滚动习题(一) [范围4.1~4.2]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.[2024·云南昭通高二期末] 已知数列1,,2,2,4,…,根据该数列的规律,8是该数列的 ( )
A.第7项 B.第8项
C.第9项 D.第10项
2.[2024·金华东阳中学高二月考] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=5,a4+a8=26,则S7= ( )
A.45 B.49
C.56 D.63
3.[2024·南京五校高二期中] 已知数列{an},{bn}均为等差数列,a2+b2=7,a8+b10=11,则a5+b6= ( )
A.9 B.18 C.16 D.27
4.[2024·东莞实验中学高二月考] 如图所示,已知某梯子共有5级,从上往下数,第1级的宽度为35厘米,第5级的宽度为43厘米,且各级的宽度从小到大构成等差数列,则第3级的宽度是( )
A.39厘米
B.40厘米
C.41厘米
D.42厘米
5.[2024·邯郸二中高二月考] 在数列{an}中,a1=4,an+1=an+3,若an=2023,则n等于 ( )
A.671 B.673
C.674 D.675
6.数列{an}的通项公式为an=n2+kn,那么“k≥-1”是“{an}为递增数列”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.观察下列数的规律:2,4,4,8,8,8,16,16,16,16,32,32,32,32,32,64,….则第100个数为 ( )
A.213 B.214 C.215 D.216
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
8.若等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,记bn=,则 ( )
A.数列{bn}是公差为d的等差数列
B.数列{bn}是公差为2d的等差数列
C.数列是公差为d的等差数列
D.数列是公差为d的等差数列
9.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7=S13,且(n+1)Sn>nSn+1(n∈N*),则下列说法中正确的是 ( )
A.a10
B.S10为Sn的最大值
C.存在正整数k,使得Sk=0
D.不存在正整数m,使得Sm=S3m
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.设{an}是递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是 .
11.[2024·宣城中学高二月考] 数列{an}满足an+1=,且a1=,则数列{an}的前2024项的和S2024= .
12.[2024·西北工业大学附中高二期中] 如图所示,曲线y=上的点Pi(i=1,2,…,n,…)与x轴正半轴上的点Qi(i=1,2,…,n,…)及原点O构成一系列正三角形PiQi-1Qi(设Q0为O),记an=|QnQn-1|,则数列{an}的通项公式为an= .
四、解答题(本大题共3小题,共38分)
13.(10分)[2024·安徽阜阳三中高二月考] 已知数列{an}是等差数列,且a2=-25,2a3+a5=-50.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值及取得最小值时n的值.
14.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn,数列为等差数列,且S5=35,S10=120.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:S2m-Sm是Sm和S3m-S2m(m∈N*)的等差中项.
15.(15分)[2024·福建漳州高二期中] 已知{an}为等差数列,bn=记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Tn.滚动习题(一)
1.A [解析] 该数列的规律是后一项是前一项的倍,故该数列为1,,2,2,4,4,8,…,所以8是该数列的第7项,故选A.
2.D [解析] 由题知,a4+a8=2a6=26,解得a6=13,故S7====63.故选D.
3.A [解析] 因为a2+b2=7,a8+b10=11,所以a2+b2+a8+b10=2a5+2b6=7+11=18,所以a5+b6=9,故选A.
4.A [解析] 设等差数列为{an},其公差为d,由题意可得a1=35,a5=43,则35+4d=43,解得d=2,∴a3=a1+2d=35+2×2=39.故选A.
5.C [解析] 由an+1=an+3,得an+1-an=3,则{an}是以a1=4为首项,d=3为公差的等差数列,故an=4+3(n-1)=3n+1.由an=3n+1=2023,解得n=674.故选C.
6.A [解析] 当k≥-1时,an+1-an=(n+1)2+k(n+1)-n2-kn=2n+1+k≥2n>0,∴数列{an}为递增数列,充分性成立;当数列{an}为递增数列时,an+1-an=(n+1)2+k(n+1)-n2-kn=2n+1+k>0,∴k>-(2n+1)恒成立,又[-(2n+1)]max=-(2×1+1)=-3,∴k>-3,必要性不成立.∴“k≥-1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件.故选A.
7.B [解析] 将数的规律按照如下形式写为:
第一行的数为21,第二行的数为22,第三行的数为23,第四行的数为24,…,第n行的数为2n.每一行的数的个数分别为1,2,3,4,5,…,则前n行的数的个数为.令≤100,即n(n+1)≤200,当n=13时,13×14<200,当n=14时,14×15>200,所以第100个数在第14行,即第100个数为214.故选B.
8.AC [解析] 由已知可得bn===.对于A,B选项,bn+1-bn=-==,所以数列{bn}是公差为d的等差数列,A正确,B错误;对于C选项,(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d+=,所以数列是公差为d的等差数列,C正确;对于D选项,(an+1-bn+1)-(an-bn)=(an+1-an)-(bn+1-bn)=d-=,所以数列是公差为d的等差数列,D错误.故选AC.
9.BC [解析] 对于A,因为(n+1)Sn>nSn+1(n∈N*),所以11S10>10S11,即11×>10×,所以a10>a11,故A错误;对于B,设等差数列{an}的公差为d,由S7=S13,得S13-S7=a8+a9+a10+a11+a12+a13=3(a10+a11)=0,所以a10+a11=0,又a10>a11,所以d=a11-a10<0,且a10>0,a11<0,故S10为Sn的最大值,故B正确;对于C,a1+a20=a10+a11=0,故S20==0,故C正确;对于D,假设存在正整数m,使得Sm=S3m,则ma1+·d=3ma1+·d,整理得2a1=(-4m+1)d,又由a10+a11=0,得a1+9d+a1+10d=0,即2a1=-19d,所以-19d=(-4m+1)d,解得m=5,故D错误.故选BC.
10.2 [解析] 设等差数列{an}的公差为d.∵a1+a2+a3=3a2=12,∴a2=4,又a1a2a3=48,∴(a2-d)a2(a2+d)=48,解得d2=4.∵数列{an}是递增的等差数列,∴d>0,∴d=2,∴a1=a2-d=2.
11. [解析] an+1=,且a1=.令n=1,可得a2==-;令n=2,可得a3==-2;令n=3,可得a4==3;令n=4,可得a5==.可知数列{an}是以4为周期的数列,又a1+a2+a3+a4=--2+3=,且2024=4×506,所以S2024=506×=.
12. [解析] 由题可得△P1OQ1为正三角形,且边长为a1,∴P1,∵点P1在曲线上,∴将点P1的坐标代入y=,整理得=a1,又a1>0,∴a1=.设数列{an}的前n项和为Sn,根据题意得点Pn+1,将点Pn+1的坐标代入y=,整理得Sn=-an+1.当n≥2,n∈N*时,an=Sn-Sn-1=-,整理得(an+1+an)=(an+1+an)·(an+1-an),∵an+1>an>0,∴an+1-an=;当n=1时,a1=S1=-a2,可得a2=,满足a2-a1=.∴数列{an}是首项为,公差为的等差数列,∴an=+(n-1)=.
13.解:(1)设{an}的公差为d,则解得所以an=a1+(n-1)d=5n-35.
(2)Sn==-,所以当n=6或n=7时,Sn取得最小值,最小值为-105.
14.解:(1)设等差数列的公差为d,则d===1,所以=+(n-5)×1=n+2,即Sn=n2+2n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1,又a1=S1=3满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=2n+1.
(2)证明:由(1)知Sn=n2+2n,则Sm+S3m-S2m=m2+2m+(3m)2+2×3m-(2m)2-2×2m=2(3m2+2m),又S2m-Sm=4m2+4m-(m2+2m)=3m2+2m,所以Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm),所以S2m-Sm是Sm和S3m-S2m(m∈N*)的等差中项.
15.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,因为bn=所以b1=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,b3=a3-6=a1+2d-6,于是解得所以{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n+3.
(2)方法一:由(1)知,Sn==n2+4n,bn=
当n为偶数时,bn-1+bn=2(n-1)-3+4n+6=6n+1,Tn=·=n2+n;
当n为奇数时,Tn=Tn+1-bn+1=(n+1)2+(n+1)-[4(n+1)+6]=n2+n-5.
故Tn=
方法二:由(1)知,Sn==n2+4n,bn=
当n为偶数时,
Tn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+bn)=·+·=n2+n;
当n为奇数时,若n≥3,则Tn=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4+…+bn-1)=·+·=n2+n-5,
显然T1=b1=-1满足上式,因此Tn=n2+n-5.
故Tn=(共23张PPT)
滚动习题（一）
一、单项选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
1.[2024·云南昭通高二期末]已知数列1,,2,,4, ，根据该数列的规律，8
是该数列的 ( )
A
A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项
[解析] 该数列的规律是后一项是前一项的倍，故该数列为1,,2,,4, ,
8, ，所以8是该数列的第7项，故选A.
2.[2024·金华东阳中学高二月考]已知等差数列的前项和为，若 ，
，则 ( )
D
A.45 B.49 C.56 D.63
[解析] 由题知，，解得 ，故
.故选D.
3.[2024·南京五校高二期中]已知数列,均为等差数列， ,
,则 ( )
A
A.9 B.18 C.16 D.27
[解析] 因为, ,所以
,所以 ,故选A.
4.[2024·东莞实验中学高二月考]如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，
第1级的宽度为35厘米，第5级的宽度为43厘米，且各级的宽度从小到大构成等
差数列，则第3级的宽度是( )
A
A.39厘米 B.40厘米 C.41厘米 D.42厘米
[解析] 设等差数列为，其公差为，由题意可得, ，则
，解得， ．故选A.
5.[2024·邯郸二中高二月考]在数列中，， ，若
，则 等于( )
C
A.671 B.673 C.674 D.675
[解析] 由，得，则是以为首项， 为
公差的等差数列，故.
由 ，解得 ．故选C.
6.数列的通项公式为，那么“”是“ 为递增数列”的
( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当 时，
， 数列为递增数列，充分性成立；
当数列 为递增数列时，
，恒成立，又， ，
必要性不成立.
“”是“ 为递增数列”的充分不必要条件.故选A.
7.观察下列数的规律：2，4，4，8，8，8，16，16，16，16，32，32，32，32，
32，64， .则第100个数为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 将数的规律按照如下形式写为：
第一行的数为，第二行的数为，第三行的数为，第四行的数为， ，
第行的数为.
每一行的数的个数分别为1,2,3,4,5, ，则前 行的数的个数为.
令，即，当时， ，当
时，，所以第100个数在第14行，即第100个数为 .故选B.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
8.若等差数列的公差为，前项和为，记 ，则( )
AC
A.数列是公差为 的等差数列
B.数列是公差为 的等差数列
C.数列是公差为 的等差数列
D.数列是公差为 的等差数列
[解析] 由已知可得 .
对于A，B选项，，
所以数列是公差为 的等差数列，A正确，B错误；
对于C选项， ，
所以数列是公差为 的等差数列，C正确；
对于D选项， ，
所以数列是公差为的等差数列，D错误.故选 .
9.设是等差数列的前项和，若，且 ，
则下列说法中正确的是( )
BC
A. B.为 的最大值
C.存在正整数，使得 D.不存在正整数，使得
[解析] 对于A，因为，所以 ，即
，所以 ，故A错误；
对于B，设等差数列的公差为，由 ，得
，所以，又,所以
，且， ，故为的最大值，故B正确；
对于C， ，故，故C正确；
对于D，假设存在正整数，使得 ，则
，整理得 ，又由，得，
即 ，所以，解得，故D错误.故选 .
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
10.设 是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项
是___.
2
[解析] 设等差数列的公差为， ，
又，，解得
数列 是递增的等差数列，，， .
11.[2024·宣城中学高二月考] 数列满足，且，则数列
的前2024项的和 _____.
[解析] ，且.
令，可得；令 ，可得；
令，可得；令，可得 .
可知数列是以4为周期的数列，
又 ，且，
所以 ．
12.[2024·西北工业大学附中高二期中] 如图所示，曲线 上的点
与轴正半轴上的点及原点 构成一系列
正三角形（设为），记，则数列 的通项公式为
___.
[解析] 由题可得为正三角形，且边长为，， 点
在曲线上， 将点的坐标代入，整理得，又 ，
.
设数列的前项和为，根据题意得点 ，
将点的坐标代入，整理得.
当， 时， ,整理得
， ，；
当时，，可得 ，满足.
数列是首项为，公差为 的等差数列， .
四、解答题（本大题共3小题，共38分）
13.（10分）[2024·安徽阜阳三中高二月考] 已知数列 是等差数列，且
， .
（1）求 的通项公式；
解:设的公差为，则解得 所以
.
（2）若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时 的值.
解:，所以当或时， 取得最小
值，最小值为 .
14.（13分）已知数列的前项和为，数列为等差数列，且 ,
.
（1）求数列 的通项公式；
解:设等差数列的公差为，则 ，所以
，即.
当 时，
，
又 满足上式，所以数列的通项公式为 .
（2）证明：是和 的等差中项.
证明：由（1）知 ，则
，又 ，所以
，所以是和 的等
差中项.
15.（15分）[2024·福建漳州高二期中] 已知 为等差数列，
记，分别为数列，的前项和， ，
.
（1）求 的通项公式；
解:设等差数列的公差为,因为所以 ,
, ，
于是解得所以 的通项公式为
.
（2）求 .
解:方法一：由（1）知，，
当为偶数时， ，
；
当 为奇数时，
.
故
方法二：由（1）知，，
当 为偶数时，
；
当为奇数时，若 ，则
，显然满足上式，因此 .
故