微突破(一) 求数列的通项公式常用方法
例1 (1)an=6n+5 (2)an=3n-1 (3)an= [解析]
(1)∵数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,∴a1=S1=3+8=11,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2+8n)-[3(n-1)2+8(n-1)]=6n+5,当n=1时上式也成立,∴an=6n+5.
(2)根据题意,当n=1时,可得3a1-2a1=1,所以a1=1.由3an-2Sn=1,得当n≥2时,3an-1-2Sn-1=1, 所以3an-3an-1-2(Sn-Sn-1)=0(n≥2),即an=3an-1(n≥2),所以数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,故an=3n-1.
(3)当n=1时,a1=,∵a1+2a2+…+2n-1an=,∴当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=,两式相减可得,2n-1an=,∴an=,当n=1时,a1=适合上式,∴an=.
例2 (1)B (2)an=n2+2n-2 [解析] (1)由已知得an+1-an=-,则a1=1,a2-a1=1-,a3-a2=-,a4-a3=-,…,an-an-1=-(n≥2),以上各式相加得an=1+1-+-+…+-=2-,所以an=(n≥2).因为a1=1也适合上式,所以an=.
(2)由题可知,数列{an+1-an-2n}是首项为3,公差为2的等差数列,∴an+1-an-2n=3+(n-1)×2=2n+1,即an+1-an=2n+2n+1,∴a2-a1=21+3,a3-a2=22+5,…,an-an-1=2n-1+(2n-1)(n≥2),以上式子累加得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=[1+3+5+…+(2n-1)]+(21+22+…+2n-1)=n2+2n-2(n≥2),又当n=1时,a1=1=12+21-2,满足上式,∴an=n2+2n-2.
例3 (1)B (2) [解析] (1)因为数列是常数列,所以Sn+nan=Sn+1+(n+1)an+1,又an+1=Sn+1-Sn,所以nan=(n+2)an+1,即=,所以当n≥2时,an=···…···a1=×××…×××1=,当n=1时,a1=1=,满足上式,所以an=.故选B.
(2)由(n+2)-(n+1)+anan+1=0,得(n+2)·+=n+1,可得=,则=,=,…,=(n≥2),以上式子累乘得=××…×=(n≥2),又a1=1,所以an=(n≥2),又a1=1=,满足上式,所以an=.
例4 (1)an=2×3n-1-1 (2) [解析] (1)由an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1),又a1+1=2,∴数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列,∴an+1=2×3n-1,∴an=2×3n-1-1.
(2)由an-an+1=3anan+1(n∈N*)两边同时除以anan+1,得-=3,即bn+1-bn=3,所以{bn}是公差为3的等差数列.因为b1+b2+…+b9=90,所以=90,即=90,所以b5=10,所以b1=-2,bn=3n-5,所以an=.微突破(一) 求数列的通项公式常用方法
1.B [解析] ∵Sn=n2,∴当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,而当n=1时也满足上式,∴an=2n-1.故选B.
2.D [解析] ∵an+1-an=3n,∴a2-a1=3,a3-a2=6,…,a6-a5=15,上述等式累加可得a6-a1=3+6+9+12+15=45,∴a6=1+45=46.故选D.
3.D [解析] 因为=(n≥2),所以=,=,…,=,上述各式相乘得=.因为a1=1,所以an=(n≥2),经检验,a1=1满足an=,所以an=.故选D.
4.B [解析] ∵an+1=,∴==+n,∴-=1,-=2,…,-=9,以上各式相加可得,-=1+2+3+…+9=45,∵a1=1,∴=45+1=46,∴a10=.故选B.
5.C [解析] 由题意易知an≠0,由(n+2)an+1=2nan变形为=,故=(n≥2),所以an=···…···a1=×××…××a1(n≥2),因为a1=1,所以an=(n≥2),又a1=1满足上式,故==-,所以Sn=1-+-+-+…+-=1-=.故选C.
6.C [解析] 由an=Sn+2,得an+1=Sn+1+2,故an+1-an=(Sn+1-Sn),即an+1=4an,又当n=1时,a1=a1+2,得a1=8,所以数列{an}是首项为8,公比为4的等比数列,则an=8×4n-1=22n+1,所以bn=log2an=2n+1,所以b1012=2×1012+1=2025,故选C.
7.C [解析] ∵an+1=an+,∴2n+1an+1=2nan+2,即2n+1an+1-2nan=2.又21a1=2,∴数列{2nan}是以2为首项,2为公差的等差数列,∴2nan=2+(n-1)×2=2n,∴an=.故选C.
8.ABD [解析] ∵an+an+1=3n,∴an+1+an+2=3(n+1),两式相减得an+2-an=3,又a1=2,a1+a2=3×1=3,∴a2=1,故数列{an}的奇数项构成首项为2,公差为3的等差数列,偶数项构成首项为1,公差为3的等差数列,∴a2n-1=2+3(n-1)=3n-1,a2n=1+3(n-1)=3n-2,故a2024=3×1012-2=3034,a2-a1=-1≠1,S2n=[2+5+8+…+(3n-1)]+[1+4+7+…+(3n-2)]=+=3n2,故选ABD.
9.AD [解析] 因为a1=1,an+1=,所以==+3,所以+3=2,又因为+3=4,所以数列是以4为首项,2为公比的等比数列,故A正确;由A中分析知,+3=4×2n-1=2n+1,所以an=,故B错误;an+1-an=-==,因为n≥1,所以2n+2-3>0,2n+1-3>0,2n+1>0,所以an+1-an<0,所以{an}为递减数列,故C错误;=2n+1-3,则Tn=(22+23+24+…+2n+1)-3n=-3n=2n+2-3n-4,故D正确.故选AD.
10.an= [解析] ∵数列{an}的前n项和Sn=-n2+,∴当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+-=-n+,∵a1=1不满足上式,∴数列{an}的通项公式为an=
11.3×2n-1-1 [解析] 因为Sn=an+1-1,a1=2,所以Sn=Sn+1-Sn-1,
整理得Sn+1+1=2(Sn+1),又S1+1=3≠0,
所以数列{Sn+1}是首项为3,公比为2的等比数列,
可得Sn+1=3×2n-1,所以Sn=3×2n-1-1.
12.210 [解析] 由+-=0,得=0,∵an>0,∴=,得=,由累乘法得an=··…··a1=n(n+1)(n≥2),∴a20=210,
13. [解析] 由=2an(n≥2)得a1+2a2+…+nan=2(1+2+…+n)an=n(n+1)an,当n≥3时,a1+2a2+…+(n-1)an-1=n(n-1)an-1,两式相减得,nan=n(n+1)an-n(n-1)an-1,∴nan=(n-1)an-1(n≥3),又=2a2,即a1=4a2,而a1=1,∴a2=,∴n≥2时,nan=2a2=,即an=,∴a2024=.
14.解:(1)依题意有4a1=4S1=3a1+1,得a1=1,
又4(a1+a2)=4S2=5a2+1,所以a2=3.
(2)因为4Sn=(2n+1)an+1,所以当n≥2时,4Sn-1=(2n-1)an-1+1,
两式相减得4an=(2n+1)an-(2n-1)an-1,化简得=(n≥2),
所以an=··…··a1=××…××1=2n-1(n≥2),
又a1=1满足上式,所以an=2n-1.
15.解:(1)①证明:根据题意,数列{an}满足an+1=2an+3×2n,可得=+,即-=,故数列是以=1为首项,为公差的等差数列.
②因为数列是以=1为首项,为公差的等差数列,所以=1+(n-1)=(3n-1),所以an=(3n-1)·2n-1.
(2)由数列{bn}满足bn+1=bn+2n+1,可得bn+1-bn=2n+1,所以bn-bn-1=2(n-1)+1=2n-1(n≥2),
当n≥2时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=(2n-1)+(2n-3)+…+3+1==n2,又因为b1=1,适合上式,所以数列{bn}的通项公式为bn=n2.
16.解:(1)∵a1=2,b1=1,
∴b2===,a2==.
∵bn+1=,∴an+1==,
∴an+1-bn+1=-=(an-bn),
∴{an-bn}是以a1-b1=1为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)可知an-bn=,∴an=bn+.
∵bn+1==,∴bn+1-bn=×,
∴当n≥2时,bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=1+×=1+×=-×,
当n=1时,b1=1也适合上式,
∴数列{bn}的通项公式为bn=-×,
数列{an}的通项公式为an=bn+=+×.微突破(一) 求数列的通项公式常用方法
◆ 方法一 由数列的前n项和求通项公式
已知Sn=f(an)或Sn=f(n)求an的解题步骤:
第一步,利用Sn满足的条件,写出当n≥2时,Sn-1的表达式;
第二步,利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求出an或者转化为an的递推公式的形式;
第三步,若求出了n≥2时{an}的通项公式,再根据a1=S1求出a1,并代入n≥2时{an}的通项公式进行验证,若成立,则合并,若不成立,则写成分段形式.
例1 (1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,则数列{an}的通项公式为 .
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足3an-2Sn=1(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 .
(3)已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n-1an=(n∈N*),则{an}的通项公式为 .
◆ 方法二 累加法
求形如an+1=an+f(n)的通项公式,可将原递推公式转化为an+1-an=f(n),再利用累加法(逐差相加法)求解,即由a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)(n≥2),累加可得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)(n≥2).
例2 (1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+-,则an= ( )
A. B.
C. D.
(2)已知数列{an}满足a1=1,a2=6,数列{an+1-an-2n}是公差为2的等差数列,则数列{an}的通项公式为 .
◆ 方法三 累乘法
求形如an+1=f(n)an的通项公式,可将原递推公式转化为=f(n),再利用累乘法(逐商相乘法)求解,即由=f(1),=f(2),…,=f(n-1)(n≥2),累乘可得=f(1)·f(2)·…·f(n-1)(n≥2).
例3 (1)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,是常数列,则an= ( )
A. B.
C. D.
(2)已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1,(n+2)-(n+1)+anan+1=0,则它的通项公式为an= .
◆ 方法四 构造法
(1)对于形如an+1=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)的数列可利用待定系数法构造等比数列求通项.
(2)对于形如an-an+1=kanan+1(n∈N*)(k为常数)或形如an+1=(n∈N*)(k≠0且k为常数)的数列,常通过等式两边同除以anan+1或取倒数的方法构造等差数列求解.
例4 (1)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,则数列{an}的通项公式为 .
(2)已知数列{an}满足an-an+1=3anan+1(n∈N*),数列{bn}满足bn=,且b1+b2+…+b9=90,则an= . 微突破(一) 求数列的通项公式常用方法
一、选择题
1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则{an}的通项公式为 ( )
A.an=2n B.an=2n-1
C.an=3n-2 D.an=
2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+3n,则a6= ( )
A.30 B.31
C.45 D.46
3.已知数列{an}满足a1=1,=(n≥2),则an= ( )
A.n-1 B.
C.n D.
4.已知数列{an}满足a1=1,且an+1=,则a10= ( )
A. B. C. D.
5.[2024·福州高二期末] 已知数列{an}中,a1=1,且(n+2)an+1=2nan对任意正整数n恒成立,则数列的前n项和Sn= ( )
A. B.
C. D.
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有an=Sn+2,若bn=log2an,则b1012= ( )
A.2023 B.2024
C.2025 D.2026
7.已知数列{an}的首项为1,且满足an+1=an+,则数列{an}的通项公式为an= ( )
A.2n B.n(n+1)
C. D.
8.(多选题)若数列{an}满足a1=2,an+an+1=3n,设{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是( )
A.a2024=3034 B.a2n-1=3n-1
C.an+1-an=1 D.S2n=3n2
9.(多选题)[2024·江苏无锡高二期中] 已知数列{an}满足a1=1,an+1=,则( )
A.为等比数列
B.{an}的通项公式为an=
C.{an}为递增数列
D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4
二、填空题
10.已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+,则数列{an}的通项公式为 .
11.[2024·福建宁德高二期末] 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=an+1-1,a1=2,则Sn= .
12.[2024·河北沧州高二期末] 已知数列{an}的各项均为正数,且首项为1,+=,则a20= .
13.设数列{an}中a1=1,且满足=2an(n≥2),则a2024= .
三、解答题
14.已知数列{an}的前n项和为Sn,4Sn=(2n+1)an+1.
(1)求a1,a2;
(2)求数列{an}的通项公式.
15.(1)已知数列{an}满足an+1=2an+3×2n,a1=2.
①证明:数列是等差数列;
②求数列{an}的通项公式.
(2)已知数列{bn}满足bn+1=bn+2n+1,b1=1,求数列{bn}的通项公式.
16.已知数列{an},{bn}满足bn+1=,an+1=,且a1=2,b1=1.
(1)求a2,b2的值,并证明数列{an-bn}是等比数列;
(2)求数列{an},{bn}的通项公式.(共41张PPT)
微突破（一） 求数列的通项公式常
用方法
方法一 由数列的前项和求通项公式
方法二 累加法
方法三 累乘法
方法四 构造法
方法一 由数列的前 项和求通项公式
已知或求 的解题步骤：
第一步，利用满足的条件，写出当时， 的表达式；
第二步，利用，求出或者转化为 的递推公式的形式；
第三步，若求出了时的通项公式，再根据求出 ，并代入
时 的通项公式进行验证，若成立，则合并，若不成立，则写成分段形式.
例1（1） 已知数列的前项和,则数列 的通项公式为
____________.
[解析] 数列的前项和,,
当 时,,
当 时上式也成立，
.
（2）已知数列的前项和为,且满足,则数列
的通项公式为__________.
[解析] 根据题意,当时,可得,所以.
由 ,得当时,,
所以 ,即,
所以数列是首项为1,公比为3的等比数列,故 .
（3）已知数列满足，则 的通项公
式为________.
[解析] 当时，，
， 当 时，，
两式相减可得，， ，
当时，适合上式， .
方法二 累加法
求形如的通项公式，可将原递推公式转化为 ，
再利用累加法（逐差相加法）求解，即由,, ,
,累加可得
.
例2（1） 在数列中，，，则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由已知得，则， ，
，， ， ，以上各式
相加得，所以 .
因为也适合上式，所以 .
（2）已知数列满足,,数列 是公差为2的等差
数列,则数列 的通项公式为________________.
[解析] 由题可知,数列 是首项为3,公差为2的等差数列,
,即 ,
,, , ,
以上式子累加得
,
又当 时,,满足上式, .
方法三 累乘法
求形如的通项公式,可将原递推公式转化为 ，再利用累
乘法（逐商相乘法）求解，即由，， ，
，累乘可得 .
例3（1） 设数列的前项和为，且,是常数列，则
( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为数列是常数列，所以 ，又
，所以，即，
所以当 时，
，
当时，,满足上式，所以 .故选B.
（2）已知各项均为正数的数列满足 ，
，则它的通项公式为 ____.
[解析] 由 ，得
,可得，则,, ,
,
以上式子累乘得,又 ,
所以,
又，满足上式，所以 .
方法四 构造法
（1）对于形如其中,为常数,且 的数列可利用
待定系数法构造等比数列求通项.
（2）对于形如为常数 或形如
且为常数的数列，常通过等式两边同除以
或取倒数的方法构造等差数列求解.
例4（1） 已知数列满足，，则数列 的通项公
式为_________________.
[解析] 由，得，又， 数列
是首项为2，公比为3的等比数列， ，
.
（2）已知数列满足，数列满足 ，
且，则 _____.
[解析] 由两边同时除以，得 ，
即，所以是公差为3的等差数列.
因为 ，所以，即，
所以，所以, ，所以 .
1.累加法求通项公式
例1 [2024·重庆一中高二期中] 已知数列满足， ，且当
，时，有 .
（1）求 ；
解：因为当，时，有，所以数列 为等差数列，
设公差为 ，
由题意可得解得所以 ,
.
（2）若数列中,，求 .
解：由（1）可得, ，
当 时，
，即,，
又也满足上式，所以, .
2.构造法：利用与 的关系求数列的通项公式
例2 已知为数列的前项和，，.证明 是等
比数列，并求数列 的通项公式.
解：依题意，由两边同时加上 ，可得
，
因为，所以数列是以 为首项，3为公比的等
比数列，
所以，故 .
当时，，当时， 也满足
上式，
所以数列的通项公式为 .
3.奇偶项分别成等差的数列求通项
例3 已知数列满足，且，求数列 的
通项公式.
解： ，
，
得 ，
数列 的奇数项和偶数项分别成等差数列且公差为2.
， ， ，
，
即当为奇数时， ，，
即当为偶数时， .
综上所述， .
练习册
一、选择题
1.已知数列的前项和，则 的通项公式为( )
B
A. B.
C. D.
[解析] ， 当时，，
当 时，，
而当 时也满足上式，
.故选B.
2.已知数列满足，，则 ( )
D
A.30 B.31 C.45 D.46
[解析] ，，， ， ，上
述等式累加可得， .故选D.
3.已知数列满足,，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以,, ， ，上述各式相
乘得.
因为，所以，经检验，满足 ，
所以 .故选D.
4.已知数列满足，且，则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] ，，， ，
，，以上各式相加可得， ，
，， .故选B.
5.[2024·福州高二期末]已知数列中，，且 对任意
正整数恒成立，则数列的前项和 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意易知，由变形为 ，故
，所以
，因为 ，所以，
又满足上式，故 ，所以
.故选C.
6.已知数列的前项和为，且对任意正整数都有 ，若
，则 ( )
C
A.2023 B.2024 C.2025 D.2026
[解析] 由，得，故 ，
即，
又当时，，得，所以数列 是首项为8，公比为4
的等比数列，则 ，
所以，所以 ，故选C.
7.已知数列的首项为1，且满足，则数列 的通项公式为
( )
C
A. B. C. D.
[解析] ，，即 .
又， 数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，
， .故选C.
8.（多选题）若数列满足，，设的前项和为 ，
则下列说法正确的是( )
ABD
A. B. C. D.
[解析] ， ，两式相减得
，又,,，故数列 的奇数项
构成首项为2，公差为3的等差数列，偶数项构成首项为1，公差为3的等差数列，
， ，故
，， ，故选
.
9.（多选题）[2024·江苏无锡高二期中] 已知数列满足 ，
，则( )
AD
A.为等比数列 B.的通项公式为
C.为递增数列 D.的前项和
[解析] 因为,，所以 ，所以
，又因为，所以数列 是以4为首项，2为
公比的等比数列，故A正确；
由A中分析知， ，所以 ，故B错误；
，因为 ，
所以,,，所以，所以 为递减
数列，故C错误；
，则
，故D正确.故选 .
二、填空题
10.已知数列的前项和为，则数列 的通项公式为
_ ____________________.
[解析] 数列的前项和， 当时， ，当
时，,
不满足上式， 数列的通项公式为
11.[2024·福建宁德高二期末] 已知数列的前项和为，满足,
，则 ____________.
[解析] 因为,，所以 ，
整理得，
又 ，
所以数列 是首项为3，公比为2的等比数列，
可得，所以 .
12.[2024·河北沧州高二期末] 已知数列 的各项均为正数，且首项为1，
，则 _____.
210
[解析] 由，得， ，
，得 ，
由累乘法得， ．
13.设数列中，且满足，则
_____.
[解析] 由 得
，当 时，
，
两式相减得，， ，
又，即，而，，
时， ，即， ．
三、解答题
14.已知数列的前项和为， .
（1）求， ；
解：依题意有，得 ，
又，所以 .
（2）求数列 的通项公式.
解：因为，所以当时， ，
两式相减得，化简得 ，
所以 ，
又满足上式，所以 ．
15.（1）已知数列满足， .
①证明：数列 是等差数列；
证明：根据题意，数列满足，可得 ，
即，故数列是以为首项， 为公差的等差数列.
②求数列 的通项公式.
解：因为数列是以为首项， 为公差的等差数列，所以
，所以 .
（2）已知数列满足，，求数列 的通项公式.
解： 由数列满足，可得 ，所以
，
当 时，
，
又因为，适合上式，所以数列 的通项公式为 .
16.已知数列，满足，，且 ，
.
（1）求，的值，并证明数列 是等比数列；
解：, ，
， .
， ，
，
是以为首项， 为公比的等比数列.
（2）求数列， 的通项公式.
解：由（1）可知， .
， ，
当时， ，
当时， 也适合上式，
数列的通项公式为 ，
数列的通项公式为 .
