2.2.1配方法（第1课时）课件(共21张PPT) 2025-2026学年湘教版数学九年级上册

(共21张PPT)
2.2.1 配方法
第1课时 用直接开平方法解
一元二次方程
学习目标
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）
2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点）
1.如果 x2=a,则x叫做a的 .
平方根
2.如果 x2=a(a ≥0),则x= .
3.如果 x2=64 ,则x= .
±8
4.任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
复习引入
动 脑 筋
如何解本章2.1节“动脑筋”中的方程①：x2-2500=0呢？
一、直接开平方法解一元二次方程

对于实际问题中的方程①而言，x2=-50不合题意，应当舍去．
而x1=50符合题意，因此该圆的半径为50cm.
一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解
-4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解：
3和-2.
你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.
概念学习
2.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a = 0的一个根是3，求a的值.
解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32 + 3a + a = 0
9 + 4a = 0
4a = -9
1.已知方程 5x +mx-6 = 0的一个根为4，则ｍ的值为_______．
练一练
(2)当p=0 时，方程①有两个相等的实数根 x1= x2 = 0；
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2 ≥ 0 ，所以方程①无实数根.
一般的，对于可化为方程 x2 = p ① ，
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程①有两个不等的实数根
归纳：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
探究归纳

典例精析
例1 解方程：4x2-25=0

动 脑 筋
如何解方程：(1+x)2 =81呢？

例2 解方程：(2x+1)2 = 2
通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

做 一 做
解方程：4(1+x)2 -25 = 0.
解： (4-x) 2-25 = 0
(4-x) 2 = 25
4-x = 5 或 4-x = -5
x = -1 或 x = 9
故答案为：x = -1 或 x = 9
解下列方程：
⑴ (2x＋1)2 = 2 ；
解析：通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.
解：（1）根据平方根的意义，得
或
练一练
解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.
（2）(x－1)2－4 = 0；
即x1=3，x2=-1.
解：（2）移项，得（x-1）2=4.
∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2.
(3) 12(3－2x)2－3 = 0.
解析：第3小题先将-3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.
解：(3)移项，得12(3-2x)2 = 3，
两边都除以12，得(3-2x)2 = 0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x = 0.5，3-2x = -0.5

练 习
1.解下列方程：
9x2-49=0； (2) 36-x2=0；
(3) (x+3)2-36=0； (4) 9(1-2x)2-16=0.
解：9x2 = 49
x2 =
x =±
x1= x2= -
解：x2 = 36
x = ±6
x1= 6，x2 = -6
解：(x+3)2 = 36
x+3 =±6
x+3 = 6 或 x+3 = -6
x1= 3，x2 = -9
解：9(1-2x)2 = 16
(1-2x)2 =
1-2x = 或1-2x = -
x1= - ，x2 =
2.(古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短．
记得立契时，长阔争一半．
今问俊明公，此法如何算．
意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．现在请你帮他算出它的长和宽各是多少步①.（1亩＝240步2)
解：设长方形田地的宽为x步，那么长就应该是2x步，
7.5亩=1800步2，
由题意，得 2x·x=1800，即x2=900，
解得x=30，则2x=60(步).
答：长方形田的长为60步，宽为30步.
4.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0，有一个根为0，求m的值.
二次项系数不为零不容忽视
解：将 x = 0代入方程 m2- 4 = 0，
解得m= ±2.
∵ m+2 ≠0，
∴ m ≠-2，
综上所述：m = 2.
已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1， 求 a+b+c 的值.
解：把x=1代入方程，
a×12+b×1+c = 0
即 a + b + c = 0.
拓广探索
解方程:
解：
方程的两根为
挑战自我
课堂小结
降次，直接开平方
本课结束