单元素养测评卷(一)A
1.C [解析] 由an=n2+2=123,解得n=11或n=-11(舍去),故选C.
2.A [解析] 设等差数列{an}的公差为d,则由a3+a9=4a5,a2=-6,可得解得故选A.
3.A [解析] 由已知可得a2=2a1-1=1,a3=2a2+2=4,a4=2a3-1=7.故选A.
4.D [解析] 在正项等比数列{an}中,a2·a8=a4·a6,由a2·a8=6,a4+a6=5,可得又an+1
5.A [解析] 项数为2m+1的{an}中奇数项共有(m+1)项, 其和为==(m+1)am+1=140, 项数为2m+1的{an}中偶数项共有m项, 其和为==mam+1=120, 所以==,解得m=6.故选A.
6.B [解析] 由题意,要使a5最小,则a1,a3,a5都是负数,所以a2=2,a4=8或a2=8,a4=2.设等比数列{an}(1≤n≤5,n∈N*)的公比为q,则q<0.当a4=8,a2=2时,=q2=4,所以q=-2,则a5=a4×q=8×(-2)=-16;当a4=2,a2=8时,=q2=,所以q=-,则a5=a4×q=2×=-1.综上,a5的最小值为-16.故选B.
7.C [解析] ∵在数列{an}中,若存在不小于2的正整数k,使得ak8.A [解析] 由题意可知=,==2,因为-=2-1=1,所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列,所以=1+(n-1)×1=n,故=×=2025×2024,所以的末位数字是0.故选A.
9.AB [解析] 由,,,,…,得此数列的通项公式是an=,令an==5,解得n=17,所以5是它的第17项.故选AB.
10.ABD [解析] 因为S18=S25,所以S25-S18=a19+a20+a21+a22+a23+a24+a25=7a22=0,所以a22=a1+21d=0,又d>0,所以a1<0,故A正确;a1+a43=2a22=0,故B正确;因为d>0,所以该等差数列是递增数列,又a22=0,所以当n=22或n=21时,Sn取得最小值,故C错误;由Sn=na1+n(n-1)d=-21dn+n(n-1)d=dn(n-43)>0,d>0,得n>43,因此n的最小值为44,故D正确.故选ABD.
11.BCD [解析] 数列{an}满足a1=,an-an+1=2anan+1(n∈N*),
可得-=2,则是首项为2,公差为2的等差数列,所以=2+2(n-1)=2n,即an=,
令an=,解得n=,不是整数,故A错误.
由bn=1+Sn(n∈N*),可得b1=1+S1=1+b1,解得b1=3,
当n≥2时,由bn=1+Sn,可得bn-1=1+Sn-1,
两式相减可得bn-bn-1=1+Sn-1-Sn-1=bn,
整理得bn=3bn-1,所以数列{bn}是首项为3,公比为3的等比数列,则bn=3n,故B正确.
anan+1==,则
Tn==<,故C正确.
=2n·3n,则An=2(1×3+2×32+…+n×3n),3An=2(1×32+2×33+…+n×3n+1),
两式相减可得-2An=2(3+32+…+3n-n·3n+1)=2,
整理得An=+,故D正确.故选BCD.
12. [解析] 因为数列{an}的通项公式为an=,所以a5==,a10==,所以a5+a10=.
13.12 [解析] 设S3=t,则S6=5S3=5t,因为S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,所以S3+S9-S6=2(S6-S3),即t+S9-5t=2(5t-t),可得S9=12t,所以=12.
14.2 1756 [解析] 由数列{an}满足a1=1,an+1=可得a2n+2=a(2n+1)+1=a2n+1+(2n+1)-3=a2n+1+2n-2,又a2n+1=2a2n,所以a2n+2=2a2n+2n-2.因为bn=a2n+2n,所以bn+1=a2n+2+2(n+1)=2a2n+4n,所以==2.由a1=1,可得a2=a1+1-3=-1,所以b1=a2+2=1,所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列,可得bn=2n-1,所以a2n=2n-1-2n,则a2n-1=a2(n-1)+1=2a2(n-1)=2n-1-4(n-1)(n≥2),又a1=1满足上式,所以a2n-1=2n-1-4(n-1),所以数列{an}的前20项和S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=-+-=1756.
15.解:(1)由5a2=,得a2=,又a1+a2=,所以a1=1,则{an}的公比q==,所以an=.
(2)由(1)知an+2n-1=+2n-1,所以Sn=3×+2×(1+2+…+n)-n=3×+2×-n=1-+n2.
16.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意得解得
所以等差数列{an}的通项公式为an=10-2(n-1)=12-2n(n∈N*).
(2)由(1)知an=12-2n(n∈N*),所以Tn==n(11-n),
因为二次函数y=-x2+11x的图象的对称轴方程为x=5.5,且开口向下,
所以当n=5或n=6时,Tn取得最大值,最大值为T5=T6=5×6=30.
17.解:(1)证明:因为an+1=,a1=,所以an≠0,所以==+,所以-1=-,即-1=,又a1=,所以-1=≠0,所以是以为首项,为公比的等比数列.
(2)方法一:S2n=-+-+…+-=-+-+…+-,
易知是以为首项,-为公比的等比数列,所以S2n===.
方法二:由(1)知-1=,所以=1+,所以bn==(-1)n-1-,所以S2n=0-==.
18.解:(1)由题意得a1,a2,a3,a4,a5,a6构成首项a1=250,公差d=-30的等差数列,故an=280-30n(n≤6,n∈N*).a7,a8,…,an(n≥7,n∈N*)构成首项a7=a6=50,公比q=的等比数列,故an=50×(n≥7,n∈N*).故an=n∈N*.
(2)由(1)得{an}是递减数列,故数列{Tn}也是递减数列.
当1≤n≤6时,Tn==265-15n,{Tn}递减,因为T6=175>100,所以Tn>100;
,
当n=11时,T11>104,当n=12时,T12<96,所以当n≥12,n∈N*时,恒有Tn<96.
故该企业应在第12年年初更换A型车床.
19.解:(1)因为··…·=,所以当n=1时,=,可得a1=3,当n≥2时,··…·=,可得=,所以an=an-1+2,所以数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列,所以an=3+2(n-1)=2n+1.
(2)由(1)得===,
所以Sn=×+×+×+…+×=×=×<,
又对于任意的n∈N*,都有Sn<λ2-2λ-1成立,所以λ2-2λ-1≥,即(2λ+1)(2λ-5)≥0,解得λ≤-或λ≥,所以满足条件的最小正整数λ的值为3.单元素养测评卷(一)A
第四章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知数列{an}的通项公式为an=n2+2,则123是该数列的( )
A.第9项 B.第10项
C.第11项 D.第12项
2.已知{an}是等差数列,且a3+a9=4a5,a2=-6,则该数列的公差是 ( )
A.3 B.
C.-4 D.-14
3.已知数列{an}满足a1=1,且当n≥2时,an=则a4= ( )
A.7 B.10
C.12 D.22
4.已知正项等比数列{an}中,an+1A. B. C. D.
5.已知等差数列{an}的项数为2m+1(m∈N*),其中奇数项之和为140, 偶数项之和为 120,则m= ( )
A.6 B.7
C.12 D.13
6.[2024·福建莆田二中高二月考] 已知a1,a2,a3,a4,a5成等比数列,且2和8为其中的两项,则a5的最小值为 ( )
A.-64 B.-16
C. D.
7.在数列{an}中,若存在不小于2的正整数k,使得akA.bn=n B.bn=2n
C.bn=n+ D.bn=
8.[2024·南京航空航天大学附中高二月考] 若数列{an}满足-=d(n∈N*,d为常数),则称{an}为“比等差数列”.已知在“比等差数列”{an}中,a1=a2=1,a3=2,则的末位数字是 ( )
A.0 B.2
C.4 D.6
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知数列,,,,…,则下列说法正确的是 ( )
A.此数列的通项公式是
B.5是它的第17项
C.此数列的通项公式是
D.5是它的第18项
10.[2024·安徽滁州高二期末] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d>0,且S18=S25,则下列说法正确的是 ( )
A.a1<0
B.a1+a43=0
C.当Sn取得最小值时,n的值为22
D.当Sn>0时,n的最小值为44
11.[2024·河南洛阳高二期末] 数列{an}满足a1=,an-an+1=2anan+1(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=1+Sn(n∈N*),则下列说法正确的是 ( )
A.是数列{an}中的项
B.数列{bn}是首项为3,公比为3的等比数列
C.数列{anan+1}的前n项和Tn<
D.数列的前n项和An=+
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知数列{an}的通项公式为an=,则a5+a10= .
13.[2024·河北邢台质检联盟高二月考] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=5,则= .
14.[2024·江苏启东高二期中] 已知数列{an}满足a1=1,an+1=bn=a2n+2n,则= ,数列{an}的前20项和S20= .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·长沙明德中学高二月考] 在等比数列{an}中,a1+a2=5a2=.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Sn.
16.(15分)已知等差数列{an}的前3项和是24,前5项和是30.
(1)求等差数列{an}的通项公式.
(2)若Tn是{an}的前n项和,则Tn是否存在最大值 若存在,求Tn的最大值及取得最大值时n的值;若不存在,请说明理由.
17.(15分)[2024·安徽马鞍山高二期中] 已知数列{an}的首项a1=,且{an}满足an+1=.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)设bn=,求数列{bn}的前2n项和S2n.
18.(17分)某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床,A型车床为企业创造的价值逐年减少.若第1年A型车床创造的价值是250万元,且第1年至第6年,每年A型车床创造的价值减少30万元;从第7年开始,每年A型车床创造的价值是上一年的50%.现用an(n∈N*)(单位:万元)表示A型车床在第n年创造的价值.
(1)求数列{an}(n∈N*)的通项公式.
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,Tn=,企业经过成本核算,若Tn>100,则继续使用A型车床,否则更换A型车床,试问该企业应在第几年年初更换A型车床
19.(17分)已知数列{an}满足··…·=.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Sn,若对于任意的n∈N*,都有Sn<λ2-2λ-1成立,求满足条件的最小正整数λ的值.