5个小球静止，1个小球运动 B.4个小球静止，2个小球运动
C.3个小球静止，3个小球运动 D.6个小球都运动
√
[解析] 与相碰时，由于的质量小于，故被弹回，获得速度与 碰撞，
由于发生的碰撞为弹性碰撞且两球质量相等，故静止，获得速度，同理，
和的碰撞及与的碰撞都是如此，获得速度后与碰撞的过程中，由于 的
质量大于，故碰后、都向右运动，所以碰撞之后，、、三球运动， 、
、 三球静止，故选C.
学习任务三 碰撞的可行性
［物理观念］ 弹性碰撞和完全非弹性碰撞是碰撞的两种极限情况,其余的碰撞
结果应该是介于这两种极限情况之间.
正碰(即对心碰撞)既不是指弹性碰撞,也不是指完全非弹性碰撞,它是指一维碰撞,
即碰撞前、后物体在同一条直线上运动,显然它既可能是弹性碰撞或完全非弹性
碰撞,也可能是一般的非弹性碰撞.
例3 (多选)甲、乙两球在光滑水平轨道上同向运动，已知它们的动量分别是
， ，甲从后面追上乙并发生碰撞，碰后乙球的动
量变为，则两球质量与 间的关系可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 碰前甲的速度大于乙的，有，代入数据解得 ,根据动量守
恒定律得，解得 ，碰撞过程系统的总动能不
增加，有，代入数据解得 ，碰撞后甲的速度不大于
乙的速度，有，代入数据解得，所以 ，故A、B正确，
C、D错误.
√
√
例4 ［2024·河南郑州一中月考］ 在光滑水平面上，质量为、速度大小为 的
球与质量为、静止的 球发生对心碰撞，则碰撞后( )
A.球的速度大小可能是 B.球的速度大小可能是
C.球所受最大冲量为 D.球所受最大冲量为
[解析] 如果两个小球发生的是完全非弹性碰撞，则有 ，解得
，如果两个小球发生的是弹性碰撞，则有 ，
，解得,，故A错误，B正确；球和
球所受最大冲量相等，根据动量定理有 ，故C、D错误.
√
【要点总结】
动碰动的弹性碰撞
情境：若在一光滑水平面上有两个质量分别为、的刚性小球和，分别
以初速度、运动，若它们能发生碰撞(为一维弹性碰撞)，碰撞后它们的速度
和分别是多大？
【列式】碰撞过程中系统动量守恒：
弹性碰撞中没有机械能损失：
【结论】
;
.
示例 (多选)［2024·浙江杭州一中月考］ 如图所示，光滑水平面上有一质量
的球和一质量的球同向运动.已知 球的初速度
，球的初速度 ，运动一段时间后，两球发生对心正碰.
下列说法正确的是( )
A.当两球发生的碰撞是弹性碰撞时，球对球的冲量为
B.碰撞的过程中，系统损失的机械能可能为
C.碰撞后，球的速度可能为
D.当两球发生的碰撞是完全非弹性碰撞时，球对球的冲量为
√
√
[解析] 发生弹性碰撞时，根据动量守恒定律及机械能守恒定律有
， ，得
， ，球对球的冲量为 ，A
错误；若发生完全非弹性碰撞，则有 ，得
，则碰撞后球的速度在到 之间，完全非弹性碰撞的机械
能损失最大为 ，B错误，C正确；
当两球发生的碰撞是完全非弹性碰撞时，球对 球的冲量为
,D正确.
变式4 ［2024·福建福州期末］小球甲、乙的质量之比为 ，两小球沿光滑的
水平面在同一直线上以大小相等、方向相反的速度相对运动，经过一段时间两
小球发生碰撞，碰后小球甲静止在光滑的水平面上，则下列说法正确的是
( )
A.两小球发生的碰撞为弹性碰撞
B.两小球发生的碰撞为非弹性碰撞
C.两小球发生的碰撞为完全非弹性碰撞
D.由于题中的条件不充分，则该碰撞无法确定
√
[解析] 根据题意，设碰前两小球的速度大小为，碰后小球乙的速度大小为 .
由动量守恒定律有，所以 ，碰前总动能
，碰后总动能 ，则有
，即两小球发生的碰撞为弹性碰撞，故选A.
1.在光滑的水平面上，一质量为的小球以初动能与质量为的静止小球
发生碰撞，碰撞后球停下，则碰撞后 球的动能为( )
A.0 B. C. D.
[解析] 小球与静止小球发生正碰，规定小球 的初速度方向为正方向，设撞
后球的速度大小为，根据碰撞过程中动量守恒可得 ，碰
后球停下，即，解得，又，所以碰后 球的动能为
，A、C、D错误，B正确.
√
2.(多选)质量为、速度为的球跟质量为、静止的 球发生正碰,碰撞可能
是弹性碰撞,也可能是非弹性碰撞,因此,碰撞后 球的速度可能有不同的值.碰撞
后 球的速度可能为( )
A. B. C. D.
[解析] 两球相碰时若发生弹性碰撞,有 ,
，则碰后球的速度为 ，若发生完
全非弹性碰撞,有，则碰后球的速度为 ,故
球的速度的范围为 ,故B、C正确.
√
√
3.(多选)如图甲所示,在光滑水平面上的两小球发生正碰，小球、 的质量分别
为和，图乙为它们碰撞前后的(位移—时间)图像.已知 ，
由此可以判断( )
A.碰前两小球都向右运动 B.碰后两小球都向右运动
C. D.碰撞过程中系统机械能守恒
√
√
[解析] 图像的斜率表示速度,由图像可知,碰前的速度 ,方向向
右,静止,碰后的速度,方向向左,碰后的速度 ,方向向
右,选项A、B错误;根据动量守恒定律得 ,解得
,选项C正确;碰撞前系统机械能为 ,碰撞后系统
机械能为 ,所以碰撞过程中系统机械能守恒,选项D正确.
4.如图所示，在光滑的水平面上有、两个小球，球的动量为，
球的动量为，球追上球并相碰，碰撞后，球动量变为 ，
方向没变，求、 两球质量之比的取值范围.
[答案]
[解析] 、两球同向运动，球要追上 球，应满足 ，两球碰撞过程中
动量守恒，且动能不会增加，碰撞结束应满足，由得 ，
则
碰撞过程中，由动量守恒定律得
解得
碰撞过程中，由动能不增加可得
则
由得
则
所以 .
5.(多选)两个小球、 在光滑水平面上相向运动,已知它们的质量分别是
和,的速度(设为正),的速度 ,则它
们发生正碰后,其速度可能分别是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
√
√
[解析] 碰撞前后动量守恒,可验证四个选项都满足要求,再看动能情况,碰撞前系
统总动能 ,碰撞后系统
总动能 ,由于碰撞过程中动能不可能增加,故应有
,可排除选项选项虽满足,但、 沿同一直线相向运动,发生
碰撞后各自仍能保持原来的速度方向 ,这显然是不符合实际的,
选项C错误.选项A、D均满足 ,且速度合理,故选项A、D正确.
6.已知质量相同的两个物体发生弹性正碰时速度交换.如图为“牛顿摆”,由五个相
同的钢球紧挨着悬挂在同一水平线上.当拉起最左侧的球1并释放,由于相邻球间
的碰撞,导致最右侧的球5被弹出,碰撞时动能不损失.则( )
A.相邻球间的碰撞属于非弹性碰撞
B.球5被弹起时,球4速度不为零
C.球5被弹起时,球1速度等于零
D.五个钢球组成的系统在整个运动过程中动量守恒
√
[解析] 因为碰撞时动能不损失,则各个小球之间的碰撞均为弹性碰撞,选项A错误;
因为两球碰撞时交换速度,则球5被弹起时,球4速度为零,选项B错误;球1落下后与
球2碰撞,1、2两球交换速度,以后以此类推,当球5被弹起时,球1、2、3、4速度都
等于零,选项C正确;五个钢球组成的系统只在碰撞过程中水平方向动量守恒,选项
D错误.
7.如图所示,大小、形状相同的两小球、 在光滑水平面上沿同一直线相向运动,
小球的质量为、速度大小为、方向水平向右,小球的质量为 、速度大
小为 、方向水平向左,两小球发生弹性正碰后( )
A.小球将静止 B.小球 将向左运动
C.小球的动能将增加 D.小球的动量变化量的大小为
√
[解析] 小球、发生弹性碰撞,选向右为正方向,设碰后小球的速度为 ,小球
的速度为,则有 ,
,解得, ,碰撞后小球
向左运动,小球将向右运动,A、B错误;碰撞后小球 的动能增加量
,C错误;小球
的动量变化量,小球 的动量变化
量的大小为 ,D正确.
8.(多选)如图所示，光滑水平面上有大小相同的、 两球在同一直线上相向运
动，、两球的质量分别为和，、两球发生正碰，碰撞后 球的速率是
原来的两倍， 球恰好静止.则( )
A.碰撞前、两球的速度大小之比为
B.碰撞前、两球的速度大小之比为
C.、 两球发生的碰撞是弹性碰撞
D.、 两球发生的碰撞是非弹性碰撞
√
√
[解析] 规定向右为正方向，设碰撞前、两球速度大小分别为和 ，根据动
量守恒定律有，解得 ，故A正确，B错误；设
,碰撞前系统总动能 ，碰撞后系统总
动能，由于，故、 两球发生的碰撞是弹性碰
撞，故C正确，D错误.
9.如图所示，立柱固定于光滑水平面上点，质量为的小球 向右运动，与静
止于点的质量为的小球发生弹性碰撞，碰后球立即向左运动， 球与立柱
碰撞能量不损失，所有碰撞时间均不计，球恰好在点追到球，点为 中
点，求、两球的质量之比 .
[答案]
[解析] 设、两球碰后速度大小分别为、 ，由题可知球与立柱发生弹性
碰撞后恰好在点追上 球，则从碰后到相遇、 球通过的路程之比为
根据得
以水平向右为正方向，两球发生弹性碰撞，设 球的
初速度为 ，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
联立解得
10.(多选)作为时尚青年热爱的运动，溜旱冰又炫又酷，备受追捧.如图甲所示，
水平地面上有、两位同学，的质量为，静止在地面上， 以一定的
初速度向滑去，一段时间后抱住一起向右运动.若以向右为正方向， 运动的
位移—时间图像图像 如图乙所示，不计空气阻力以及地面对人的阻力，
则下列说法正确的是( )
A.的质量为
B.的质量为
C.抱住的过程中损失的机械能为
D.抱住的过程中损失的机械能为
√
√
[解析] 根据题图乙，抱住前的速度大小， 抱住
后他们的共同速度大小 ，根据动量守恒定律有
，解得，A错误，B正确；抱住 的过程中损
失的机械能，解得 ，C正确，D错误.
1.(弹性碰撞)［2024·北京一中月考］ 在光滑水平面上有两个相同的弹性小球
、，质量都为，球静止，球向 球运动，发生正碰.已知碰撞过程中机械
能守恒，两球压缩最紧时弹性势能为，则碰前 球的速度为( )
A. B. C. D.
[解析] 设碰前球的速度为，根据动量守恒定律有 ，则压缩最紧
、有相同速度时的速度 ，由系统机械能守恒得
，解得 ，故选C.
√
2.(完全非弹性碰撞) (多选)如图所示，物体1和物体2在光滑水平面上以相同动能
相向运动，它们的质量分别为和，且 .经一段时间两物体相碰撞
并粘在一起.碰撞后( )
A.两物体将向左运动 B.两物体将向右运动
C.两物体组成系统能量损失最大 D.两物体组成系统能量损失最小
√
√
[解析] 物体的动量，已知两物体动能相等，又知 ，则
，碰前总动量方向与物体2的动量方向相同，碰后两物体将向左运动，A
正确，B错误；两物体碰撞后粘在一起，物体发生的碰撞是完全非弹性碰撞，
系统的机械能损失最大，C正确，D错误.
3.(碰撞的可行性)(多选)质量为的小球沿光滑水平面以速度与质量为 的
静止小球发生正碰，则碰后 的速度可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 若小球与小球发生完全非弹性碰撞，则有 ，解得
，若小球与小球发生弹性碰撞，则有 ，
，解得，所以碰后 的速度
，故选A、C.
√
√
4.(动碰动的弹性碰撞)(多选)如图所示，质量为的小球以速度 向右在光滑
的地面上运动，质量为的小球以速度也向右运动，且 ，两球发生
弹性碰撞，碰撞后的的速度为，的速度为 ，则 ( )
A.
B.
C.若，则，
D.若，则，
√
√
[解析] 两球发生弹性碰撞，系统的动量守恒，能量守恒，取向右方向为正方向，
根据动量守恒定律有 ，由能量守恒定律可知
，联立解得 ，
，若满足，则有, ，故B、D
正确，A、C错误.
练习册 A
知识点一 碰撞中的守恒量
1.(多选)在两个物体碰撞前后，下列说法中可以成立的是( )
A.作用后的总动能比作用前小，但总动量守恒
B.作用前后总动量均为零，但总动能守恒
C.作用前后总动能为零，而总动量不为零
D.作用前后总动量守恒，而系统内各物体的动量变化量的总和不为零
√
√
[解析] 选项A为非弹性碰撞，说法成立；选项B为弹性碰撞，说法成立；总动能
为零时，其总动量一定为零，故选项C说法不成立；总动量守恒，则系统内各
物体动量的变化量的总和一定为零，选项D说法不成立.
2.(多选)［2024·湖南长沙一中月考］ 动能相同的、两球 在光滑的
水平面上相向运动,两球相碰后,若其中一球停止运动,则可判定( )
A.碰撞前球的速度小于 球的速度
B.碰撞前球的动量大于 球的动量
C.碰撞前后球的动量变化量大于 球的动量变化量
D.碰撞后球的速度一定为零, 球朝反方向运动
[解析] 碰撞前、两球动能相同,且,由可得 ,由动量
和动能的关系可得;由动量守恒定律可知,碰撞前后 球的动
量变化量大小等于球的动量变化量大小,碰撞后球的速度一定为零, 球朝反方
向运动,故A、B、D正确,C错误.
√
√
√
3.在水平面上小球与静止的小球 发生对心碰撞(指碰撞前后速度方向在同一
条直线上)，不计碰撞相互作用的时间，它们在碰撞前后的图像如图所示，
已知 球的质量是 球质量的2倍，在碰撞过程中，下列说法正确的是( )
A.、 两球组成的系统动量和机械能都守恒
B.、 两球组成的系统动量和机械能都不守恒
C.、 两球组成的系统动量不守恒，但机械能守恒
D.、 两球组成的系统动量守恒，但机械能不守恒
√
[解析] 由图可知碰撞前球的速度为，碰撞后为，碰撞后 球速度
为，设球质量为，则有， ，
，，则可得、 两球组
成的系统动量和机械能都守恒，故选A.
知识点二 弹性碰撞的实例分析
4.(多选)甲物体在光滑水平面上的运动速度为 ,与静止的乙物体相碰,碰撞过程
中无机械能损失.下列结论正确的是( )
A.乙的质量等于甲的质量时,碰撞后乙的速度为
B.乙的质量远远小于甲的质量时,碰撞后乙的速度为
C.乙的质量远远大于甲的质量时,碰撞后甲的速度为
D.碰撞过程中甲对乙做的功大于乙的动能增量
√
√
√
[解析] 由于碰撞过程中无机械能损失,故是弹性碰撞,设甲、乙的质量分别为
、 ，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可以解得碰后甲的速度
,乙的速度,当时, ,A正确;当
时,,B正确;当时, ,C正确;甲、乙碰撞过程中,
只有甲对乙的力对乙做功,根据动能定理(合外力对物体做的功等于物体动能的变
化)可知,D错误.
5.［2025·江苏南京期末］如图所示，牛顿摆是一组相互紧挨且悬挂在同一水平
线上的相同小钢球，小明用牛顿摆进行探究活动，下列四组实验中左图为释放
前的初始状态，右图为他预测的某些球升至最高点的状态，则下列选项中可能
与实际情况相符的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 相同的小球在碰撞过程中满足动量守恒，机械能守恒，所以
碰撞后进行速度交换，第1个球由静止释放后，与第2个球碰撞时，
进行速度交换，依次类推，所以最终第5个球获得与第1个球相同的
动量，应向右摆到与第1个球相同的高度处，故A错误；第1、2个球向右摆动，
最终第4、5个球获得与第1、2个球相同的动量，摆到相同的高度，故B错误；
第1、2、3个球一起向右摆动，速度交换后，最终第3、4、5个球获得与第1、2、
3个球相同的动量，摆到相同的高度，故C正确；第1、2个球一起向右摆动，第
4、5个球一起向左摆动，系统总动量为零，所以速度交换后，最终第1、2个球
获得与第4、5个球相同的动量向左摆动，第4、5个球获得与第1、2个球相同的
动量向右摆动，最终摆到相同的高度，故D错误.
6.(10分)［2024·湖北黄冈中学高二月考］ 如图所示，两滑块、 在光滑水平面
上沿同一直线相向运动，滑块的质量为，速度大小为，方向向右，滑块
的质量为，速度大小为，方向向左，求、 两滑块发生弹性碰撞后的速度.
[答案] ，方向向左 ，方向向右
[解析] 规定向右为正方向，设碰后、的速度为、，、 两滑块组成系
统动量守恒，有
由系统机械能守恒有
联立以上方程可解得
，
则碰后滑块速度为，方向向左，滑块速度为 ，方向向右.
7.(多选)1932年，查德威克用未知射线轰击氢核，发现这种射线是由质量与质子
大致相等的中性粒子(即中子)组成.如图所示，中子以速度 分别碰撞静止的氢
核和氮核，碰撞后氢核和氮核的速度分别为和 .若碰撞为弹性正碰，氮核质
量是氢核质量的14倍，氢核质量与中子大致相等,
不考虑相对论效应，下列说法正确的是( )
A.小于 B.大于
C.碰撞后氮核的动量比氢核的小 D.碰撞后氮核的动能比氢核的小
√
√
[解析] 设中子的质量为，则氢核的质量为 ，氮核的质量为，设中子和
氢核碰撞后中子速度为 ，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得
，，联立解得 ，设中子和氮核
碰撞后中子速度为 ，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得
，，联立解得 ,可得
，选项A正确，B错误；碰撞后氢核的动量为 ，氮
核的动量为，可得 ，
选项C错误；
碰撞后氢核的动能为 ，氮核的动能为，可得 ，选项D正确.
8.［2024·江苏盐城中学月考］在光滑的水平面上，一个质量为的物体 与另
一物体 发生正碰，碰撞时间不计，两物体的位置随时间变化规律如图所示，
以 物体碰前速度方向为正方向，下列说法正确的是( )
A.碰撞后的动量为
B.碰撞后的动量为
C.物体的质量为
D.碰撞过程中合外力对的冲量为
√
[解析] 图像的斜率等于速度，可知碰撞后 的动量为
，选项A、B错误；碰撞后的动量为 ，
,碰撞前 的动量为
，碰前 的动量为零，则由动量守恒定律可知，
解得 ，选项C错误；碰撞过程中合外力
对的冲量为 ，选项D正确.
9.［2025·江苏南京期末］内壁光滑的圆环管道固定于水平面上，图为水平面的
俯视图. 为圆环圆心，直径略小于管道内径的甲、乙两个等大的小球(均可视为
质点)分别静置于、处， ，甲、乙两球质量分别为、 .现给甲球
一瞬时冲量，使甲球沿图示方向运动，甲、乙两球发生弹性碰撞，碰撞时间不
计，碰后甲球立即反弹，甲球刚到 处时，恰好与
乙球再次发生碰撞，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设甲球的初速度为 ，碰撞后甲球的速度大小为，乙球的速度大小为
，从发生第一次碰撞到再次碰撞的时间间隔为 ，甲、乙两球发生弹性碰撞
则有， ，小球碰撞后，甲球
运动了圆弧，乙球运动了 圆弧之后再次发生碰撞，
则有，联立解得 ，B正确.
10.(10分)［2025·贵州六盘水期末］ 如图所示，在光滑水平面上有三个小球，
三个小球的质量 ，小球乙、丙静止且并排靠着，小球甲以
的速度与小球乙发生弹性碰撞，碰撞时间极短，所有碰撞都没有能
量损失，求最终三个小球的速度大小、、 .
[答案] ; ;
[解析] 设丙球质量为 ，则甲、乙两球的质量为 ，小球甲、小球乙发生弹性
碰撞，碰后甲、乙两球的速度分别为、 ，根据动量守恒定律及能量守恒定
律有
解得，
小球乙和小球丙碰撞没有能量损失，设碰后乙、丙两球的速度分别为、 ，
根据动量守恒定律及能量守恒定律有
解得，
11.(16分)如图所示,小球和小球位于同一竖直线上,小球 距水平地面的高度
为,小球距水平地面的高度为 ,同时由静止释放两球.设
和地面为弹性碰撞,两球碰撞后 球速度为0,小球的质量为,
小球的质量为.重力加速度 取 ,忽略小球的直径、
空气阻力及碰撞时间,小球所受重力远小于碰撞力.以地面为参
考面,求两球第一次碰撞后小球 达到的最大高度.
[答案]
[解析] B球落地时的速度大小为
此时球的速度大小也为
设球撞地后上升时间与 球相撞，则有
解得
两球相撞前瞬间 球的速度大小为
B球的速度大小为
对于碰撞过程，取向上为正方向，由动量守恒定律得
解得
两球第一次碰撞后小球 能上升的最大高度
两球碰撞处离地高度
所以两球第一次碰撞后小球 能达到的最大高度为
.
练习册 B
知识点一 非弹性碰撞
1.质量相等的三个物块在一光滑水平面上排成一直线,且彼此隔开了一定的距离,
如图所示.具有动能 的第1个物块向右运动,依次与其余两个静止物块发生碰撞,
最后这三个物块粘在一起,这个整体的动能为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 碰撞过程中,三个物块组成的系统动量守恒,有,得 ,又
因为,,联立解得 ,
故C正确.
2.如图所示,不可伸长的细线上端固定于 点,其下端系一小球,静止时细线长为 .
现将细线和小球拉至图中实线位置,此时细线与竖直方向的夹角
为 ,并在小球原来所在的最低点放置一质量、体积均相
同的泥球,然后使悬挂的小球从实线位置由静止释放,它运动到最
低点时与泥球碰撞并合为一体,它们一起摆动中可达到的最大高
度是 ( )
A. B. C. D.
[解析] 两球相碰前,由机械能守恒定律得 ,解得
,两球相碰过程中,由动量守恒定律得,解得 ,碰后
两球一起摆动,由机械能守恒定律得,解得 ,选项C正确.
√
3.［2020· 全国卷Ⅲ］甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动.甲
追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时
间的变化如图中实线所示.已知甲的质量为 .则碰撞过
程两物块损失的机械能为( )
A. B. C. D.
[解析] 甲、乙相碰过程系统动量守恒，有 ，
代入图像数据得， ,碰撞过程两物块损失的机械能为
,得 ，故A项正确.
√
知识点二 碰撞可能性
4.质量为的小球，沿光滑水平面以速度与质量为的静止小球 发生正碰.
碰撞后，球的动能变为原来的，那么小球 的速度可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 根据碰后球的动能恰好变为原来的，可得 ，解得
，碰撞过程中小球、 组成的系统动量守恒，则有
，解得或 ，故选A.
√
5.(多选)在光滑水平桌面上质量为的物体以某一速度与质量为 、等大的物
体发生正碰，碰撞前物体处于静止状态.已知碰撞后物体的动能为 ，则碰
撞之前物体 的动能可能为( )
A. B. C. D.
[解析] 设物体碰前速度为 ，若两物体发生非弹性碰撞，则
，此时,解得碰撞之前物体 的动能
，若两物体发生弹性碰撞，则有 ，
，解得，，此时 ，
解得碰撞之前物体的动能，则碰撞之前物体 的动能可能
为和 ，B、C正确.
√
√
6.［2024·江苏无锡一中月考］质量相等的、 两球在光滑水平面上，沿同一直
线同一方向运动，球的动量为，球的动量为 .
当球追上球时发生碰撞，则碰撞后、 两球的动量可能值是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
√
[解析] 设两球质量均为.碰撞前总动量 ，碰撞前总动
能为，若， ，
则碰撞后总动量 ，碰撞后总动能为
，满足动量守恒和总动能不增加原则，故A正确；
若碰撞后，，可知碰撞后的速度大于 的速度，
不符合速度合理性，故B错误；若碰撞后， ，
则碰撞后总动量 ，不满足动量守恒，故C错误；若
碰撞后， ，则碰撞后总动量为
，不满足动量守恒，故D错误.
7.［2025·湖南湘潭二中月考］两个完全相同的小球、 用长度均为的细线悬
于天花板上，如图所示.若将 从图示位置由静止释放，则 球被碰后第一次速度
为零时距离最低点的高度可能是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 小球 从释放到最低点，由动能定理可知
，解得，若与
发生弹性碰撞，由能量守恒定律和动量守恒定律可知两者
交换速度，即， 球上升过程中由动能定理
可知，解得,若与 发生完全非弹
性碰撞即、粘在一起，由动量守恒定律可知，解得 ，
在、上升过程中，由动能定理可知，解得 ，所
以球上升的高度，高度可能是 ，B正确.
8.［2024·天津一中月考］、 两小球在光滑水平面上沿同一直线运动，球
在前，球在后， .经过一段时间，、 发生正碰，碰撞时间极短，
碰撞前、后两球的位移—时间图像如图所示，根据以上信息可知( )
A.碰撞过程中球受到的冲量为
B.碰撞过程中球受到的冲量为
C.球的质量
D.、 两球发生的是弹性碰撞
√
[解析] 已知图的斜率代表速度，则 ，，，
，根据动量定理有，
，再根据动量守恒定律有 ，
解得， ，A、B、C错误；碰撞前、
后系统的总动能分别为 ，
，则、 两球发生的是
弹性碰撞，D正确.
9.(多选)［2024·河南郑州一中高二月考］ 在没有其他外力作用的情况下，、
两物体相 互作用前后的速度—时间 图像如图所示，则由图像可知
( )
A.、作用前后总动量不守恒 B.、的质量之比为
C.一定是物体追及 物体发生碰撞 D.该碰撞是弹性碰撞
√
√
√
[解析] 由题意可知，、 系统所受合外力为零，系统动量守恒，故A错误；
由图像可知， ，，，碰撞前
的速度大于 的速度，碰撞后的速度小于的速度，碰撞过程的速度减小，
的速度增大，碰撞过程是追上发生碰撞，故C正确；、 组成的系统碰撞
过程系统动量守恒，以 的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得
，代入数据解得，故B正确；设
的质量为，则的质量为 ，碰撞前系统总动能
，碰撞后
系统总动能 ，碰撞
前后系统动能相等，碰撞为弹性碰撞，故D正确.
10.(10分)如图所示，在水平光滑直导轨上，静止着三个质量均为的相
同小球、、，现让 球以的速度向着球运动，、 两球碰撞后
粘合在一起，两球继续向右运动并跟球碰撞，球的最终速度 .求：
(1) (4分)、两球跟 球相碰前的共同速度大小；
[答案]
[解析] 、两球相碰满足动量守恒定律，以的方向为正方向，有
代入数值解得，即两球跟球相碰前的速度大小为 .
10.(10分)如图所示，在水平光滑直导轨上，静止着三个质量均为的相
同小球、、，现让 球以的速度向着球运动，、 两球碰撞
后粘合在一起，两球继续向右运动并跟球碰撞，球的最终速度 .
求：
(2) (6分)两次碰撞过程中共损失了多少动能.
[答案]
[解析] 两球与球碰撞同样满足动量守恒定律，以 的方向为正方向，有
解得、球碰后的速度
两次碰撞共损失的动能
.
11.(10分)如图所示，将一个质量为 的砂箱，用长为 的轻绳
悬挂在光滑的圆环上，圆环套在一个光滑的固定杆上，圆环质量为 ，
一颗质量为 的子弹水平射入砂箱，砂箱发生摆动，若子弹射击砂箱时
的速度为 ，求：
(1) (3分)子弹刚打入砂箱时，它们共同速度的大小；
[答案]
[解析] 子弹射击砂箱过程，据动量守恒定律可得
解得 .
(2) (3分)子弹刚打入砂箱时，砂箱对轻绳作用力的大小；
[答案]
11.(10分)如图所示，将一个质量为 的砂箱，用长为 的轻绳
悬挂在光滑的圆环上，圆环套在一个光滑的固定杆上，圆环质量为 ，
一颗质量为 的子弹水平射入砂箱，砂箱发生摆动，若子弹射击砂箱时
的速度为 ，求：
[解析] 子弹刚打入砂箱时，据牛顿第二定律可得
解得 .
由牛顿第三定律得，砂箱对轻绳的作用力大小
(3) (4分)子弹与砂箱共同上摆过程中，摆过了最大角度的余弦值.
[答案] 0.7
11.(10分)如图所示，将一个质量为 的砂箱，用长为 的轻绳
悬挂在光滑的圆环上，圆环套在一个光滑的固定杆上，圆环质量为 ，
一颗质量为 的子弹水平射入砂箱，砂箱发生摆动，若子弹射击砂箱时
的速度为 ，求：
[解析] 子弹与砂箱共同上摆过程中，设最大摆角为 ，此时圆环与子弹和砂箱
共速，设速度为，由水平方向动量守恒得
根据机械能守恒定律可得
联立解得 .
12.(多选)［2024·福建厦门一中月考］ 冰壶是第24届冬奥会比赛项目之一.如图
甲所示，红壶以一定速度与静止在大本营中心的蓝壶发生对心碰撞(碰撞时间极
短)，碰撞前后两壶运动的 图线如图乙中实线所示，其中红壶碰撞前后的图
线平行，已知两壶质量相等且均视为质点，由图像可得( )
A.红蓝两壶碰撞过程是弹性碰撞
B.碰撞前瞬间，红壶瞬时速度为
C.碰后蓝壶移动的距离为
D.红、蓝两壶碰后至停止运动过程中，
所受摩擦力的冲量之比为
√
√
[解析] 设撞碰后蓝壶的速度为 ，由图乙可知，碰
撞前红壶的速度 ，碰撞后速度为
，红、蓝两壶组成的系统，在碰撞中动
量守恒，则有 ，解得碰撞后蓝壶的瞬时速度，
碰撞前，两壶的机械能为 ，碰撞后，两壶的机械能为
，所以，碰撞前后机械能变化量为
，所以红、蓝两壶的碰撞是非弹性碰撞，A错误，B
正确；由图像可知，碰后蓝壶移动的距离为， C错
误；红、蓝两壶碰后至停止运动过程中，所受摩擦力的冲量大小等于两壶碰后动
量的损失量，由动量定理得， ，则两壶所受
摩擦力的冲量之比为 ，D正确.
［物理观念］< 2.不变,减少,最大
［科学推理］,
例1.（1） （2） （3）,
变式1.（1） （2）非弹性碰撞
例2.AD 变式2.D 变式3.C 例3.AB 例4.B 示例.CD 变式4.A
随堂巩固
1.C 2.AC 3.AC 4.BD
基础巩固练
1.AB 2.ABD 3.A 4.ABC 5.C 6.，方向向左，方向向右
综合提升练
7.AD 8.D 9.B 10.,,
拓展挑战练
11.
基础巩固练
1.C 2.C 3.A 4.A 5.BC 6.A
综合提升练
7.B 8.D 9.BCD 10.（1） （2）
11.（1） （2） （3）0.7
拓展挑战练
12.BD