5．共点力的平衡
[学习目标]
1．知道什么是共点力及共点力作用下物体平衡状态的概念。
2．掌握共点力平衡的条件。
3．会用共点力平衡的条件，分析生活和生产中的实际问题。
共点力平衡的条件
【链接教材】 下列如教材图中所示的受力情境，哪些图表示共点力？共点力的作用点一定作用在同一位置吗？
【知识梳理】
1．共点力
几个力如果都作用在物体的__________，或者它们的作用线__________，这几个力叫作共点力。如图所示。
2．平衡状态：物体保持__________或__________状态。
3．二力平衡条件：作用在同一物体上的两个力，如果__________、方向相反，并且在同一条直线上，那么这两个力平衡。
4．在共点力作用下物体平衡的条件是__________。
【思考讨论】 一灯泡吊在天花板下，现用另一细绳将灯泡拉到如图位置，灯泡静止。
问题1 此时灯泡受几个力？
问题2 试根据二力平衡条件，推导说明：若一个物体受三个力作用而处于平衡状态，则其中一个力与另外两个力的合力满足怎样的关系？
【知识归纳】
1．共点力平衡的条件：合力等于0，即F合＝0。
正交分解表示法
其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。
2．平衡条件的推论
(1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。
(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向。
(3)多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外(n－1)个力的合力等大、反向。
【典例1】 (对平衡状态的理解)(多选)下列运动项目中的运动员处于平衡状态的是( )
A．体操运动员双手握住单杠吊在空中不动时
B．蹦床运动员在空中上升到最高点时
C．举重运动员在举起杠铃后不动的那段时间内
D．游泳运动员仰卧在水面静止不动时
[听课记录]
【典例2】 (人教版P79T1改编)(对平衡条件的理解)物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示，其中F1大小为 10 N，方向水平向右，求：
(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的合力的大小和方向；
(2)若将F1转过90°，物体所受的合力大小。
[听课记录]
解决共点力平衡问题的常用方法
【思考讨论】 在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大，偏角越大。通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力。
问题1 有风时金属球受哪几个力的作用？
问题2 如何计算风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间的关系(试画出受力分析图)
【知识归纳】
1．合成法
物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将其中的任意两个力合成，其合力一定与第三个力平衡，从而把三力平衡问题转化为二力平衡问题。
2．分解法
物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将其中任意一个力沿其他两个力的反方向分解，则每个方向上的一对力大小相等，方向相反，从而把三力平衡问题转化为两个方向上的二力平衡问题。
3．正交分解法
(1)物体在三个或三个以上的共点力作用下处于平衡状态时，将物体所受的各个力均向两个互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列平衡方程。
(2)平衡方程
＝F1x＋F2x＋F3x＋…＋Fnx＝0，
＝F1y＋F2y＋F3y＋…＋Fny＝0。
【典例3】 (合成法的应用)用绳子将鸟笼挂在一根横梁上，如图所示。若鸟笼重19.6 N，求绳子OA和OB对结点O的拉力(结果保留1位小数)。
[听课记录]
【典例4】 [链接教材P77例题1](分解法的应用)如图所示，建筑装修中，工人用质量为m的磨石对与竖直方向成θ角的斜壁进行打磨，当对磨石施加竖直向上大小为F的推力时，磨石恰好沿斜壁向上匀速运动。已知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则磨石受到的摩擦力大小为( )
A．(F－mg)sin θ B．μ(F－mg)sin θ
C．μ(F－mg)cos θ D．μ(F－mg)
[听课记录]
【典例5】 (正交分解法的应用)如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。重力加速度为g，下列关系式正确的是( )
A．F＝ B．F＝mg tan θ
C．FN＝ D．FN＝mg tan θ
“四步”巧解共点力平衡问题
“活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型
1．活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，由于滑轮或挂钩对绳无约束，因此绳上的张力处处相等，即滑轮只改变力的方向不改变力的大小，如图所示。
2．死结：若结点不是滑轮，是固定点时，称为“ 死结” ，则两侧绳上的弹力不一定相等，如图所示。
3．活杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆处于平衡时杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若 C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
4．死杆：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示。
【典例6】 (“活结”与“死结”模型)(2024·浙江1月选考)如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为 50 g，细线c、d平行且与水平方向成θ＝30°角(不计摩擦)，重力加速度g＝10 m/s2，则细线a、b的拉力分别为( )
A．2 N，1 N B．2 N，0.5 N
C．1 N，1 N D．1 N，0.5 N
【典例7】 (“活杆”与“死杆”模型)如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向的夹角为30°，在轻杆的G点用细绳GF悬挂一质量为M2的物体(都处于静止状态)，重力加速度为g。求：
(1)细绳AC段的张力大小FTAC与细绳EG的张力大小FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
[听课记录]
1．(多选)下列关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是( )
A．如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态
B．如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
C．如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零
D．如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
2．如图所示，轻质网兜兜住重力为 G的足球，用轻绳挂于光滑竖直墙壁上的 A点，轻绳的拉力为FT，墙壁对足球的支持力为FN，则( )
A．FTC．FT>G D．FT＝G
3．如图所示，圆心为О、半径为R的圆环竖直放置并固定在水平面上，其左侧紧贴圆环固定一根竖直杆，圆环上方有一小定滑轮P，P位于О点的正上方，OP之间的距离为2R。质量为m的小球A穿在竖直杆上，小球B穿在圆环上，一轻绳跨过定滑轮P将A、B连接，轻绳的长度为3R。当A、B处于静止状态时，A、P之间的轻绳与竖直方向的夹角为53°，不计一切摩擦，重力加速度大小为g，求：
(1)轻绳拉力F的大小；
(2)小球B的质量M(结果可用分式表示)。
回归本节知识，完成以下问题：
1．什么是物体的平衡状态？共点力作用下物体处于平衡状态的条件是什么？
2．解决平衡问题的常用方法有哪些？
9/95．共点力的平衡
[学习目标]
1．知道什么是共点力及共点力作用下物体平衡状态的概念。
2．掌握共点力平衡的条件。
3．会用共点力平衡的条件，分析生活和生产中的实际问题。
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1 什么是共点力？共点力平衡的条件是什么？
问题2 处于平衡状态的物体一定静止吗？
共点力平衡的条件
【链接教材】 下列如教材图中所示的受力情境，哪些图表示共点力？共点力的作用点一定作用在同一位置吗？
提示：甲和丁是共点力；共点力的作用点不一定作用在同一位置，但其作用线一定交于一点。
【知识梳理】
1．共点力
几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。如图所示。
2．平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动状态。
3．二力平衡条件：作用在同一物体上的两个力，如果大小相等、方向相反，并且在同一条直线上，那么这两个力平衡。
4．在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。
【思考讨论】 一灯泡吊在天花板下，现用另一细绳将灯泡拉到如图位置，灯泡静止。
问题1 此时灯泡受几个力？
提示：受重力和两根细绳的拉力共三个力的作用。
问题2 试根据二力平衡条件，推导说明：若一个物体受三个力作用而处于平衡状态，则其中一个力与另外两个力的合力满足怎样的关系？
提示：如图所示，灯泡受三个力的作用，将F1和F2合成，可以发现F1和F2的合力F合与重力G满足二力平衡，所以三个力平衡，则其中一个力与另外两个力的合力必定大小相等、方向相反。
【知识归纳】
1．共点力平衡的条件：合力等于0，即F合＝0。
正交分解表示法
其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。
2．平衡条件的推论
(1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。
(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向。
(3)多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外(n－1)个力的合力等大、反向。
【典例1】 (对平衡状态的理解)(多选)下列运动项目中的运动员处于平衡状态的是( )
A．体操运动员双手握住单杠吊在空中不动时
B．蹦床运动员在空中上升到最高点时
C．举重运动员在举起杠铃后不动的那段时间内
D．游泳运动员仰卧在水面静止不动时
ACD [物体处于平衡状态的条件是F合＝0，物体处于静止或匀速直线运动状态，故A、C、D正确；B项中蹦床运动员上升到最高点时，v＝0，F合≠0，不会静止在最高点，故不是处于平衡状态，B错误。]
【典例2】 (人教版P79T1改编)(对平衡条件的理解)物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示，其中F1大小为 10 N，方向水平向右，求：
(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的合力的大小和方向；
(2)若将F1转过90°，物体所受的合力大小。
[解析] (1)五个共点力平衡时合力为零，则其余四个力的合力与F1等大、反向，故其余四个力的合力大小为10 N，方向水平向左。
(2)若将F1转过90°得到F1′，则F1′与其余四个力的合力F垂直，F合＝＝ N＝10 N。
[答案] (1)10 N 方向水平向左 (2)10 N
解决共点力平衡问题的常用方法
【思考讨论】 在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大，偏角越大。通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力。
问题1 有风时金属球受哪几个力的作用？
提示：有风时，金属球受到三个力的作用：重力、水平方向的风力和金属丝的拉力。
问题2 如何计算风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间的关系(试画出受力分析图)
提示：可以用合成法、分解法、正交分解法(如图所示)。
【知识归纳】
1．合成法
物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将其中的任意两个力合成，其合力一定与第三个力平衡，从而把三力平衡问题转化为二力平衡问题。
2．分解法
物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将其中任意一个力沿其他两个力的反方向分解，则每个方向上的一对力大小相等，方向相反，从而把三力平衡问题转化为两个方向上的二力平衡问题。
3．正交分解法
(1)物体在三个或三个以上的共点力作用下处于平衡状态时，将物体所受的各个力均向两个互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列平衡方程。
(2)平衡方程
＝F1x＋F2x＋F3x＋…＋Fnx＝0，
＝F1y＋F2y＋F3y＋…＋Fny＝0。
【典例3】 (合成法的应用)用绳子将鸟笼挂在一根横梁上，如图所示。若鸟笼重19.6 N，求绳子OA和OB对结点O的拉力(结果保留1位小数)。
[解析] 以结点O为研究对象，根据共点力平衡的条件，受力分析如图所示。
F＝T，且T＝G
由三角函数关系得
F1＝F cos 30°＝19.6× N≈17.0 N
F2＝F sin 30°＝19.6×0.5 N＝9.8 N
所以，绳子OA对结点O的拉力大小是17.0 N，方向沿绳由O指向A；OB对结点O的拉力大小是 9.8 N，方向沿绳由O指向B。
[答案] 见解析
【典例4】 [链接教材P77例题1](分解法的应用)如图所示，建筑装修中，工人用质量为m的磨石对与竖直方向成θ角的斜壁进行打磨，当对磨石施加竖直向上大小为F的推力时，磨石恰好沿斜壁向上匀速运动。已知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则磨石受到的摩擦力大小为( )
A．(F－mg)sin θ B．μ(F－mg)sin θ
C．μ(F－mg)cos θ D．μ(F－mg)
B [对磨石进行受力分析，如图所示，由平衡条件，沿斜壁方向有 (F－mg)·cos θ＝Ff；垂直于斜壁方向有FN＝(F－mg)·sin θ，故摩擦力Ff＝μFN＝μ(F－mg)sin θ，选项B正确，A、C、D错误。
]
【教材原题P77例题1】 某幼儿园要在空地上做一个滑梯(图甲)，根据空地的大小，滑梯的水平跨度确定为6 m。设计时，滑板和儿童裤料之间的动摩擦因数取0.4，为使儿童在滑梯游戏时能在滑板上滑下，滑梯至少要多高？
分析 将滑梯抽象为一个斜面的模型(图乙)，以正在匀速滑下的小孩为研究对象。
小孩受到三个力的作用：重力G、斜面的支持力FN和滑动摩擦力Ff。
当这三个力的合力为0时，小孩能在滑板上获得一定速度后匀速滑下，则斜面的高度即为所要求的滑梯的高度。
解 在图乙中，沿平行和垂直于斜面的两个方向建立直角坐标系。把重力G沿两个坐标轴的方向分解为Gx和Gy，这样的分解称为正交分解。
设斜面倾角为θ，由于Gy垂直于AB、G垂直于AC，故Gy和G的夹角也等于θ。用l、b和h分别表示AB、AC和BC的长度。
根据共点力平衡的条件和直角三角形中三角函数关系可知：
在x轴方向上Gx－Ff＝0
Ff＝Gx＝G sin θ＝G (1)
在y轴方向上Gy－FN＝0
FN＝Gy＝G cos θ＝G (2)
由于Ff＝μFN (3)
把(1)(2)式代入(3)式有G＝μG
可求得h＝μb＝0.4×6 m＝2.4 m
滑梯至少要2.4 m高，儿童才能从滑梯上滑下。
【典例5】 (正交分解法的应用)如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。重力加速度为g，下列关系式正确的是( )
A．F＝ B．F＝mg tan θ
C．FN＝ D．FN＝mg tan θ
A [对滑块进行受力分析，如图所示，将FN沿水平方向和竖直方向进行正交分解，根据平衡条件列方程，水平方向有FNcos θ＝F，竖直方向有FNsin θ＝mg，联立解得FN＝，F＝，故A正确，B、C、D错误。
]
“四步”巧解共点力平衡问题
“活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型
1．活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，由于滑轮或挂钩对绳无约束，因此绳上的张力处处相等，即滑轮只改变力的方向不改变力的大小，如图所示。
2．死结：若结点不是滑轮，是固定点时，称为“ 死结” ，则两侧绳上的弹力不一定相等，如图所示。
3．活杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆处于平衡时杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若 C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
4．死杆：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示。
【典例6】 (“活结”与“死结”模型)(2024·浙江1月选考)如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为 50 g，细线c、d平行且与水平方向成θ＝30°角(不计摩擦)，重力加速度g＝10 m/s2，则细线a、b的拉力分别为( )
A．2 N，1 N B．2 N，0.5 N
C．1 N，1 N D．1 N，0.5 N
D [由题意可知细线c对A的拉力和细线d对B的拉力大小相等、方向相反，对A、B整体分析可知细线a的拉力大小为Ta＝(mA＋mB)g＝1 N，设细线b与水平方向夹角为α，分别对A、B分析有 Tb sin α＋Tc sin θ＝mAg，Tb cos α＝Td cos θ，解得Tb＝0.5 N，故选D。]
【典例7】 (“活杆”与“死杆”模型)如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向的夹角为30°，在轻杆的G点用细绳GF悬挂一质量为M2的物体(都处于静止状态)，重力加速度为g。求：
(1)细绳AC段的张力大小FTAC与细绳EG的张力大小FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
[解析] 分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图1和图2所示。
(1)图1中细绳AD跨过轻质光滑定滑轮悬挂质量为M1的物体，物体处于平衡状态，则FTAC＝FTCD＝M1g
图2中有FTEGsin 30°＝M2g，得FTEG＝2M2g
所以＝。
(2)图1中，由几何关系知FTAC、FNC、FTCD三个力之间的夹角都为120°，则FNC＝FTAC＝M1g，FNC的方向与水平方向成30°，指向右上方。
(3)图2中，有FTEGsin 30°＝M2g，FTEGcos 30°＝FNG，所以FNG＝＝M2g，方向水平向右。
[答案] (1) (2)M1g，方向与水平方向成30°指向右上方 (3)M2g，方向水平向右
【教用·备选例题】 (多选)如图所示，重物A被绕过小滑轮P的细线所悬挂，B物体放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P被一根斜拉短线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着B物体，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于平衡静止状态，g取10 m/s2。若悬挂小滑轮的斜线OP的张力大小是20 N，则下列说法正确的是( )
A．弹簧的弹力大小为10 N
B．重物A的质量为2 kg
C．桌面对B物体的摩擦力大小为10 N
D．OP与竖直方向的夹角为60°
AB [O′点是三根线的结点，属于“死结”，而小滑轮重力不计且与细线间的摩擦力可忽略，故P处为“活结”。由mAg＝FO′a，FOP＝2FO′acos 30°，可解得FO′a＝20 N，mA＝2 kg，选项B正确；OP的方向沿角平分线方向，故OP与竖直方向的夹角为30°，选项D错误；对O′受力分析，由平衡条件可得F弹＝FO′asin 30°，FO′b＝FO′acos 30°，对物体B有FfB＝FO′b，联立解得F弹＝10 N，FfB＝10 N，选项A正确，C错误。]
1．(多选)下列关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是( )
A．如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态
B．如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
C．如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零
D．如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
CD [物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，A错误；物体运动速度大小不变、方向变化时，物体不做匀速直线运动，不处于平衡状态，B错误；物体处于平衡状态时，合力为零，物体沿任意方向的合力都必为零，C正确；物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时，合力为零，则任意两个力的合力与第三个力等大反向，D正确。]
2．如图所示，轻质网兜兜住重力为 G的足球，用轻绳挂于光滑竖直墙壁上的 A点，轻绳的拉力为FT，墙壁对足球的支持力为FN，则( )
A．FTC．FT>G D．FT＝G
C [对网兜和足球受力分析，设轻绳与竖直墙面夹角为 θ，由平衡条件得FT＝＝，FN＝G tan θ，可知FT>G，FT>FN，故选项C正确。 ]
3．如图所示，圆心为О、半径为R的圆环竖直放置并固定在水平面上，其左侧紧贴圆环固定一根竖直杆，圆环上方有一小定滑轮P，P位于О点的正上方，OP之间的距离为2R。质量为m的小球A穿在竖直杆上，小球B穿在圆环上，一轻绳跨过定滑轮P将A、B连接，轻绳的长度为3R。当A、B处于静止状态时，A、P之间的轻绳与竖直方向的夹角为53°，不计一切摩擦，重力加速度大小为g，求：
(1)轻绳拉力F的大小；
(2)小球B的质量M(结果可用分式表示)。
[解析] (1)对A进行受力分析，A受到重力、竖直杆施加的弹力和轻绳的拉力，由平衡条件有
F cos 53°＝mg
可得F＝mg。
(2)由几何关系，可得LAP＝＝R，LPB＝3R－LAP＝R
对B进行受力分析，B受重力、支持力和拉力作用，由相似三角形有
＝
可得M＝m。
[答案] (1)mg (2)m
回归本节知识，完成以下问题：
1．什么是物体的平衡状态？共点力作用下物体处于平衡状态的条件是什么？
提示：物体保持静止或匀速直线运动状态；物体所受合力为0，即F合＝0。
2．解决平衡问题的常用方法有哪些？
提示：合成法、分解法、正交分解法、矢量三角形法。
课时分层作业(十三)
?题组一 共点力平衡的条件
1．一个物体受到三个共点力的作用，如果三个力的大小为如下各组情况，那么有可能使物体处于平衡状态的是( )
A．1 N 4 N 7 N B．2 N 6 N 9 N
C．2 N 5 N 8 N D．6 N 8 N 6 N
D [因为两个力的合力大小范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，若F3在此范围内，就可能与F平衡，故D正确。]
2．如图所示，水平面上一物体在与水平面成θ角斜向右上方的拉力F作用下处于静止状态。以Ff、FN分别表示物体受到的水平面对其的摩擦力、支持力，G表示物体受到的重力，则下列判断正确的是( )
A．F和G的合力的方向可能水平向右
B．F和Ff的合力方向竖直向上
C．FN可能为零
D．F和Ff的合力可能大于G
B [由水平方向受力平衡可知，物体一定受到水平向左的静摩擦力Ff的作用，故FN一定不为零，选项C错误；物体受四个力的作用处于平衡状态，则F和G的合力的方向与FN、Ff的合力方向相反，一定是斜向右下方，选项A错误；由于FN、G的合力方向竖直向下，故F和Ff的合力与FN、G的合力方向相反，一定竖直向上，且一定小于G，选项B正确，D错误。]
?题组二 解决共点力平衡问题的常用方法
3．在杭州亚运会攀岩项目男子团体速度接力决赛中，中国队获得冠军。一质量为80 kg(包含装备)的攀岩爱好者，在攀岩过程中的某一时刻处于平衡状态，如图所示，此时攀岩爱好者腿部与竖直岩壁的夹角为37°，手臂与竖直方向的夹角θ＝53°。忽略两腿及两臂间的夹角，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，sin 37°＝0.6，则岩壁对手臂的力F1、岩壁对脚的力F2大小分别为( )
A．F1＝480 N，F2＝640 N
B．F1＝640 N，F2＝480 N
C．F1＝400 N，F2＝520 N
D．F1＝520 N，F2＝400 N
A [以攀岩爱好者和装备整体为研究对象，受重力Mg、岩壁对手臂的力F1和岩壁对脚的力F2，如图所示，根据平衡条件得F1＝Mg cos 53°＝480 N，F2＝Mg cos 37°＝640 N，故选A。
]
4．用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示。两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则( )
A．F1＝mg，F2＝mg
B．F1＝mg，F2＝mg
C．F1＝mg，F2＝mg
D．F1＝mg，F2＝mg
D [将圆筒的重力垂直于斜面Ⅰ、Ⅱ进行分解，如图所示，由几何关系可知，F1＝＝mg cos 30°＝mg，F2＝F′2＝mg cos 60°＝mg，D正确。
]
5．(多选)如图所示，质量为m的物体受到推力F作用，沿水平方向做匀速直线运动。已知推力F与水平面的夹角为θ，物体与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则物体所受的摩擦力大小为( )
A．F sin θ B．F cos θ
C．μF D．μ(mg＋F sin θ)
BD [物体做匀速直线运动，处于平衡状态，物体受力如图所示，由平衡条件可知，在水平方向上有Ff＝F cos θ，故A错误，B正确；在竖直方向上有FN＝mg＋F sin θ，则Ff＝μFN＝μ(mg＋F sin θ)，故C错误，D正确。
]
?题组三 “活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型
6．如图所示，轻绳MN的两端固定在水平天花板上，质量为m1＝2 kg的物体系在轻绳MN的某处，悬挂有质量为m2的物体的光滑轻滑轮跨在轻绳MN上。系统静止时的几何关系如图。则m2为( )
A．1 kg B．1.5 kg
C．2 kg D．3 kg
C [设系在M点的绳弹力大小为F1，系在N点的绳弹力大小为F2，对m1，由平衡条件得F1sin 60°＝F2sin 30°＋m1g，F1cos 60°＝F2sin 60°，则F1＝m1g，F2＝m1g，对整体有F1sin 60°＋F2sin 30°＝(m1＋m2)g，解得m2＝2 kg，C正确。]
7．如图所示，在水平天花板的A点处固定一根轻杆a，杆与天花板保持垂直。杆的下端有一个轻滑轮O。一根细线上端固定在该天花板的B点处，细线跨过滑轮O，下端系一个重力为G的物体，BO段细线与天花板的夹角为θ＝30°。系统保持静止，不计一切摩擦。下列说法正确的是( )
A．细线BO对天花板的拉力大小是3G
B．a杆对滑轮的作用力大小是1.8G
C．a杆和细线对滑轮的作用力的合力大小是2G
D．a杆对滑轮的作用力大小是G
D [细线上的拉力处处相等，因此细线BO对天花板的拉力大小是G，故A错误；两段细线上拉力大小均为G，合力为2G cos 60°＝G，大小等于a杆对滑轮的作用力大小，故B错误，D正确；a杆和细线对滑轮的作用力的合力大小是0，故C错误。]
8．如图所示为三种形式的吊车的示意图，OA为杆，均可绕O点转动，重力不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA受力分别为F1、F2、F3，则它们的大小关系是( )
A．F1>F2>F3 B．F1>F3＝F2
C．F1＝F2>F3 D．F1＝F2＝F3
C [分别对三种形式的结点进行受力分析，各图中FT＝G，在图(a)中，F1＝2G cos 30°＝G，在图(b)中，F2＝G tan 60°＝G，在图(c)中，F3＝G cos 30°＝G，可知F1＝F2>F3，故C正确，A、B、D错误。
]
9．(2024·河北卷)如图所示，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30 °，挡板与斜面夹角为60 °。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为( )
A． N B．1.0 N
C． N D．2.0 N
A [对球体进行受力分析，球体受重力mg、弹簧测力计的拉力T、挡板对其的支持力N1、斜面对其的支持力N2，如图所示。
则有N1cos 60°＝N2cos 60°，N1sin 60°＋N2sin 60°＋T＝mg，可得N1＝N2＝ N，A正确。]
10．某压榨机的结构示意图如图所示，其中B为固定铰链，若在A铰链处作用一垂直于墙壁的力F，则由于力F的作用，滑块C压紧物体D。设C与D光滑接触，杆的重力及滑块C的重力不计。图中a＝0.6 m，b＝0.1 m，则物体D所受压力的大小与力F的比值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
A [设力F与AC方向间的夹角为θ，将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，作出力的分解图如图甲所示，则有2F2cos θ＝F，解得F2＝，再将F2按作用效果分解成N和N′，作出力的分解图如图乙所示，则有N＝F2sin θ，联立得N＝，根据几何知识可知tan θ＝＝6，则N＝3F，故A正确，B、C、D错误。
]
11．如图所示，物体的质量m＝4.4 kg，用与竖直方向成θ＝37°的斜向右上方的推力把该物体压在竖直墙壁上，并使它沿墙壁在竖直方向上做匀速直线运动。物体与墙壁间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10 N/kg，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)求推力F的大小；
(2)若将推力的方向改为竖直向上推动物体，且物体仍做匀速直线运动，则推力F′为多大。
[解析] (1)若物体向上做匀速直线运动，受力分析如图甲所示
则有F cos θ＝mg＋Ff
F sin θ＝FN
Ff＝μFN
故推力F＝＝ N＝88 N
若物体向下做匀速直线运动，受力分析如图乙所示，则有
F cos θ＋F′f＝mg
F sin θ＝FN′
F′f＝μF′N
故推力F＝＝ N＝40 N。
(2)若将推力的方向改为竖直向上推动物体做匀速直线运动，物体只受重力和推力，根据平衡条件可得F′＝mg＝44 N。
[答案] (1)88 N或40 N (2)44 N
12．如图所示，水平轻绳AC一端固定在墙上，另一端连接小球A；另一根轻绳跨过光滑定滑轮后分别连接小球A和水平地面上的物体B。已知物体B的质量mB＝3 kg，小球A的质量mA＝ kg。跨过定滑轮的轻绳两侧与竖直方向夹角均为30°，小球A和物体B均处于静止状态，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)轻绳AC的张力大小；
(2)物体B所受地面的摩擦力大小和支持力大小。
[解析] (1)对小球A进行受力分析可知，小球A受重力、轻绳AC的拉力和轻绳OA的拉力，根据平衡条件得FAC＝mAg tan 30°，FOA＝
解得FAC＝10 N，FOA＝20 N。
(2)轻绳OA和OB为定滑轮两边的绳，拉力大小相等，即FOA＝FOB
物体B受重力、轻绳OB的拉力、地面的摩擦力f和支持力N，则有f＝FOBsin 30°
FOBcos 30°＋N＝mBg
解得f＝10 N，N＝(30－10)N。
[答案] (1)10 N (2)10 N (30－10)N
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