滚动习题(二)
1.B [解析] 在数列{an}中,a1=9,an+1-an=2n,所以a4=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)=9+2+4+6=21.故选B.
2.D [解析] 数列-2,,-,,-,…,可化为-,,-,,-,…,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n,所以该数列的第10项是a10=.故选D.
3.B [解析] 由条件可知,a+d=b+c(a,b,c,d>0),x=,y=±.当y=-时,x>y;当y=时,y=≤==x(当且仅当b=c时等号成立).所以x≥y.故选B.
4.D [解析] 由等比数列{an}中,{an}的前n项之积为Tn,可得==8a5a6=8a4a7,因为a4≠0,所以q3==,解得q=.故选D.
5.C [解析] 方法一:设等比数列{an}的公比为q,若q=1,则S6=6a1=3×2a1=3S2≠0,与题意不符,所以q≠1.由S4=-5,S6=21S2,可得=-5,=21×①,由①可得,1+q2+q4=21,解得q2=4,所以S8==×(1+q4)=-5×(1+16)=-85.故选C.
方法二:设等比数列{an}的公比为q,若q=-1,则S4=0≠-5,与题意不符,所以q≠-1,则S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列,所以(-5-S2)2=S2(21S2+5),解得S2=-1或S2=.当S2=-1时,S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6即为-1,-4,-16,S8+21,易知S8+21=-64,即S8=-85;当S2=时,S4=a1+a2+a3+a4=(a1+a2)(1+q2)=(1+q2)S2>0,与S4=-5矛盾,舍去.故选C.
6.C [解析] 因为an=-2n2+9n(n∈N*),所以a1=7>0,所以数列{an}是一个首项为正数,先增后减的数列.令an=-2n2+9n<0,得n>或n<0,因为n∈N*,所以当n≥5时,an<0,所以当Sn取得最大值时,n的值为4.故选C.
7.A [解析] 因为an>0,log2an+1-log2an=log2=-1,所以=,所以数列{an}为等比数列,且其首项a1=8,公比为,则Sk==16=,解得k=5.故选A.
8.ACD [解析] 因为a1<0,a1+a2>0,所以a2>0,且a2>|a1|=-a1.
对于A,C选项,若{an}为等差数列,则公差d=a2-a1>0,a1+d>-a1>0,
则Sn=na1+d,Sn+1-Sn=a1+nd>0对n≥1恒成立,
则数列{Sn}为递增数列,A正确;
因为a2>|a1|,所以|a2|>|a1|,又d>0,故an+1>an>0(n≥2),
则|an+1|>|an|(n≥2),又|a2|>|a1|,故数列{|an|}为递增数列,C正确.
对于B,D选项,若{an}为等比数列,则公比q=<-1,不妨设q=-2,a1=-1,
则a2=2,a3=-4,故S1=-1>S3=-3,
则数列{Sn}不为递增数列,B错误;
因为|q|>1,所以=|q|>1,又|a1|>0,故数列{|an|}为递增数列,D正确.
故选ACD.
9.AB [解析] 因为q4+q3=4q2+4q,即q3(q+1)-4q(q+1)=0,即q(q+1)(q2-4)=0,q≠0,所以q=±2或q=-1,故A正确;当q=2时,an=a1qn-1=2n-1,故B正确;当q=-1时,S2024===0,故C错误;当q=-2时,an=a1qn-1=(-2)n-1,则a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,…,故D错误.故选AB.
10.·3n-1 [解析] 由3a1,2a2,a3成等差数列,得4a2=3a1+a3,即4a1·q=3a1+a1q2,故q2-4q+3=0,解得q=1或q=3,又q≠1,所以q=3,所以an=·3n-1.
11. [解析] 因为a1=2,an+1=1-(n∈N*),所以a2=1-=,a3=1-=-1,a4=1-=2,…,所以数列{an}是以3为周期的周期数列,且a1+a2+a3=,所以S2024=674×(a1+a2+a3)+a2023+a2024=674×+2+=.
12.- [解析] 因为an>0,所以Sn>0,当n=1时,a1(2a1-a1)==1,可得a1=1;当n≥2时,an(2Sn-an)=(Sn-Sn-1)[2Sn-(Sn-Sn-1)]=1,即(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=-=1,所以数列{}是等差数列,首项为=1,公差为1,所以=1+n-1=n,则Sn=,故当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,又a1=1也满足an=-,故对任意的n∈N*,an=-.
13.解:(1)设{an}的公比为q(q>0),由a4=a3+2a2,得q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),因为a1=4,所以an=a1·qn-1=4×2n-1=2n+1.
(2)由(1)可知bn=log2an=log22n+1=n+1,则bn+1-bn=n+2-(n+1)=1.
因为b1=2,所以{bn}是以2为首项,以1为公差的等差数列,
故Sn=2n+=.
14.解:(1)由题意知,第1年至此后第n(n∈N*)年的累计投入为4+(n-1)=n+3(千万元).设第n年的收入为an千万元,前n年的累计收入为Sn千万元,由题意得a1=0.5=,an+1=an×(1+25%)=an,所以数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,故an=,Sn=a1+a2+…+an==2,所以f(n)=Sn-(n+3)=2-n-3=2·-n-5,所以f(n)的表达式为f(n)=2·-n-5(n∈N*).
(2)由(1)知f(n+1)-f(n)=-1,
当n≤3时,f(n+1)-f(n)<0,此时f(n)单调递减,
当n≥4时,f(n+1)-f(n)>0,此时f(n)单调递增,
又f(1)=-<0,f(8)=2×-8-5<0,f(9)=2×-9-5>0,
所以该新产品将从第9年开始并持续赢利,所以该新产品将从2031年开始并持续赢利.
15.解:(1)根据题意可得,第n+1次构造后得到的数列为1,1+x1,x1,x1+x2,x2,…,xk,2+xk,2,
所以an+1=6+3(x1+x2+…+xk),则an+1=6+3(an-3)=3an-3,
即an+1与an满足的关系式为an+1=3an-3.
(2)由an+1=3an-3,可得an+1-=3,
且a1=6,a1-=,
所以数列是以为首项,3为公比的等比数列,
所以an-=×3n-1,则an=.
(3)证明:由(2)得=×<×=,
所以+++…+<+++…+==-<.滚动习题(二) [范围4.1~4.3]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.已知数列{an}满足a1=9,an+1-an=2n,则a4= ( )
A.19 B.21
C.23 D.25
2.已知某数列为-2,,-,,-,…,按照这个规律,该数列的第10项是 ( )
A.- B.
C.- D.
3.若四个正数a,b,c,d成等差数列,x是a和d的等差中项,y是b和c的等比中项,则x和y的大小关系为 ( )
A.x>y B.x≥y
C.x4.在等比数列{an}中,{an}的前n项之积为Tn,=,则{an}的公比q= ( )
A. B.
C.2 D.
5.[2024·福建宁德一中高二月考] 记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8= ( )
A.120 B.85
C.-85 D.-120
6.已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+9n(n∈N*).若数列{an}的前n项和为Sn,则Sn取得最大值时,n的值为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
7.[2024·山东青岛高二期中] 设Sn是数列{an}的前n项和,an>0,a1=8,log2an+1-log2an=-1,Sk=,则k= ( )
A.5 B.6
C.7 D.8
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
8.[2024·浙江温州高二期末] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1<0,a1+a2>0,则下列说法正确的是 ( )
A.若{an}为等差数列,则数列{Sn}为递增数列
B.若{an}为等比数列,则数列{Sn}为递增数列
C.若{an}为等差数列,则数列{|an|}为递增数列
D.若{an}为等比数列,则数列{|an|}为递增数列
9.[2024·河北邢台高二期末] 已知等比数列{an}的首项为1,公比为q,前n项和为Sn.若q4+q3=4q2+4q,则下列结论正确的是 ( )
A.q的取值为-2或-1或2
B.当q=2时,an=2n-1
C.当q=-1时,S2024=1
D.当q=-2时,{an}为递增数列
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.已知{an}为等比数列,公比q≠1,a1=,且3a1,2a2,a3成等差数列,则数列{an}的通项公式为an= .
11.数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=2,an+1=1-(n∈N*),则S2024= .
12.设Sn是数列{an}的前n项和,an>0,an(2Sn-an)=1,则an= .
四、解答题(本大题共3小题,共38分)
13.(10分)在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=4,a4=a3+2a2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=log2an,证明{bn}是等差数列,并求{bn}的前n项和Sn.
14.(13分)[2024·江苏无锡一中高二月考] 某公司2023年投资4千万元用于新产品的研发与生产,计划从2024年起,在今后的若干年内,每年投资1千万元用于新产品的维护与生产,2023年新产品带来的收入为0.5千万元,并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2023年为第1年,f(n)为第1年至此后第n(n∈N*)年的累计利润(注:含第n年,累计利润=累计收入-累计投入,单位:千万元),且当f(n)为正值时,认为新产品赢利.
(1)试求f(n)的表达式;
(2)根据预测,该新产品将从哪一年开始并持续赢利 请说明理由.(参考数据:1.257≈4.8,1.258≈6.0,1.259≈7.5,1.2510≈9.3)
15.(15分)[2024·浙江舟山中学高二月考] 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1,2进行构造,第一次得到数列1,3,2;第二次得到数列1,4,3,5,2;….记第n(n∈N*)次得到的数列的所有项之和为an.
(1)设第n次构造后得到的数列为1,x1,x2,…,xk,2,则an=3+x1+x2+…+xk,请用含x1,x2,…,xk的代数式表达出an+1,并推导出an+1与an满足的关系式;
(2)求数列{an}的通项公式an;
(3)证明:+++…+<.(共21张PPT)
滚动习题（二）
一、单项选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
1.已知数列满足,,则 ( )
B
A.19 B.21 C.23 D.25
[解析] 在数列中,, ,所以
.故选B.
2.已知某数列为，，，，， ，按照这个规律，该数列的第10
项是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 数列，，，，， ，可化为，，， ，
， ，所以数列的一个通项公式为 ，所以该数列的第10项
是 .故选D.
3.若四个正数,,,成等差数列，是和的等差中项，是和 的等比中项，
则和 的大小关系为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由条件可知，，， .
当时，；
当时，（当且仅当 时等号成立）.
所以 .故选B.
4.在等比数列中，的前项之积为,，则的公比 ( )
D
A. B. C.2 D.
[解析] 由等比数列中，的前项之积为 ，可得
，因为，所以，解得 .故选D.
5.[2024·福建宁德一中高二月考]记为等比数列的前项和，若 ，
,则 ( )
C
A.120 B.85 C. D.
[解析] 方法一：设等比数列的公比为，若 ，则
，与题意不符，所以.
由, ，可得,，由①可得，
，解得 ，所以
．故选C．
方法二：设等比数列的公比为，若，则 ，与题意不符，
所以，则,,, 成等比数列，所以
，解得或.
当时，, , ,即为,,,，易知
，即 ；当时，
，与 矛盾，舍去．故选C．
6.已知数列的通项公式为.若数列的前
项和为，则取得最大值时, 的值为( )
C
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 因为，所以，所以数列 是一个首
项为正数，先增后减的数列.
令，得或 ，因为，
所以当时，，所以当取得最大值时， 的值为4.故选C.
7.[2024·山东青岛高二期中]设是数列的前项和，, ，
，，则 ( )
A
A.5 B.6 C.7 D.8
[解析] 因为，，所以 ，所以
数列为等比数列，且其首项，公比为 ，则
，解得 .故选A.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
8.[2024·浙江温州高二期末]已知数列的前项和为，且 ，
，则下列说法正确的是( )
ACD
A.若为等差数列，则数列 为递增数列
B.若为等比数列，则数列 为递增数列
C.若为等差数列，则数列 为递增数列
D.若为等比数列，则数列 为递增数列
[解析] 因为，，所以，且 .
对于A，C选项，若为等差数列，则公差 ，
，则，对
恒成立，则数列 为递增数列，A正确；
因为，所以，又，故 ，
则，又，故数列 为递增数列，C正确.
对于B，D选项，若为等比数列，则公比，不妨设 ， ，
则,，故 ，则数列 不为递增数列，B错误；
因为，所以，又，故数列 为递增数列，D正确.
故选 .
9.[2024·河北邢台高二期末]已知等比数列的首项为1，公比为，前 项和为
.若 ，则下列结论正确的是( )
AB
A.的取值为或或2 B.当时，
C.当时， D.当时， 为递增数列
[解析] 因为，即 ，即
，，所以或，故A正确；
当 时，，故B正确；
当 时，，故C错误；
当 时，，则，，，，
，故D错误.故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
10.已知为等比数列，公比,，且,, 成等差数列，则数
列的通项公式为 ________.
[解析] 由,,成等差数列，得，即 ，
故，解得或，
又，所以 ，所以 .
11.数列的前项和为，且满足,，则
_____.
[解析] 因为,，所以 ,
,, ，所以数列 是以3为周期的周期数列，
且 ，
所以 .
12.设是数列的前项和，，,则 __________
________.
[解析] 因为，所以，当时， ，可得
；
当时， ，即
，所以数列 是等差数列，首项为
，公差为1，所以，则，
故当 时，，
又也满足 ，故对任意的， .
四、解答题（本大题共3小题,共38分）
13.（10分）在各项均为正数的等比数列中，， .
（1）求 的通项公式；
解:设的公比为，由，得，解得
或（舍去），因为，所以 ．
（2）若，证明是等差数列，并求的前项和 .
解:由（1）可知 ，则
．
因为，所以 是以2为首项，以1为公差的等差数列，
故 ．
14.（13分）[2024·江苏无锡一中高二月考] 某公司2023年投资4千万元用于新
产品的研发与生产，计划从2024年起，在今后的若干年内，每年投资1千万元用
于新产品的维护与生产，2023年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当
长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长 .记2023年为第
1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第 年，累计利润
累计收入-累计投入，单位：千万元），且当 为正值时，认为新产品赢利.
（1）试求 的表达式；
解:由题意知，第1年至此后第年的累计投入为
（千万元）.
设第年的收入为千万元，前年的累计收入为 千万元，由题意得
，，所以数列是以为首项， 为公比的等
比数列，故 ， ，
所以，所以 的
表达式为 .
（2）根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.
（参考数据：，，， ）
解:由（1）知 ，
当时，，此时 单调递减，
当时，，此时 单调递增，
又，， ，
所以该新产品将从第9年开始并持续赢利，所以该新产品将从2031年开始并持续
赢利.
15.（15分）[2024·浙江舟山中学高二月考] 在数列的每相邻两项之间插入此两
项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数
列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，
3，5，2；….记第次得到的数列的所有项之和为 .
（1）设第次构造后得到的数列为1,,, , ,2，则
，请用含,, ,的代数式表达出 ，并推导出与 满足的关系式；
解：根据题意可得，第次构造后得到的数列为1，,,,, ,
, ，2，
所以，则 ，
即与满足的关系式为 .
（2）求数列的通项公式 ；
解：由，可得 ，
且， ，
所以数列是以 为首项，3为公比的等比数列，
所以，则 .
（3）证明： .
证明：由（2）得 ，
所以 .
