4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念与通项公式
【课前预习】
知识点一
1.第2项 等比 公比
2.(1)等比中项 ab
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× [解析] (1)数列1,-1,1,-1从第二项起,每一项与它前一项的比都等于-1,∴数列1,-1,1,-1是等比数列.
(2)当a1=0时,由所给递推公式,可知该数列为常数列,且数列中的各项都为0,此时{an}不是等比数列.
(3)根据等比数列的定义,只有比值为同一个常数时,该数列才是等比数列.
(4)根据等比数列的定义知,等比数列的首项、公比均不能为零.
(5)当a,G,b成等比数列时,一定有G2=ab;反之,当G=a=b=0时,满足G2=ab,此时a,G,b不是等比数列.
知识点二
1.an=a1qn-1 2.(1)指数 一群孤立的点 (2)ka a
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)× [解析] (1)设等比数列{an}的公比为q,则q4==4,可得q2=2,所以a3=a1·q2=2×2=4.
(2)易知首项为1,公比为,则第10项为1×=.
(3)设等比数列{an}的公比为q,由8a2-a5=0,可知=q3=8,解得q=2.又a1>0,所以数列{an}为递增数列.
(4)等比数列的公比q=,但该数列是递增数列.
2.解:方法一(归纳法):由等比数列的定义,得a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,a4=a3q=(a1q2)q=a1q3,…,故当n≥2时,an=an-1q=a1qn-1,又当n=1时,a1=a1q0满足上式,故an=a1qn-1.
方法二(累乘法):将=q,=q,=q,…,=q(n≥2)这n-1(n≥2)个等式相乘,得···…·=qn-1(n≥2),化简得=qn-1(n≥2),即an=a1qn-1(n≥2),又当n=1时,上式成立,故an=a1qn-1.
【课中探究】
探究点一
探索 解:等比数列的通项公式an=a1qn-1反映了等比数列{an}的各项与其序号n之间的函数关系,可以看出,只要知道首项a1和公比q,就可以求出通项公式.
例1 (1)6 (2)3n-1 (3)2 (4)5 [解析] (1)∵an=a1qn-1=128,a1=4,q=2,∴4·2n-1=128,∴2n-1=32,∴n-1=5,得n=6.
(2)因为a4=a1q3,所以27=q3,所以q=3,所以an=a1qn-1=3n-1.
(3)设等比数列{bn}的公比为q,∵等比数列{bn}满足b1+b2=3,b1+b4=9,∴由②得b1(1+q3)=9,即b1(1+q)(1-q+q2)=9,把①代入得1-q+q2=3,解得q=2或q=-1.当q=-1时,b1+b2=3不成立,∴q=2.
(4)∵an=a1qn-1=625,n=4,q=5,∴a1===5.
变式 (1)C (2)A (3)8,4,2或2,4,8 [解析] (1)在各项均为正数的等比数列{an}中,a3-a2=3,a5-a3=18,所以a1q2-a1q=3,a1q4-a1q2=18,解得q=2,a1=,所以a5=a1q4=24,故选C.
(2)因为数列{an+2n}是等比数列,且a1=0,a2=4,所以a1+21=2,a2+22=8,可得数列{an+2n}的公比q===4,所以{an+2n}是首项为2,公比为4 的等比数列,所以a6+26=2×45=211=2048,所以a6=2048-26=1984.故选A.
(3)设这三个数所成的等比数列为,a,aq(aq≠0),则+a+aq=14,·a·aq=64,即a=14,a3=64,解得a=4,q=或q=2,故这三个数所成的等比数列为8,4,2或2,4,8.
探究点二
例2 D [解析] 由题意得,等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1.当a1>0时,若q<0,则{an}为摆动数列;若0
1,则{an}为递增数列.当a1<0时,若q<0,则{an}为摆动数列;若01,则{an}为递减数列.综上,{an}为递减数列的充要条件是a1>0,01,故选D.
变式 (1)B (2)D [解析] (1)设等比数列{an}的公比为q,由a10,解得或此时数列{an}不一定是递增数列;若数列{an}为递增数列,可得或此时a1(2)因为{an}是等比数列,所以an=a1qn-1,当q<0时,{an}为摆动数列,故q>0,显然q≠1.由a2=a1q<0得a1<0,又{an}是递增的等比数列,所以0探究点三
例3 (1)B (2)9 [解析] (1)由已知得=a4a8=16,解得a6=±4,又a4,a6,a8同号,所以a6=4,故选B.
(2)方法一:设等比数列{an}的公比为q,因为数列{an}为等比数列,所以a1a2,a4a5,a7a8为等比数列,其公比为q6.因为数列{an}的各项均为正数,所以a4a5===9.
方法二:设等比数列{an}的公比为q,则a1a7=q6=(a1q3)2=,a2a8=a1qa1q7=q8=(a1q4)2=,则=a1a7·a2a8=3×27=81,又因为数列{an}的各项均为正数,所以a4a5=9.
变式 (1)C (2)C (3)-4 [解析] (1)-2和+2的等差中项为=,-2和+2的等比中项为±=±1,故选C.
(2)由题可知,b2=ac,abc≠0,x2=ab,abx≠0,y2=bc,bcy≠0.当a=b=c=x=y=1时,满足题目条件,所以A,B错误;若a>0,则由b2=ac>0可得c>0,再由y2=bc>0可得b>0,同理,若a<0,则可推出b<0,c<0,所以C正确;当a=b=c=1,x=1,y=-1时,满足题目条件,但是x与y不同号,所以D错误.故选C.
(3)由题意知,(2a+2)2=a(3a+3),解得a=-1或a=-4.当a=-1时,第二、三项均为零,不符合题意,故a=-1应舍去,故a=-4.
探究点四
例4 解:(1)证明:因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1),即bn+1=2bn,因为b1=a1+1=2≠0,所以bn≠0,所以=2,所以{bn}是等比数列.
(2)由(1)知,{bn}是首项b1=2,公比为2的等比数列,所以bn=2×2n-1=2n,即an+1=2n,所以an=2n-1.
变式 证明:因为a,b,c成等比数列,所以b是a,c的等比中项,则b2=ac,且a,b,c均不为0,则(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,又(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2),即ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项,所以a2+b2,ab+bc,b2+c2成等比数列.
拓展 证明:数列{an}中,∵anan+1=,∴an+1an+2=,∴=.∵a1=1,a1a2=,∴a2=,∴数列{a2n-1}是以1为首项,以为公比的等比数列,数列{a2n}是以为首项,以为公比的等比数列.4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念与通项公式
1.D [解析] A选项中,因为等比数列的各项都不为0,所以该数列不是等比数列;B选项中,因为≠,所以该数列不是等比数列;C选项中,当q=1时,数列为0,0,0,…,不是等比数列;D选项中,该数列是首项为,公比为的等比数列.故选D.
2.C [解析] 设2+和2-的等比中项为G,则G2=(2+)×(2-)=1,∴G=±1.
3.C [解析] ∵=2,∴公比q=2,又∵a3=a1q2,∴a1==.故选C.
4.D [解析] 由题意得a3+a3q+a3q2=7,得a3(1+q+q2)=7|a3|,由an>0,q>0,得1+q+q2=7,解得q=2.故选D.
5.B [解析] 由a1(q-1)<0,得或当a1>0,q<0时,数列{an}不是递减数列,所以“a1(q-1)<0”不是“数列{an}是递减数列”的充分条件;若数列{an}是递减数列,则或所以a1(q-1)<0,所以“a1(q-1)<0”是“数列{an}是递减数列”的必要条件.所以“a1(q-1)<0”是“数列{an}是递减数列”的必要不充分条件.故选B.
6.B [解析] 由题意得,这13个数构成递增的等比数列,设为{an},则a1=1,a13=2,设公比为q,则q12=2,所以插入的第四个数为a5=a1q4=.故选B.
7.C [解析] 由题意得am=a1qm-1=qm,a1a2a3…a10=q1+2+…+9=q45=q55.因为am=a1a2a3…a10,所以qm=q55,所以m=55.故选C.
8.ABD [解析] 对于A,由=4n知|an|=2n,则数列{an}不一定是等比数列,A中说法不正确;对于B,若an=0,满足anan+2=,n∈N*,但数列{an}不是等比数列,故B中说法不正确;同理,D中说法也不正确;对于C,由aman=2m+n知,aman+1=2m+n+1,两式相除得=2(n∈N*),故数列{an}是等比数列,C中说法正确.故选ABD.
9.AC [解析] (anan+1-1)(2an+1-an)=0,故anan+1-1=0或2an+1-an=0.当anan+1-1=0时,a1=1,故an=1,a1314=1;当2an+1-an=0时,an+1=an,又a1=1,故an=,a1314=2-1313.综上所述,a1314=1或a1314=2-1313.故选AC.
10.an=2×33-n或an=2×3n-3 [解析] 设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,a2==,a4=a3q=2q,∴+2q=,解得q=或q=3.当q=时,a1=18,此时an=18×=2×33-n;当q=3时,a1=,此时an=×3n-1=2×3n-3.
11.-3 9 [解析] ∵b是-1,-9的等比中项,∴b2=9,∴b=±3.又等比数列奇数项的符号相同,∴b<0,故b=-3,而b又是a,c的等比中项,∴ac=b2=9.
12.-2n-1 [解析] Sn=2an+1①,当n=1时,a1=2a1+1,解得a1=-1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+1②,①-②得,Sn-Sn-1=2an+1-2an-1-1,即an=2an-2an-1,所以an=2an-1,故{an}是首项为-1,公比为2的等比数列,故an=-1×2n-1=-2n-1.
13.解:(1)设数列{an}的公比为q,因为a3+a6=(a2+a5)q,所以q==.
由a2+a5=a1q+a1q4=18,得a1===32.
由am=a1qm-1=32×=1,解得m=6.
(2)设数列{an}的公比为q,q>0,由4=a2·a6,得4=,得q2=4,所以q=2.由a1+a3=a1+4a1=5a1=10,得a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n.
14.解:(1)当n=1时,-(2a2-1)a1-2a2=0,把a1=1代入上式,得a2=.当n=2时,-(2a3-1)a2-2a3=0,把a2=代入上式,得a3=.
(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1).因为{an}的各项都为正数,所以=,故{an}是首项为1,公比为的等比数列.因此an=.
15.16 2n+1 [解析] 由题意可知an+1=2bn,bn+1=an,且a2=2b1=2,b2=a1=1,则an+2=2bn+1=2an,可得a2n-1=a1·2n-1=2n-1,a2n=a2·2n-1=2n,b2n+1=a2n=2n,所以a6+a7=8+8=16,a2n+b2n+1=2n+1.
16.证明:设=a·qn-1(a>0,q>0),则Sn=1-a2q2n-2.
当n=1时,a1=S1=1-a2;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=1-a2q2n-2-1+a2q2n-4=a2q2n-4(1-q2),
因为an>0,a2=a1(1-a1),所以a2(1-q2)=(1-a2)a2,
所以a=q,则an=q2n-2(1-q2)(n≥2).
又a1=1-a2=1-q2满足上式,所以an=q2n-2(1-q2),
所以=q2,故{an}是等比数列.4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念与通项公式
【学习目标】
1.理解等比数列的概念,能用文字语言、符号语言、图形语言描述等比数列的概念,能根据等比数列的定义判断或证明已知数列是否是等比数列.
2.理解等比数列的通项公式,能根据定义归纳出等比数列的通项公式,会用通项公式解决一些简单问题.
◆ 知识点一 等比数列的相关概念
1.等比数列与公比
一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫作 数列,这个常数叫作等比数列的 ,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
以上定义用符号表示为=q或an+1=qan(q为常数,n∈N*).等比数列的定义用符号语言表示,其本质是等比数列的递推公式.
2.等比中项
(1)定义:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫作a与b的 ,此时,G2= .
(2)推广:在等比数列{an}中,从第2项起,每一项都是相邻两项的等比中项.
特别地,等比数列{an}中的某一项ak是与该项等距离的两项ak-m,ak+m(k>m)的等比中项,即=ak-m·ak+m.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列1,-1,1,-1是等比数列. ( )
(2)若数列{an}满足an+1=2an(n∈N*),那么{an}是等比数列. ( )
(3)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数,则该数列为等比数列. ( )
(4)等比数列的首项、公比均不能为零. ( )
(5)G2=ab是a,G,b成等比数列的充要条件. ( )
◆ 知识点二 等比数列的通项公式
1.通项公式
首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为 .
2.等比数列的通项公式与指数型函数的关系
(1)在公比为q的等比数列{an}中,an=a1qn-1可改写成an=·qn,当q>0且q≠1时,y=qx是一个 函数,此时等比数列{an}的图象是函数y=·qx的图象上 .
(2)任给函数f(x)=kax(k, a为常数,k≠0, a>0且a≠1), 则f(1)=ka, f(2)=ka2,…,f(n)=kan,…构成一个等比数列 {kan}, 其首项为 ,公比为 .
3.等比数列的单调性
由指数函数的性质可知,
当a1>0,q>1时,等比数列{an}是递增数列;
当a1<0,0当a1>0,0当a1<0,q>1时,等比数列{an}是递减数列;
当q<0时,等比数列{an}是摆动数列;
当q=1时,等比数列{an}是常数列.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若数列{an}为等比数列,a1=2,a5=8,则a3=±4. ( )
(2)等比数列1,,,,…中,第10项为. ( )
(3)已知在等比数列{an}中,a1>0,8a2-a5=0,则数列{an}为递增数列. ( )
(4)如果在等比数列{an}中,公比为q,且q<1,那么等比数列{an}是递减数列. ( )
2.如何推导等比数列{an}的通项公式
◆ 探究点一 等比数列通项公式的基本运算
[探索] 具备哪些条件可以确定等比数列的通项公式
例1 (1)已知在等比数列{an}中,an=128,a1=4,q=2,则n= .
(2)已知在等比数列{an}中,a1=1,a4=27,则an= .
(3)已知等比数列{bn}满足b1+b2=3,b1+b4=9,则q= .
(4)已知在等比数列{an}中,an=625,n=4,q=5,则a1= .
变式 (1)在各项均为正数的等比数列{an}中,a3-a2=3,a5-a3=18,则a5= ( )
A.16 B. C.24 D.
(2)已知数列{an+2n}是等比数列,且a1=0,a2=4,则a6= ( )
A.1984 B.1920
C.992 D.960
(3)三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64,则这三个数所成的等比数列为 .
[素养小结]
1.等比数列的通项公式涉及4个量a1, an, n, q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个,在这四个量中,a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,问题便迎刃而解.
2.求等比数列{an}的通项公式通常有以下两种方法:
(1)根据已知条件,建立关于a1, q的方程组,求出a1, q后再求an,这是常规方法.
(2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.
◆ 探究点二 等比数列的函数特征
例2 设等比数列{an}的公比为q,则{an}为递减数列的充要条件是 ( )
A.|q|<1且q≠0
B.a1>0,0C.a1<0,q>1
D.a1>0,01
变式 (1)设{an}是等比数列,则“a1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知{an}是递增的等比数列,且a2<0,则其公比q满足 ( )
A.q<-1 B.-1C.q>1 D.0◆ 探究点三 等比中项及其应用
例3 (1)在等比数列{an}中,a4=1,a8=16,则a6= ( )
A.±4 B.4
C.-2 D.-4
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2=3,a7a8=27,则a4a5= .
变式 (1)-2和+2的等差中项与等比中项分别为 ( )
A.,±2 B.2,±
C.,±1 D.1,±
(2) 若a,b,c成等比数列,x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则 ( )
A.x>y B.xC.a,b,c同号 D.x与y同号
(3)已知等比数列{an}中的前三项为a,2a+2,3a+3,则实数a的值为 .
[素养小结]
(1)首项a1和公比q是等比数列的基本量,从基本量入手可以解决等比数列相关的基本量问题;(2)若没有特殊说明,则a与b(ab>0)的等比中项一般有2个,需要根据已知条件判断.
◆ 探究点四 等比数列的证明
例4 已知数列{an}满足a1=1,=2an+1,bn=an+1(n∈N*).
(1)求证:{bn}是等比数列;
(2)求{an}的通项公式.
变式 已知a,b,c成等比数列,求证:a2+b2,ab+bc,b2+c2成等比数列.
[素养小结]
证明一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N*,q为常数且不为零)或=q(n≥2且n∈N*,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.
(2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法:若=anan+2(n∈N*且an≠0),则数列{an}为等比数列.
拓展 已知数列{an}中,a1=1,anan+1=.证明:数列{a2n-1}和数列{a2n}都是等比数列.4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念与通项公式
一、选择题
1.下列数列为等比数列的是 ( )
A.0,1,2,4,…
B.22,42,62,82,…
C.q-1,(q-1)2,(q-1)3,(q-1)4,…
D.,,,,…
2.2+和2-的等比中项是 ( )
A.1 B.-1
C.±1 D.2
3.已知在等比数列{an}中,a3=2,a4=4,则a1=( )
A.2 B.1
C. D.
4.在各项均为正数的等比数列{an}中,a3+a4+a5=7,则{an}的公比q为 ( )
A.-2或3 B.3
C.2或-3 D.2
5.[2024·福建宁德一中高二月考] 已知数列{an}是等比数列,首项为a1,公比为q,则“a1(q-1)<0”是“数列{an}是递减数列”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.在1和2之间插入11个正数,使包含1和2的这13个数构成递增的等比数列,若数字由小到大插入,则插入的第四个数为 ( )
A. B.
C. D.
7.已知各项都为正数的等比数列{an}的公比为q,若a1=q≠1,且am=a1a2a3…a10,则m= ( )
A.19 B.45
C.55 D.100
8.(多选题)已知数列{an},则下列说法不正确的是 ( )
A.若=4n,n∈N*,则{an}为等比数列
B.若anan+2=,n∈N*,则{an}为等比数列
C.若aman=2m+n,m,n∈N*,则{an}为等比数列
D.若anan+3=an+1an+2,n∈N*,则{an}为等比数列
9.(多选题)[2024·河南濮阳高二期末] 已知数列{an}满足a1=1,(anan+1-1)(2an+1-an)=0,则a1314的值可能为 ( )
A.1 B.1314
C.2-1313 D.2-521
二、填空题
10.已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4=,则{an}的通项公式为 .
11.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么b= ,ac= .
12.记Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1,则an= .
三、解答题
13.(1)在等比数列{an}中,a2+a5=18,a3+a6=9,若am=1,求m的值.
(2)已知等比数列{an}的各项均为正数,且a1+a3=10,4=a2·a6,求数列{an}的通项公式.
14.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求证{an}是等比数列,并求{an}的通项公式.
15.如图所示的数阵由数字1和2构成,将上一行的数字1变成1个2,数字2变成2个1,得到下一行的数据,形成数阵,设an是第n行数字1的个数,bn是第n行数字2的个数,则a6+a7= ,a2n+b2n+1= .
第一行 1 2
第二行 2 1 1
第三行 1 1 2 2
第四行 2 2 1 1 1 1
……
16.记Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,a2=a1(1-a1),且数列{}是等比数列,证明:{an}是等比数列.(共61张PPT)
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念与通项公式
探究点一 等比数列通项公式的基本运算
探究点二 等比数列的函数特征
探究点三 等比中项及其应用
探究点四 等比数列的证明
【学习目标】
1.理解等比数列的概念,能用文字语言、符号语言、图形语言描述等比数列
的概念,能根据等比数列的定义判断或证明已知数列是否是等比数列.
2.理解等比数列的通项公式,能根据定义归纳出等比数列的通项公式,会用通
项公式解决一些简单问题.
知识点一 等比数列的相关概念
1.等比数列与公比
一般地，如果一个数列从_______起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常
数,那么这个数列叫作______数列，这个常数叫作等比数列的______,公比通常用
字母表示显然 .
以上定义用符号表示为或为常数, .等比数列的定
义用符号语言表示,其本质是等比数列的递推公式.
第2项
等比
公比
2.等比中项
（1）定义:如果在与中间插入一个数，使,,成等比数列,那么叫作与
的__________,此时， ____.
（2）推广：在等比数列 中，从第2项起，每一项都是相邻两项的等比中项.
特别地，等比数列中的某一项是与该项等距离的两项,
的等比中项，即 .
等比中项
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）数列1，,1， 是等比数列.( )
√
[解析] 数列1，,1，从第二项起，每一项与它前一项的比都等于， 数
列1，,1， 是等比数列.
（2）若数列满足,那么 是等比数列.( )
×
[解析] 当 时，由所给递推公式，可知该数列为常数列，且数列中的各项
都为0，此时 不是等比数列.
（3）若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数
列.( )
×
[解析] 根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列.
（4）等比数列的首项、公比均不能为零.( )
√
[解析] 根据等比数列的定义知，等比数列的首项、公比均不能为零.
（5）是,, 成等比数列的充要条件.( )
×
[解析] 当,,成等比数列时，一定有；反之，当 时，满
足，此时,, 不是等比数列.
知识点二 等比数列的通项公式
1.通项公式
首项为，公比为的等比数列 的通项公式为____________.
2.等比数列的通项公式与指数型函数的关系
（1）在公比为的等比数列中，可改写成 ，当
且时，是一个______函数，此时等比数列 的图象是函数
的图象上______________.
指数
一群孤立的点
（2）任给函数,为常数，,且 ,则
,， ，， 构成一个等比数列 ，其
首项为____,公比为___.
3.等比数列的单调性
由指数函数的性质可知，
当，时，等比数列 是递增数列；
当，时，等比数列 是递增数列；
当，时，等比数列 是递减数列；
当，时，等比数列 是递减数列；
当时，等比数列 是摆动数列；
当时，等比数列 是常数列.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若数列为等比数列，，，则 .( )
×
[解析] 设等比数列的公比为，则，可得 ，所以
.
（2）等比数列1,,,,…中，第10项为 .( )
√
[解析] 易知首项为1，公比为，则第10项为 .
（3）已知在等比数列中，，，则数列 为递增数列. ( )
√
[解析] 设等比数列的公比为,由，可知 ，解得
.
又，所以数列 为递增数列.
（4）如果在等比数列中，公比为，且，那么等比数列 是递减数
列.( )
×
[解析] 等比数列的公比 ,但该数列是递增数列.
2.如何推导等比数列 的通项公式
解：方法一（归纳法）:由等比数列的定义,得 ，
，， ，故当 时，
，
又当时，满足上式，故 .
方法二（累乘法）:将,,, ,这 个
等式相乘,得,化简得 ,即
，
又当时，上式成立，故 .
探究点一 等比数列通项公式的基本运算
［探索］ 具备哪些条件可以确定等比数列的通项公式
解：等比数列的通项公式反映了等比数列的各项与其序号 之
间的函数关系,可以看出,只要知道首项和公比 ,就可以求出通项公式.
例1（1） 已知在等比数列中，，，，则 ___.
6
[解析] ，，， ，
，，得 .
（2）已知在等比数列中，，，则 ______.
[解析] 因为，所以，所以，所以 .
（3）已知等比数列满足,,则 ___.
2
[解析] 设等比数列的公比为, 等比数列满足, ,
由②得，即 ，把①代入得，
解得或
当时， 不成立， .
（4）已知在等比数列中，，，，则 ___.
5
[解析] ，，， .
变式（1） 在各项均为正数的等比数列中，， ，
则 ( )
C
A.16 B. C.24 D.
[解析] 在各项均为正数的等比数列中，， ，所以
,，解得，，所以 ，
故选C.
（2）已知数列是等比数列，且，，则 ( )
A
A.1984 B.1920 C.992 D.960
[解析] 因为数列是等比数列，且，，所以 ，
，可得数列的公比，所以 是首
项为2，公比为4 的等比数列，
所以 ，所以 .故选A.
（3）三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64,则这三个数所成的
等比数列为____________.
8,4,2或2,4,
[解析] 设这三个数所成的等比数列为，，，则 ，
，即，，解得，或 ，
故这三个数所成的等比数列为8，4，2或2，4，8.
［素养小结］
1.等比数列的通项公式涉及4个量,,, ,只要知道其中任意三个就能求出另
外一个，在这四个量中，和 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，
问题便迎刃而解.
2.求等比数列 的通项公式通常有以下两种方法:
（1）根据已知条件，建立关于,的方程组，求出,后再求 ,这是常规方法.
（2）充分利用各项之间的关系，直接求出后，再求,最后求 ,这种方法带有
一定的技巧性，能简化运算.
探究点二 等比数列的函数特征
例2 设等比数列的公比为,则 为递减数列的充要条件是( )
D
A.且 B.，
C.， D.，或，
[解析] 由题意得，等比数列的通项公式为.
当 时，若,则为摆动数列；若，则为递减数列；
若，则 为常数列；若，则为递增数列.
当时，若，则 为摆动数列；若，则为递增数列；
若,则为常数列；若 ，则为递减数列.
综上，为递减数列的充要条件是， 或， ，故选D.
变式（1） 设是等比数列，则“”是“数列 是递增数列”的( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 设等比数列的公比为，由，可得 ，解得
或此时数列不一定是递增数列；
若数列 为递增数列，可得或此时一定成立.
所以“”是“数列 是递增数列”的必要不充分条件.
（2）已知是递增的等比数列，且，则其公比 满足( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为是等比数列，所以，
当时， 为摆动数列，故，显然.
由得，
又 是递增的等比数列，所以 .故选D.
探究点三 等比中项及其应用
例3（1） 在等比数列中，，,则 ( )
B
A. B.4 C. D.
[解析] 由已知得，解得，又,,同号，所以 ，
故选B.
（2）已知各项均为正数的等比数列中，， ，则
___.
9
[解析] 方法一：设等比数列的公比为,因为数列 为等比数列，所以
，，为等比数列，其公比为.因为数列 的各项均为正数，所
以 .
方法二：设等比数列的公比为,则 ，
，则 ，
又因为数列的各项均为正数，所以 .
变式（1） 和 的等差中项与等比中项分别为( )
C
A.， B.2， C.， D.1，
[解析] 和的等差中项为，和 的等
比中项为 ，故选C.
（2）若，，成等比数列，是，的等比中项，是， 的等比中项，则
( )
C
A. B. C.，，同号 D.与 同号
[解析] 由题可知，,，,，, .当
时，满足题目条件，所以A，B错误；
若 ，则由可得，再由可得，
同理，若 ，则可推出,，所以C正确；
当，， 时，满足题目条件，
但是与 不同号，所以D错误.故选C.
（3）已知等比数列中的前三项为,,，则实数 的值为_____.
[解析] 由题意知，，解得或.
当 时，第二、三项均为零，不符合题意，故应舍去，故 .
［素养小结］
（1）首项和公比 是等比数列的基本量，从基本量入手可以解决等比数列相
关的基本量问题；（2）若没有特殊说明，则与 的等比中项一般有2
个，需要根据已知条件判断.
探究点四 等比数列的证明
例4 已知数列满足，， .
（1）求证： 是等比数列；
证明：因为，所以，即 ，因为
，所以，所以，所以 是等比数列.
（2）求 的通项公式.
解：由（1）知，是首项 ，公比为2的等比数列，所以
，即，所以 .
变式 已知，，成等比数列，求证：，， 成等比数列.
证明：因为，，成等比数列，所以是，的等比中项，则，且 ，
， 均不为0，则
，
又 ，所以
，即是与 的等比中项，
所以，， 成等比数列.
［素养小结］
证明一个数列是等比数列的常用方法
（1）定义法：若数列满足,为常数且不为零 或
且,为常数且不为零，则数列 是等比数列.
（2）通项公式法：若数列的通项公式为 ，则数
列 是等比数列.
（3）等比中项法：若且,则数列 为等比数列.
拓展 已知数列中，，.证明：数列 和数列
都是等比数列.
证明：数列中，,,.
,,,
数列是以1为首项，以 为公比的等比数列，
数列是以为首项，以 为公比的等比数列.
十二平均律与等比数列
“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音
比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律是指八度的音程按波长比
例分成十二等份，每一等份称为一个半音，简而言之，就是把半根琴弦按照等
比数列分成十二份.
1.斐波那契数列与等比数列:意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数
列:1,1,2,3,5,8, ,该数列从第三项起,每一项都等于前两项之和.在数学上,斐波那
契数列定义如下:,,随着 的增
大,越来越逼近黄金分割比值 ,故此数列也称为黄金分割数列,其
通项公式为 .
2.等比数列定义的注意点
（1）对给定的等比数列，其公比 一定是后一项与前一项的比，防止把相邻两
项的比的顺序颠倒；
（2）定义中“从第2项起”是说必须从第2项起，才能保证数列中各项均与其前面一
项作比，如若不然，从第3项（或第4项…）起作比，则势必遗漏前面的若干项；
（3）定义中“每一项与它的前一项的比”的含义有两个，其一是强调作比的顺序，
即后面的项比前面的项，其二是强调这两项必须相邻；
（4）等比数列的首项可以是正数、负数，但不能为零.
3.等比中项的注意点
若是与的等比中项，则与的符号相同， ，即等比中项有两个，
且它们互为相反数.当,异号或有一个为零时，，, 没有等比中项.
4.等比数列通项公式的特点
（1）不要把的通项公式错误地写成 ；
（2）公比 是任意非零常数，可正可负；
（3）隐含条件：且 ，即任意一项和公比均不为0；
（4）当时， 为常数列.
1.等比数列的通项公式应用与基本量求解
（1）等比数列的通项公式中有四个量,,, ,已知其中三个量可
求得第四个量,简称“知三求一”.
例1（1） 已知等比数列中，，则 的公比为
__________.
或
[解析] 设数列的公比为 ，
由，得 ，
所以，解得或 .
（2）在等比数列中，若，，则公比___, ____.
3
81
[解析] 方法一：由，，得， ，
，， ，
.
方法二：，， ，
.
（2）在等比数列中,公比 的取值范围影响等比数列的单调性.
例2 （多选题）[2024·河北保定高二期末] 已知等比数列的首项为 ，公
比为，则下列能判断 为递增数列的是( )
BD
A., B., C., D.,
[解析] 对于A，由,，可得，所以 为递减数列，
所以A错误；
对于B，由,，可得，所以 为递增数列，所以B
正确；
对于C，由,，可得，所以 为递减数列，所以C
错误；
对于D，由,，,可得，所以 为递增数列，
所以D正确.故选 .
2.证明数列是等比数列的常用方法
（1）定义法;（2）等比中项法;（3）通项公式法.
例3 [2024·江苏高邮高二期末] 已知数列中，, ,
.
（1）令，求证：数列 是等比数列；
证明：因为，所以 ，即
，又，所以，所以数列 是以1为首
项，2为公比的等比数列.
（2）求 的通项公式.
解：由（1）得，所以，即 ，所以数
列是以4为首项，1为公差的等差数列，所以 ，即
.
练习册
一、选择题
1.下列数列为等比数列的是( )
D
A.0,1,2,4，
B.，，，，
C.，，，，
D.,,, ,…
[解析] A选项中，因为等比数列的各项都不为0，所以该数列不是等比数列；
B选项中，因为，所以该数列不是等比数列；
C选项中，当 时，数列为0,0,0， ，不是等比数列；
D选项中，该数列是首项为，公比为 的等比数列.故选D．
2.和 的等比中项是( )
C
A.1 B. C. D.2
[解析] 设和的等比中项为，则 ，
.
3.已知在等比数列中，，，则 ( )
C
A.2 B.1 C. D.
[解析] ， 公比，又， .故选C.
4.在各项均为正数的等比数列中，，则的公比
为( )
D
A.或3 B.3 C.2或 D.2
[解析] 由题意得，得 ，由
， ，得，解得 .故选D.
5.[2024·福建宁德一中高二月考]已知数列是等比数列，首项为，公比为 ，
则“”是“数列 是递减数列”的( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由，得或当, 时，数列
不是递减数列，所以“”不是“数列 是递减数列”的充分条件；
若数列是递减数列，则或所以 ，所以
“”是“数列是递减数列”的必要条件.
所以“ ”是“数列 是递减数列”的必要不充分条件.故选B.
6.在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数构成递增的等比数列，若
数字由小到大插入，则插入的第四个数为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，这13个数构成递增的等比数列，设为，则, ,
设公比为,则,所以插入的第四个数为 .故选B.
7.已知各项都为正数的等比数列的公比为,若 ,且
,则 ( )
C
A.19 B.45 C.55 D.100
[解析] 由题意得 ,
.
因为 ,所以,所以 .故选C.
8.（多选题）已知数列 ，则下列说法不正确的是( )
ABD
A.若，，则 为等比数列
B.若，，则 为等比数列
C.若，，，则 为等比数列
D.若，，则 为等比数列
[解析] 对于A，由知，则数列 不一定是等比数列，A中说
法不正确；
对于B，若，满足,，但数列 不是等
比数列，故B中说法不正确；同理，D中说法也不正确；
对于C，由知，，两式相除得 ，
故数列是等比数列，C中说法正确．故选 ．
9.（多选题）[2024·河南濮阳高二期末] 已知数列满足 ,
，则 的值可能为( )
AC
A.1 B.1314 C. D.
[解析] ，故或 .
当时，，故，；
当 时，，又，故，.
综上所述， 或.故选 .
二、填空题
10.已知为等比数列，，，则 的通项公式为
____________________________.
或
[解析] 设等比数列的公比为，则，， ，
，解得或.
当时， ，此时；
当时， ，此时 .
11.如果，，，，成等比数列，那么____， ___.
9
[解析] 是，的等比中项，， .
又等比数列奇数项的符号相同，，故，
而又是，的等比中项， .
12.记为数列的前项和，且，则 _______.
[解析] ，当时，，解得，当
时，，
得， ，即，
所以，故是首项为 ，公比为2的等比数列，
故 .
三、解答题
13.（1）在等比数列中，，，若，求 的值.
解：设数列的公比为，因为，所以 .
由，得 .
由，解得 .
（2）已知等比数列的各项均为正数，且， ，求数
列 的通项公式.
解：设数列的公比为,，由，得，得 ，所
以.
由，得，所以数列 的通项公式为 .
14.已知各项都为正数的数列满足， .
（1）求， ；
解:当时，，把代入上式，得 .
当时，，把代入上式，得 .
（2）求证是等比数列，并求 的通项公式.
解:由，得 ．
因为的各项都为正数，所以，故是首项为1，公比为 的等比数列．
因此 .
15.如图所示的数阵由数字1和2构成，将上一行的数字1变成1个2，数字2变成2
个1，得到下一行的数据，形成数阵，设是第行数字1的个数，是第 行数
字2的个数，则____， ______.
第一行 1 2
第二行 2 1 1
第三行 1 1 2 2
第四行 2 2 1 1 1 1
……
16
[解析] 由题意可知,，且, ，则
，可得， ，
，所以, .
16.记为数列的前项和，已知， ，且数列{
}是等比数列，证明： 是等比数列.
证明：设 ，则 .
当时， ；
当时， ，
因为， ，所以 ，
所以,则 .
又满足上式，所以 ，
所以，故 是等比数列.