第3课时 等比数列与等差数列的综合应用
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则解得所以数列{an}的通项公式为an=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)证明:依题意得bn==22n=4n,因为==4,所以数列{bn}是首项为b1=41=4,公比为4的等比数列.
变式 (1)ACD (2) [解析] (1)由a1=1,q=2得an=2n-1,=,所以数列是等比数列且为递减数列,故A正确,B不正确;log2an=n-1 ,数列{log2an}是递增的等差数列,故C,D正确.故选ACD.
(2)因为等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,所以公比q==,又a1+a3=a1+a1q2=10,解得a1=8,所以an=8×=24-n,log2an=log224-n=4-n,所以log2a1+log2a2+…+log2an=3+2+1+…+(4-n)==.
探究点二
例2 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
∵a1=b1=3,a2=b2-2,a7=b3,
∴解得
∴an=3+4(n-1)=4n-1,bn=3n.
(2)由(1)得an=4n-1,bn=3n,
∴a20=79,令bn=3n≤79,解得n≤3,
∴等差数列{an}的前20项中只有2项与等比数列{bn}的项相同,为a1=b1=3,a7=b3=27,又a21=83,a22=87都不是数列{bn}中的项,
∴数列{cn}的前20项和为a2+a3+…+a22-27=-27=960.
变式1 (1)A (2)ACD [解析] (1)依题意,(a1+d)2=a1(a1+4d),即+2a1d+d2=+4a1d,∴d=2a1=2,
∴S8=8a1+d=8+56=64.故选A.
(2)因为数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,所以a1+a6+a11=3a6=3π,即a6=π,b1b5b9==8,即b5=2.对于A,S11==11a6=11π,故A正确;对于B,a2+a10=2a6=2π,b4b6==4,所以sin=sin=1,故B错误;对于C,设等差数列{an}的公差为d,则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π,故C正确;对于D,由b5=2得b3>0,b7>0,故b3+b7≥2=2=4,当且仅当b3=b7=2时等号成立,故D正确.故选ACD.
变式2 解:(1)证明:设数列{an}的公差为d,则即解得b1=a1=,所以原命题得证.
(2)若a1=1,则d=2,b1=1,所以an=2n-1,bn=2n-1.
(3)由(1)知b1=a1=,由bk=am+a1,得a1×2k-1=a1+(m-1)d+a1,
因为a1≠0,所以m=2k-2∈[1,50],解得2≤k≤log250+2=3+log225,
又24=16,25=32,故4故集合M中的元素个数为6.
拓展 解:(1)设小明参加工作后第x(x≥13,x∈N*)个月的月工资能达到8000元,
则由3000×(1+5%)x-12≥8000,可得1.05x-12≥=,又x∈N*,所以x≥33,
所以小明参加工作后第33个月的月工资首次达到8000元.
(2)因为小明前12个月每个月偿还本金100元,从第13个月开始到第59个月每个月偿还的本金比前一个月多30元,
所以从第13个月开始到第59个月偿还的本金(单位:元)是首项为130,公差为30的等差数列,
所以前59个月共偿还本金12×100+130×47+×30=39 740(元),故第60个月应偿还本金48 000-39 740=8260(元).
由(1)知,小明参加工作后第60个月的月工资为8000元,
因为8000<8260,所以小明参加工作后第60个月的月工资不够偿还剩余的本金.第3课时 等比数列与等差数列的综合应用
1.B [解析] 设数列{an}的公差为d,由题意可得=a1·a4,所以=a1(a1+3d),且d≠0,则a1=d,所以等比数列a1,a2,a4的公比为===2,故选B.
2.A [解析] ∵对任意n∈N*,=,a1,a2,a3,…为等差数列,∴-an为常数,即也为常数,故{}一定是等比数列,故选A.
3.A [解析] 设1,a1,a2,4的公差为d,∵1,a1,a2,4成等差数列,∴a1-a2=-d=-=-1.∵1,b1,b2,b3,4成等比数列,∴=1×4=4,又b2与1同号,∴b2=2,∴=-.故选A.
4.A [解析] 因为a1=-8,a2=-6,所以数列{an}的公差d=a2-a1=2,则an=2n-10,所以a4=-2,a5=0.设a1,a4,a5都加上同一个数x,得到的三个新数依次为x-8,x-2,x,则(x-8)x=(x-2)2,解得x=-1.故选A.
5.B [解析] 由数列{an}是等差数列,a7+a9=,可得2a8=,即a8=,由数列{bn}是等比数列,b2b6b10=8,可得=8,可得b6=2,则===.故选B.
6.C [解析] 设等差数列{an}的公差为d,由a1+a4+a7=6,可得3a4=6,则a4=2,所以a6=a4+2d=2+2d=0,解得d=-1,所以a1=a4-3d=2+3=5,所以an=5-(n-1)=6-n,则a2=4,a3=3,a4=2,a5=1.从a2,a3,a4,a5中去掉一项后,剩下的三项依次为等比数列{bn}的前三项,则等比数列{bn}的前三项依次为4,2,1,其公比为,故bn=4·=23-n.故选C.
7.C [解析] ∵b1b2k-1=,∴ak==≥=bk,当且仅当b1=b2k-1时,等号成立.故选C.
8.BCD [解析] 由非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等差数列,则b-a=c-b,易知-=,-=,要使,,能构成等差数列,需满足ab=bc,即可得a=c,即a=b=c,与已知条件矛盾,故A错误;若a,b,c成等差数列,则a+c=2b,则==,若,,能构成等比数列,则=,需满足a=b=c,这与已知条件矛盾,因此,,不可能构成等比数列,故B正确;若a,b,c成等比数列,则,,能构成等比数列,例如a=2,b=4,c=8,故C正确;由a,b,c成等比数列,可知b2=ac,此时=,则,,不可能构成等差数列,故D正确.故选BCD.
9.BC [解析] 对于数列{an},若an=1,则an+1=1,an+2=1,{an}是等比数列,但无意义,所以A错误;若等差比数列的公差比为0,即=0,则an+2-an+1=0,则在中分母为0,无意义,所以B正确;若an=-3n+2,则===3,故数列{an}是等差比数列,所以C正确;若等差数列是等差比数列,设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d,则an+2-an+1=d,an+1-an=d,所以==1,所以D错误.故选BC.
10. [解析] 由a3,a5,a6成等差数列,得2a5=a3+a6,即2a3·q2=a3+a3q3,∴2q2=1+q3,
整理得(q-1)·(q2-q-1)=0,解得q=或q=1.由题意知,q≠1且q>0,∴q=,∴===.
11.16 [解析] ∵2a3-+2a11=2(a3+a11)-=4a7-=0,b7=a7≠0,∴b7=a7=4,∴b6b8==16.
12.45 [解析] 设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3,则a-1,aq-1,aq2-4,aq3-13成等差数列,即整理得解得因此这四个数分别是3,6,12,24,其和为45.
13.解:(1)设数列{an}的公比为q(q>0),因为a1=3,3a3=5a2+36,所以9q2=15q+36,即3q2-5q-12=(q-3)(3q+4)=0,解得q=3或q=-(舍去),故{an}的通项公式为an=3×3n-1=3n.
(2)由(1)知bn=log3an=n,设{bn}的前n项和为Sn,则Sn==n2+n.
14.解:选条件①:因为a3=5,所以a1+2d=5,又a2+a5=6b2,a1=b1,d=q,所以2a1+5d=6a1d,
由解得或(舍去),则a1=b1=1,d=q=2,故an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=2n-1.
选条件②:因为b2=2,a1=b1,d=q,所以a1d=2,又a3+a4=3b3,所以2a1+5d=3a1d2,
由解得或(舍去),则a1=b1=1,d=q=2,故an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=2n-1.
选条件③:因为S3=9,所以3a1+3d=9,又a4+a5=8b2,a1=b1,d=q,所以2a1+7d=8a1d,
由解得或(舍去),则a1=b1=1,d=q=2,故an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=2n-1.
15.4 [解析] 第1行最后一项为a1,第2行最后一项为,第3行最后一项为,以此类推可知,第n(n∈N*)行最后一项为,因为64=82<69<92,所以a69位于第9行第5项.由题意可知,a2=2a1,则a3=a2+d=2a1+d=6①,a65=a1·28=256a1,a69=a65+4d=256a1+4d=272②,由①②可得a1=1,d=4.
16.解:(1)由题意可得=a1·a17,即(a1+4d)2=a1(a1+16d),又d≠0,
∴a1=2d,即=2,
∴等比数列{}的公比q===3.
(2)由(1)知=a1·3n-1,=a1+(bn-1)d=·a1,
∴a1·3n-1=·a1,又a1=2d≠0,∴bn=2×3n-1-1.第3课时 等比数列与等差数列的综合应用
一、选择题
1.已知{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a2,a4成等比数列,则该等比数列的公比为 ( )
A.4 B.2 C.1 D.
2.若a1,a2,a3,…为等差数列,则数列,,,…一定是 ( )
A.等比数列
B.等差数列
C.既是等比数列又是等差数列
D.既不是等比数列,也不是等差数列
3.若1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值为 ( )
A.- B.
C.± D.
4.已知等差数列{an}满足a1=-8,a2=-6.若将a1,a4,a5都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.无法确定
5.[2024·西工大附中高二期中] 已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,a7+a9=,且b2b6b10=8,则= ( )
A. B. C. D.
6.已知数列{an}是等差数列,且a6=0,a1+a4+a7=6,从a2,a3,a4,a5中去掉一项后,剩下的三项依次为等比数列{bn}的前三项,则bn= ( )
A.22-n B.2n+2
C.23-n D.2n+3
7.在各项均为正数的等差数列{an}和各项均为正数的等比数列{bn}中,a1=b1,a2k-1=b2k-1(k∈N*),则ak与bk的大小关系为 ( )
A.ak>bk B.akC.ak≥bk D.ak≤bk
8.(多选题)已知非零实数a,b,c不全相等,则下列说法正确的是 ( )
A.若a,b,c成等差数列,则,,能构成等差数列
B.若a,b,c成等差数列,则,,不可能构成等比数列
C.若a,b,c成等比数列,则,,能构成等比数列
D.若a,b,c成等比数列,则,,不可能构成等差数列
9.(多选题)在数列{an}中,如果对任意n∈N*,都有=k(k为常数),则称{an}为等差比数列,k为公差比,下列说法正确的是 ( )
A.等比数列一定是等差比数列
B.等差比数列的公差比一定不为0
C.若an=-3n+2,则数列{an}是等差比数列
D.若等差数列是等差比数列,则其公差比可能为2
二、填空题
10.若等比数列{an}的公比q≠1且q>0,a3,a5,a6成等差数列,则= .
11.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8= .
12.已知有四个数成等比数列,且将这四个数分别减去1,1,4,13后成等差数列,则这四个数的和是 .
三、解答题
13.[2024·河北邢台高二期中] 已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=3,3a3=5a2+36.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和.
14.在①a3=5,a2+a5=6b2;②b2=2,a3+a4=3b3;③S3=9,a4+a5=8b2三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.
已知等差数列{an}的公差为d(d>1),前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,且a1=b1,d=q, ,求数列{an},{bn}的通项公式.
15.[2024·江苏盐城高二期中] 如图,将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表,已知表中的第一列a1,a2,a5,…构成一个公比为2的等比数列,从第2行起,每一行都是一个公差为d的等差数列,若a3=6,a69=272,则d= .
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
……
16.已知数列{an}为等差数列,其公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列,,,…,为等比数列,其中b1=1,b2=5,b3=17.
(1)求及等比数列{}的公比q;
(2)求数列{bn}的通项公式.(共45张PPT)
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第3课时 等比数列与等差数列的综合应用
探究点一 等差数列与等比数列的转化
探究点二 等差、等比数列的综合应用
【学习目标】
1.理解等比数列与等差数列之间的转化.
2.掌握等差数列与等比数列的综合问题.
知识点 等比数列与等差数列的区别与联系
等差数列 等比数列
不同点 （1）强调每一项与前一项的差; 与 可以为零;（3）等差中项 唯一 （1）强调每一项与前一项的比;
与 均不为零;（3）等比中
项有两个值
相同点 （1）都强调每一项与前一项的关系; （2）结果都必须是常数; （3）通项公式都可以由,或, 确定
联系 若 为各项都是正数的等比数 列,则{且 为等 差数列 若 为等差数列,则
且 为等比数列
探究点一 等差数列与等比数列的转化
例1 已知数列为等差数列，且, .
（1）求数列 的通项公式；
解:设等差数列的公差为，则解得 所以数列
的通项公式为 .
（2）若数列满足，求证：数列 是等比数列.
证明：依题意得，因为，所以数列 是
首项为 ，公比为4的等比数列.
变式（1） （多选题）已知等比数列中，，公比 ，则 ( )
ACD
A.数列是等比数列 B.数列 是递增数列
C.数列{是等差数列 D.数列{ 是递增数列
[解析] 由，得，，所以数列 是等比数列且为
递减数列，故A正确，B不正确；
，数列{ 是递增的等差数列，故C，D正确.故选 .
（2）设等比数列满足， ，则
_______.
[解析] 因为等比数列满足， ，
所以公比，
又，解得 ，所以，
，
所以 .
［素养小结］
等差数列与等比数列的关系
（1）若数列是各项都为正数的等比数列,公比为,则数列{ 是公差为
的等差数列;
（2）若数列是等差数列,公差为,则数列且是公比为 的
等比数列.
探究点二 等差、等比数列的综合应用
例2 已知等差数列和等比数列满足，，.
（1）求数列和 的通项公式；
解：设等差数列的公差为,等比数列的公比为 ,
,， ,
解得
, .
（2）在数列中，去掉与数列 相同的项后，将剩下的所有项按原来的顺
序排列构成一个新数列，求数列 的前20项和.
解：由（1）得, ,
,
令，解得 ,
等差数列的前20项中只有2项与等比数列的项相同，为 ,
，
又,都不是数列 中的项，
数列的前20项和为 .
变式1（1） [2024·福建龙岩高二期中]已知公差不为零的等差数列 中，
，是和的等比中项，则数列的前8项和 ( )
A
A.64 B.32 C.16 D.8
[解析] 依题意，，即 ，
，
.故选A.
（2）（多选题）已知数列为等差数列，为等比数列，的前 项和为
，若 ， ，则( )
ACD
A. B.
C. D.
[解析] 因为数列为等差数列，为等比数列， ，
，所以 ，即 ， ，
即.
对于A， ，故A正确；
对于B， ,，所以 ，
故B错误；
对于C，设等差数列的公差为 ，则
，故C正确；
对于D，由得,，故 ，当且仅当
时等号成立，故D正确.故选 .
变式2 已知数列为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
.
（1）证明： ；
证明：设数列的公差为，则 即
解得 ，所以原命题得证.
（2）若，求数列， 的通项公式；
解：若，则，，所以， .
（3）若集合,，求集合 中的元素个数.
解：由（1）知，由 ，得
，
因为，所以，解得 ,
又，，故，即 ，所以满足等
式的 的值为2,3,4,5,6,7，
故集合 中的元素个数为6.
［素养小结］
解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面
（1）等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用.
（2）注意基本量及方程思想.
（3）注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等
比数列，以便利用公式和性质解题.
（4）当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又
要横向考查各数列之间的内在联系.
拓展 国家助学贷款由国家指定的商业银行面向在校全日制高等学校中经济困
难的学生发放，用于帮助他们支付在校期间的学费和日常生活费.从2023年秋季
学期起，全日制普通本专科学生每人每年申请贷款额度由不超过12 000元提高
至不超过16 000元.假如小明在本科期间共申请到48 000元的助学贷款，并承诺
在毕业后5年内还清，已知小明毕业后立即参加工作，第一年的月工资为3000元，
从第13个月开始，每个月工资比前一个月增加 直到8000元，此后工资不再浮动.
（1）小明参加工作后第几个月的月工资首次达到8000元？
解：设小明参加工作后第 个月的月工资能达到8000元，
则由，可得，
又 ，所以 ，
所以小明参加工作后第33个月的月工资首次达到8000元.
（2）如果小明从参加工作后的第一个月开始，每个月除了偿还应有的利息外，
助学贷款的本金按如下规则偿还：前12个月每个月偿还本金100元，从第13个月
开始到第59个月每个月偿还的本金比前一个月多30元，第60个月偿还剩余的本
金.试问小明参加工作后第60个月的月工资是否足够偿还剩余的本金？
（参考数据：， ）
解：因为小明前12个月每个月偿还本金100元，从第13个月开始到第59个月每个
月偿还的本金比前一个月多30元，
所以从第13个月开始到第59个月偿还的本金（单位：元）是首项为130，公差为
30的等差数列，
所以前59个月共偿还本金 （元），
故第60个月应偿还本金 （元）.
由（1）知，小明参加工作后第60个月的月工资为8000元，
因为 ，所以小明参加工作后第60个月的月工资不够偿还剩余的本金.
对于等比数列的一些项组成等差数列,或等差数列的一些项组成等比数列问题,要
准确判断,充分利用定义与通项公式求解.对于等比数列基本量之间的运算应先考
虑是否能用性质解决,然后再考虑是否能列出关于, 的方程组.
例（1） 等差数列的首项为5,公差不等于零.若,, 成等比数列，则
( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设等差数列的公差为，由,，， 成等比数列得
，即，解得或 （舍去），所
以，故 .故选D.
（2）已知等比数列的首项，公比为，数列满足
（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则 的取
值范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] ，
所以是以为首项，为公差的等差数列.
因为当且仅当 时，的前项和取得最大值，则
即 即即
可得，即 ，故选C.
（3）已知为等比数列，公比，，且,, 成等差数列，
则的通项公式 _________.
[解析] 由,,成等差数列，且，得 ，即
，即，解得或，
又 ，所以，所以 .
练习册
一、选择题
1.已知是公差不为0的等差数列，且,, 成等比数列，则该等比数列的
公比为( )
B
A.4 B.2 C.1 D.
[解析] 设数列的公差为，由题意可得 ，所以
，且，则，所以等比数列,, 的公比为
，故选B.
2.若，，， 为等差数列，则数列，，， 一定是( )
A
A.等比数列 B.等差数列
C.既是等比数列又是等差数列 D.既不是等比数列，也不是等差数列
[解析] 对任意，，，，， 为等差数列，
为常数，即也为常数，故 一定是等比数列，故选A．
3.若1，，，4成等差数列，1，，，，4成等比数列，则 的值
为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设1，，，4的公差为，,, ,4成等差数列，
,,,,4成等比数列，,
又 与1同号, ， .故选A.
4.已知等差数列满足，.若将，， 都加上同一个数，
所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为( )
A
A. B.0 C.1 D.无法确定
[解析] 因为，，所以数列的公差 ，则
，所以，.
设，，都加上同一个数 ，得到的三个新数依次为，，，
则，解得 .故选A.
5.[2024·西工大附中高二期中]已知数列是等差数列，数列 是等比数
列，，且，则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由数列是等差数列，，可得，即 ，
由数列是等比数列，，可得，可得 ，则
.故选B.
6.已知数列是等差数列，且，，从，， ，
中去掉一项后，剩下的三项依次为等比数列的前三项，则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设等差数列的公差为,由，可得，则 ，
所以,解得，所以 ，
所以，则，，，.
从， ，，中去掉一项后，剩下的三项依次为等比数列 的前三项，
则等比数列的前三项依次为4，2，1，其公比为，
故 .故选C.
7.在各项均为正数的等差数列和各项均为正数的等比数列 中，
，，则与 的大小关系为 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] ， ，当且仅当
时，等号成立.故选C.
8.（多选题）已知非零实数，， 不全相等，则下列说法正确的是( )
BCD
A.若，，成等差数列，则，， 能构成等差数列
B.若，，成等差数列，则，， 不可能构成等比数列
C.若，，成等比数列，则，， 能构成等比数列
D.若，，成等比数列，则，， 不可能构成等差数列
[解析] 由非零实数，，不全相等，若，，成等差数列，则 ，
易知,，要使，，能构成等差数列，需满足 ，即
可得，即，与已知条件矛盾，故A错误；
若，， 成等差数列，则，则，若，， 能构成
等比数列，则 ， 需满足，这与已知条件矛盾，因此，，
不可能构成等比数列，故B正确；
若，，成等比数列，则，， 能构成等比数列，例如,,，
故C正确；
由，，成等比数列，可知 ，此时，则，，不可能构成等差
数列，故D正确.故选 .
9.（多选题）在数列中，如果对任意，都有
（为常数），则称为等差比数列， 为公差比，下列说法正确的是 ( )
BC
A.等比数列一定是等差比数列
B.等差比数列的公差比一定不为0
C.若，则数列 是等差比数列
D.若等差数列是等差比数列，则其公差比可能为2
[解析] 对于数列，若,则,, 是等比数列，但
无意义，所以A错误；
若等差比数列的公差比为0,即 ,则，则在 中
分母为0，无意义，所以B正确；
若,则，故数列
是等差比数列，所以C正确；
若等差数列是等差比数列，设等差数列 的公差为，则，
则， ，所以，所以D错误．
故选 ．
二、填空题
10.若等比数列的公比且，,,成等差数列，则 _ ____.
[解析] 由,,成等差数列，得，即 ,
，
整理得，解得或.
由题意知， 且,， .
11.公差不为零的等差数列中，，数列 是等比数列，
且，则 ____.
16
[解析] ， ，
， .
12.已知有四个数成等比数列，且将这四个数分别减去1,1,4,13后成等差数列，
则这四个数的和是____.
45
[解析] 设这四个数分别为，，，，则，， ，
成等差数列，即 整理得
解得
因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.
三、解答题
13.[2024·河北邢台高二期中] 已知是各项均为正数的等比数列， ,
.
（1）求 的通项公式；
解:设数列的公比为，因为, ，所以
，即，解得或
（舍去），故的通项公式为 .
（2）设，求数列的前 项和.
解:由（1）知，设的前项和为 ，则
.
14.在，；，； ，
三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为 ，
且，，____，求数列， 的通项公式.
解:选条件①：因为，所以，又， ，
，所以 ，
由解得或（舍去），则 ，
，故， .
选条件②：因为，，，所以，又 ，所
以 ，
由解得或（舍去），则 ，
，故， .
选条件③：因为，所以，又，， ，
所以 ，
由解得或（舍去），则 ，
，故， .
起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，，则 ___.
15.[2024·江苏盐城高二期中] 如图，将数列 中的所有项
按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一
列，，， 构成一个公比为2的等比数列，从第2行
4
[解析] 第1行最后一项为，第2行最后一项为，第3行最后一项为 ，以此
类推可知，第行最后一项为，
因为，所以 位于第9行第5项.
由题意可知，，则 ①，
， ，
由①②可得， .
16.已知数列为等差数列，其公差，由 中的部分项组成的数列
，，， ，为等比数列，其中，， .
（1）求及等比数列的公比 ；
解：由题意可得,即,又 ,
,即 , 等比数列的公比 .
（2）求数列 的通项公式.
解：由（1）知, ,
,又, .第3课时 等比数列与等差数列的综合应用
【学习目标】
1.理解等比数列与等差数列之间的转化.
2.掌握等差数列与等比数列的综合问题.
◆ 知识点 等比数列与等差数列的区别与联系
等差数列 等比数列
不同点 (1)强调每一项与前一项的差;(2)a1与d可以为零;(3)等差中项唯一 (1)强调每一项与前一项的比;(2)a1与q均不为零;(3)等比中项有两个值
相同点 (1)都强调每一项与前一项的关系; (2)结果都必须是常数; (3)通项公式都可以由a1,d或a1,q确定
联系 若{an}为各项都是正数的等比数列,则{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列 若{an}为等差数列,则{}(b>0且b≠1)为等比数列
◆ 探究点一 等差数列与等比数列的转化
例1 已知数列{an}为等差数列,且a3=5,a7=13.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=,求证:数列{bn}是等比数列.
变式 (1)(多选题)已知等比数列{an}中,a1=1,公比q=2,则 ( )
A.数列是等比数列
B.数列是递增数列
C.数列{log2an}是等差数列
D.数列{log2an}是递增数列
(2)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则log2a1+log2a2+…+log2an= .
[素养小结]
等差数列与等比数列的关系
(1)若数列{an}是各项都为正数的等比数列,公比为q,则数列{lg an}是公差为lg q的等差数列;
(2)若数列{bn}是等差数列,公差为d,则数列{}(c>0且c≠1)是公比为cd的等比数列.
◆ 探究点二 等差、等比数列的综合应用
例2 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=3,a2=b2-2,a7=b3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)在数列{an}中,去掉与数列{bn}相同的项后,将剩下的所有项按原来的顺序排列构成一个新数列{cn},求数列{cn}的前20项和.
变式1 (1)[2024·福建龙岩高二期中] 已知公差不为零的等差数列{an}中,a1=1, a2 是 a1和a5 的等比中项,则数列{an}的前8项和S8= ( )
A.64 B.32 C.16 D.8
(2)(多选题)已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,{an}的前n项和为Sn,若a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,则( )
A.S11=11π B.sin=
C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4
变式2 已知数列{an}为等差数列,{bn}是公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.
(1)证明:a1=b1;
(2)若a1=1,求数列 {an},{bn}的通项公式;
(3)若集合M={k|bk=am+a1,1≤m≤50},求集合M中的元素个数.
[素养小结]
解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面
(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用.
(2)注意基本量及方程思想.
(3)注重问题的转化,利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列,以便利用公式和性质解题.
(4)当题中出现多个数列时,既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系,又要横向考查各数列之间的内在联系.
拓展 国家助学贷款由国家指定的商业银行面向在校全日制高等学校中经济困难的学生发放,用于帮助他们支付在校期间的学费和日常生活费.从2023年秋季学期起,全日制普通本专科学生每人每年申请贷款额度由不超过12 000元提高至不超过16 000元.假如小明在本科期间共申请到48 000元的助学贷款,并承诺在毕业后5年内还清,已知小明毕业后立即参加工作,第一年的月工资为3000元,从第13个月开始,每个月工资比前一个月增加5%直到8000元,此后工资不再浮动.
(1)小明参加工作后第几个月的月工资首次达到8000元
(2)如果小明从参加工作后的第一个月开始,每个月除了偿还应有的利息外,助学贷款的本金按如下规则偿还:前12个月每个月偿还本金100元,从第13个月开始到第59个月每个月偿还的本金比前一个月多30元,第60个月偿还剩余的本金.试问小明参加工作后第60个月的月工资是否足够偿还剩余的本金 (参考数据:1.0520≈2.65,1.0521≈2.79)
