第2课时 等比数列的性质与应用
【课前预习】
知识点一
2.am·an=ap·as am·an=
知识点二
1.qk 2.q 3.q2 4.等比 等比
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)∵{an}是公比为q的等比数列,m+n=p,∴am·an=a1qm-1·a1qn-1=qm+n-2,又ap=a1qp-1,a1≠q,∴am·an≠ap.
(2)若数列{an}是非零常数列,则结论不一定成立.
(3)若{an}为1,-1,1,-1,…,{bn}为-1,1,-1,1,…,则{an},{bn}都是等比数列,但{an+bn}为0,0,0,0,…,显然不是等比数列.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由等比数列的性质得=a2·a10,所以a10===13 122.
(2)因为a3a5==4,且an>0,所以a4=2,所以a1a2a3a4a5a6a7=(a1·a7)·(a2·a6)·(a3·a5)·a4=···a4==27=128.
(3)因为{an}是等比数列,所以a5a6=a4a7=-8,又a4+a7=2,所以a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4.设等比数列{an}的公比为q,当a4=4,a7=-2时,q3=-,a1+a10=+a7q3=-7;当a4=-2,a7=4时,q3=-2,a1+a10=+a7q3=-7.综上,a1+a10=-7.
变式 (1)A (2)8 (3)5 [解析] (1)因为数列{an}是等比数列,a3a5a7a9==27,所以a2a10==3.故选A.
(2)因为数列{an}是等比数列,a2a7=4,所以log2a1+log2a2+…+log2a8=log2(a1a2…a8)=log2=log244=8.
(3)由根与系数的关系得a1a13+a4a11+a5a10+a2a14=25,又由等比数列的性质知a1a13=,a4a11=a5a10=a7a8,a2a14=,所以+2a7a8+=25,即(a7+a8)2=25.因为a7>0,a8>0,所以a7+a8=5.
拓展 D [解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为a1+a3=10,a2+a4=5,所以=q==,所以a1+a3=a1+a1q2=a1=10,则a1=8,故an=a1qn-1=24-n,则数列{an}是递减数列.当an≥1时,n≤4,故(a1a2…an)max=a1a2a3a4=23+2+1+0=64.故选D.
探究点二
例2 (1)D (2)AD [解析] (1)设等比数列{an}的公比为q.对于A,当k=0时,{kan}不是等比数列,故A错误;对于B,当q=-1时,an+an+1=0,{an+an+1}不是等比数列,故B错误;对于C,当P≠0时,{an+P}不是等比数列,故C错误;对于D,{an+an+1+an+2}是以a1+a2+a3为首项,q为公比的等比数列,故D正确.故选D.
(2)设等比数列{an},{bn}的公比分别为p,q(p≠0,q≠0).对于A,∵ =pq是一个不为零的常数,∴数列{anbn}是公比为pq的等比数列,故A正确;对于B,数列{an+bn}不一定是等比数列,例如取an=2n,bn=-2n,则此时an+bn=0,数列{an+bn}不是等比数列,故B错误;对于C,∵=不是常数,∴{}不是等比数列,故C错误;对于D, ∵{an}是等比数列,∴an=a1·pn-1,则|an|=|a1|·|pn-1|,∴==|p|是一个不为零的常数,∴{|an|}是公比为|p|的等比数列,故D正确.
变式 ABD [解析] 设等比数列{an}的公比为q.对于A,依题意,=q4,=q4,所以数列,,成等比数列,故A正确;对于B,可知数列a1·a2,a3·a4,a5·a6每项都不为0,且==q4,故B正确;对于C,当数列{an}为1,-1,1,-1,1,…时,a1+a2=a3+a4=a5+a6=0,故C错误;对于D,数列a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9的每一项都不为0,且==q3,故D正确.故选ABD.
探究点三
例3 解:(1)记2023年为第1年,从第1年起,这辆车每年的价值(万元)依次设为a1,a2,a3,…,an,由题意,得a1=13.5,a2=13.5×(1-10%),a3=13.5×(1-10%)2,…,由等比数列的定义,知数列{an}是等比数列,首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9,∴an=a1·qn-1=13.5×0.9n-1,∴n年后这辆车的价值为an+1=13.5×0.9n (万元).
(2)由(1)得a5=a1·q 4=13.5×0.94≈8.9(万元),∴用满4年时卖掉这辆车,大概能得到8.9万元.
变式 A [解析] 记2023年1月为第1个月,设从2023年1月开始,第n个月该厂的生产总值是an万元,则an+1=an+anm%,所以=1+m%,
所以数列{an}是首项a1=a,公比q=1+m%的等比数列,所以an=a(1+m%)n-1,所以2024年8月底该厂的生产总值为a20=a(1+m%)20-1=a(1+m%)19(万元).故选A.
拓展 解:(1)由题可知,a1=1.5×16%+0.5×(1-4%)=0.72,an=(2-an-1)×16%+an-1×(1-4%)=0.8an-1+0.32(n≥2),∴an+1=0.8an+0.32.
(2)an-1.6=0.8an-1+0.32-1.6=0.8(an-1-1.6)(n≥2),∴=0.8(n≥2)且a1-1.6=-0.88≠0,
∴an-1.6=-0.88×0.8n-1=-1.1×0.8n,∴数列 {an-1.6}是等比数列,且an=1.6-1.1×0.8n.
(3)由(2)知 an=1.6-1.1×0.8n≥1.2,解得 0.8n≤, 当 n=4时,0.84=0.409 6> ,当 n=5时,0.85=0.327 68<.故经过 5 年, 该地当年年末的林区面积首次超过1.2千平方千米.第2课时 等比数列的性质与应用
1.A [解析] 方法一:设等比数列{an}的公比为q,则a6=a3·q3,a9=a6·q3,所以q3===,所以a3===6×=4.
方法二:由题意得a3,a6,a9成等比数列,所以=a3·a9,即36=9a3,所以a3=4.
2.C [解析] 依题意a2a7=a4×a5=8a4,得a5=8.故选C.
3.A [解析] 方法一:由等比中项的性质知a1a2a3==5,a7a8a9==10,所以a2a8=5,所以a4a5a6==()3=()3=5.
方法二:由等比数列的性质知a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9构成等比数列,所以(a1a2a3)·(a7a8a9)=(a4a5a6)2,所以a4a5a6==±=±5.又奇数项为正数,所以a4a5a6=5.
4.C [解析] ∵在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2-6x+2=0的根,∴a3a15=2>0,a3+a15=6>0,∴a2a16=a3a15=2,=a3a15=2,∵a3>0,∴a9>0,∴a9=,∴=,故选C.
5.B [解析] 依题意,从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列,构成等比数列{an},其中a1=10.9,公比q=1+6.4%=1.064,所以2022年进出口累计总额为a10=a1q9=10.9×1.0649≈10.9×1.75≈19.1(万亿美元).故选B.
6.B [解析] 因为a2a8=a4a6=2,a2+a4+a6+a8=20,所以+++=+===10.故选B.
7.C [解析] ∵a2a8=82=,∴a5=8,设数列{an}的公比为q(q>0),∴4a3+a7=+a5q2=+8q2≥2=32,当且仅当=8q2,即q2=2时取等号,此时a1==2,故选C.
8.CD [解析] ∵在等比数列{an}中,a1=1,公比q=-3,∴an=(-3)n-1.对于A,∵3an+an+1=3·(-3)n-1+(-3)n=[(-1)n-1+(-1)n]·3n=0,∴数列{3an+an+1}是由0构成的常数列,不是等比数列,故A错误;对于B,∵an+1-an=(-3)n-(-3)n-1=·(-3)n,∴数列{an+1-an}是等比数列,故B错误;对于C,∵anan+1=(-3)n-1·(-3)n=(-3)2n-1,∴数列{anan+1}是等比数列,故C正确;对于D,∵log3|an|=log3|(-3)n-1|=n-1,∴数列{log3|an|}是等差数列,故D正确.故选CD.
9.ABD [解析] 等比数列的所有奇数项符号相同,所有偶数项符号也相同.
当-1,2对应等比数列的第一项与第二项时,则第三、四项分别为-4,8,此时xy=-32;
当-1,2对应等比数列的第一项与第四项时,xy=-2;
当-1,2对应等比数列的第三项与第四项时,则第一、二项分别为-,,此时xy=-;
当-1,2对应等比数列的第三项与第二项时,xy=-2;
当-1,2对应等比数列的第二项与第三项时,xy=-2;
当-1,2对应等比数列的第二项与第一项时,则第三、四项分别为,-,xy=-;
当-1,2对应等比数列的第四项与第三项时,则第一、二项分别为8,-4,此时xy=-32;
当-1,2对应等比数列的第四项与第一项时,xy=-2.
故选ABD.
10.1536 [解析] 方法一:设等比数列{an}的公比为q,由题意知q5==8,则am+15=amq15=3×83=1536.
方法二:由题意知am,am+5,am+10,am+15成等比数列,且公比q==8,则am+15=amq3=3×83=1536.
11.4 [解析] 设等比数列{an}的公比为q,由a1+a2=1,a4+a5=-8,a4+a5=(a1+a2)q3,得q3=-8,解得q=-2,所以==q2=4.
12.4 [解析] 设一件衣服的初始污垢为a,洗涤次数为n,由题意可知, 存留的污垢y是以a为首项,为公比的等比数列,所以有y=·a.由题意可知·a≤1%·a,则n≥log4100=log210,得n≥4,所以至少要清洗4次才能使存留的污垢在1%以下.
13.解:由题意可知,到第5年年底时,小张欠银行100 000×(1+4%)5≈121 665.29(元).
14.解:(1)因为S1=(a1-1)=a1,所以a1=t.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-an-1),整理得=t,即数列{an}是以t为首项,t为公比的等比数列,所以an=t·tn-1=tn.
(2)由(1)知,bn=+1=.由数列{bn}是等比数列,得=b1·b3,所以=3·,解得t=.经检验,当t=时,bn=3n,故数列{bn}为等比数列,所以t=.
15.BD [解析] 依题意,知数列{an}中,an>0,公比q>0,0
1,所以A选项错误.a2023a2025=>1,B选项正确.因为所以Tn的最小值为T2023,即Tn≥T2023,所以C选项错误.T4047=(a1×a4047)·(a2×a4046)·…·(a2023×a2025)·a2024=>1,因为a2023+a2024<2,所以2>a2023+a2024>2,所以a2023·a2024<1,所以T4046==<1,由于q>1,且所以当n≤4046时,Tn≤T4046<1.综上所述,使得Tn>1的最小正整数n为4047,所以D选项正确.故选BD.
16.解:(1)由题意可得,a1=1000×(1+25%)-200=1050,
a2=1050×(1+25%)-200=1112.5.
(2)因为an+1=an-200,bn=an-800,
所以800+bn=an,所以800+bn+1=an+1=an-200=(bn+800)-200,
所以bn+1=bn,又b1=a1-800=1050-800=250,所以数列{bn}是以250为首项,以为公比的等比数列,
所以bn=250×,则an=800+250×.
令an≥4000,可得≥,
所以(n-1)lg≥lg,
从而可得n-1≥==≈11.41,
故n≥12.41,又n∈N*,所以n≥13,n∈N*,故至少需经过13年,该企业才可以达到该项目的资金翻两番的目标.第2课时 等比数列的性质与应用
【学习目标】
1.理解等比数列的通项公式,能说出等比数列通项公式的特征,并能灵活求解等比数列的基本量.
2.能得出等比数列的一些性质,并利用其解决一些简单问题.
3.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.
◆ 知识点一 等比数列的性质
1.等比数列中任意两项间的关系:在等比数列{an}中,an=am·qn-m.
2.在等比数列{an}中,若m+n=p+s(m,n,p,s∈N*),则 .
特别地,若m+n=2p,则 .
3.等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1·an=a2·an-1=…=ak·an-k+1=….
◆ 知识点二 子数列与新数列的性质
1.在公比为q的等比数列{an}中,am,am+k,am+2k,…,am+(n-1)k,…仍成等比数列,公比为 .
2.若{an}是公比为q的等比数列,则数列{kan}(k≠0)仍成等比数列,公比为 .数列(k≠0)仍成等比数列,公比为.
3.若{an}是公比为q的等比数列,则数列{}仍成等比数列,公比为 .
4.若{an},{bn}是项数相同的等比数列,则{an·bn}成 数列,成 数列.
5.若{an}为等比数列,则数列a1·a2·…·an,an+1·an+2·…·a2n,a2n+1·a2n+2·…·a3n成等比数列.
6.若数列{an}是公比为q的等比数列,则{|an|}是公比为|q|的等比数列.
7.若数列{an}是公比为q的等比数列,则{}(m是整数常数)是公比为qm的等比数列.
特别地,若数列{an}是各项均为正数,且公比为q的等比数列,则数列{}(m是实数常数)是公比为qm的等比数列.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若{an}是公比为q的等比数列,且a1≠q,m+n=p(m,n,p∈N*),则am·an=ap. ( )
(2)在等比数列{an}中,若aman=apaq,则m+n=p+q. ( )
(3)若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}是等比数列. ( )
◆ 知识点三 等比数列的实际应用
首先根据题意判断是否为等比数列模型,其次分析等比数列的首项、公比、项数,最后利用等比数列的通项公式计算解题.
注:在实际应用问题中,判断该问题是否为等比数列模型的关键是看增长(或减少)是否按照同一比例.
◆ 探究点一 等比数列的性质及其应用
例1 (1)在等比数列{an}中,若a2=2,a6=162,求a10.
(2)在等比数列{an}中,an>0,若a3a5=4,求a1a2a3a4a5a6a7.
(3)在等比数列{an}中,已知a4+a7=2,a5a6=-8,求a1+a10.
变式 (1)[2024·河北邢台高二期末] 在等比数列{an}中,若a3a5a7a9=27,则a2a10= ( )
A.3 B.3
C.±3 D.±3
(2)[2024·江苏苏州吴江中学高二月考] 在各项均为正数的等比数列{an}中,a2a7=4,则log2a1+log2a2+…+log2a8= .
(3)在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a13+a4a11与a5a10+a2a14为方程x2-25x+16=0的两个实根,则a7+a8的值为 .
[素养小结]
(1)应用等比数列的性质可以简化运算,当性质不能应用时,可以通过基本量法求解.
(2)应用等比数列的性质时应抓住两点:①结合等比数列的性质进行整体变换,会起到化繁为简的效果;②观察数列各项的下标的变化规律,选用相应的性质求解.
拓展 设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为 ( )
A.32 B.16
C.128 D.64
◆ 探究点二 由等比数列构造等比数列
例2 (1) 已知{an}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是 ( )
A.{kan}(k∈R)
B.{an+an+1}
C.{an+P}(P∈R)
D.{an+an+1+an+2}
(2)(多选题)已知数列{an},{bn}均为等比数列,则下列结论中正确的有 ( )
A.数列{anbn}一定是等比数列
B.数列{an+bn}一定是等比数列
C.数列{ }一定是等比数列
D.数列{|an|}一定是等比数列
变式 (多选题)已知数列{an}为等比数列,则 ( )
A.数列,,成等比数列
B.数列a1·a2,a3·a4,a5·a6成等比数列
C.数列a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列
D.数列a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等比数列
[素养小结]
由等比数列构造新的等比数列,一定要检验新的数列中的项是否都不为0,尤其是当公比q<0时,比如q=-1时,{an+an+1}就不构成等比数列.
◆ 探究点三 等比数列的实际应用
例3 某人2023年11月买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值;
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱 (结果保留1位小数)
变式 某工厂2023年1月的生产总值为a万元,计划从2023年2月起,每月生产总值比上一个月增长m%,那么到2024年8月底该厂的生产总值为 ( )
A.a(1+m%)19万元
B.a(1+m%)18万元
C.a(1+m%)17万元
D.a(1+m%)16万元
[素养小结]
判断一个问题是否可以用等比数列模型求解的关键是判断“平均变化率”是否为同一个常数.
拓展 [2024·福建厦门外国语学校高二月考] 西部某地为了践行“绿水青山就是金山银山”,积极改造荒山,进行植树造林活动,并适当砍伐一定林木出售以增加群众收入,当地2022年年末有林场和荒山共2千平方千米,其中荒山1.5千平方千米,打算从2023年起每年年初将上年荒山(含上年砍伐的林区面积)的16%植树绿化,年末砍伐上年年末共有林区面积的4%以创收.记2023年为第1年,an为第n年年末林区面积(单位:千平方千米).
(1)确定an与an+1的递推关系(即把an+1用an表示).
(2)证明数列{an-1.6}是等比数列,并求an.
(3)经过多少年,该地当年年末的林区面积首次超过1.2千平方千米 (参考数据:0.84=0.409 6,0.85=0.327 68)第2课时 等比数列的性质与应用
一、选择题
1.在等比数列{an}中,若a6=6,a9=9,则a3= ( )
A.4 B.
C. D.3
2.[2024·福建莆田高二期中] 已知等比数列{an}中,a2a7=8a4,则a5= ( )
A.4 B.±4
C.8 D.±8
3.已知奇数项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= ( )
A.5 B.7
C.6 D.±5
4.在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2-6x+2=0的根,则的值为 ( )
A.- B.-
C. D.-或
5.[2024·浙江宁波镇海中学高二期中] 从2013年到2022年,中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元,则2022年进出口累计总额(保留1位小数)约为 ( )
参考数据:1.0648≈1.64,1.0649≈1.75,1.06410≈1.86,1.06411≈1.98.
A.17.9万亿美元
B.19.1万亿美元
C.20.3万亿美元
D.21.6万亿美元
6.已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20,a2a8=2,则+++的值为 ( )
A.20 B.10
C.3 D.
7.[2024·江苏海安高级中学高二期中] 已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a2与a8的等比中项为8,则当4a3+a7取最小值时,首项a1= ( )
A.8 B.4
C.2 D.1
8. (多选题)已知在等比数列{an}中,a1=1,公比q=-3,则 ( )
A.数列{3an+an+1}是等比数列
B.数列{an+1-an}是等差数列
C.数列{anan+1}是等比数列
D.数列{log3|an|}是等差数列
9.(多选题)四个实数-1,2,x,y按照一定顺序可以构成等比数列,则xy的可能取值有 ( )
A.- B.-2
C.-16 D.-32
二、填空题
10.在等比数列{an}中,存在正整数m,使得am=3,am+5=24,则am+15= .
11.在等比数列{an}中,a1+a2=1,a4+a5=-8,则= .
12.假设每次用相同体积的清水漂洗一件衣服,且每次能洗去污垢的,那么至少要清洗 次才能使存留的污垢在1%以下.
三、解答题
13.小张在2024年年初向某银行贷款100 000元经商,贷款期为5年,银行贷款的年利率为4%,银行每年年底结算一次利息,求到第5年年底时,小张欠银行的总金额(精确到0.01元).
14.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=(an-1)(t为常数,且t≠0,t≠1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=+1,若数列{bn}为等比数列,求t的值.
15.(多选题)[2024·山东青岛二中高二月考] 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项积为Tn,公比为q,且满足0A.0B.a2023a2025>1
C.对任意的正整数n,有Tn≥T4047
D.使得Tn>1的最小正整数n为4047
16.某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元,已知每年可获利25%,但由于竞争激烈,每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率,设经过n年后,该项目的资金为an万元.
(1)求a1,a2;
(2)设bn=an-800,证明数列{bn}为等比数列,并求出至少需经过多少年,该企业才可以达到该项目的资金翻两番(即为原来的4倍)的目标.(参考数据:lg 2≈0.301)(共61张PPT)
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第2课时 等比数列的性质与应用
探究点一 等比数列的性质及其应用
探究点二 由等比数列构造等比数列
探究点三 等比数列的实际应用
【学习目标】
1.理解等比数列的通项公式,能说出等比数列通项公式的特征,并能灵活求解
等比数列的基本量.
2.能得出等比数列的一些性质,并利用其解决一些简单问题.
3.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.
知识点一 等比数列的性质
1.等比数列中任意两项间的关系:在等比数列中， .
2.在等比数列中,若 ,则________________.
特别地,若 ,则____________.
3.等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积
等于首末两项的积，即 .
知识点二 子数列与新数列的性质
1.在公比为的等比数列中,,,, ,, 仍成等比数列,
公比为____.
2.若是公比为的等比数列，则数列 仍成等比数列,公比为___.
数列仍成等比数列,公比为 .
3.若是公比为的等比数列，则数列 仍成等比数列,公比为____.
4.若,是项数相同的等比数列,则成______数列, 成______数列.
等比
等比
5.若为等比数列，则数列, ,
成等比数列.
6.若数列是公比为的等比数列，则是公比为 的等比数列.
7.若数列是公比为的等比数列，则是整数常数是公比为 的等比
数列.
特别地，若数列是各项均为正数，且公比为的等比数列，则数列
是实数常数是公比为 的等比数列.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若是公比为的等比数列，且, ，则
.( )
×
[解析] 是公比为的等比数列， ，
，又， , .
（2）在等比数列中，若，则 .( )
×
[解析] 若数列 是非零常数列，则结论不一定成立.
（3）若，都是等比数列，则 是等比数列.( )
×
[解析] 若为1，，1，， ，为，1，，1， ，则,
都是等比数列，但为0，0，0，0， ，显然不是等比数列.
知识点三 等比数列的实际应用
首先根据题意判断是否为等比数列模型,其次分析等比数列的首项、公比、项数,
最后利用等比数列的通项公式计算解题.
注：在实际应用问题中,判断该问题是否为等比数列模型的关键是看增长
（或减少）是否按照同一比例.
探究点一 等比数列的性质及其应用
例1（1） 在等比数列中,若,,求 .
解:由等比数列的性质得,所以 .
（2）在等比数列中,,若,求 .
解:因为,且,所以 ,
所以
.
（3）在等比数列中,已知,,求 .
解:因为是等比数列,所以,又,所以 ,
或,.
设等比数列的公比为,
当, 时,,;
当,时, ,.
综上， .
变式（1） [2024·河北邢台高二期末]在等比数列中，若 ，
则 ( )
A
A. B.3 C. D.
[解析] 因为数列是等比数列， ，所以
. 故选A.
（2）[2024·江苏苏州吴江中学高二月考] 在各项均为正数的等比数列
中，，则 ___.
8
[解析] 因为数列是等比数列， ，所以
.
（3）在各项均为正数的等比数列中，与 为方
程的两个实根，则 的值为___.
5
[解析] 由根与系数的关系得 ，
又由等比数列的性质知，， ，所以
，即.
因为， ，所以 .
［素养小结］
（1）应用等比数列的性质可以简化运算，当性质不能应用时，可以通过基本量
法求解.
（2）应用等比数列的性质时应抓住两点：①结合等比数列的性质进行整体变换,会
起到化繁为简的效果；②观察数列各项的下标的变化规律，选用相应的性质求解.
拓展 设等比数列满足，，则 的最大值
为( )
D
A.32 B.16 C.128 D.64
[解析] 设等比数列的公比为,因为， ,所以
,所以，则 ,故
,则数列是递减数列.
当时, ，故 .故选D.
探究点二 由等比数列构造等比数列
例2（1） 已知 是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 设等比数列的公比为.
对于A，当时， 不是等比数列，故A错误；
对于B，当时，， 不是等比数列，故B错误；
对于C，当时， 不是等比数列，故C错误；
对于D，是以为首项， 为公比的等比数列，
故D正确.故选D.
（2）（多选题）已知数列， 均为等比数列，则下列结论中正确的有
( )
AD
A.数列一定是等比数列 B.数列 一定是等比数列
C.数列一定是等比数列 D.数列 一定是等比数列
[解析] 设等比数列，的公比分别为, .
对于A，是一个不为零的常数, 数列是公比为 的等比
数列，故A正确；
对于B，数列不一定是等比数列，例如取， ，
则此时，数列 不是等比数列，故B错误；
对于C，不是常数，不是等比数列,故C错误；
对于D， 是等比数列，，则，
是一个不为零的常数，是公比为 的等比数列，
故D正确.
变式 （多选题）已知数列 为等比数列，则( )
ABD
A.数列，， 成等比数列
B.数列，， 成等比数列
C.数列，， 成等比数列
D.数列，， 成等比数列
[解析] 设等比数列的公比为.
对于A，依题意，， ，所以数列，，成等比数列，故A正确；
对于B，可知数列， ，每项都不为0，且，
故B正确；
对于C，当数列 为1，，1，，1， 时，
，故C错误；
对于D，数列，， 的每一项都不为0，且
，故D正确.故选 .
［素养小结］
由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否都不为0，尤其
是当公比时，比如时， 就不构成等比数列.
探究点三 等比数列的实际应用
例3 某人2023年11月买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按
的速度贬值.
（1）用一个式子表示 年后这辆车的价值；
解：记2023年为第1年，从第1年起，这辆车每年的价值（万元）依次设为 ，
，， ，，由题意，得， ，
， ，
由等比数列的定义，知数列 是等比数列，首项，公比
，， 年后这辆车的价值为
（万元）.
（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？（结果保留1位
小数）
解：由（1）得（万元）， 用满4年时卖掉这
辆车，大概能得到8.9万元.
变式 某工厂2023年1月的生产总值为 万元，计划从2023年2月起，每月生产
总值比上一个月增长 ，那么到2024年8月底该厂的生产总值为( )
A
A.万元 B. 万元
C.万元 D. 万元
[解析] 记2023年1月为第1个月，设从2023年1月开始，第 个月该厂的生产总值
是万元，则，所以 ，
所以数列是首项，公比 的等比数列，所以
，所以2024年8月底该厂的生产总值为
（万元）.故选A.
［素养小结］
判断一个问题是否可以用等比数列模型求解的关键是判断“平均变化率”是否为
同一个常数.
拓展 [2024·福建厦门外国语学校高二月考] 西部某地为了践行“绿水青山就是
金山银山”，积极改造荒山，进行植树造林活动，并适当砍伐一定林木出售以增
加群众收入，当地2022年年末有林场和荒山共2千平方千米，其中荒山1.5千平
方千米，打算从2023年起每年年初将上年荒山（含上年砍伐的林区面积）的
植树绿化，年末砍伐上年年末共有林区面积的 以创收.记2023年为第1
年，为第 年年末林区面积（单位:千平方千米）.
（1）确定与的递推关系（即把用 表示）.
解：由题可知， ，
，
.
（2）证明数列是等比数列，并求 .
解： ，
且 ，
，
数列 是等比数列，且 .
（3）经过多少年，该地当年年末的林区面积首次超过1.2千平方千米？
（参考数据:， ）
解：由（2）知，解得,
当 时， ,当时， .
故经过 5 年, 该地当年年末的林区面积首次超过1.2千平方千米.
乐观系数准则与商品售价
乐观系数准则又称赫威斯准则、折衷准则，它是介于乐观准则和悲观准则
之间的一种决策调整准则.商家通常依据乐观系数准则确定商品销售价格，即根
据商品的最低销售限价，最高销售限价以及常数 确定实
际销售价格，这里的 被称为乐观系数.
经验表明，最佳乐观系数恰好使得是和 的等比中项.
在等比数列的性质中,尤其以“下标和”性质应用最多,最灵活,但使用时一定要注意
其与等差数列“下标和”性质的区别,如下表:
等差数列 等比数列
条件 结论
1.在等差（比）数列中,每隔 项取出一项,按原来的顺序排列,所得新数列仍为等
差（比）数列,公差为（公比为 ）.若两个项数相同的数列分别成等
差（比）数列,则两数列对应项的和（积）构成等差（比）数列.
已知首项与公比 ,利用通项公式可以求等比数列的任何一项,但有时运算量较
大.在准确掌握等比数列的定义及通项公式的前提下,灵活运用等比数列的性质,
可以提高解题速度与准确率.
例1（1） 对任意等比数列 ，下列说法一定正确的是( )
D
A.，，成等比数列 B.，， 成等比数列
C.，，成等比数列 D.，， 成等比数列
[解析] 等比数列中，若序号成等差数列，则对应的项成等比数列.因为3,6,9成等
差数列，所以，， 成等比数列.
（2）（多选题）下列说法正确的是( )
AD
A.若是等差数列，则 是等差数列
B.若是等比数列，则 是等比数列
C.若是等差数列，则 是等差数列
D.若是等比数列，则 是等比数列
[解析] 设的公差为 ，则
，故A正确；
当时，，故B错误；
设的公差为 ，则，故C错误；
设的公比为，显然 ，所以，故D正确.故选 .
（3）在等比数列中，如果，，那么
_____.
128
[解析] 设等比数列的公比为，则 ,所以
.
2.等比数列的应用除了体现在实际生活中,在数学几何方面也有很多情境是与等
比数列相关的.
例2 [2024·上海嘉定区一中高二月考] 某公司一下属企业从事某种高科技产品
的生产.假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年
年底资金增长了 ，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业
从第一年开始，每年年底上缴资金 万元，并将剩余资金全部投入下
一年生产.设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为 万元.
（1）判断 是否为等比数列，并说明理由；
解：由题意可得，， ，进而可知
，由此可得 ，即
，
当时，，故是以为首项，
为公比的等比数列.
当时，，故 不是等比数列.
（2）若企业每年年底上缴资金，第为正整数 年年底企业的剩余
资金超过21 000万元，求 的最小值.
解：当时，由（1）可知，是以3000为首项， 为公比的等
比数列，
故，所以，
由于第 年年底企业的剩余资金超过21 000万元，
即，
由于 为递增数列，且， .
综上可知， 的最小值为6.
例3（1） 科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图①，
将线段等分为，，，以为底向外作等边三角形 ，并去掉线
段 ，得到图②，在图②的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成
图③中的曲线.设线段 的长度为1，则图③中曲线的长度为( )
C
A.2 B. C. D.3
[解析] 设进行次操作后所得曲线的长度为，依题意得，数列
是公比为的等比数列，则，所以图③中曲线的长度为 .
（2）如图给出的是一道典型的数学无字证明问题：各
矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和
等于1.按照图示规律，回答问题：
由大到小的第八个矩形块中应填的数字为____；按照这
个规律继续下去，第 个矩形块中应填的数字是
_____.
[解析] 设每个矩形块中的数字由大到小构成数列，则可得是首项为 ，
公比为的等比数列，， 由大到小的第八个矩形块中应
填的数字为.
按照这个规律继续下去，第 个矩形块中应填的数字是 .
练习册
一、选择题
1.在等比数列中,若,,则 ( )
A
A.4 B. C. D.3
[解析] 方法一:设等比数列的公比为,则, ,所以
,所以 .
方法二:由题意得,,成等比数列,所以,即,所以 .
2.[2024·福建莆田高二期中]已知等比数列中，，则 ( )
C
A.4 B. C.8 D.
[解析] 依题意,得 .故选C.
3.已知奇数项均为正数的等比数列中，， ，则
( )
A
A. B.7 C.6 D.
[解析] 方法一：由等比中项的性质知， ，所
以，所以 .
方法二：由等比数列的性质知，， 构成等比数列，所以
，所以 .又奇
数项为正数，所以 .
4.在等比数列中，，是方程的根，则 的值为 ( )
C
A. B. C. D.或
[解析] 在等比数列中，，是方程 的根，
，，， ，
,,， ，故选C．
5.[2024·浙江宁波镇海中学高二期中]从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”
国家的进出口累计总额年均增长率为 .现已知2013年进出口累计总额为10.9
万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为( )
参考数据：,,, .
B
A.17.9万亿美元 B.19.1万亿美元 C.20.3万亿美元 D.21.6万亿美元
[解析] 依题意，从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列,构成等
比数列，其中，公比 ，所以2022年进出口累
计总额为 （万亿美元）.故选B.
6.已知等比数列满足， ，则
的值为( )
B
A.20 B.10 C.3 D.
[解析] 因为， ，所以
.故选B.
7.[2024·江苏海安高级中学高二期中]已知在各项均为正数的等比数列 中，
与的等比中项为8，则当取最小值时，首项 ( )
C
A.8 B.4 C.2 D.1
[解析] ，，设数列的公比为 ，
，当且仅当 ，即
时取等号，此时 ，故选C.
8.（多选题）已知在等比数列中，，公比 ，则( )
CD
A.数列是等比数列 B.数列 是等差数列
C.数列是等比数列 D.数列{ 是等差数列
[解析] 在等比数列中，，公比, .
对于A，，
数列 是由0构成的常数列，不是等比数列，故A错误；
对于B，， 数列 是等比
数列，故B错误；
对于C，， 数列 是等比数列，
故C正确；
对于D，， 数列{是等差数列，
故D正确.故选 .
9.（多选题）四个实数，2，，按照一定顺序可以构成等比数列，则 的
可能取值有( )
ABD
A. B. C. D.
[解析] 等比数列的所有奇数项符号相同，所有偶数项符号也相同.
当,2对应等比数列的第一项与第二项时，则第三、四项分别为 ,8，此时
；
当,2对应等比数列的第一项与第四项时， ；
当,2对应等比数列的第三项与第四项时，则第一、二项分别为, ，此时
；
当,2对应等比数列的第三项与第二项时， ；
当,2对应等比数列的第二项与第三项时， ；
当,2对应等比数列的第二项与第一项时，则第三、四项分别为, ，
；
当,2对应等比数列的第四项与第三项时，则第一、二项分别为8, ，此时
；
当,2对应等比数列的第四项与第一项时， .
故选 .
二、填空题
10.在等比数列中，存在正整数，使得，，则
______.
1536
[解析] 方法一：设等比数列的公比为,由题意知 ，则
.
方法二：由题意知,,,成等比数列，且公比 ,则
.
11.在等比数列中,,,则 ___.
4
[解析] 设等比数列的公比为,由, ,
,得,解得,所以 .
12.假设每次用相同体积的清水漂洗一件衣服,且每次能洗去污垢的 ,那么至少要
清洗___次才能使存留的污垢在 以下.
4
[解析] 设一件衣服的初始污垢为，洗涤次数为,由题意可知, 存留的污垢 是
以为首项,为公比的等比数列,所以有 .
由题意可知，则，得 ,
所以至少要清洗4次才能使存留的污垢在 以下.
三、解答题
13.小张在2024年年初向某银行贷款100 000元经商，贷款期为5年，银行贷款的
年利率为 ，银行每年年底结算一次利息，求到第5年年底时，小张欠银行的
总金额（精确到0.01元）.
解：由题意可知，到第5年年底时，小张欠银行
（元）.
14.已知数列的前项和满足为常数，且， .
（1）求数列 的通项公式；
解:因为，所以.
当 时，，整理得，
即数列是以为首项， 为公比的等比数列,所以 .
（2）设，若数列为等比数列，求 的值.
解:由（1）知，.
由数列 是等比数列，得，所以，解得.
经检验，当 时，，故数列为等比数列，所以 .
15.（多选题）[2024·山东青岛二中高二月考] 已知各项均为正数的等比数列
的前项积为，公比为，且满足， ，
，则( )
BD
A. B.
C.对任意的正整数，有 D.使得的最小正整数 为4047
[解析] 依题意，知数列中，,公比, ，
因为，所以或
若则，则，可得 ，矛盾，
所以则，所以A选项错误.
，B选项正确.
因为所以的最小值为，即 ，所以C选项错误.
，因
为，所以 ，所以
，所以 ，由
于，且所以当时， .
综上所述，使得的最小正整数为4047，所以D选项正确.故选 .
16.某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利 ，
但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与
广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过年后，该项目的资金为 万元.
（1）求， ；
解:由题意可得， ,
.
（2）设，证明数列 为等比数列，并求出至少需经过多少年，
该企业才可以达到该项目的资金翻两番（即为原来的4倍）的目标.
（参考数据： ）
解:因为, ,所以,
所以 ,所以,
又，所以数列 是以250为首项，以 为公
比的等比数列，所以,则 .
令，可得 ,所以 , 从而可得
，故,又，所以, ，
故至少需经过13年，该企业才可以达到该项目的资金翻两番的目标.