单元素养测评卷(一)B
1.B [解析] 从符号来看,奇数项为负,偶数项为正,所以通项公式中应该是(-1)n,数值4,7,10,13,…满足3n+1,所以通项公式可以是an=(-1)n(3n+1).故选B.
2.B [解析] 设数列{an}的公比为q,则a15=a7q8,所以q8=,q4=,所以a11=a7q4=6.故选B.
3.C [解析] 设等差数列{an}的公差为d(d>0),由题意知=a1(a7+6),a1=3,所以=a1(a1+6d+6),即(3+2d)2=3×(9+6d),解得d=3或d=-.因为d>0,所以d=3,所以an=3+(n-1)×3=3n,故选C.
4.C [解析] 由题意可知,a2=a1=a1,a3=a2=a2=×a1=a1,a4=a3=a3=×a1=a1=12,所以a1=12×=.故选C.
5.A [解析] 设数列{an}的公比为q,根据题意得解得故an=.当n≥2时,bn-bn-1==2n-4,故bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=+2-2+2-1+…+2n-4=+=2n-3(n≥2),当n=1时,b1=满足上式,故bn=2n-3.故选A.
6.C [解析] 由>,得>,即an>an+1,∴数列{an}为递减的等差数列,∵a7a8<0,∴a7>0,a8<0,∴当n≤7且n∈N*时,an>0,当n≥8且n∈N*时,an<0,∴Sn有最大值,最大值为S7.故选C.
7.C [解析] 显然公比q≠1,则S6=,S2=,==,化简得1+q2+q4=,可得q2=,又an>0,所以q=.由S2==24=a1(1+q)=a1,得a1=16,所以an=16×=.当n≤5时,an≥1,当n≥6时,an<1,所以(a1a2…an)max=a1a2…a5=21+2+3+4=210=1024.故选C.
8.B [解析] 由an+2-2an+1+an-2=0可得an+2-an+1=an+1-an+2,故{an+1-an}是首项为a2-a1=2,公差为2的等差数列,则an+1-an=2+2(n-1)=2n,所以当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2(n-1)+2(n-2)+…+2+2=+2=n2-n+2,故an=n2-n+2(n≥2),当n=1时,a1=2也满足上式,所以an=n2-n+2,故bn==.易得b1==2,b2==1,当n>2时,n-2>0,n2>0,n2-(n-2)=n2-n+2=+>0,即n2>n-2,故0<<1,故当n>2时,bn==0,故T2024=b1+b2=3.故选B.
9.AD [解析] 对于A,因为an=n+n2=-,n∈N*,所以由二次函数的单调性可得数列为递增数列;对于B,因为an=3-n,n∈N*,所以由一次函数的单调性可得数列是递减数列;对于C,因为an=,n∈N*,所以由指数函数的单调性可得数列是递减数列;对于D,因为an=,所以当n≤2时,数列是递增数列,当n>2时, 数列为递增数列,而a3=4>3=a2,所以数列是递增数列.故选AD.
10.ABC [解析] 当a2=5,a3=7时,d=2,a7=a3+4d=7+8=15,故A正确;因为{an}是各项均为正数的等差数列,所以a1=5-d>0,即d<5,且d≥0,所以d的取值范围是[0,5),故D错误;因为a4=5+2d,所以a4的取值范围是[5,15),故B正确;a7=5+5d∈[5,30),当a7为整数时,a7的最大值为29,故C正确.故选ABC.
11.ACD [解析] 由“等积数列”的定义得anan+1=an+1an+2,即an=an+2,∴数列{an}的奇数项相同,偶数项相同,又∵a1=1,a99a100a101=2,∴当n为奇数时,an=1,当n为偶数时,an=2.对于A,a2025=1,A正确;对于B,S2025=a1+a2+a3+…+a2024+a2025=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2023+a2024)+a2025=1012×3+1=3037,B错误;对于C,若an=,则当n为奇数时,an=1,当n为偶数时,an=2,符合题意,C正确;对于D,当n为奇数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-2+an-1)+an=3×+1=n-,满足Sn=n+,当n为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)=n,满足Sn=n+,D正确.故选ACD.
12.2 [解析] 在各项均为正数的等比数列{an}中,因为a4a8=2,所以=a2a10=a4a8=2,则log2a2+2log2a6+log2a10=log2(a2a10)+log2=log22+log22=2.
13.18 [解析] 等差数列{an}中,S35==35a18<0,则a18<0,又S36==18(a18+a19)>0,则a18+a19>0,即有a19>-a18>0,于是数列{an}的公差d=a19-a18>0,即{an}是递增的等差数列,其前18项均为负数,从第19项起为正数,因此=S18,所以k=18.
14.5000 2550 [解析] 令k∈N*且k≥1,当n=2k时,a2k+1=a2k+2k①,
当n=2k-1时,a2k=a2k-1+2k-1+1=a2k-1+2k②,
由①②得a2k+1-a2k-1=4k,所以a3-a1=4,a5-a3=8,…,a2k+1-a2k-1=4k,
累加可得a2k+1-a1=a2k+1=4+8+…+4k=4×=2k2+2k.
令2k+1=n(n≥3且n为奇数),得an=.
当n=1时,a1=0满足上式,所以当n为奇数时,an=.
当n为奇数时,an+1=an+n+1=,所以an=,其中n为偶数.
所以an=所以a100==5000.
因为a2n-a2n-1=-=2n,
所以{(-1)nan}的前2n项和S2n=-a1+a2-a3+a4+…-a2n-1+a2n=2×1+2×2+…+2×n=2×=n(n+1),所以S100=50×51=2550.
15.解:(1)由题意知,=14,解得a1=2,所以an=2n,所以Tn=21×22×23×…×2n==.
(2)由(1)知,Sn==2(2n-1),bn===-,
所以An=-+-+…+-=1-.
16.解:(1)设数列{an}的公比为q,q>0,因为a3=a2+6a1,所以q2=q+6,解得q=3或q=-2(舍去),又因为a1,a2+6,a3成等差数列,所以2(a2+6)=a1+a3,
即2(3a1+6)=a1+9a1,所以a1=3,故an=3n.
(2)不等式λan≥4n+5化为λ≥,设bn=,则bn+1-bn=-=<0,所以{bn}为递减数列,故当n=1时,bn最大,最大值为b1=3,又不等式λ≥恒成立,故实数λ的取值范围为λ≥3.
17.解:(1)因为-=2(an+1+an),所以(an+1+an)(an+1-an)=2(an+1+an),
因为an>0,所以an+1-an=2,又a1=1,
所以数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.
所以{an}的通项公式为an=2n-1,前n项和Sn==n2.
(2)由(1)得bn=.
假设存在正整数t,m,使得b1,b2,bm(m≥3)成等差数列,则b1+bm=2b2,
即+=,
当t=1时,可得=0,显然不成立,
所以t≠1,所以m==3+.
因为t,m∈N*,所以为整数,t-1>0,故t-1=1,2,4,
即t=2,3,5,对应的m的值为7,5,4,
所以存在满足要求的t,m,此时或或
18.解:(1)因为an+1=an+n+1,所以an+1-an=n+1,
可得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=n+(n-1)+…+2+1=(n≥2),又a1=1满足上式,
所以an=.
(2)由(1)可知,bn=n-(-1)n·,
当n=2k,k∈N*时,T2k=(1+2+…+2k)+×[1×2-2×3+3×4-4×5+…+(2k-1)×2k-2k×(2k+1)]
=k·(2k+1)+×(-2×2-2×4-…-2×2k)
=2k2+k-(2+4+…+2k)=2k2+k-k(k+1)=k2,
令k2≤100,可得0故T2,T4,…,T20满足题意.
当n=2k-1,k∈N*时,T2k-1=T2k-b2k=k2-[2k-(2k+1)·k]=3k2-k,令T2k-1≤100可得3k2-k≤100,可得0又k∈N*,所以k=1,2,3,4,5,即n=1,3,5,7,9,
所以T1,T3,T5,T7,T9满足题意.
所以A中所有元素的和为(1+3+5+7+9)+(2+4+…+20)=25+110=135.
19.解:(1)当n=1时,a1=S1=2a1-4,则a1=4,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,∴an-2an-1=2n,即-=1,即是以=2为首项,公差为1的等差数列,故=n+1,∴an=(n+1)·2n.
(2)由(1)可得=(n+1)·4n,故Tn=2×4+3×42+…+(n+1)×4n,
故4Tn=2×42+3×43+…+n×4n+(n+1)×4n+1,则-3Tn=2×4+42+43+…+4n-(n+1)·4n+1=4+-(n+1)·4n+1=-·4n,故Tn=·4n-.
(3)bn=log2=log22n=n,则··…·≥m·,
即(1+1)××…×≥m,即m≤对任意正整数n都成立.令f(n)=,则f(n+1)=,故==>1, 即f(n),n∈N*随着n的增大而增大,
故f(n)≥f(1)=,即m≤,则实数m的最大值为.单元素养测评卷(一)B
第四章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.数列-4,7,-10,13,…的一个通项公式为 ( )
A.an=(-1)n(3n+4)
B.an=(-1)n(3n+1)
C.an=(-1)n+1(3n+4)
D.an=(-1)n+1(3n+1)
2.[2024·山东临沂二中高二月考] 已知数列{an}是等比数列,且a7=12,a15=3,则a11= ( )
A.3 B.6
C.3或-3 D.6或-6
3.在递增的等差数列{an}中,首项为3,若a1,a3,a7+6依次成等比数列,则{an}的通项公式为 ( )
A.an=n+ B.an=3n-1
C.an=3n D.an=-n+
4.已知自然界中存在某种昆虫,其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替,该种昆虫最开始的身体长度记为a1,其在发育过程中先蜕皮,身体总长度减少,此时昆虫的长度记为a2;蜕皮之后,迅速生长,当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的,此时昆虫的长度记为a3,然后进入下一次蜕皮,以此类推.若a4=12,则a1= ( )
A.18 B.
C. D.
5.已知等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,数列{bn}满足b1=,当n≥2时,bn-bn-1=,则数列{bn}的通项公式为 ( )
A.bn=2n-3 B.bn=2n-2-
C.bn=- D.bn=+2n-4
6.[2024·福建南平一中高二月考] 设Sn为等差数列{an}的前n项和,且对任意n∈N*,都有>,若a7a8<0,则 ( )
A.Sn的最小值是S7 B.Sn的最小值是S8
C.Sn的最大值是S7 D.Sn的最大值是S8
7.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足16S6=21S2=504,则a1a2…an的最大值为 ( )
A.256 B.512
C.1024 D.2048
8.[2024·江苏盐城一中高二月考] 在数列{an}中,a1=2,a2=4,且an+2-2an+1+an-2=0.[x]表示不超过x的最大整数,若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,则T2024= ( )
A.2 B.3
C.2023 D.2024
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列通项公式中,对应的数列是递增数列的是 ( )
A.an=n+n2,n∈N*
B.an=3-n,n∈N*
C.an=,n∈N*
D. an=
10.若各项均为正数的数列{an}是公差为d的等差数列,且a2=5,则 ( )
A.当a3=7时,a7=15
B.a4的取值范围是[5,15)
C.当a7为整数时,a7的最大值为29
D.d的取值范围是(0,5)
11.为提高学生学习数学的热情,某校积极筹建数学兴趣小组,小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念,提出“等积数列”的概念:从第二项起,每一项与前一项之积为同一个常数(不为0).已知数列{an}是一个“等积数列”,a1=1,a99a100a101=2,其前n项和为Sn,则下列说法正确的是 ( )
A.a2025=1
B.S2025=3035
C.an=
D.Sn=n+
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a4a8=2,则log2a2+2log2a6+log2a10= .
13.[2024·福建厦门二中高二月考] 设等差数列{an}的前n项和为Sn,S35<0,S36>0,若对任意正整数n,都有Sn≥Sk,则整数k= .
14.[2024·河南新乡高二期末] 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.已知大衍数列{an}满足a1=0,an+1=则a100= ;数列{(-1)nan}的前100项和为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·山东威海高二期末] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q=2,S3=14.
(1)设Tn=a1·a2·a3·…·an-1·an,求Tn;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和An.
16.(15分)[2024·江苏盐城高二期末] 已知各项均为正数的数列{an}是等比数列,a1,a2+6,a3成等差数列,a3=a2+6a1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若λan≥4n+5恒成立,求实数λ的取值范围.
17.(15分)已知各项均为正数的数列{an}中,a1=1,对任意n∈N*都有-=2(an+1+an).
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.
(2)设bn=,试问是否存在正整数t,m,使得b1,b2,bm(m≥3)成等差数列 若存在,求出所有满足要求的t,m;若不存在,请说明理由.
18.(17分)[2024·杭州高二期末] 已知数列{an}满足a1=1,且对任意正整数n都有an+1=an+n+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,bn=n-(-1)nan(n∈N*),若A={n|n≤100且Tn≤100,n∈N*},求集合A中所有元素的和.
19.(17分)[2024·四川达州一中高二月考] 设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2n+1,数列{bn}满足bn=log2,其中n∈N*.
(1)证明为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Tn;
(3)求使不等式··…·≥m·对任意正整数n都成立的最大实数m的值.
