4.3.2 等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列的前n项和公式及其应用
【课前预习】
知识点
1.na1
2.(2)na1
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× [解析] (1)当公比为1时不能直接套用这个公式.
(2)易知该数列是各项均为a的常数列,所以Sn=na.
(3)对于等比数列1,-1,1,-1,…,其前4项和为0.
(4)因为数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠0且a≠1),当n=1时,a1=S1=a+b;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an+b-an-1-b=(a-1)an-1,故当且仅当b=-1时,数列{an}为等比数列.
(5)当a=1时,1+a+a2+…+an-1=n.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)S10===×=.
(2)∵{an}为等比数列且a1=1,a5=16,∴a5=a1q4,
∴16=q4,∴q=2,∴S7===127.
(3)由题意知解得或所以an=3n-1,Sn=×3n-或an=16×,Sn=.
(4)易知q≠1,所以由题知解得
变式 (1)C (2)3 6 (3)(4n-1) [解析] (1)设数列{an}的公比为q(q∈Z),则a1-a2=a1-a1q=3,a3=a1q2=4,可得q=-2,a1=1,则数列{an}的前5项和为=11.
(2)方法一:由题意得解得
方法二:由题意得189=,解得a1=3,又由an=a1·qn-1,得96=3×2n-1,解得n=6.
(3)∵an=2n-1,∴=22n-2=4n-1,∴数列{}是以1为首项,4为公比的等比数列,∴+++…+==(4n-1).
探究点二
例2 解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1;当n=1时,a1=S1=31-2=1,不适合上式.故an=
方法一:由题知a1=1,a2=6,a3=18,显然a1,a2,a3不成等比数列,故{an}不是等比数列.
方法二:当等比数列{bn}的公比q≠1时,其前n项和Tn=A·qn+B满足的条件为A=-B,对比Sn=3n-2可知,1≠2,故{an}不是等比数列.
变式 (1)3 (2)- [解析] (1)方法一:数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-k,∴ a1=S1=9-k,当n≥2时,an=Sn- Sn-1 =3n+1-3n=2×3n.∵数列{an}为等比数列,∴a1=9-k符合an=2×3n,即6=9-k,解得k=3.
方法二:∵Sn=3n+1-k=3×3n-k,且{an}为等比数列,
∴3-k=0,解得k=3.
(2)∵数列{an}满足lg an+2=2lg an+1-lg an,
∴lg(an+2an)=lg ,即=an+2an,∴数列{an}是等比数列.由Sn=a·+5,可得Sn=3a·+5,依题意有3a+5=0,解得a=-.
拓展 解:(1)由a1=1,a3+a5=20,得q4+q2-20=0,可得q2=4,所以==1+q4=17.
(2)由c,q为正常数,a1=1,可知Sn>0,故>2等价于<0,即c因为对任意正整数n,不等式>2总成立,所以>2,解得当q=1时,an=a1=1,Sn=n,显然不满足c当q≠1时,若q>1,则Sn>S2>2(n>2),不满足c若2可得qn<2q-1,即n>logq(2q-1),由1,即当n>logq(2q-1)时,Sn>2,此时不满足c若q=,则由>2c,得<1-c,即n>lo(1-c),所以当n>lo(1-c)时,c若0综上,存在正常数c,q,使得对任意正整数n,不等式>2恒成立,且q的取值范围是.4.3.2 等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列的前n项和公式及其应用
1.B [解析] 设数列的前n项和为Sn,则S10==×(510-1).故选B.
2.B [解析] 设{an}的公比为q,则a2=a1q=2,4a1+a3=a1(4+q2)=8,所以a1=1,q=2,故S5==31.故选B.
3.C [解析] 方法一:∵等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+k,∴a1=S1=k+1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1+k)-(2n-2+k)=2n-2,∴当n=1时也满足上式,即a1=21-2==k+1,∴k=-,故选C.
方法二:∵等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+k=×2n+k,∴+k=0,∴k=-,故选C.
4.C [解析] 等比数列{an}中,a3=7,前三项之和S3=21,若q=1,a3=7,则S3=3×7=21,符合题意;若q≠1,则可得q=-.综上,公比q的值为1或-,故选C.
5.D [解析] 设等比数列{an}的公比为q,显然q≠1,则==1+q2=,所以q2=,所以a1a4a7==(a2q2)3==-.故选D.
6.D [解析] 设等比数列{an}的公比为q.∵a4=3a3,∴q=3,∴+++…+=q+q2+q3+…+qn===.故选D.
7.B [解析] 因为Sn=3n+k,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1.当n=1时,a1=3+k,若{an}是等比数列,则a1=3+k=2×30,解得k=-1.当k=-1时,an=2×3n-1,此时=3,{an}是等比数列.故选B.
8.AC [解析] 设等比数列{an}的公比为q(q≠0),则有a3=a1q2=7,即a1=,S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)==21,即2q2-q-1=0,解得q=1或q=-.当q=1时,an=a3=7,故S5=5×7=35;当q=-时,an=a3qn-3=7×=28×,则a1=28,S5===.故选AC.
9.ABC [解析] 由8a2+a5=0得8a2+a2q3=0,∵a2≠0,∴q3=-8,∴q=-2.对于A,=q2=4;对于B,===;对于C,===;对于D,=与n有关,不是定值.故选ABC.
10.5 3 [解析] 由Sn=93,an=48,公比q=2,得解得
11.63 [解析] 由题意可知a1a6=a3a4=32,a3+a4=12,解得a3=4,a4=8或a3=8,a4=4(舍去),故等比数列{an}的公比为2,所以a1=1,故S6=1×=63.
12.6 [解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为a4=24,a6=96,所以q2===4,又因为a9=a4q5>0,所以q>0,故q=2.将q=2代入a4=a1q3=24,得a1=3,所以Sn=,令>93,得2n>32,所以n>5,又n∈N*,所以n的最小值为6.
13.解:(1)∵ a1=-,q=-,an=,∴=-×,解得n=6,∴Sn===-.
(2)方法一:∵S3=a1+a2+a3=a3(q-2+q-1+1),a3=,S3=,∴q-2+q-1+1=3,即2q2-q-1=0,解得q=1或q=-.当q=1时,a1=;当q=-时,a1=6.
方法二:当q=1时,a1=a3=,又S3=,∴S3=3a1,符合题意.
当q≠1时,S3==①,a3=a1q2=②,由①得a1(1+q+q2)=③,③÷②得=3,即2q2-q-1=0,∴(2q+1)(q-1)=0,∵q≠1,∴q=-,∴a1===6.
综上,当q=1时,a1=;当q=-时,a1=6.
14.解:(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.
(2)若an=(-2)n-1,则Sn=,由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.
若an=2n-1,则Sn=2n-1,由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.
15.m<- [解析] 若q=1,则a1=q=1,即an=1,此时a5≠a1+S4,与题意不符,舍去;若q≠1,由a5=a1+S4,可得a1q4=a1+,即a1(1-q4)+=0,也即a1(1-q4)=0,可得q=a1=2,则an=2n,Sn=2(2n-1).对一切正整数n,不等式13-2n-2m+m·2n>2m(2n-1)恒成立,化简得13-2n>m·2n,整理可得m<.设f(n)=,则f(n+1)=,f(n+1)-f(n)=.当1≤n≤7时,f(n+1)f(n),即f(8)16.解:(1)由题意得3Sn+1-3Sn+an=3an+1+an=5an+1,得=,则{an}是首项为,公比为的等比数列,所以{an}的通项公式为an=×=.
(2)由题意得,Sn=++…+==1-,易知数列{Sn}是递增数列,因为-<0,所以Sn=1-<1.4.3.2 等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列的前n项和公式及其应用
【学习目标】
1.能推导等比数列的前n项和公式.
2.能说明等比数列前n项和公式的特征,能灵活运用求和公式解决一些简单问题.
◆ 知识点 等比数列的前n项和
1.等比数列{an}的前n项和公式
设等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,则当q=1时,Sn= ;当q≠1时,Sn= = .
2.等比数列的前n项和公式的函数特征
(1)当公比q≠1时,设A= ,则等比数列的前n项和Sn=A(qn-1),即Sn是n的指数型函数.
(2)当公比q=1时, 因为a1≠0,所以等比数列的前n项和Sn= ,Sn是n的正比例函数.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时,可直接套用公式Sn=. ( )
(2)若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列,则其前n项和Sn=na. ( )
(3)等比数列的前n项和Sn不可能为0. ( )
(4)若数列{an}的前n项和为Sn=an+b(a≠0,a≠1),则数列{an}一定是等比数列. ( )
(5)若a∈R,则1+a+a2+…+an-1=(n∈N*). ( )
◆ 探究点一 等比数列的前n项和公式的基本 运算
例1 设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.
(1)若a1=2,q=-,求S10;
(2)若a1=1,a5=16,且q>0,求q和S7;
(3)若S2=4,S3=13,求an与Sn;
(4)若a1=1,an=81,Sn=121,求q和n.
变式 (1)在公比为整数的等比数列{an}中,a1-a2=3,a3=4,则{an}的前5项和为 ( )
A.10 B. C.11 D.12
(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn=189,公比q=2,an=96,则a1= ,n= .
(3)已知数列{an}满足an=2n-1,则+++…+= .
[素养小结]
在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
◆ 探究点二 等比数列前n项和公式的函数特 征应用
例2 已知数列{an}的前n项和Sn=3n-2,求{an}的通项公式,并判断{an}是否是等比数列.
变式 (1)已知数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-k,则实数k= .
(2)已知数列{an}满足lg an+2=2lg an+1-lg an,且其前n项和为Sn=a·+5,则实数a= .
[素养小结]
若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,则{an}是等比数列.
拓展 已知数列{an}为等比数列,a1=1,公比为q,Sn为数列{an}的前n项和.
(1)若a3+a5=20,求.
(2)是否存在正常数c,q,使得对任意正整数n,不等式>2总成立 若存在,求出q的取值范围;若不存在,请说明理由.4.3.2 等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列的前n项和公式及其应用
一、选择题
1.数列1,5,52,53,54,…的前10项和为 ( )
A.×(510-1) B.×(510-1)
C.×(59-1) D.×(511-1)
2.在等比数列{an}中,a2=2,4a1+a3=8,Sn是{an}的前n项和,则S5= ( )
A.15 B.31
C.48 D.63
3.[2024·黑龙江牡丹江二中高二期末] 已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+k(n∈N*),则k的值为 ( )
A.-1 B.1
C.- D.
4.已知等比数列{an}中,a3=7,前三项之和S3=21,则公比q的值为 ( )
A.1 B.-
C.1或- D.-1或
5.已知等比数列{an}的前n项和是Sn,且a2=-2,=,则a1a4a7= ( )
A. B.
C.- D.-
6.[2024·山东胶州三中高二月考] 在等比数列{an}中,已知a4=3a3,则+++…+= ( )
A. B.
C. D.
7.已知数列{an}的前n项和Sn=3n+k(k为常数),则下列说法正确的是 ( )
A.当k为任意实数时,{an}都是等比数列
B.当k=-1时,{an}是等比数列
C.当k=0时,{an}是等比数列
D.{an}不可能是等比数列
8.(多选题)[2024·江苏淮安涟水一中高二月考] 已知在等比数列{an}中,a3=7,前三项之和S3=21,则S5的值可能是 ( )
A.35 B.-
C. D.1
9.(多选题)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若8a2+a5=0,则下列式子的值是定值的是 ( )
A. B.
C. D.
二、填空题
10.已知Sn为等比数列{an}的前n项和,Sn=93,an=48,公比q=2,则项数n= ,a1= .
11.已知递增的等比数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,若a3+a4=12,a1a6=32,则S6= .
12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a4=24,a6=96,且a9>0,则使得不等式Sn>93成立的正整数n的最小值为 .
三、解答题
13.已知数列{an}是等比数列,其公比为q,前n项和为Sn.
(1)若a1=-,q=-,an=,求n与Sn;
(2)若a3=,S3=,求a1与q.
14.[2024·河北邯郸永年二中高二月考] 已知等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.
15.已知等比数列{an}的公比为q(q>0),前n项和为Sn,且满足a1=q,a5=a1+S4.若对一切正整数n,不等式13-2n-2m+man>mSn恒成立,则实数m的取值范围为 .
16.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,3Sn+1+an=3Sn+5an+1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,判断数列{Sn}是递增数列还是递减数列并证明 Sn<1.(共48张PPT)
4.3 等比数列
4.3.2 等比数列的前项和公式
第1课时 等比数列的前 项和公式及其应用
探究点一 等比数列的前项和公式的基本运算
探究点二 等比数列前项和公式的函数特征应用
【学习目标】
1.能推导等比数列的前 项和公式.
2.能说明等比数列前 项和公式的特征,能灵活运用求和公式解决一些简单问题.
知识点 等比数列的前 项和
1.等比数列的前 项和公式
设等比数列的公比为，其前项和为，则当时， _____;
当时，_ _______ _______.
2.等比数列的前 项和公式的函数特征
（1）当公比时,设，则等比数列的前项和，即
是 的指数型函数.
（2）当公比时, 因为，所以等比数列的前项和_____，是
的正比例函数.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）求等比数列的前项和时，可直接套用公式 .( )
×
[解析] 当公比为1时不能直接套用这个公式.
（2）若首项为的数列既是等比数列又是等差数列，则其前项和 . ( )
√
[解析] 易知该数列是各项均为的常数列，所以 .
（3）等比数列的前项和 不可能为0.( )
×
[解析] 对于等比数列1,,1,， ，其前4项和为0.
（4）若数列的前项和为，则数列 一定是
等比数列.( )
×
[解析] 因为数列的前项和且，当 时，
;
当 时，,
故当且仅当 时，数列 为等比数列.
（5）若，则 .( )
×
[解析] 当时， .
探究点一 等比数列的前 项和公式的基本运算
例1 设等比数列的公比为,前项和为 .
（1）若，，求 ；
解： .
（2）若，，且，求和 ；
解：为等比数列且，， ，
，， .
（3）若，，求与 ；
解：由题意知解得或所以 ，
或， .
（4）若，，，求和 .
解：易知，所以由题知解得
变式（1） 在公比为整数的等比数列中，，，则
的前5项和为( )
C
A.10 B. C.11 D.12
[解析] 设数列的公比为，则 ，
，可得，，则数列的前5项和为 .
（2）已知等比数列的前项和，公比，，则
___， ___.
3
6
[解析] 方法一：由题意得解得
方法二：由题意得，解得，又由 ，得
，解得 .
（3）已知数列满足，则 __________.
[解析] ，， 数列 是以1为首项，4为公比
的等比数列， .
［素养小结］
在等比数列的五个量，，，，中，与 是最基本的，当条件与结
论间的联系不明显时，均可以用与表示与 ，从而列方程组求解.在解方
程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数
列中的具体应用.
探究点二 等比数列前 项和公式的函数特征应用
例2 已知数列的前项和，求的通项公式，并判断 是
否是等比数列.
解:当时，；当
时，，不适合上式.故
方法一:由题知，，，显然，， 不成等比数列，故
不是等比数列.
方法二:当等比数列的公比时，其前项和 满足的条件
为，对比可知，，故 不是等比数列.
变式（1） 已知数列是等比数列，且其前项和为 ，则实
数 ___.
3
[解析] 方法一：数列是等比数列，且其前项和为 ，
，当时，
数列为等比数列，符合，即，解得 .
方法二：，且 为等比数列，
，解得 .
（2）已知数列满足，且其前 项和为
，则实数 ____.
[解析] 数列满足 ，
，即， 数列 是等比数列.
由，可得，依题意有 ，解得
.
［素养小结］
若数列的前项和，其中，且，则 是等
比数列.
拓展 已知数列为等比数列,，公比为，为数列的前 项和.
（1）若，求 .
解:由，，得，可得 ，所以
.
（2）是否存在正常数，，使得对任意正整数，不等式 总成立 若存
在,求出 的取值范围；若不存在,请说明理由.
解:由,为正常数,,可知，故等价于 ，即
.
因为对任意正整数,不等式总成立，所以,解得 .
当时，,，显然不满足 .
当时，若，则，不满足 ;
若，则由可得，即 ,由
，得,即当时， ，此时不满足
;
若，则由,得，即 ，所以当
时， 不成立；
若,则，所以当时， 恒成立.
综上，存在正常数,，使得对任意正整数，不等式恒成立，且 的取
值范围是 .
1.等比数列的前 项和公式的推导方法
方法一：由等比数列的定义知 .
当时，，即 ，即
,又当 时满足上式，
故；当时， .
方法二： .
当时，；当时， .
2.错位相减法万能公式
通项公式为的数列的前项和 ,其中
,, ,证明如下：
，
，
得 ，
故 .
3.正确应用等比数列前 项和的两个公式
（1）若已知，，，则可用公式求和；若已知 ，
，，则可用公式 求和.
（2）在应用公式求和时，应注意公式的使用条件为，当 时应按常数
列求和，即.在解含参数的等比数列求和问题时，应分别讨论 与
两种情况.
4.无穷递缩等比数列的各项和公式
设无穷等比数列的公比为且 ,则其各项的和
且 .
1.基本量法:利用等比数列的通项公式和前 项和公式结合方程（组）求等比数列
的基本量.
例1（1） 已知在等比数列中，,，求前4项和 ；
解：设公比为，由,，得，所以 ，所以
.
（2）已知在等比数列中，公比，前5项和，求, .
解：由，得，所以 .
例2 已知等比数列的前项和，,公比,求和 的值.
解：根据题意，等比数列中，,公比 ,
若 ,
则有 ,
解得 ,
则 .
2.等比数列前项和的函数特征：若是公比不等于1的等比数列，则其前 项
和一定具有 的形式.
例3（1） 已知等比数列的前项和为，若 ，则 ( )
D
A.3 B. C.6 D.
[解析] 当时， ，可
得，
当时， ，因为数列 为等比数列，
所以，解得 .故选D.
（2）已知等比数列满足，其前项和 ，
则( )
D
A.数列的公比为 B.数列 为递减数列
C. D.当取最小值时，
[解析] 由已知，当时， ，则
，即，当时， ，所以
，由等比数列知公比为，所以 ，即
，所以，故A，C选项错误；
又， ，则公比，所以数列 为递增数列，
故B选项错误；
，当且仅当，即 时取等号，此时公比
为，所以数列的通项公式为 ，故D选项正确.故
选D.
练习册
一、选择题
1.数列1，5，，，， 的前10项和为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设数列的前项和为,则 .故选B.
2.在等比数列中，，，是的前项和，则
( )
B
A.15 B.31 C.48 D.63
[解析] 设的公比为，则， ，所以
，，故 .故选B.
3.[2024·黑龙江牡丹江二中高二期末]已知等比数列的前 项和
，则 的值为( )
C
A. B.1 C. D.
[解析] 方法一： 等比数列的前项和， ，
当时，， 当 时也
满足上式，即， ，故选C．
方法二： 等比数列的前项和， ，
，故选C．
4.已知等比数列中，，前三项之和，则公比 的值为( )
C
A.1 B. C.1或 D.或
[解析] 等比数列中，，前三项之和，
若， ，则，符合题意；
若，则可得 .
综上，公比的值为1或 ，故选C.
5.已知等比数列的前项和是，且，，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设等比数列的公比为，显然，则 ，
所以，所以 故选D.
6.[2024·山东胶州三中高二月考]在等比数列中，已知 ，则
( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设等比数列的公比为， ，
.
故选D.
7.已知数列的前项和为常数 ，则下列说法正确的是( )
B
A.当为任意实数时， 都是等比数列
B.当时， 是等比数列
C.当时， 是等比数列
D. 不可能是等比数列
[解析] 因为，所以当 时，.
当时，，若 是等比数列，则，解得.
当时， ,此时， 是等比数列.故选B.
8.（多选题）[2024·江苏淮安涟水一中高二月考] 已知在等比数列 中，
，前三项之和，则 的值可能是( )
AC
A.35 B. C. D.1
[解析] 设等比数列的公比为，则有，即 ，
，即 ，解
得或.
当时，，故；
当 时，，则 ，
.故选 .
9.（多选题）设等比数列的前项和为，若 ，则下列式子的
值是定值的是( )
ABC
A. B. C. D.
[解析] 由得，，， .
对于A，；对于B， ；
对于C，；对于D，与 有关，不是定值．
故选 ．
二、填空题
10.已知为等比数列的前项和，，，公比 ，则项
数___， ___.
5
3
[解析] 由，，公比，得解得
11.已知递增的等比数列的各项均为正数，其前项和为 ，若
， ，则 ____.
63
[解析] 由题意可知,,解得， 或
，（舍去），故等比数列的公比为2,所以 ,故
.
12.已知等比数列的前项和为，，，且 ，则使得
不等式成立的正整数 的最小值为___.
6
[解析] 设等比数列的公比为，因为， ，所以
，又因为，所以，故.
将 代入，得，所以，
令，得 ，所以，
又，所以 的最小值为6．
三、解答题
13.已知数列是等比数列，其公比为,前项和为 .
（1）若，，，求与 ；
解:，，，，解得 ，
.
（2）若，，求与 .
解:方法一：，， ，
，即，解得或.
当 时，；当时， .
方法二：当时，，又， ，符合题意．
当时，①, ，由①得
，得，即 ，
，，， .
综上，当时，；当时， .
14.[2024·河北邯郸永年二中高二月考] 已知等比数列中，, .
（1）求 的通项公式；
解:设的公比为，由题设得．由已知得，解得
（舍去）或或．故或 ．
（2）记为的前项和，若，求 .
解:若，则，由得 ，此方程没
有正整数解．
若，则，由得，解得 ．
综上， ．
15.已知等比数列的公比为，前项和为，且满足 ,
.若对一切正整数，不等式 恒成立，则
实数 的取值范围为__________.
[解析] 若，则，即，此时 ，与题意不符，舍去；
若，由，可得 ，即,
也即，可得 ，则,.
对一切正整数 ，不等式恒成立，化简得
，整理可得.
设，则， .
当时，，即；当 时，
，即 ，所以的最小值为 ，故
.
16.已知数列的前项和为，， .
（1）求 的通项公式；
解：由题意得，得，则 是
首项为，公比为的等比数列，所以的通项公式为 .
（2）求，判断数列是递增数列还是递减数列并证明 .
解：由题意得，，易知数列
是递增数列，因为，所以 .
