4.4* 数学归纳法
【课前预习】
知识点
正整数n n0(n0∈N*) k+1
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)与正整数n有关的数学命题也可以用其他方法证明.
(2)数学归纳法证明的第一步中n的初始值n0应根据命题的具体情况来确定,不一定是1.如用数学归纳法证明凸n边形的内角和为(n-2)·180°时,应取其初始值n0=3.
(3)第一步是基础,第二步利用假设进行推理是关键,两个步骤缺一不可.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)C [解析] (1)当n=1时,1+a+a2=,在验证n=1时,左边所得的项为1+a+a2.故选C.
(2)当n=k(k≥2,k∈N*)时,可得++…+>,当n=k+1时,可得++…+++>,故由n=k递推到n=k+1时,不等式左边增加了+-.故选C.
变式 D [解析] 增加的项为+++…+,共2k项.
探究点二
例2 证明:①当n=1时,左边==,右边==,左边=右边,所以等式成立.
②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即有++…+=,
则当n=k+1时,++…++=+====,所以当n=k+1时,等式也成立.
由①和②可知,对任意n∈N*,等式都成立.
变式 证明:①当n=1时,左边=1-=,右边=,所以等式成立.
②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1-+-+…+-=++…+成立,
那么当n=k+1时,
1-+-+…+-+-=++…++-=
++…+++=
++…++,
所以当n=k+1时,等式也成立.
综上所述,对于任何n∈N*,等式都成立.
例3 证明:(1)当n=1时,左边=1+=,右边=+1=,即当n=1时,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即1+++…+≤+k,则当n=k+1时,1+++…++++…+<+k+2k·=+(k+1),即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)得,不等式对所有的n∈N*都成立.
变式 解:(1)∵f(1)=12=1,g(1)=21=2,∴f(1)
∵f(2)=23=8,g(2)=32=9,∴f(2)∵f(3)=34=81,g(3)=43=64,∴f(3)>g(3),>1.
∵f(4)=45=1024,g(4)=54=625,∴f(4)>g(4),>1.
(2)猜想:当n≥3,n∈N*时,有>1.
证明:①当n=3时,猜想显然成立.
②假设当n=k(k≥3,k∈N*)时,猜想成立,即=>1.
当n=k+1时,==·>.
∵(k+1)2=k2+2k+1>k(k+2)>0,
∴>1,则>1,即>1,
∴当n=k+1时,猜想成立.
由①②知,当n≥3,n∈N*时,有>1.
例4 解:(1)因为an==-,所以S1=-1,S2=-+-=-1,
S3=-+-+-=-1=1,S4=-+-+-+-=-1.
(2)猜想Sn=-1,n∈N*,下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,S1=-1=-1,猜想成立.
②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,则有Sk=-1,
则当n=k+1时,Sk+1=Sk+ak+1=-1+-=-1,所以当n=k+1时,猜想也成立.
由①②可知,对任何n∈N*,均有Sn=-1.
变式 解:(1)∵对于任意n∈N*,都有Sn=+成立,
∴S1=+,∴a1=S1=1.
∵S2=+,即a1+a2=2+,∴a2=2.∵S3=+,即a1+a2+a3=+,∴a3=3.
(2)猜想an=n(n∈N*).
证明:①当n=1时,a1=1,猜想显然成立;
②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=k,
则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=+--=+--,
∴ak+1=k+1,即当n=k+1时,猜想也成立.
由①②可知,an=n对一切n∈N*都成立.
例5 证明:(1)当n=1时,an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被a2+a+1整除.
(2)假设当n=k(k∈N*)时, an+1+(a+1)2n-1=ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,则当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1,其中ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,所以a[ak+1+(a+1)2k-1]能被a2+a+1整除,所以a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,即当n=k+1时,an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.由(1)(2)知,an+1+(a+1)2n-1(n∈N*)能被a2+a+1整除.
变式 解:f(1)=9×3+9=36,f(2)=11×9+9=108,所以f(1),f(2)的最大公约数为36,猜想:对任意的n∈N*,f(n)能被36整除.
①当n=1时,猜想显然成立;
②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,猜想成立,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,即存在t∈N*,使得f(k)=(2k+7)·3k+9=36t,
则当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+7]·3k+1+9=3(2k+7)·3k+2·3k+1+9=3(36t-9)+2·3k+1+9=108t+2·3k+1-18=108t+18(3k-1-1),
因为3k-1为奇数,所以3k-1-1为偶数,则18(3k-1-1)能被36整除,所以f(k+1)能被36整除,即当n=k+1时,猜想也成立.
由①②知,对任意的n∈N*,f(n)=(2n+7)·3n+9都能被36整除.故存在满足题意的m,且m的最大值为36.4.4* 数学归纳法
1.B [解析] 因为由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立,且当n=2时命题成立,所以该命题对于所有的正偶数都成立.
2.C [解析] f(n)中共有n2-(n-1)+1=n2-n+2(项),当n=2时,f(2)=1+++.故选C.
3.B [解析] 因为n为正偶数,所以还需要用归纳假设再证n=k+2时等式成立.故选B.
4.D [解析] 若当n=4时命题成立,则可以推得当n=5时该命题也成立,但当n=5时命题不成立,所以当n=4时命题不成立,故选D.
5.B [解析] 由题意可得,当n=k时,等式左边=1+2+3+…+3k,共3k项求和;当n=k+1时,等式左边=1+2+3+…+3(k+1),共3k+3项求和.所以由n=k到n=k+1时,等式左边应增加的项是(3k+1)+(3k+2)+(3k+3).故选B.
6.C [解析] 因为f(2k+1)=1+++…+,f(2k)=1+++…+,所以f(2k+1)-f(2k)=++…+,所以f(2k+1)比f(2k)多2k项.故选C.
7.A [解析] 假设n=k(k∈N*)时命题成立,即5k-2k能被3整除,则当n=k+1时,5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k能被3整除.
8.ABC [解析] 对于A,若f(3)≥9成立,则由题意只可得出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故A中说法错误;对于B,若f(5)≥25成立,则由题意只可得出当k≥5时,均有f(k)≥k2成立,故B中说法错误;对于C,因为f(7)<49不满足题设条件,所以不能得出相应结论,故C中说法错误;对于D,若f(4)=25≥16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立,故D中说法正确.故选ABC.
9.BD [解析] 由4an+1+2an-9=anan+1,得an+1=,所以由a1=1,得a2==,a3==,a4==,所以选项A错误.猜想an=(n∈N*),下面用数学归纳法证明:①当n=1时,a1=1,猜想成立.②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=,则当n=k+1时,有ak+1=====,即当n=k+1时猜想也成立.由①②可知,对任意n∈N*,an=,所以选项B正确.由题意知a2>a1,所以选项C错误.an===3-<3(n∈N*),所以选项D正确.故选BD.
10.2k-1 2k+1 [解析] 因为用数学归纳法证明当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除,所以第一步,当n=1时,x1+y1=x+y能被x+y整除;第二步,假设n=2k-1(k∈N*)时命题正确,再证明n=2k+1时,命题正确.
11.++…+>- [解析] 从不等式结构看,当n=k+1时,左边最后一项为,前面的分母的底数是连续的整数,右边的式子为-,即应推证的目标不等式为++…+>-.
12.没有用到归纳假设 [解析] 在②中,证明当n=k+1时等式成立的正确步骤为:当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=2k+1-1.
13.证明:①当n=1时,左边=,右边=,
左边>右边,所以结论成立.
②假设当n=k(k∈N*)时结论成立,即××…×>,则当n=k+1时,
××…××>×=,
要证明当n=k+1时结论成立,只需证≥,
即证≥,
由基本不等式得=>,故≥成立,
故≥成立,
所以当n=k+1时,结论成立.
由①②可知,当n∈N*时,不等式××…×>成立.
14.解:(1)因为数列{an}满足a1=1,an=2an-1+1(n∈N*,n≥2),所以当n=2时,可得a2=2a1+1=3;
当n=3时,可得a3=2a2+1=7;当n=4时,可得a4=2a3+1=15.
(2)方法一:由数列{an}满足an=2an-1+1(n∈N*,n≥2),可得an+1=2(an-1+1)(n∈N*,n≥2),又由a1=1,可得a1+1=2,所以数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an+1=(a1+1)·2n-1=2n,故an=2n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N*.
方法二:由(1)知a1=1=21-1,a2=3=22-1,a3=7=23-1,a4=15=24-1,猜想an=2n-1,n∈N*.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=1=21-1,猜想成立.
②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=2k-1,那么当n=k+1时,ak+1=2ak+1=2(2k-1)+1=2k+1-1,因此当n=k+1时猜想也成立.由①②可知,对任意n∈N*,均有an=2n-1.
(3)由(2)可知an=2n-1.由bn=+2bn-1(n∈N*,n≥2),可得bn+1=(bn-1+1)2(n∈N*,n≥2),则 b2+1=(b1+1)2=22,b3+1=(b2+1)2=,b4+1==,猜想bn+1=(n∈N*),即bn=-1(n∈N*).
下面用数学归纳法证明:①当n=1时,b1=-1=1,猜想成立.
②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即bk=-1,那么当n=k+1时,bk+1+1=(bk+1)2,即bk+1=()2-1=-1,因此当n=k+1时猜想也成立.
由①②可知,对任意n∈N*,bn=-1.又因为am=2m-1,所以对任意的正整数n,都存在正整数m=2n-1,使得am=bn.
15.,0, [解析] 易知f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8,所以解得下面用数学归纳法证明f(n)=n3+n+1,n∈N*.
①当n=1时,由f(1)=2可知等式成立.
②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即f(k)=k3+k+1,那么当n=k+1时,在k个平面的基础上再添加第k+1个平面,它和前k个平面都相交,所以可以得到k条互不平行的交线,且其中任何3条交线都不共点,这k条交线可以把第k+1个平面最多划分成个部分,每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域,因此,空间区域的总个数增加了k2+k+1,所以f(k+1)=f(k)+k2+k+1=k3+k+1+k2+k+1=(k+1)3+(k+1)+1,即当n=k+1时,等式也成立.由①②可知,f(n)=n3+n+1,n∈N*.所以a=,b=0,c=.
16.解:(1)当n=1时,a1=;当n=2时,a2=a1×1×=;
当n=3时,a3=a2×3×=.
(2)a1== ,a2== ,a3==,…,
故猜想 an= .
证明如下:①显然当n=1时,猜想成立.
②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak= ,
则当n=k+1 时, ak+1=ak==,
即当n=k+1时,猜想也成立.
由①②知,an= ,n∈N*,
故从A口输入100时,从B口得到的数为a100==.4.4* 数学归纳法
【学习目标】
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明与正整数n有关的一些简单命题.
◆ 知识点 数学归纳法
一般地,证明一个与 有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n= 时命题成立;
(2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当n= 时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题只能用数学归纳法证明. ( )
(2)数学归纳法证明的第一步中n的初始值n0只能是1. ( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可. ( )
◆ 探究点一 数学归纳法的原理
例1 (1)用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(0A.1 B.1+a
C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
(2)用数学归纳法证明不等式++…+>(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左边 ( )
A.增加了
B.增加了+
C.增加了+-
D.增加了-
[素养小结]
弄清楚等式或不等式两侧的项的变化规律,才能清楚增加了哪些项或增加了多少项以及减少了哪些项.
变式 利用数学归纳法证明不等式1+++…+A.1项 B.k项
C.2k-1项 D.2k项
◆ 探究点二 数学归纳法的应用
角度一 证明和n有关的等式
例2 用数学归纳法证明: ++…+=(n∈N*).
变式 用数学归纳法证明:1-+-+…+-=++…+(n∈N*).
[素养小结]
利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要准确表述n=n0时命题的形式,二是要准确把握由n=k到n=k+1时,命题结构的变化特点,即弄清从n=k到n=k+1时,等式两端增加了哪些项,减少了哪些项.并且一定要记住:在证明n=k+1成立时,必须使用归纳假设.
角度二 证明不等式问题
例3 用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*).
变式 设f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,n∈N*.
(1)当n=1,2,3,4时,试比较与1的大小;
(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明.
[素养小结]
在利用数学归纳法证明不等式的第二步中,必须用上归纳假设,但具体的证明过程可以灵活运用作差比较或放缩等方法.
角度三 证明数列问题
例4 [2024·北京房山区高二期末] 已知数列{an}的通项公式为an=,记该数列的前n项和为Sn.
(1)计算S1,S2,S3,S4的值;
(2)根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明.
变式 [2024·安徽亳州一中高二月考] 设Sn为数列{an}的前n项和,且对于任意n∈N*,都有Sn=+成立.
(1)求a1,a2,a3;
(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.
[素养小结]
用数学归纳法解决数列问题的两个步骤:
(1)归纳:通过写出数列中的若干项,归纳出数列的通项公式或前n项和公式;
(2)证明:利用数学归纳法证明归纳出的结论.
角度四 证明整除问题
例5 求证:an+1+(a+1)2n-1(n∈N*,a∈N*)能被a2+a+1整除.
变式 是否存在正整数m使得f(n)=(2n+7)·3n+9对任意正整数n都能被m整除 若存在,求出最大的m的值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
[素养小结]
利用数学归纳法证明整除问题,关键是熟练掌握数学归纳法的基本步骤,根据步骤对代数式变形处理.4.4* 数学归纳法
一、选择题
1.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立,则 ( )
A.该命题对于任意n>2都成立
B.该命题对于所有的正偶数都成立
C.该命题对于任意正整数都成立
D.以上答案都不对
2.已知f(n)=++++…+,则 ( )
A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+
B.f(n)中共有(n+1)项,当n=2时,f(2)=1+++
C.f(n)中共有(n2-n+2)项,当n=2时,f(2)=1+++
D.f(n)中共有(n2-n+1)项,当n=2时,f(2)=1+++
3.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…+-=2时,若假设n=k(k≥2,且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证 ( )
A.n=k+1时等式成立
B.n=k+2时等式成立
C.n=2k+2时等式成立
D.n=2(k+2)时等式成立
4.对于某个与正整数n有关的命题,当n=k(k∈N*)时命题成立,则可以推出当n=k+1时该命题也成立.现已知n=5时命题不成立,那么可以推得 ( )
A.当n=6时命题成立
B.当n=6时命题不成立
C.当n=4时命题成立
D.当n=4时命题不成立
5.[2024·北京丰台区高二期中] 用数学归纳法证明“对任意的n∈N*,1+2+3+…+3n=”,由n=k到n=k+1时,等式左边应增加的项为 ( )
A.3k+1
B.(3k+1)+(3k+2)+(3k+3)
C.3k+3
D.(k+1)+(k+2)+(3k)
6.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),证明不等式f(2n)>时,f(2k+1)比f(2k)多 ( )
A.2k-1项 B.2k+1项
C.2k项 D.以上都不对
7.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,当n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为 ( )
A.5(5k-2k)+3×2k
B.(5k-2k)+4×5k-2k
C.3(5k-2k)
D.2(5k-2k)-3×5k
8.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可以推出f(k+1)≥(k+1)2成立”,那么下列说法错误的是 ( )
A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立
9.(多选题)已知a1=1,且4an+1+2an-9=anan+1,则下列结论正确的是 ( )
A.a4= B.an=
C.an+1二、填空题
10.[2024·辽宁省实验中学高二期中] 用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是:假设n= (k∈N*)时命题正确,再证明n= 时命题正确.
11.用数学归纳法证明:++…+>-.假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是 .
12.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程如下:
①当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立;
②假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1,所以当n=k+1时,等式也成立.
由此可知,对任意n∈N*,等式都成立.
上述证明过程中错误的原因是 .
三、解答题
13.用数学归纳法证明不等式××…×>(n∈N*).
14.[2024·北京东城区高二期末] 已知数列{an}满足a1=1,an=2an-1+1(n∈N*,n≥2).
(1)求a2,a3,a4的值.
(2)求数列{an}的通项公式an.
(3)若数列{bn}满足b1=1,bn=+2bn-1(n∈N*,n≥2).对任意的正整数n,是否都存在正整数m,使得am=bn 请说明理由.
15.空间内n(n∈N*)个平面最多可将空间分成f(n)个部分,且f(n)=an3+bn2+cn+1,则a,b,c的值分别为 .
16.一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B,将数列{n}(n∈N*)中的各数依次输入A口,从B口得到输出的数列{an},结果表明:①从A口输入n=1 时,从B口得a1=;②当n≥2时,从A口输入n,从B口得到的结果an是将前一结果an-1(n≥2)先乘数列{n}中的第n-1个奇数,再除以数列{n}中的第n+1个奇数.试问:
(1)从A口输入2和3时,从B口分别得到什么数
(2)从A口输入100时,从B口得到什么数 并说明理由.(共62张PPT)
4.4 数学归纳法
探究点一 数学归纳法的原理
探究点二 数学归纳法的应用
【学习目标】
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明与正整数 有关的一些简单命题.
知识点 数学归纳法
一般地,证明一个与_________有关的命题,可按下列步骤进行:
（1）（归纳奠基）证明当 ____________时命题成立;
（2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件,推出“当
______时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数 都成立，这种
证明方法称为数学归纳法.
正整数
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）与正整数 有关的数学命题只能用数学归纳法证明.( )
×
[解析] 与正整数 有关的数学命题也可以用其他方法证明.
（2）数学归纳法证明的第一步中的初始值 只能是1.( )
×
[解析] 数学归纳法证明的第一步中的初始值 应根据命题的具体情况来确定,
不一定是1.如用数学归纳法证明凸边形的内角和为 时,应取其初
始值 .
（3）数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )
√
[解析] 第一步是基础,第二步利用假设进行推理是关键，两个步骤缺一不可.
探究点一 数学归纳法的原理
例1（1） 用数学归纳法证明 ,
, 是正整数，在验证 时，左边所得的项为( )
C
A.1 B. C. D.
[解析] 当时，，在验证 时，左边所得的项为
.故选C.
（2）用数学归纳法证明不等式 的过程
中，由递推到 时，不等式左边( )
C
A.增加了 B.增加了
C.增加了 D.增加了
[解析] 当时，可得，
当 时，可得，
故由递推到 时，不等式左边增加了 .故选C.
［素养小结］
弄清楚等式或不等式两侧的项的变化规律，才能清楚增加了哪些项或增加了多
少项以及减少了哪些项.
变式 利用数学归纳法证明不等式 的过
程中，由到 时，左边增加了( )
D
A.1项 B.项 C.项 D. 项
[解析] 增加的项为，共 项.
探究点二 数学归纳法的应用
角度一 证明和 有关的等式
例2 用数学归纳法证明: .
证明：①当时，左边，右边，左边 右边，所以等式
成立.
②假设当时等式成立，即有 ，
则当 时，
，所以当 时，等式也成立.
由①和②可知，对任意 ，等式都成立.
变式 用数学归纳法证明：
.
证明：①当时，左边，右边 ，所以等式成立.
②假设当 时等式成立，即
成立，
那么当 时，
，
所以当 时，等式也成立.
综上所述，对于任何 ，等式都成立.
［素养小结］
利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述 时命题
的形式，二是要准确把握由到 时，命题结构的变化特点，即弄清
从到 时,等式两端增加了哪些项,减少了哪些项.并且一定要记住：
在证明 成立时，必须使用归纳假设.
角度二 证明不等式问题
例3 用数学归纳法证明 .
证明:（1）当时，左边,右边，即当 时，不等
式成立.
（2）假设当时，不等式成立，即 ，
则当 时，
，即当时，不等式也成立.
由（1）（2）得，不等式对所有的 都成立.
变式 设，， .
（1）当,2,3,4时，试比较 与1的大小；
解:，，， .
，，， .
，，， .
，，， .
（2）根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.
解:猜想：当，时，有 .
证明：①当 时，猜想显然成立.
②假设当时，猜想成立，即 .
当时， .
，
，则，即 ，
当 时，猜想成立.
由①②知，当，时，有 .
［素养小结］
在利用数学归纳法证明不等式的第二步中，必须用上归纳假设，但具体的证明
过程可以灵活运用作差比较或放缩等方法.
角度三 证明数列问题
例4 [2024·北京房山区高二期末] 已知数列的通项公式为 ，
记该数列的前项和为 .
（1）计算，，， 的值；
解:因为，所以 ，
，
，
.
（2）根据计算结果，猜想 的表达式，并用数学归纳法证明.
解:猜想, ，下面用数学归纳法证明：
①当时， ，猜想成立.
②假设当时，猜想成立，则有 ，
则当 时，
，所以当
时，猜想也成立.
由①②可知，对任何，均有 .
变式 [2024·安徽亳州一中高二月考] 设为数列的前 项和，且对于任意
，都有 成立.
（1）求，， ；
解： 对于任意，都有 成立，
， .
，即，
，即， .
（2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明.
解：猜想 .
证明：①当时， ，猜想显然成立；
②假设当时，猜想成立，即 ，
则当 时，
，
，即当 时，猜想也成立.
由①②可知，对一切 都成立.
［素养小结］
用数学归纳法解决数列问题的两个步骤:
（1）归纳:通过写出数列中的若干项,归纳出数列的通项公式或前 项和公式;
（2）证明:利用数学归纳法证明归纳出的结论.
角度四 证明整除问题
例5 求证：能被 整除.
证明：（1）当时，,能被 整除.
（2）假设当时， 能被
整除，则当 时，
，其中
能被整除，所以 能被
整除，所以 能被
整除，即当时，能被 整除.
由知，能被 整除.
变式 是否存在正整数使得对任意正整数都能被
整除？若存在，求出最大的 的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
解:，，所以， 的最大公
约数为36，猜想：对任意的， 能被36整除.
①当 时，猜想显然成立；
②假设当时，猜想成立，即 能被36
整除，即存在，使得 ，
则当 时，
，
因为为奇数，所以为偶数，则 能被36整除，所以
能被36整除，即当 时，猜想也成立.
由①②知，对任意的， 都能被36整除.
故存在满足题意的，且 的最大值为36.
［素养小结］
利用数学归纳法证明整除问题，关键是熟练掌握数学归纳法的基本步骤，根据
步骤对代数式变形处理.
1.多米诺骨牌
多米诺骨牌是一种木制、骨制或用塑料制成的长方体骨牌，起源于中国北宋时
期，由意大利传教士等带往欧洲.玩时将骨牌按一定间距排列，轻轻碰倒第一枚
骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下.
多米诺是一种游戏，多米诺是一种运动，多米诺还是一种文化.多米诺游戏的关
键步骤是码放，骨牌准确摆放不仅是对自己负责，更是对别人负责，对全局负
责，只要有一张牌摆放的不到位就可能产生“不倒牌”而影响全局.
2.归纳推理：归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理.完全归纳推理考查
了某类事物的全部对象，结论一定正确；不完全归纳推理则仅仅考查了某类事
物的部分对象，结论不一定正确.
3.数学归纳法
（1）数学归纳法是一种由特殊事例导出一般原理的思维方法.归纳推理分为完
全归纳推理与不完全归纳推理两种.不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对
象具有的共同性质,推断该类事物全体都具有的性质,这种推理方法在数学推理论
证中是不允许的;完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论.
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学
题中有着广泛的应用.它是-个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在
（或）时成立,这是递推的基础,第二步是假设在 时命题成立,再证
明 时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,它判断命题的正确性
能否由特殊推广到一般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限.这两个
步骤密切相关,缺一不可,完成了这两步,就可以断定“对任何自然数（或 且
）结论都正确”.由这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于
完全归纳.
（2）数学归纳法的适用范围：数学归纳法是与正整数关系很深的一类证明方法,
通常用于证明某个命题函数对于所有正整数 为真.数学归纳法仅能用于证
明某个猜想或推测是否为真,而无法用于发现新的理论.
（3）数学归纳法中的归纳奠基和归纳递推缺一不可,归纳奠基是递推的基础,归
纳递推是递推的依据,二者是一个整体,不能割裂开来，就像多米诺骨牌游戏,第
一块不倒,后面的牌肯定不倒,中间的任意一块不倒,游戏也不能继续,游戏是环环
相扣的.
除了用归纳递推外,还要注意第一步中起始值的确定,最后要归纳结论,所以一定
要牢记“两个步骤一个结论”.
（4）用数学归纳法证明时有一个技巧,即当 时,代入假设后再写出结论,
然后往中间“凑”.但中间的计算过程必须有,不能省略也不能含糊不清.这一步是数
学归纳法的精华所在,是阅卷老师关注的重要环节.
1.没有给出猜想信息,先创造条件得出结论,再证明.
例1 已知数列满足,其前项和为,,猜想数列 的
通项公式，并用数学归纳法证明.
解:,.由,得.由 及
,得.同理可求得,由此猜想 .
用数学归纳法证明如下:
（1）当时,由 ,可知猜想成立.
（2）假设当时,猜想成立,即 ，
则当 时,
,
整理得,则,故当 时,猜想也成立.
由（1）（2）知,对一切, 都成立.
2.赋值、猜想、证明.
例2 已知是定义在上的不恒为零的函数,且对任意的, 都满足
若,,求证: .
证明:当时,;
当 时, ;
当 时, 猜想
.
用数学归纳法证明如下:
（1）当时, ,猜想成立.
（2）假设当时猜想成立,即 ，
则当 时,
,
故当 时,猜想也成立.
由（1）（2）知,对任意,都成立，故 .
因为,所以 .
3.求值、猜想、证明.
例3 设数列的前项和为，且 .
（1）计算，，，，并猜想 ；
解：当时，， ；
当时，， ；
当时，， ；
当时， ，.
猜想 .
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
证明：①当时， ，猜想成立.
②假设当时猜想成立，即 ,
则当时， ，
，
，即当 时，猜想也成立.
由①②可知，对任意， 均成立.
练习册
一、选择题
1.一个与正整数有关的命题,当时命题成立,且由 时命题成立可以推
出 时命题也成立,则( )
B
A.该命题对于任意 都成立 B.该命题对于所有的正偶数都成立
C.该命题对于任意正整数都成立 D.以上答案都不对
[解析] 因为由时命题成立可以推出时命题也成立,且当 时命
题成立,所以该命题对于所有的正偶数都成立.
2.已知 ，则( )
C
A.中共有项，当时，
B.中共有项，当时，
C.中共有项，当时，
D.中共有项，当时，
[解析] 中共有（项），当 时，
.故选C.
3.已知 为正偶数，用数学归纳法证明
时，若假设 （，且 为偶数）时命题为真，
则还需要用归纳假设再证( )
B
A.时等式成立 B. 时等式成立
C.时等式成立 D. 时等式成立
[解析] 因为为正偶数，所以还需要用归纳假设再证 时等式成立.故选B.
4.对于某个与正整数有关的命题，当 时命题成立，则可以推出
当时该命题也成立.现已知 时命题不成立，那么可以推得( )
D
A.当时命题成立 B.当 时命题不成立
C.当时命题成立 D.当 时命题不成立
[解析] 若当时命题成立，则可以推得当时该命题也成立，但当
时命题不成立，所以当 时命题不成立，故选D.
5.[2024·北京丰台区高二期中]用数学归纳法证明“对任意的 ，
”，由到 时，等式左边应增加的项
为( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可得，当时，等式左边，共 项求和；
当时，等式左边，共 项求和.
所以由到时,等式左边应增加的项是 .
故选B.
6.已知，证明不等式时， 比
多( )
C
A.项 B.项 C. 项 D.以上都不对
[解析] 因为， ，所以
，所以比多 项.故选C.
7.用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，当 时，为了使
用假设，应将 变形为( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 假设时命题成立，即能被3整除，则当
时， 能被3整除.
8.（多选题）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当
成立时，总可以推出 成立”，那么下列说法错误的是
( )
ABC
A.若成立，则当时，均有 成立
B.若成立，则当时，均有 成立
C.若成立，则当时，均有 成立
D.若成立，则当时，均有 成立
[解析] 对于A，若成立，则由题意只可得出当时，均有
成立，故A中说法错误；
对于B，若成立，则由题意只可得出当 时，均有成立，
故B中说法错误；
对于C，因为 不满足题设条件，所以不能得出相应结论，
故C中说法错误；
对于D，若 成立，则当时，均有成立，
故D中说法正确.故选 .
9.（多选题）已知，且 ，则下列结论正确的是
( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 由，得，所以由 ，得
,, ，所以选项A错误.
猜想，下面用数学归纳法证明：
①当时， ，猜想成立.
②假设当时，猜想成立，即，则当 时，有
，即当 时
猜想也成立.
由①②可知，对任意, ,所以选项B正确.
由题意知，所以选项C错误.
，所以选项D正确.故选 .
二、填空题
10.[2024·辽宁省实验中学高二期中] 用数学归纳法证明“当 为正奇数时，
能被整除”的第二步是：假设_______ 时命题正确，再
证明 _______时命题正确.
[解析] 因为用数学归纳法证明当为正奇数时，能被 整除，所以第
一步，当时，能被 整除；第二步，假设
时命题正确，再证明 时，命题正确．
11.用数学归纳法证明：.假设 时，
不等式成立，则当 时，应推证的目标不等式是
___________________________.
[解析] 从不等式结构看，当时，左边最后一项为 ，前面的分
母的底数是连续的整数，右边的式子为 ，即应推证的目标不等式为
.
12.用数学归纳法证明 的过程如下:
①当时,左边,右边 ,等式成立;
②假设当时,等式成立,即 ,则当
时,,所以当
时,等式也成立.
由此可知,对任意 ,等式都成立.
上述证明过程中错误的原因是__________________.
没有用到归纳假设
[解析] 在②中,证明当时等式成立的正确步骤为：当 时,
.
三、解答题
13.用数学归纳法证明不等式 .
证明:①当时，左边，右边 ，
左边 右边，所以结论成立．
②假设当时结论成立，即 ，则当
时，
，
要证明当时结论成立，只需证 ，
即证 ，
由基本不等式得 ，故
成立，
故 成立，
所以当 时，结论成立．
由①②可知，当时，不等式 成立．
14.[2024·北京东城区高二期末] 已知数列满足 ，
.
（1）求，， 的值.
解:因为数列满足，，所以当 时，
可得 ；
当时，可得；
当时，可得 .
（2）求数列的通项公式 .
解:方法一：由数列满足 ，可得
，又由，可得 ，所以数列
是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ，
故，即数列的通项公式为, .
方法二：由（1）知，， ，
，猜想, .
下面用数学归纳法证明：
①当时， ，猜想成立.
②假设当时，猜想成立，即,那么当 时，
,因此当 时猜想也成立.
由①②可知，对任意，均有 .
（3）若数列满足， .对任意的正整
数，是否都存在正整数，使得 ？请说明理由.
解:由（2）可知.
由 ，可得，
则 ，， ，
猜想，即 .
下面用数学归纳法证明：①当时， ，猜想成立.
②假设当时，猜想成立，即，那么当 时，
，即，因此当 时猜
想也成立.
由①②可知，对任意，.
又因为 ，所以对任意的正整数，都存在正整数，
使得 .
15.空间内个平面最多可将空间分成 个部分，且
，则，， 的值分别为________.
，0，
[解析] 易知，，，所以 解得
下面用数学归纳法证明， .
①当时，由 可知等式成立.
②假设当时等式成立，即，那么当
时，在个平面的基础上再添加第个平面，它和前 个平面都相交，所以可
以得到条互不平行的交线，且其中任何3条交线都不共点，这 条交线可以把第
个平面最多划分成 个部分，每个部分把它所在的原有空间
区域划分成两个区域，因此，空间区域的总个数增加了 ，所以
，即当 时，等式也成立.
由①②可知，，.
所以，， .
16.一个计算装置有一个入口和一输出运算结果的出口，将数列
中的各数依次输入口，从口得到输出的数列，结果表明：①从 口输入
时，从口得；②当时，从口输入,从口得到的结果 是将
前一结果先乘数列中的第个奇数，再除以数列 中的第
个奇数.试问：
（1）从口输入2和3时，从 口分别得到什么数？
解：当时，；当时， ；
当时， .
（2）从口输入100时，从 口得到什么数？并说明理由.
解： ， ，, ，
故猜想 .
证明如下：①显然当 时，猜想成立.
②假设当时，猜想成立，即 ，
则当时， ，
即当 时，猜想也成立.
由①②知， ， ，
故从口输入100时，从口得到的数为 .