3．匀变速直线运动的位移与时间的关系
[学习目标]
1．知道匀变速直线运动的位移与 v-t 图像中图线与横轴围成面积的关系。
2．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系并会用来分析、解决问题。
3．会推导速度与位移的关系式，会用公式＝2ax进行分析和计算。
匀变速直线运动的位移
【链接教材】 如图是某物体以初速度v0做匀变速直线运动的v-t图像。
(1)如图甲所示，把物体的运动分成5段，每一段时间内，看成匀速直线运动，试着在图中表示出这5小段的位移之和。
(2)如图乙所示，如果把过程分割为更多的小段，和甲图相比，哪种情形更接近整个过程的位移？
(3)依次类推，如果把过程分割成无数个小段，能否用梯形的面积代表物体在这段时间的位移？
【知识梳理】
1．位移在v-t图像中的表示
做匀变速直线运动的物体的位移大小对应着v-t图像中的图线和__________包围的图形的“面积”。如图所示，物体在0～t时间内的位移大小等于__________的面积。
2．位移与时间的关系式：x＝__________。
当初速度为0时，x＝_________。
【思考讨论】 如图所示，汽车由静止以加速度a1启动，行驶一段时间t1后，又以加速度a2刹车，经时间t2后停下来。请思考：
问题1 汽车加速过程及刹车过程中，加速度的方向相同吗？
问题2 根据位移与时间的关系式求加速过程及减速过程中的位移、速度及加速度的正负号如何确定？
【知识归纳】
1．对位移与时间的关系式x＝v0t＋at2的理解
公式意义 位移随时间变化的规律
各量意义 x、v0、a分别为t时间内的位移、初速度、加速度
公式特点 含有4个量，若知其中三个，能求另外一个
矢量性 x、v0、a均为矢量，应用公式时，一般选v0的方向为正方向，若匀加速，a＞0；若匀减速，a＜0
适用条件 匀变速直线运动
2．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动，位移x与t2成正比。
(2)当a＝0时，x＝v0t，即匀速直线运动，位移x与t成正比。
【典例1】 (对位移与时间的关系式符号的理解)物体做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝5t＋t2(m)，则该物体( )
A．运动的初速度是2.5 m/s
B．运动的加速度是0.5 m/s2
C．第1 s内的位移是5 m
D．在前4 s内的平均速度是9 m/s
[听课记录]
【典例2】 [链接教材P43例题1](位移与时间的关系式的应用)一质点沿直线从静止开始以1 m/s2的加速度水平向右做匀加速直线运动，经5 s加速后，做匀速直线运动4 s，又经2 s做匀减速直线运动直到静止，则：
(1)质点匀速直线运动时速度是多大？
(2)做减速直线运动时的加速度？
(3)质点通过的总位移为多大？
[听课记录]
应用位移公式x＝v0t＋at2的解题步骤
(1)规定一个正方向(一般以初速度的方向为正方向)。
(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。
(3)根据位移与时间的关系式或其变形式列式、求解。
(4)根据计算结果说明所求量的大小、方向。
速度与位移的关系
1．公式：＝__________。
2．推导
速度公式：v＝__________。
位移公式：x＝__________。
由以上两式消去t得：＝__________。
【思考讨论】 交通事故中，交警只要知道刹车时的加速度大小，再测出刹车痕迹的长度，就可以求得汽车开始刹车时的速度，从而判断汽车是否超速。这是怎么办到的？
问题1 汽车刹车时做匀减速直线运动，车辆的加速度a是已知的，测出的刹车痕迹长度即刹车时位移x的大小，若开始刹车时的车速为v0，则x与刹车时间t的关系式是什么？
问题2 交通事故中刹车时间t无法测量，如何求出汽车开始刹车时的速度v0
【知识归纳】
1．适用条件：匀变速直线运动，尤其是不涉及时间t的问题。
2．公式的意义：公式反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中任意三个物理量已知时，可求另一个未知量。
3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0方向为正方向。
4．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，v2＝2ax(表示初速度为零的匀加速直线运动)。
(2)当v＝0时＝2ax(表示末速度为零的匀减速直线运动)。
【典例3】 [链接教材P44例题2](速度与位移关系的简单应用)某型号航空母舰上装有帮助战斗机起飞的弹射系统，已知某型号的战斗机在跑道上加速时能获得的最大加速度为5.0 m/s2，当战斗机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞。设航空母舰处于静止状态。问：
(1)若要求该战斗机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使战斗机具有多大的初速度？
(2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号战斗机仍能在此舰上正常起飞，该舰身长至少应为多长？
[听课记录]
【典例4】 (源自鲁科版教材例题)(速度与位移的关系式的综合应用)
汽车从开始制动到停止所行驶的距离，是衡量汽车制动性能的参数之一。某型号的汽车以100 km/h的速度在柏油路面上行驶，急刹车后做匀减速直线运动。若匀减速时的加速度大小为5 m/s2，开始制动后2 s内汽车行驶的距离是多少？从开始制动到完全停止，汽车行驶的距离是多少？(结果均保留一位小数)
[听课记录]
应用速度与位移的关系式的两点注意
(1)若不涉及时间，优先选用＝2ax。
(2)选用＝2ax，要注意符号关系，必要时应对计算结果进行分析，验证其合理性。
刹车问题
1．问题特点：匀减速到速度为零后停止运动，加速度a突然消失。
2．求解时要注意确定实际运动时间(减速到零所用时间为t0)
(1)如果t0(2)如果t0>t，说明经过时间t运动还没有停止，则能用题目所给的时间t直接求解位移。
3．求解实际刹车时间和刹车位移时可以采用逆向思维法把整个刹车过程看成反向的初速度为零的匀加速直线运动。
【典例5】 (刹车问题的计算)一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动。设汽车减速过程的加速度大小为 5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离。
[听课记录]
【典例6】 (逆向思维的应用)汽车刹车前的速度为10 m/s，刹车获得的加速度大小为2 m/s2，求：
(1)汽车刹车开始后2 s末的速度大小；
(2)汽车静止前最后3 s内滑行的距离。
[听课记录]
1．示意图中ae段为港珠澳大桥上四段110 m的等跨钢箱连续梁桥，若汽车从a点由静止开始做匀加速直线运动，通过ab段的时间为t，则通过be段的时间为( )
A．t B．t
C．3t D．9t
2．2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，在距离地面1.6 m时，速度为8 m/s，返回舱的缓冲发动机开始向下喷气，舱体减速，到达地面时速度恰好为零，此过程可视为竖直方向的匀减速直线运动。该减速过程加速度的大小为( )
A．5 m/s2 B．10 m/s2
C．20 m/s2 D．40 m/s2
3．(多选)一辆汽车开始刹车后运动的位移随时间变化的规律是x＝10t－2t2，x和t的单位分别是m和s，以下说法正确的是( )
A．初速度v0＝10 m/s，加速度大小a＝4 m/s2
B．初速度v0＝4 m/s，加速度大小a＝10 m/s2
C．汽车刹车到停止所用时间为5 s
D．汽车刹车后4 s内的位移大小是12.5 m
4．以18 m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速直线运动，在3 s内前进36 m(制动3 s时汽车未停止)。求汽车的加速度及制动后5 s内发生的位移大小。
回归本节知识，完成以下问题：
1．匀变速直线运动的位移与时间的关系式为x＝v0t＋at2，式中x的含义是什么？
2．如果物体在做匀减速直线运动，在使用上述公式分析问题时，需要注意什么？
3．速度与位移的关系式＝2ax是怎样推导出来的？
4．在“刹车”类问题中要关注什么？
8/83．匀变速直线运动的位移与时间的关系
[学习目标]
1．知道匀变速直线运动的位移与 v-t 图像中图线与横轴围成面积的关系。
2．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系并会用来分析、解决问题。
3．会推导速度与位移的关系式，会用公式＝2ax进行分析和计算。
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1 位移与时间关系式x＝v0t＋at2适用于哪种运动形式？
问题2 公式＝2ax中各符号的意义是什么？
匀变速直线运动的位移
【链接教材】 如图是某物体以初速度v0做匀变速直线运动的v-t图像。
(1)如图甲所示，把物体的运动分成5段，每一段时间内，看成匀速直线运动，试着在图中表示出这5小段的位移之和。
(2)如图乙所示，如果把过程分割为更多的小段，和甲图相比，哪种情形更接近整个过程的位移？
(3)依次类推，如果把过程分割成无数个小段，能否用梯形的面积代表物体在这段时间的位移？
提示：(1)位移为题图甲中矩形面积之和，如图中阴影所示。
(2)题图乙更接近整个过程中的位移。
(3)能。
【知识梳理】
1．位移在v-t图像中的表示
做匀变速直线运动的物体的位移大小对应着v-t图像中的图线和时间轴包围的图形的“面积”。如图所示，物体在0～t时间内的位移大小等于梯形的面积。
2．位移与时间的关系式：x＝v0t＋at2。
当初速度为0时，x＝。
【思考讨论】 如图所示，汽车由静止以加速度a1启动，行驶一段时间t1后，又以加速度a2刹车，经时间t2后停下来。请思考：
问题1 汽车加速过程及刹车过程中，加速度的方向相同吗？
提示：加速度方向不同。
问题2 根据位移与时间的关系式求加速过程及减速过程中的位移、速度及加速度的正负号如何确定？
提示：根据位移与时间的关系式求位移时，一般取初速度方向为正方向，加速时，加速度取正值，减速时，加速度取负值。
【知识归纳】
1．对位移与时间的关系式x＝v0t＋at2的理解
公式意义 位移随时间变化的规律
各量意义 x、v0、a分别为t时间内的位移、初速度、加速度
公式特点 含有4个量，若知其中三个，能求另外一个
矢量性 x、v0、a均为矢量，应用公式时，一般选v0的方向为正方向，若匀加速，a＞0；若匀减速，a＜0
适用条件 匀变速直线运动
2．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动，位移x与t2成正比。
(2)当a＝0时，x＝v0t，即匀速直线运动，位移x与t成正比。
【典例1】 (对位移与时间的关系式符号的理解)物体做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝5t＋t2(m)，则该物体( )
A．运动的初速度是2.5 m/s
B．运动的加速度是0.5 m/s2
C．第1 s内的位移是5 m
D．在前4 s内的平均速度是9 m/s
D [根据位移与时间的关系式x＝v0t＋at2，与题中的关系式对比，根据对应关系可得到v0＝5 m/s，a＝2 m/s2，故A、B错误；把t＝1 s代入位移与时间关系式，解得第1 s内的位移是6 m，故C错误；在前4 s内，物体的平均速度为＝＝(5＋t) m/s＝9 m/s，故D正确。]
【典例2】 [链接教材P43例题1](位移与时间的关系式的应用)一质点沿直线从静止开始以1 m/s2的加速度水平向右做匀加速直线运动，经5 s加速后，做匀速直线运动4 s，又经2 s做匀减速直线运动直到静止，则：
(1)质点匀速直线运动时速度是多大？
(2)做减速直线运动时的加速度？
(3)质点通过的总位移为多大？
[解析] (1)加速过程的末速度大小为v＝v0＋a1t1＝0＋1×5 m/s＝5 m/s。
(2)减速运动时a3＝＝ m/s2＝－2.5 m/s2，负号表示方向与运动方向相反，即方向向左。
(3)加速位移x1＝＝×1×52 m＝12.5 m
匀速位移x2＝vt2＝5×4 m＝20 m
减速位移x3＝＝(5×2－×2.5×22) m＝5 m
则总位移大小x＝x1＋x2＋x3＝37.5 m。
[答案] (1)5 m/s (2)2.5 m/s2，方向向左 (3)37.5 m
应用位移公式x＝v0t＋at2的解题步骤
(1)规定一个正方向(一般以初速度的方向为正方向)。
(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。
(3)根据位移与时间的关系式或其变形式列式、求解。
(4)根据计算结果说明所求量的大小、方向。
【教材原题P43例题1】 航空母舰的舰载机既要在航母上起飞，也要在航母上降落。
(1)某舰载机起飞时，采用弹射装置使飞机获得10 m/s的速度后，由机上发动机使飞机获得25 m/s2的加速度在航母跑道上匀加速前进，2.4 s后离舰升空。飞机匀加速滑行的距离是多少？
(2)飞机在航母上降落时，需用阻拦索使飞机迅速停下来。若某次飞机着舰时的速度为80 m/s，飞机钩住阻拦索后经过2.5 s停下来。将这段运动视为匀减速直线运动，此过程中飞机加速度的大小及滑行的距离各是多少？
分析 两个问题都是已知匀变速直线运动的时间来计算位移。第(1)问需要用匀变速直线运动的位移与时间的关系式计算。第(2)问中，飞机着舰做匀减速直线运动的加速度需要根据速度与时间的关系式计算。匀减速运动各矢量的方向较为复杂，因此需要建立一维坐标系来确定它们的正负。
解 (1)根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式，有x＝v0t＋at2＝10 m/s×2.4 s＋×25 m/s2×(2.4 s)2＝96 m
(2)沿飞机滑行方向建立一维坐标系(如图)，飞机初速度v0＝80 m/s，末速度v＝0，根据匀变速直线运动的速度与时间的关系式，有
a＝＝－＝－＝－32 m/s2
加速度为负值表示方向与x轴正方向相反。
再根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式，有x＝v0t＋at2＝v0t＋t2＝v0t＝×80 m/s×2.5 s＝100 m
飞机起飞时滑行距离为96 m。着舰过程中加速度的大小为32 m/s2，滑行距离为100 m。
速度与位移的关系
1．公式：＝2ax。
2．推导
速度公式：v＝v0＋at。
位移公式：x＝v0t＋at2。
由以上两式消去t得：＝2ax。
【思考讨论】 交通事故中，交警只要知道刹车时的加速度大小，再测出刹车痕迹的长度，就可以求得汽车开始刹车时的速度，从而判断汽车是否超速。这是怎么办到的？
问题1 汽车刹车时做匀减速直线运动，车辆的加速度a是已知的，测出的刹车痕迹长度即刹车时位移x的大小，若开始刹车时的车速为v0，则x与刹车时间t的关系式是什么？
提示：x＝v0t＋at2。
问题2 交通事故中刹车时间t无法测量，如何求出汽车开始刹车时的速度v0
提示：刹车时间t是未知的，但是将公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2联立，消去t，可得速度与位移的关系式＝2ax，末速度v为零，测量出刹车距离x，并将已知的加速度a代入关系式，即可计算出汽车开始刹车时的速度v0。
【知识归纳】
1．适用条件：匀变速直线运动，尤其是不涉及时间t的问题。
2．公式的意义：公式反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中任意三个物理量已知时，可求另一个未知量。
3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0方向为正方向。
4．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，v2＝2ax(表示初速度为零的匀加速直线运动)。
(2)当v＝0时＝2ax(表示末速度为零的匀减速直线运动)。
【典例3】 [链接教材P44例题2](速度与位移关系的简单应用)某型号航空母舰上装有帮助战斗机起飞的弹射系统，已知某型号的战斗机在跑道上加速时能获得的最大加速度为5.0 m/s2，当战斗机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞。设航空母舰处于静止状态。问：
(1)若要求该战斗机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使战斗机具有多大的初速度？
(2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号战斗机仍能在此舰上正常起飞，该舰身长至少应为多长？
[解析] (1)设弹射系统使战斗机具有的初速度为v0，由速度与位移的关系式＝2ax
可得v0＝30 m/s。
(2)不装弹射系统时，战斗机从静止开始做匀加速直线运动。
由v2＝2ax′
可知该舰身长至少应为x′＝250 m。
[答案] (1)30 m/s (2)250 m
【教材原题P44例题2】动车铁轨旁两相邻里程碑之间的距离是1 km。某同学乘坐动车时，通过观察里程碑和车厢内电子屏上显示的动车速度来估算动车减速进站时的加速度大小。当他身边的窗户经过某一里程碑时，屏幕显示的动车速度是126 km/h(如图)。动车又前进了3个里程碑时，速度变为54 km/h。把动车进站过程视为匀减速直线运动，那么动车进站的加速度是多少？它还要行驶多远才能停下来？
分析 由于把动车进站过程视为匀减速直线运动，因此可以应用匀变速直线运动的速度与位移的关系式计算动车的加速度。本题加速度方向跟速度方向相反，因此需要建立一维坐标系来处理相关物理量的正负号。
解 沿动车运动方向为正方向建立一维坐标系。把动车通过3 000 m的运动称为前一过程，之后到停下来称为后一过程。
设在前一过程中的末位置为M点。初速度v0＝126 km/h＝35 m/s，末速度vM＝54 km/h＝15 m/s，位移x1＝3 000 m。
对前一过程，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式，有
a＝＝＝
对后一过程，末速度v＝0，初速度vM＝15 m/s。
由v2＝＋2ax2，有
x2＝＝＝674 m
动车进站的加速度大小为0.167 m/s2，方向与动车运动方向相反；还要行驶674 m才能停下来。
【典例4】 (源自鲁科版教材例题)(速度与位移的关系式的综合应用)
汽车从开始制动到停止所行驶的距离，是衡量汽车制动性能的参数之一。某型号的汽车以100 km/h的速度在柏油路面上行驶，急刹车后做匀减速直线运动。若匀减速时的加速度大小为5 m/s2，开始制动后2 s内汽车行驶的距离是多少？从开始制动到完全停止，汽车行驶的距离是多少？(结果均保留一位小数)
[解析] 选定初速度方向为正方向，由题意知v0＝100 km/h≈27.8 m/s，a＝－5 m/s2，v＝0，t＝2 s
根据v＝v0＋at，可知汽车刹车时间
t0＝＝5.56 s
因为tx1＝v0t＋at2＝27.8 m/s×2 s＋×(－5 m/s2)×(2 s)2＝45.6 m
根据公式＝2ax，可得汽车从开始制动到完全停止的位移x2＝≈77.3 m
所以，开始制动后2 s内汽车行驶的距离为45.6 m；从开始制动到完全停止，汽车行驶的距离为77.3 m。
[答案] 45.6 m 77.3 m
应用速度与位移的关系式的两点注意
(1)若不涉及时间，优先选用＝2ax。
(2)选用＝2ax，要注意符号关系，必要时应对计算结果进行分析，验证其合理性。
刹车问题
1．问题特点：匀减速到速度为零后停止运动，加速度a突然消失。
2．求解时要注意确定实际运动时间(减速到零所用时间为t0)
(1)如果t0(2)如果t0>t，说明经过时间t运动还没有停止，则能用题目所给的时间t直接求解位移。
3．求解实际刹车时间和刹车位移时可以采用逆向思维法把整个刹车过程看成反向的初速度为零的匀加速直线运动。
【典例5】 (刹车问题的计算)一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动。设汽车减速过程的加速度大小为 5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离。
[解析] 汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2
汽车运动的总时间t＝＝ s＝4 s。
(1)因为t1＝2 s故x1＝＝(20×2－×5×22)m＝30 m。
(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车5 s时已停止运动。
故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42)m＝40 m。
[答案] (1)30 m (2)40 m
【典例6】 (逆向思维的应用)汽车刹车前的速度为10 m/s，刹车获得的加速度大小为2 m/s2，求：
(1)汽车刹车开始后2 s末的速度大小；
(2)汽车静止前最后3 s内滑行的距离。
[解析] (1)汽车刹车开始后2 s末的速度大小为v＝v0－at1＝10 m/s－2×2 m/s＝6 m/s。
(2)可以进行逆向分析，认为汽车由静止开始在t2＝3 s内做逆向的匀加速运动。
故x＝＝×2×32 m＝9 m。
[答案] (1)6 m/s (2)9 m
【教用·备选例题】
【典例1】 一个质点做加速直线运动，依次经过A、B、C三点，B为A、C中点。质点在A、B、C三点的速度大小之比为1∶2∶3，质点在AB段加速度大小恒为a1，在BC段加速度大小恒为a2，则a1∶a2等于( )
A．2∶5 B．3∶5
C．4∶5 D．1∶1
B [设质点依次经过A、B、C三点的速度大小分别为v、2v、3v，由题意知(2v)2－v2＝2a1xAB，(3v)2－(2v)2＝2a2xBC，又xAB＝xBC，因此得＝，解得a1∶a2＝3∶5，故选B。]
【典例2】 (多选)汽车以10 m/s的速度开始刹车，刹车中加速度大小为2 m/s2，关于汽车的运动情况，下列说法正确的是( )
A．刹车后6 s末的速度大小为2 m/s
B．刹车后6 s内的位移大小为25 m
C．刹车后6 s内的位移大小为24 m
D．停止前第3 s内、第2 s内、最后1 s内的位移大小之比为 5∶3∶1
BD [汽车开始刹车到最终停止的过程为匀减速直线运动，初速度v0＝10 m/s，末速度为零，加速度为a＝－2 m/s2。设汽车经过时间t停止运动，则有t＝＝ s＝5 s，汽车在5 s末停止运动，此后速度为零，A错误；汽车5 s末停止运动，刹车位移x＝＝ m＝25 m，第6 s内汽车静止不动，B正确，C错误；汽车的刹车过程反过来看就是初速度为零、加速度为a′＝2 m/s2的匀加速直线运动，则由公式x＝at2，可知汽车停止前第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移大小之比为1∶3∶5，那么，汽车停止前第3 s内、第2 s内、最后1 s内的位移大小之比就为5∶3∶1，D正确。]
1．示意图中ae段为港珠澳大桥上四段110 m的等跨钢箱连续梁桥，若汽车从a点由静止开始做匀加速直线运动，通过ab段的时间为t，则通过be段的时间为( )
A．t B．t
C．3t D．9t
A [设通过be段的时间为ts，通过ab段过程中，由位移与时间的关系式得x＝at2，通过ae段过程中，由位移与时间的关系式得4x＝a(ts＋t)2，联立解得ts＝t，故A正确，B、C、D错误。]
2．2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，在距离地面1.6 m时，速度为8 m/s，返回舱的缓冲发动机开始向下喷气，舱体减速，到达地面时速度恰好为零，此过程可视为竖直方向的匀减速直线运动。该减速过程加速度的大小为( )
A．5 m/s2 B．10 m/s2
C．20 m/s2 D．40 m/s2
C [根据匀变速直线运动位移与速度的关系式可得－2ah＝，可得该减速过程加速度的大小为a＝＝ m/s2＝20 m/s2，故选C。]
3．(多选)一辆汽车开始刹车后运动的位移随时间变化的规律是x＝10t－2t2，x和t的单位分别是m和s，以下说法正确的是( )
A．初速度v0＝10 m/s，加速度大小a＝4 m/s2
B．初速度v0＝4 m/s，加速度大小a＝10 m/s2
C．汽车刹车到停止所用时间为5 s
D．汽车刹车后4 s内的位移大小是12.5 m
AD [根据x＝v0t＋at2＝(10t－2t2) m可得v0＝10 m/s，a＝－4 m/s2，即初速度为10 m/s，加速度大小为4 m/s2，故A正确，B错误；汽车速度减为零的时间为t0＝＝ s＝2.5 s，则刹车后4 s内的位移大小为x＝＝ m＝12.5 m，故C错误，D正确。]
4．以18 m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速直线运动，在3 s内前进36 m(制动3 s时汽车未停止)。求汽车的加速度及制动后5 s内发生的位移大小。
[解析] 初速度v0＝18 m/s，时间t＝3 s，位移x＝36 m
根据x＝v0t＋at2
解得a＝＝＝－4 m/s2
则加速度大小为4 m/s2，方向与初速度方向相反。
根据v＝v0＋at，汽车停止运动的时间
t′＝＝＝4.5 s
故汽车在制动后5 s内的位移与4.5 s内的位移相等，x′＝|a|t′2＝40.5 m。
[答案] 4 m/s2，与初速度方向相反 40.5 m
回归本节知识，完成以下问题：
1．匀变速直线运动的位移与时间的关系式为x＝v0t＋at2，式中x的含义是什么？
提示：x是物体在时间t内的位移，如果认为物体在t＝0时刻位于坐标原点，则x也是物体在时刻t的位置。
2．如果物体在做匀减速直线运动，在使用上述公式分析问题时，需要注意什么？
提示：若以初速度方向为正方向，则加速度a代入数据时要用负数。
3．速度与位移的关系式＝2ax是怎样推导出来的？
提示：运用公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2，两个公式联立，消掉时间t。
4．在“刹车”类问题中要关注什么？
提示：关注实际停止的时间。
课时分层作业(七)
?题组一 匀变速直线运动的位移
1．某汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度为5 m/s2，根据x＝v0t＋at2计算10 s内的位移为( )
A．25 m B．250 m
C．500 m D．1 000 m
B [由匀变速直线运动的位移与时间的关系式x＝v0t＋at2，可得x＝×5×102 m＝250 m，故选B。]
2．小球以某一较大初速度冲上足够长的光滑斜面，加速度大小为5 m/s2，则小球在沿斜面上滑过程中最后一秒的位移是( )
A．2.0 m B．2.5 m
C．3.0 m D．3.5 m
B [小球沿光滑斜面向上做匀减速运动，可等效看成反向的初速度为零的匀加速运动，故上滑最后一秒的位移x＝at2＝×5×12 m＝2.5 m，故B正确。]
3．一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15 m有一棵树，如图所示，汽车通过A、B两相邻的树用了3 s，通过B、C两相邻的树用了2 s，则下列说法正确的是( )
A．此汽车运动的加速度大小为2 m/s2
B．此汽车经过A树时的速度大小为3.0 m/s
C．此汽车经过B树时的速度大小为6.5 m/s
D．此汽车经过B树时的速度大小为6.0 m/s
C [设汽车经过A树时的速度为v1，加速度为a，对汽车在A、B间的运动由位移与时间的关系式有x＝，对汽车在A、C间的运动根据位移与时间的关系式有2x＝v1(t1＋t2)＋a(t1＋t2)2，联立并代入数据解得a＝1 m/s2，v1＝3.5 m/s，故A、B错误；由速度与时间的关系式v＝v0＋at得，通过B树时的速度大小为v2＝v1＋at1＝6.5 m/s，故C正确，D错误。]
?题组二 速度与位移的关系
4．如图所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在水平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则物体在斜面上的加速度大小a1与水平面上加速度大小a2的关系为( )
A．a1＝a2 B．a1＝2a2
C．a1＝a2 D．a1＝4a2
B [设物体在斜面末端时的速度大小为vt，由＝2ax得－02＝＝2(－a2)x2，联立解得a1＝2a2，故选B。]
5．京杭大运河始建于春秋时期，是我国古代劳动人民创造的一项伟大工程。一艘游轮在运河上航行，做匀加速直线运动，该游轮的初始速度是3 m/s，航行50 m后速度变为7 m/s，则它的加速度大小是( )
A．0.30 m/s2 B．0.25 m/s2
C．0.40 m/s2 D．0.45 m/s2
C [根据位移与时间的关系式＝2ax，解得a＝0.40 m/s2，故A、B、D错误，C正确。]
6．一滑雪运动员由静止开始沿斜坡匀加速下滑。当下滑距离为l时，速度为v。那么，当他的速度是时，下滑的距离是( )
A．
C．
C [由公式＝2al，得l＝，则l1＝＝＝，故选项C正确。]
?题组三 刹车问题
7．以初速度为10 m/s行驶的汽车，某时刻开始以大小为5 m/s2的加速度刹车，刹车后第1 s内的运动距离和刹车后2 s内的运动距离之比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶3 D．3∶4
D [设刹车时初速度为v0，加速度大小为a，汽车开始刹车到停止所需时间为t＝＝ s＝2 s。根据位移与时间关系式可知刹车后第1 s内的运动距离为x1＝＝7.5 m，汽车经过2 s刚好停止，故刹车后2 s内的运动距离为x2＝＝10 m，可知x1∶x2＝3∶4，故选D。]
8．一辆汽车以速度v0＝25 m/s在平直的公路上匀速行驶，当驾驶员发现较远的前方堵车，于是开始刹车，最后1 s内的位移为2.5 m，求：
(1)刹车时加速度的大小；
(2)刹车开始后最初2 s内的平均速度大小；
(3)刹车后6 s内的位移大小。
[解析] (1)汽车最后1 s内的位移为2.5 m，由逆向思维可得x1＝，解得汽车加速度大小为a＝＝5 m/s2。
(2)由匀变速直线运动公式可得，汽车前2 s内的位移为x2＝＝40 m
所以前2 s内的平均速度大小为v2＝＝20 m/s。
(3)设汽车经过时间t速度减小为零，t＝＝5 s<6 s，5 s末汽车已经停下，所以刹车后6 s内的位移大小为x＝＝62.5 m。
[答案] (1)5 m/s2 (2)20 m/s (3)62.5 m
9．某同学做研究匀变速直线运动的实验，通过定滑轮用钩码拖拽小车，使得小车由静止开始做匀加速直线运动，测得小车在第5 s内的位移是27 m，则( )
A．小车在2 s末的速度是20 m/s
B．小车在第5 s内的平均速度是9 m/s
C．小车在第2 s内的位移是9 m
D．小车在5 s内的位移是125 m
C [设加速度大小为a，由题意可得a×(5 s)2－a×(4 s)2＝27 m，解得a＝6 m/s2，小车在2 s末的速度是v1＝at1＝12 m/s故A错误；小车在第5 s内的平均速度是＝ m/s＝27 m/s，故B错误；小车在第2 s内的位移是x1＝(×6×22－×6×12)m＝9 m，故C正确；小车在5 s内的位移是x2＝×6×52 m＝75 m，故D错误。]
10．(2024·全国甲卷)为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从t＝0时由静止开始做匀加速运动，加速度大小a＝2 m/s2，在t1＝10 s时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止鸣笛，t2＝41 s时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速v0＝340 m/s，求：
(1)救护车匀速运动时的速度大小；
(2)在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。
[解析] (1)根据题意可知，救护车匀速运动时的速度大小为v＝at1
代入数据解得v＝20 m/s。
(2)设救护车在t＝t0时停止鸣笛，则由运动学规律可知，此时救护车距出发处的距离为
x＝＋v(t0－t1)
又x＝v0(t2－t0)
联立并代入数据解得x＝680 m。
[答案] (1)20 m/s (2)680 m
11．如图所示，A、B、C依次是光滑斜面上的三个点，OA间距为20 m，AB＝4BC。一个小球以初速度12 m/s从斜面底端O点冲上该固定斜面，沿斜面做匀减速直线运动。经过2 s，小球第一次通过A点，又经 5 s 第二次通过C点。
(1)小球的加速度大小为多少？
(2)BC间的距离是多大？
(3)小球两次经过B点的时间差是多少？
[解析] (1)取沿斜面向上为正方向，从O运动到A过程，有xOA＝
解得a＝－2 m/s2
则小球的加速度大小为2 m/s2。
(2)小球从O点开始运动到第二次通过C点，有
xOC＝v0(t1＋t2)＋a(t1＋t2)2
解得xOC＝35 m
可知xAC＝xOC－xOA＝15 m
解得xBC＝xAC＝3 m。
(3)小球从O点运动到B过程，有xOB＝
解得tB1＝4 s，tB2＝8 s
经过B点的时间差为Δt＝tB2－tB1＝4 s。
[答案] (1)2 m/s2 (2)3 m (3)4 s
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