第2课时 等比数列的前n项和的性质和应用
【课前预习】
知识点一
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)取常数列1,1,1,…,则S2n=2n,S4n=4n,S6n=6n,故S2n,S4n,S6n不成等比数列.
(2)取数列-1,1,-1,…,则S2n=0,S4n-S2n=0,S6n-S4n=0,故S2n,S4n-S2n,S6n-S4n不成等比数列.
(3)设等比数列{an}的前n项和为Sn,因为数列{an}是等比数列,且S10,S20-S10都不为0,所以S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(30-10)2=10×(S30-30),解得S30=70.
知识点二
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)第一次着地是单行程,后五次着地是上下双行程,每次落地的行程不构成等比数列,不是等比数列求和问题.
(2)各月的产量构成等比数列,合格率不构成等比数列.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2)C [解析] (1)设等比数列{an}的公比为q,由题意得S8,S16-S8,S24-S16成等比数列,因为S8=12,S24=36,所以=12×(36-S16),解得S16=24或S16=-12,又因为S16-S8=q8S8>0,所以S16>0,则S16=24.故选A.
(2)设数列{an}的所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则由题意得S奇+S偶=4S偶,故S偶=S奇.设等比数列{an}的公比为q,且等比数列{an}共有2k(k∈N*)项,则S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=S奇,所以q=,又因为a1a2a3==64,所以a2=4,所以a1==12.故选C.
变式 (1)B (2)12 [解析] (1)由数列{an}为等比数列,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列.由=3,得S4=3S2,设S2=k,则S4-S2=2k,∴S6-S4=4k,∴S6=7k,∴==.
(2)设此等比数列为{bn},项数为2n(n∈N*),公比为q,其偶数项之和为S偶,奇数项之和为S奇,则=q,由题意得q=.因为bn和bn+1为中间两项,所以bn+bn+1=,即b1qn-1+b1qn=,又b1=,q=,所以×+×=,即××=,解得n=6,所以此等比数列的项数为2n=12.
探究点二
例2 解:(1)2023年投入为1000万元,第n年投入为1000×万元,
所以n年内的总投入为Sn=1000+1000×+…+1000×==5000×.2023年度旅游业收入为500万元,第2年收入为500×万元,第n年收入为500×万元,所以n年内旅游业的总收入为Tn=500+500×+…+500×==2000×.
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,则有Tn-Sn>0,即2000×-5000×>0,化简得5×+2×-7>0,设x=,代入上式并整理得5x2-7x+2>0,解得x<或x>1(舍去),即<,不等式两边取常用对数可得nlg
=≈4.1,所以n≥5,故至少到2027年旅游业的总收入才能超过总投入.
变式1 D [解析] 这5个正三角形的边长an构成等比数列2,1,,,,所以这五个正三角形的面积之和为×=×=.故选D.
变式2 解:(1)若选用甲方案,则十年后,到期一次性需要还银行的本息为10×(1+10%)10≈25.9(万元).
(2)甲方案十年共获利1+1×(1+30%)+…+1×(1+30%)9=≈42.6(万元),
到期一次性需要还银行的本息约为25.9万元,
所以甲方案十年的净收益约为42.6-25.9=16.7(万元).
乙方案十年共获利1+1.5+…+(1+9×0.5)==32.5(万元),
到期一次性需要还银行的本息为1×(1+10%)+…+1×(1+10%)10=≈17.5(万元),
所以乙方案十年的净收益约为32.5-17.5=15.0 (万元).
因为16.7>15.0,所以甲方案优于乙方案.第2课时 等比数列的前n项和的性质和应用
一、选择题
1.设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8= ( )
A.12 B.24
C.30 D.32
2.已知等比数列{an}的首项为1,公比为q(q≠1),前n项的和为S,由原数列各项的倒数组成一个新数列,则数列的前n项和是 ( )
A. B.Sqn-1
C.Sq1-n D.
3.已知等比数列{an}的公比q=,且a1+a3+a5+…+a99=60,则a1+a2+a3+a4+…+a100等于 ( )
A.100 B.80 C.60 D.40
4.[2024·云南曲靖高二期中] 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得至其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问最后一天走的路程为 ( )
A.15里 B.12里
C.9里 D.6里
5.已知一个等比数列的项数是偶数,其奇数项之和为1012,偶数项之和为2024,则这个数列的公比为 ( )
A.8 B.-2
C.4 D.2
6.[2024·湖南衡阳二中高二期末] 已知等比数列{an}的公比为-,前n项和为Sn.若S2m=31,Sm=32,则m= ( )
A.3 B.4 C.5 D.7
7.在等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=-,a3=-,则++++= ( )
A.-44 B.- C. D.11
8.(多选题)[2024·福建南平一中高二月考] 已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且满足a6=8a3,则 ( )
A.q=2
B.=9
C.S3,S6,S9成等比数列
D.Sn=2an-a1
9.(多选题)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,且a1>1,a2023a2024>1,<0,则下列结论正确的是 ( )
A.S2023B.a2023a2025-1<0
C.T2024是数列{Tn}中的最大项
D.数列{Tn}无最大项
二、填空题
10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S5=10,S10=30,则S20= .
11.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一,画中刚劲矫健、剽悍的骏马,在人们心中是自由和力量的象征,鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马,它们奔跑的速度各有差异,已知第i(i=1,2,…,7)匹马的最长日行路程是第i+1匹马最长日行路程的1.1倍,且第8匹马的最长日行路程为400里,则这8匹马的最长日行路程之和约为 里.(结果保留整数,1.18≈2.144)
12.[2024·河南濮阳高二期中] 已知等比数列{an}的公比为-,a1=2,其前n项和为Sn,则Sn的最大值与最小值之和为 .
三、解答题
13.已知等比数列{an}共有32项,其公比q=3,且奇数项之和比偶数项之和少60,求数列{an}的所有项之和.
14.某地本年度旅游业收入估计为400万元,由于该地出台了一系列措施,进一步发展旅游业,预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.
(1)求n年内旅游业的总收入;
(2)试估计大约几年后,旅游业的总收入超过8000万元.
(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 5≈0.699 0)
15.(多选题)[2024·苏州外国语学校高二月考] 如图,已知正三角形ABC的边长为3,取正三角形ABC各边的三等分点D,E,F作第二个正三角形,然后再取正三角形DEF的各边的三等分点M,N,P作正三角形,以此方法一直循环下去.设正三角形ABC的边长为a1,后续各正三角形的边长依次为a2,a3,…,an,设△AEF的面积为b1,△EMP的面积为b2,后续各三角形的面积依次为b3,…,bn,则下列说法正确的是 ( )
A.数列{an}是以3为首项,为公比的等比数列
B.从正三角形ABC开始,连续3个正三角形的面积之和为
C.使得不等式bn>成立的n的最大值为3
D.数列{bn}的前n项和Sn<
16.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=-1,=.
(1)求等比数列{an}的公比q;
(2)求证:++…+<.(共55张PPT)
4.3 等比数列
4.3.2 等比数列的前项和公式
第2课时 等比数列的前 项和的性质和应用
探究点一 等比数列的前项和的性质及应用
探究点二 等比数列前项和公式的实际应用
【学习目标】
1.理解等比数列前 项和的性质.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,抽象出等比数列模型,并应用
该模型解决相关问题.
知识点一 等比数列的前 项和的性质
性质1
性质2
性质3
性质4
续表
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知等比数列的前项和是,则,, 成等比数列.( )
×
[解析] 取常数列1,1,1, ,则,,,故，, 不成等
比数列.
（2）已知等比数列的前项和是,则,, 成等比数列.
( )
×
[解析] 取数列,1,, ,则,,,故 ，
, 不成等比数列.
（3）在等比数列 中，若前10项和是10，前20项和是30，则前30项和是70. ( )
√
[解析] 设等比数列的前项和为,因为数列是等比数列，且 ，
都不为0，所以，， 成等比数列，所以
，即，解得 .
知识点二 解答数列应用问题的方法
1.解答数列应用问题的方法
（1）判断、建立数列模型
①变化“量”是同一个常数：等差数列.
②变化“率”是同一个常数：等比数列.
（2）提取基本量
从条件中提取相应数列的基本量，，，， .
（3）根据要求解的问题，利用公式或列出方程（组）求解.
2.数列实际应用中的常见模型
（1）等差数列模型：若后一个量与前一个量的差是一个固定的数，则该模型是
等差数列模型，这个固定的数就是公差.
（2）等比数列模型：若后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是
等比数列模型，这个固定的数就是公比.
（3）递推数列模型:若题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化
而变化，则应考虑考查的是第项与第项之间的递推关系还是前 项和与
前 项和之间的递推关系.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）一个乒乓球从1米高的高度自由落下，反弹后的高度是原来的 ，求
六次着地后的总的行程是一个等比数列求和问题.( )
×
[解析] 第一次着地是单行程，后五次着地是上下双行程，每次落地的行程不构
成等比数列，不是等比数列求和问题.
（2）某工厂1月份生产产品10 000件，合格率为 ，以后的六个月内，每
个月比上月产量增加，合格率提高 ，则这七个月的产量和合格率都构成
等比数列.( )
×
[解析] 各月的产量构成等比数列，合格率不构成等比数列.
探究点一 等比数列的前 项和的性质及应用
例1（1） 已知等比数列的前项和为，若，，则
( )
A
A.24 B.12 C.24或 D. 或12
[解析] 设等比数列的公比为,由题意得，， 成等比数列，
因为，，所以，解得 或
，
又因为，所以，则 .故选A.
（2）已知等比数列 的项数为偶数，其所有项之和为所有偶数项之和的4倍，
且其前3项之积为64，则 ( )
C
A.1 B.4 C.12 D.36
[解析] 设数列的所有奇数项之和为，所有偶数项之和为 ，则由题意得
，故.
设等比数列的公比为，且等比数列 共有 项，则
，所以 ，
又因为，所以，所以 .故选C.
变式（1） 设是等比数列的前项和，若，则 ( )
B
A.2 B. C. D.1或2
[解析] 由数列为等比数列，得，，成等比数列.
由 ，得，设，则，， ，
.
（2）在项数为偶数的等比数列中,它的偶数项之和是奇数项之和的 ,它的首项
为,且中间两项的和为 ,则此等比数列的项数为____.
[解析] 设此等比数列为,项数为,公比为,其偶数项之和为 ,奇数
项之和为,则,由题意得.
因为和 为中间两项,所以,即,
又, ,所以,即,
解得 ,所以此等比数列的项数为 .
［素养小结］
（1）等比数列的前项和满足，，，，
成等比数列（其中，，，, 均不为0），这一性
质可直接应用.
（2）在与等比数列的前项和 有关的运算中，常用到两种方法：①两式相除
法，即通过两式相除，构造方程（组），进而求得数列的基本量，然后再代入
求解;②整体代入法，即设而不求，整体代换的方法.两种方法中都不要忽略对公
比 的讨论.
探究点二 等比数列前 项和公式的实际应用
例2 某地响应“绿水青山就是金山银山”的号召，投入资金进行生态环境建设，
并以此发展旅游产业，根据规划，2023年投入1000万元，以后每年投入将比上
一年减少 ，当地2023年度旅游业收入约为500万元，由于该项建设对旅游业的
促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加 .
（1）设年内（2023年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为 万元，
写出， 的表达式.
解：2023年投入为1000万元，第年投入为 万元，
所以 年内的总投入为
.
2023年度旅游业收入为500万元，第2年收入为 万元，第
年收入为万元，所以年内旅游业的总收入为 .
（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入？
（参考数据：,, ）
解：设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，则有 ，即
，化简得 ，
设，代入上式并整理得，解得或 （舍去），
即，不等式两边取常用对数可得 ，即
，所以 ，故至少到2027年旅游业的总收入才能超
过总投入.
变式1 如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正
三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，以此类推，
一共画了5个正三角形，那么这5个正三角形的面积之和为
( )
D
A. B. C. D.
[解析] 这5个正三角形的边长构成等比数列2,1，，， ，所以这五个正三角
形的面积之和为 .故选D.
变式2 现有某企业进行技术改造，有甲、乙两种方案：甲方案为一次性贷款
10万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加 的利润；乙方案为每
年年初贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年都比前一年增加利润5000元.
两方案使用期都是十年，到期一次性还本付息，且银行贷款利息均按年息
的复利计算.
（1）若选用甲方案，则十年后，到期一次性需要还银行多少本息？
解：若选用甲方案，则十年后，到期一次性需要还银行的本息为
（万元）.
（2）试比较甲、乙两种方案的优劣.（计算时精确到千元， ，
）
解：甲方案十年共获利
（万元），
到期一次性需要还银行的本息约为25.9万元，
所以甲方案十年的净收益约为 （万元）.
乙方案十年共获利 （万元），
到期一次性需要还银行的本息为
（万元），
所以乙方案十年的净收益约为 （万元）.
因为 ,所以甲方案优于乙方案.
［素养小结］
求解数列应用题的具体步骤：
（1）认真审题，准确理解题意.
（2）恰当引入参数变量，将数量关系用数学式子表达，将实际问题抽象为数学
问题.
（3）求解数学问题，检验所得结果，并将符合要求的结果转化为实际问题的结论.
阿基里斯悖论
悖论提出：
公元前5世纪，芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯
前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.
当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为 ，此时乌龟便领先他
100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为 ，乌龟仍然领先他
10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为 ，乌龟仍然领先他1
米……芝诺认为，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但绝不可能追上它.
推翻悖论：
其实，我们根据无穷等比递缩数列求和的知识，只需列一个方程就可以轻
而易举地推翻芝诺的悖论：阿基里斯在跑了
（米）时便可赶上乌龟.
人们认为数列之和 是永远也不能穷尽的，这只不过是一
个错觉.
我们不妨来计算一下阿基里斯能够追上乌龟的时间为
.
芝诺所说的阿基里斯不可能追上乌龟，就隐藏着时间必须小于 这样一个
条件.
由于阿基里斯和乌龟是在不断地运动的，对时间是没有限制的，时间很容
易突破这样一个条件.一旦突破 这样一个条件，阿基里斯就追上了或超过了
乌龟.
人们被数列之和 好像是永远也不能穷尽的假象迷惑了，
没有考虑到该式是很容易达到和超过的.
1.等比数列前 项和的性质及应用
例1（1） [2024·江苏苏州吴江中学高二月考]已知等比数列的前 项和为45，
前项和为60，则其前 项和为( )
A
A.65 B.80 C.90 D.105
[解析] 设数列的前项和为，由等比数列的性质得， ，
成等比数列.
，，故45，， 成等比数列，
故，解得 .故选A.
（2）已知等比数列的前10项中，所有奇数项的和为 ，所有偶数项的
和为，则 的值为_____.
585
[解析] 设等比数列的公比为，在等比数列 的前10项中，设所有奇数项
的和为，所有偶数项的和为 ，
则 ，所以
，
又，则 ，
因此 .
2.下题考查等差数列与等比数列的综合实际应用，有一定的综合性.
例2 某地区2019年年底人口总数为50万，专家预计人口总数将发生如下变化：
从2020年年初开始到2029年年底每年人口比上一年增加0.2万人，从2030年年初
开始到2039年年底每年人口为上一年的 .（注：2019年年底的人口总数即为
2020年年初的人口总数，以此类推）
（1）设第年的人口总数为万，求数列 的通项公式（注：2020
年年底为第1年）.
解：当， 时，
由题知 ，
则 ;
当， 时，
， ,
.
故数列 的通项公式为
（2）预计从2020年年初到2039年年底平均每年的人口总数是否会超过51.5万
取 ？
解：记数列的前项和为，则 ,
.
,
预计从2020年年初到2039年年底平均每年的人口总数不会超过51.5万.
练习册
一、选择题
1.设是等比数列，且， ，则
( )
D
A.12 B.24 C.30 D.32
[解析] 设等比数列的公比为，则 ，所以
，因此，
.
2.已知等比数列的首项为1，公比为，前项的和为 ，由原数列各
项的倒数组成一个新数列，则数列的前 项和是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 根据题意，易知，数列也是等比数列，且首项为1，公比为 ，
故数列的前项和为 .
3.已知等比数列的公比，且 ，则
等于( )
B
A.100 B.80 C.60 D.40
[解析] 因为 ,所
以 ，故选B.
4.[2024·云南曲靖高二期中]中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：
“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见
次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走了378里路，第一天健步行
走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，
请问最后一天走的路程为( )
D
A.15里 B.12里 C.9里 D.6里
[解析] 设第天走的路程为，，则数列是公比为 的等比数列，所
以，解得，故 .故选D.
5.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，
则这个数列的公比为( )
D
A.8 B. C.4 D.2
[解析] 设该等比数列为,其项数为，公比为,由题意易知 ，
设奇数项之和为,偶数项之和为，易知奇数项组成的数列是首项为 ，公比
为的等比数列，偶数项组成的数列是首项为，公比为 的等比数列，
则，，所以,即 ，
所以这个数列的公比为2.故选D.
6.[2024·湖南衡阳二中高二期末]已知等比数列的公比为，前项和为 .
若，，则 ( )
C
A.3 B.4 C.5 D.7
[解析] 方法一：因为等比数列的公比为，所以 ，
，所以 ，
解得 .
方法二：根据等比数列前项和的性质得，， 成等比数列，
且其公比为，所以，即，解得 .故选C.
7.在等比数列中，， ，则
( )
A
A. B. C. D.11
[解析] 方法一：设等比数列的公比为， ，
，
又 ， ，
，故选A.
方法二：设 ，则
，所以 故选A.
8.（多选题）[2024·福建南平一中高二月考] 已知等比数列的公比为，前
项和为，且满足 ，则( )
ABD
A. B.
C.,,成等比数列 D.
[解析] 对于选项A，，即，则 ，A正确；
对于选项B， ，B正确；
对于选项C，，所以，即,, 不成等比数列，C错误；
对于选项D， ，D正确.
故选 .
9.（多选题）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为 ，且
，， ，则下列结论正确的是( )
AB
A.
B.
C.是数列中的最大项
D.数列 无最大项
[解析] 因为等比数列的公比为，，，所以 ,又
，所以,所以,.
因为 且，所以，所以，所以A正确；
因为 为等比数列，所以，
又，所以 ，所以B正确；
因为，，所以数列 为递减数列，
所以满足，
所以是数列 中的最大项，所以C，D不正确.故选 .
二、填空题
10.已知等比数列的前项和为,且，，则 _____.
150
[解析] 由题意可得,,,成等比数列，
由 ，，得，得，
所以 ，则，所以 .
11.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健、剽悍的骏马，在人
们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们
奔跑的速度各有差异，已知第匹马的最长日行路程是第 匹马
最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长
日行路程之和约为______里.（结果保留整数， ）
4576
[解析] 第8匹马、第7匹马、…、第1匹马的最长日行路程里数依次成等比数列，
且首项为400，公比为 ，故这8匹马的最长日行路程之和为
（里）.
12.[2024·河南濮阳高二期中] 已知等比数列的公比为，,其前 项
和为，则 的最大值与最小值之和为___.
[解析] 由条件可知.
当 为偶数时，，因为单调递增，所以随 的
增大而增大，所以，所以；
当为奇数时， ，因为单调递减，所以随的
增大而减小，所以 ，所以.
所以,，所以 .
三、解答题
13.已知等比数列共有32项,其公比 ,且奇数项之和比偶数项之和少60,求
数列 的所有项之和.
解:设等比数列的奇数项之和为,偶数项之和为 ,则
,
,
又,所以,所以,,
故数列 的所有项之和是 .
14.某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一
步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加 .
（1）求 年内旅游业的总收入；
解:设第年的旅游业收入估计为万元，年内旅游业的总收入为 ，则从第1
年起每年的旅游业收入构成数列，则， ，
，， 数列是首项为400，公比为 的等比数列，
，即年内旅游业的总收入为
万元.
（2）试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8000万元.
（参考数据：，， ）
解:由（1）知，令，即 ，
，，.
又， 估计大约9年后，旅游业的总收入超过8000万元.
15.（多选题）[2024·苏州外国语学校高二月考] 如图，已知正三角形的边长
为3，取正三角形 各边的三等分点,, 作第二个正三角形，然后再取正三角
形的各边的三等分点,, 作正三角形，以此方法一直循环下去.设正三角形
的边长为
A.数列是以3为首项， 为公比的等比数列
B.从正三角形开始，连续3个正三角形的面积之和为
C.使得不等式成立的 的最大值为3
D.数列的前项和
ABD
[解析] 由题意知 ,
，所以
,所以是以3为首项，为公比的等比数列，所以 ，
故A正确；
又,，所以从正三角形 开始，
连续3个正三角形的面积之和为 ，故B正确；
又, , ，所以
, ,，显然数列 为递减数列，
, ,
，故C错误；
数列的前 项和，故D正确.
故选 .
16.已知等比数列的前项和为，， .
（1）求等比数列的公比 ；
解:由，，知.由等比数列前项和的性质知 ，
，成等比数列，且公比为，故，所以 .
（2）求证： .
证明：由（1）得，所以，所以数列 是首项
为1，公比为的等比数列，故 .第2课时 等比数列的前n项和的性质和应用
1.D [解析] 设等比数列{an}的公比为q,则a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=1,所以a2+a3+a4=a1q(1+q+q2)=q=2,因此,a6+a7+a8=a1q5(1+q+q2)=q5=32.
2.C [解析] 根据题意,易知S=,数列也是等比数列,且首项为1,公比为,故数列的前n项和为=·=Sq1-n.
3.B [解析] 因为a1+a2+a3+a4+…+a100=(a1+a3+a5+…+a99)(1+q),所以a1+a2+a3+a4+…+a100=60×=80,故选B.
4.D [解析] 设第n天走的路程为an,n∈N*,则数列{an}是公比为的等比数列,所以=378,解得a1=192,故a6=192×=6.故选D.
5.D [解析] 设该等比数列为{an},其项数为2n(n∈N*),公比为q,由题意易知q≠1,设奇数项之和为S1,偶数项之和为S2,易知奇数项组成的数列是首项为a1,公比为q2的等比数列,偶数项组成的数列是首项为a2,公比为q2的等比数列,则S1==1012,S2==2024,所以===2,即q=2,所以这个数列的公比为2.故选D.
6.C [解析] 方法一:因为等比数列{an}的公比为-,所以S2m==31,Sm==32,所以===1+qm=1+=,解得m=5.
方法二:根据等比数列前n项和的性质得Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列,且其公比为qm,所以=qm,即=,解得m=5.故选C.
7.A [解析] 方法一:设等比数列{an}的公比为q,∵a1+a2+a3+a4+a5=-,∴++a3+a3q+a3q2=-,又∵a3=-,∴ ++1+q+q2=11,∴++++=(q2+q+1++)=-4×11=-44,故选A.
方法二:设T5=++++,则2T5=++++=++++===-88,所以T5=-44.故选A.
8.ABD [解析] 对于选项A,a6=8a3,即=q3=8,则q=2,A正确;
对于选项B,===1+q3=9,B正确;
对于选项C,-S3S9=-·=[(1-q6)2-(1-q3)(1-q9)]
=(1-2q6+q12-1+q3+q9-q12)=(q9-2q6+q3)=·(q3-1)2≠0,所以≠S3S9,即S3,S6,S9不成等比数列,C错误;
对于选项D,Sn==a1(2n-1)=2a1·2n-1-a1=2an-a1,D正确.
故选ABD.
9.AB [解析] 因为等比数列{an}的公比为q,a1>1,a2023a2024>1,所以q>0,又<0,所以01,01且00,所以S20231,0a2>…>a2023>1>a2024>…>0,所以T2023是数列{Tn}中的最大项,所以C,D不正确.故选AB.
10.150 [解析] 由题意可得S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等比数列,由S5=10,S10=30,得=2,得S15-S10=2(S10-S5)=40,所以S15=70,则S20-S15=2(S15-S10)=80,所以S20=150.
11.4576 [解析] 第8匹马、第7匹马、…、第1匹马的最长日行路程里数依次成等比数列,且首项为400,公比为1.1,故这8匹马的最长日行路程之和为≈4000×(2.144-1)=4576(里).
12. [解析] 由条件可知Sn==.当n为偶数时,Sn=,因为y=1-单调递增,所以Sn随n的增大而增大,所以=S2≤Sn<,所以Sn∈;当n为奇数时,Sn=,因为y=1+单调递减,所以Sn随n的增大而减小,所以13.解:设等比数列{an}的奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则S奇=a1+a3+a5+…+a31,S偶=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S奇,又S奇+60=S偶,所以S奇+60=3S奇,所以S奇=30,S偶=90,故数列{an}的所有项之和是30+90=120.
14.解:(1)设第n年的旅游业收入估计为an万元,n年内旅游业的总收入为Sn,则从第1年起每年的旅游业收入构成数列{an},则a1=400,=an,∵a1≠0,∴=,∴数列{an}是首项为400,公比为的等比数列,∴Sn==1600,即n年内旅游业的总收入为1600万元.
(2)由(1)知Sn=1600,令Sn>8000,即1600>8000,∴>6,∴lg >lg 6,∴n>=≈8.021 6.又n∈N*,∴估计大约9年后,旅游业的总收入超过8000万元.
15.ABD [解析] 由题意知a1=3,an==an-1,所以=,所以{an}是以3为首项,为公比的等比数列,所以an=3×,故A正确;又a2=3×=,a3=3×=1,所以从正三角形ABC开始,连续3个正三角形的面积之和为(++)=,故B正确;又b1=×a1×a1sin 60°=,…,bn=×an×ansin 60°=,所以b1=,…,bn==×,显然数列{bn}为递减数列,b2=×==>,b3=×==>,b4=×==>=,故C错误;数列{bn}的前n项和Sn==×<<,故D正确.故选ABD.
16.解:(1)由=,a1=-1,知=.由等比数列前n项和的性质知S7,S14-S7,S21-S14成等比数列,且公比为q7,故q7=,所以q=.
(2)证明:由(1)得an=(-1)×,所以=,所以数列{}是首项为1,公比为的等比数列,故++…+==<.第2课时 等比数列的前n项和的性质和应用
【学习目标】
1.理解等比数列前n项和的性质.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,抽象出等比数列模型,并应用该模型解决相关问题.
◆ 知识点一 等比数列的前n项和的性质
性质1 若Sn表示数列{an}的前n项和,且Sn=A-Aqn(Aq≠0,q≠1),则数列{an}是等比数列
性质2 若数列{an}为公比不为-1或公比为-1且n为奇数的等比数列,Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍构成等比数列
性质3 若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N*)
性质4 若数列{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列{an}的所有偶数项之和与所有奇数项之和,则在等比数列{an}中, ①若项数为2n(n∈N*),则=q; ②若项数为2n+1(n∈N*),则=q; ③若项数为2n+1(n∈N*)且q≠-1,则S奇-S偶=
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知等比数列{an}的前n项和是Sn,则S2n,S4n,S6n成等比数列. ( )
(2)已知等比数列{an}的前n项和是Sn,则S2n,S4n-S2n,S6n-S4n成等比数列. ( )
(3)在等比数列{an}中,若前10项和是10,前20项和是30,则前30项和是70. ( )
◆ 知识点二 解答数列应用问题的方法
1.解答数列应用问题的方法
(1)判断、建立数列模型
①变化“量”是同一个常数:等差数列.
②变化“率”是同一个常数:等比数列.
(2)提取基本量
从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,an,Sn.
(3)根据要求解的问题,利用公式或列出方程(组)求解.
2.数列实际应用中的常见模型
(1)等差数列模型:若后一个量与前一个量的差是一个固定的数,则该模型是等差数列模型,这个固定的数就是公差.
(2)等比数列模型:若后一个量与前一个量的比是一个固定的数,则该模型是等比数列模型,这个固定的数就是公比.
(3)递推数列模型:若题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化,则应考虑考查的是第n 项与第n + 1项之间的递推关系还是前n 项和与前n+1项和之间的递推关系.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)一个乒乓球从1米高的高度自由落下,反弹后的高度是原来的60%,求六次着地后的总的行程是一个等比数列求和问题. ( )
(2)某工厂1月份生产产品10 000件,合格率为90%,以后的六个月内,每个月比上月产量增加10%,合格率提高1%,则这七个月的产量和合格率都构成等比数列. ( )
◆ 探究点一 等比数列的前n项和的性质及 应用
例1 (1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S8=12,S24=36,则S16= ( )
A.24
B.12
C.24或-12
D.-24或12
(2)已知等比数列{an}的项数为偶数,其所有项之和为所有偶数项之和的4倍,且其前3项之积为64,则a1= ( )
A.1 B.4
C.12 D.36
变式 (1)设Sn是等比数列{an}的前n项和,若=3,则= ( )
A.2 B.
C. D.1或2
(2)在项数为偶数的等比数列中,它的偶数项之和是奇数项之和的,它的首项为,且中间两项的和为,则此等比数列的项数为 .
[素养小结]
(1)等比数列{an}的前n项和Sn满足Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比数列(其中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…均不为0),这一性质可直接应用.
(2)在与等比数列的前n项和Sn有关的运算中,常用到两种方法:①两式相除法,即通过两式相除,构造方程(组),进而求得数列的基本量,然后再代入求解;②整体代入法,即设而不求,整体代换的方法.两种方法中都不要忽略对公比q的讨论.
◆ 探究点二 等比数列前n项和公式的实际 应用
例2 某地响应“绿水青山就是金山银山”的号召,投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,2023年投入1000万元,以后每年投入将比上一年减少,当地2023年度旅游业收入约为500万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.
(1)设n年内(2023年为第一年)总投入为Sn万元,旅游业总收入为Tn万元,写出Sn,Tn的表达式.
(2)至少到哪一年,旅游业的总收入才能超过总投入
(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 5≈0.699 0)
变式1 如图,画一个边长为2的正三角形,再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形,以此类推,一共画了5个正三角形,那么这5个正三角形的面积之和为 ( )
A.2 B.
C. D.
变式2 现有某企业进行技术改造,有甲、乙两种方案:甲方案为一次性贷款10万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案为每年年初贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年都比前一年增加利润5000元.两方案使用期都是十年,到期一次性还本付息,且银行贷款利息均按年息10%的复利计算.
(1)若选用甲方案,则十年后,到期一次性需要还银行多少本息
(2)试比较甲、乙两种方案的优劣.(计算时精确到千元,1.110≈2.59,1.310≈13.79)
[素养小结]
求解数列应用题的具体步骤:
(1)认真审题,准确理解题意.
(2)恰当引入参数变量,将数量关系用数学式子表达,将实际问题抽象为数学问题.
(3)求解数学问题,检验所得结果,并将符合要求的结果转化为实际问题的结论.