满分：98
班级：________ 姓名：________ 成绩：________
一、单选题（共3小题,共12分）
如图所示，光滑水平面上，小球M、N分别在水平恒力F1和F2作用下，由静止开始沿同一直线相向运动，在t1时刻发生正碰后各自反向运动。已知F1和F2始终大小相等、方向相反。从开始运动到碰撞后第1次速度减为0的过程中，两小球速度v随时间t变化的图像，可能正确的是（ ）
（4分）
A.
B.
C.
D.
如图，小球A从距离地面20m处自由下落，1s末恰好被小球B从左侧水平击中，小球A落地时的水平位移为3m。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取10m/s2，则碰撞前小球B的速度大小v为（ ）
（4分）
A.1.5m/s
B.3.0m/s
C.4.5m/s
D.6.0m/s
两小车P、Q的质量分别为mP和mQ，将它们分别与小车N沿直线做碰撞实验，碰撞前后的速度v随时间t的变化分别如图1和图2所示。小车N的质量为mN，碰撞时间极短，则（ ）
（4分）
A.mP＞mN＞mQ
B.mN＞mP＞mQ
C.mQ＞mP＞mN
D.mQ＞mN＞mP
二、多选题（共1小题,共6分）
如图甲，在杂技表演中，表演者平躺在水平地面上，腹部上平放一块石板，助手用铁锤猛击石板，石板裂开而表演者没有受伤（危险节目，请勿模仿）。其原理可简化为图乙所示：质量为m的铁锤从石板上方高h处由静止自由落下，竖直砸中石板，铁锤与石板瞬间达到共同速度，之后，铁锤与石板一起向下运动距离d后速度减为零，该过程中弹性气囊A对石板的作用力F随石板向下运动的距离x的变化规律近似如图丙所示，已知石板的质量为铁锤质量的k倍，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
（6分）
A.铁锤与石板碰撞后的共同速度大小
B.碰撞过程中系统机械能的损失量
C.弹性气囊A对石板作用力的最大值
D.弹性气囊A对石板作用力做的功为
三、计算题（组）（共5小题,共80分）
如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度v0向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。
（13分）
(1) 若钢球质量为m,求最右侧的钢球最终运动的速度大小v；（4分）
(2) 若钢球质量为3m,求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小v1；（4分）
(3) 若钢球质量为3m,求玻璃球经历2n次碰撞后的动能Ek。（5分）
如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。
（25分）
(1) 求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功；（6分）
(2) 求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离；（6分）
(3) 欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？（6分）
(4) 欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？（7分）
如图所示，一足够长的平直木板放置在水平地面上，木板上有3n（n是大于1的正整数）个质量均为m的相同小滑块，从左向右依次编号为1、2、…、3n,木板的质量为nm。相邻滑块间的距离均为L，木板与地面之间的动摩擦因数为μ，滑块与木板间的动摩擦因数为2μ。初始时木板和所有滑块均处于静止状态。现给第1个滑块一个水平向右的初速度，大小为（β为足够大常数，g为重力加速度大小）。滑块间的每次碰撞时间极短，碰后滑块均会粘在一起继续运动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（18分）
(1) 求第1个滑块与第2个滑块碰撞前瞬间，第1个滑块的速度大小。（6分）
(2) 记木板滑动前第j个滑块开始滑动时的速度为vj，第j+1个滑块开始滑动时的速度为vj+1。用已知量和vj表示vj+1。（6分）
(3) 若木板开始滑动后，滑块间恰好不再相碰，求β的值。
提示：12+22+ +k2=k（k+1）（2k+1）。（6分）
某物体以一定初速度从地面竖直向上抛出，经过时间t到达最高点。在最高点该物体炸裂成A、B两部分，质量分别为2m和m,其中A以速度v沿水平方向飞出。重力加速度为g,不计空气阻力。求：（8分）
(1) 该物体抛出时的初速度大小v0；（2分）
(2) 炸裂后瞬间B的速度大小vB；（3分）
(3) A、B落地点之间的距离d。（3分）
如图所示，两个完全相同的直角三角形光滑斜面体固定在水平地面上，倾角均为θ=30°，斜面体顶端均固定相同的轻质滑轮。两根等长的轻细线均绕过滑轮，一端与放在斜面上的质量均为m的物块A、B相连，另一端与质量为2m的物块C连接。一开始用外力托住物块A、B、C，细线处于拉直状态，此时物块C距离地面高度为h0，同时撤去外力后，物块C开始向下运动。已知物块C触地后速度立即变为零；物块C被提起时，细线瞬间绷直，绷直瞬间细线上的拉力非常大；从细线绷直到物块C再次落地前，细线均保持拉直状态；在整个运动过程中，细线始终不会脱离滑轮，物块A、B不会与滑轮相碰；不计一切摩擦，重力加速度为g,求：
（16分）
(1) 物块C开始下落时的加速度大小a1；（2分）
(2) 物块C第一次触地过程中损失的机械能ΔE；（2分）
(3) 物块C第一次触地后上升的最大高度h1；（3分）
(4) 物块C从开始下落到最终停止运动所经历的时间t。（9分）
第2页
第2页15.4碰撞
满分：98
班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、单选题（共3小题,共12分）
1. 如图所示，光滑水平面上，小球M、N分别在水平恒力F1和F2作用下，
由静止开始沿同一直线相向运动，在t1时刻发生正碰后各自反向运动。已知F1和F2始终大小相等、
方向相反。从开始运动到碰撞后第1次速度减为0的过程中，两小球速度v随时间t变化的图像，
可能正确的是（ ）
（4分）
A.
B.
C.
D.
正确答案： A
答案解析： 解：根据牛顿第二定律可得加速度大小为：a = F m
由于两物体受外力F大小相等，图像的斜率等于加速度，可知M、N的加速度大小之比为：aM：aN=4：
6=2：3
可知M、N的质量之比为：m1：m2=6：4=3：2
设M、N的质量分别为分：m1=3m,m2=2m
由图像可设MN碰前的速度分别为4v和6v,则因M、N系统受合外力为零，则碰撞过程中动量守恒。
取向右为正方向，由动量守恒定律可得：3m 4v-2m 6v=3mv1+2mv2
若系统为弹性碰撞，根据机械能守恒定律可得：
1
· 3m（4v）2 1+ · 2m（6v）2 1 = · 3mv
2 1+ · 2mv2
2 2 2 1 2 2
解得碰撞后M和N的速度分别为：v1=-4v、v2=6v
因M、N的加速度大小之比仍为2：3，则停止运动的时间之比为1：1，即两物体一起停止；
若不是弹性碰撞，取向右为正方向，由动量守恒定律可得：3m 4v-2m 6v=3mv1+2mv2
可知碰后速度大小之比为：v1：v2=2：3
1 2 1 2 1 1
若假设v1=2v,则v2=3v,此时满足： · 3m（4v） + · 2m（6v） ＞
2
· 3mv1 + · 2mv
2
2 2 2 2 2
则假设成立，因M、N的加速度大小之比仍为2：3，则停止运动的时间之比为1：1，对M来说碰撞前后的速
度之比为4v：2v=2：1
可知碰撞前后运动时间之比为2：1。
综上所述，故A正确、BCD错误。
故选：A。
2. 如图，小球A从距离地面20m处自由下落，1s末恰好被小球B从左侧水平击中，
小球A落地时的水平位移为3m。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取10m/s2，
则碰撞前小球B的速度大小v为（ ）
（4分）
A.1.5m/s
B.3.0m/s
C.4.5m/s
D.6.0m/s
正确答案： B
答案解析： 解：小球A与小球B碰撞前的速度vy1=gt1=10×1m/s=10m/s
方向竖直向下
1 2 1 2
小球A下落的高度h = gt = × 10 × 1 m = 5m 1 2 1 2
取水平方向为正方向，A、B两小球水平方向动量守恒mv=mvxB+mvxA
1
A、B发生弹性碰撞，机械能守恒 mv
2 1 1+ 2 mvy = mv
2 1
xB + m
2
（ v2 + v2 ）
2 2 1 2 2 √ y1 xA
联立解得vxA=v,vxB=0
1 2
碰撞后小球A在竖直方向做匀加速直线运动h2 = h h1 = vy1t 2 + gt2 2
解题t2=1s,t2=-3s（舍弃）
小球A在水平方向做匀速直线运动x=vxAt2=vt2
解得v=3m/s
故ACD错误，B正确。
故选：B。
3. 两小车P、Q的质量分别为mP和mQ，将它们分别与小车N沿直线做碰撞实验，
碰撞前后的速度v随时间t的变化分别如图1和图2所示。小车N的质量为mN，碰撞时间极短，则（ ）
（4分）
A.mP＞mN＞mQ
B.mN＞mP＞mQ
C.mQ＞mP＞mN
D.mQ＞mN＞mP
正确答案： D
答案解析： 解：对P和N的碰撞过程，规定它们初速度的方向为正方向，根据动量守恒定律有
mPvP+mNvN=mPvP′+mNvN′，可得mP（vP-vP′）=mN（vN′-vN），根据图1可知（vP-vP′）＞（vN′-
vN），故mP＜mN，同理，对Q和N组成的系统mQvQ+mNvN=mQvQ′+mNvN′，可得mQ（vQ-vQ′）=mN（vN′-
vN），根据图2可知（vQ-vQ′）＜（vN′-vN），故mN＜mQ，联立可得mQ＞mN＞mP，故D正确，ABC错误。
故选：D。
二、多选题（共1小题,共6分）
4. 如图甲，在杂技表演中，表演者平躺在水平地面上，腹部上平放一块石板，助手用铁锤猛击石板，
石板裂开而表演者没有受伤（危险节目，请勿模仿）。其原理可简化为图乙所示：
质量为m的铁锤从石板上方高h处由静止自由落下，竖直砸中石板，铁锤与石板瞬间达到共同速度，
之后，铁锤与石板一起向下运动距离d后速度减为零，
该过程中弹性气囊A对石板的作用力F随石板向下运动的距离x的变化规律近似如图丙所示，
已知石板的质量为铁锤质量的k倍，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
（6分）
2gh
A.铁锤与石板碰撞后的共同速度大小v = √ k + 1
B.碰撞过程中系统机械能的损失量ΔE = kmgh k + 1
2mgh
C.弹性气囊A对石板作用力的最大值Fm = k + (k + 2)mg ( + 1)d
mgh
D.弹性气囊A对石板作用力做的功为WF = k + (k + 1)mgd ( + 1)
正确答案： B C
答案解析： A. 假设铁锤与石板碰撞前的速度为v ，则v20 = 2gh ，铁锤与石板碰撞，由动量守恒定0
律，有mv0 = (m + km)v ，联立解得v
√ 2gh
= k ，故 A 错误；+ 1
1 1
B. 系统损失的机械能为ΔE 2= 2 mv (km +m)v ，解得ΔE =
kmgh
k ，故 B 正确；2 0 2 + 1
kmg + F
CD. 弹性气囊 A 对石板的作用力F 做的功为F x 图像与横轴围成的面积， 则W = m F · d 2
，从铁锤与石板共速到两者速度减为 0 的过程，根据动能定理得
(m 1+ km)gd +WF = 0 (km +m)v
2
，解得WF =
mgh
k (k + 1)mgd ，2 ( + 1)
F 2mghm = k d + (k + 2)mg ，故 C 正确，D 错误。( + 1)
三、计算题（组）（共5小题,共80分）
5. 如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n个。
在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度v0向右运动，与钢球发生正碰。
所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。
（13分）
(1)若钢球质量为m,求最右侧的钢球最终运动的速度大小v； （4分）
正确答案： 最右侧的钢球最终运动的速度大小v为v0；
答案解析： 依题意，所有碰撞均为弹性碰撞，若钢球质量为m,玻璃球与钢球质量相等，根据弹性碰撞规
律可知，在碰撞过程中，二者速度互换，则最终碰撞后最右侧钢球的速度大小等于开始碰撞前玻璃球的
初速度为v0。
(2)若钢球质量为3m,求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小v1； （4分）
v
正确答案： 玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小v1为
0
； 2
答案解析： 根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，玻璃球与右侧钢球碰撞过程，取向右为正方
向，由动量守恒定律得
mv0=mv1+3mv2
1 2 1 2 1 2
由机械能守恒定律得 mv = mv + × 3mv 2 0 2 1 2 2
v m 3m v 1 v v 2m 1解得 = m m = = v = v 1 + 3 0 2 0 ， 2 m + 3m 0 2 0
1
负号表示速度反向，则玻璃球的速度大小为 v 0 。 2
(3)若钢球质量为3m,求玻璃球经历2n次碰撞后的动能Ek。 （5分）
1 4n+ 1
正确答案： 玻璃球经历2n次碰撞后的动能Ek为（ ） mv
2
0 。2
答案解析： 根据题意结合小问2分析可知，玻璃球与右侧第一个小球碰撞后反弹，且速度大小变为
1
碰撞前的 ，右侧第一个小球又与第二个小球发生弹性碰撞，速度互换，静止在光滑水平面上，玻璃球2
反弹后与左侧第一个小球同样发生弹性碰撞，同理可得，碰撞后玻璃球再次反弹，且速度大小为碰撞前
1 1 2n
的 ，综上所述，玻璃球碰撞2n次后速度大小为v =（ ） v2 2 0
E 1 mv2 1 4n+ 1 2则玻璃球碰撞2n次后最终动能大小 k = =（ ） mv0 。 2 2
1
6. 如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的 圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，4
圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。
质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，
1
当速度减小至刚接触时的 时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，从静止开始向右滑动。3
g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，
弹簧长度的变化始终在弹性限度内。
（25分）
(1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； （6分）
正确答案： 小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功mgR；
答案解析： 小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功为：
WG=mgR；
(2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； （6分）
3√ 2gR 5
正确答案： 小球与弹簧刚接触时速度的大小为 ，及B、A两点间的距离为 R ；2 4
答案解析： 设小球与弹簧刚接触时速度的大小为v0，已知小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接
1
触时的 时弹簧的弹性势能为2mgR，根据机械能守恒定律可得：3
1
mv
2 1 - m
1
（ 2
0
v ）
0 =2mgR2 2 3
3√ 2gR
解得：v0= 2
设B、A两点间的距离为h,对小球从B点到离开圆弧轨道的过程，根据动能定理得：
1 2
mg（h+R）= mv -02 0
5
解得：h= R 4
(3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ （6分）
正确答案： 欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为4m；
答案解析： 设Q的质量应为M1，P和Q断开后，P、Q和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒。当
P和Q恰好共速时弹簧的弹性势能最大，已知弹性势能最大Epm=2.2mgR，以向右为正方向，根据动量守恒
定律与机械能守恒定律得：
1
m v0=（m+M3 1）v共
1 1 1
2mgR+ m（ v0）
2= （m+M
2
2 3 2 1
）v共 +2.2mgR
解得：M1=4m
(4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ （7分）
1
正确答案： 欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为 9 m。
答案解析： P和Q断开后，当弹簧恢复原长时Q的动能最大，设弹簧恢复原长时Q的动能为Ek，速度
为vQ，Q的质量为M，以向右为正方向，根据动量守恒定律与机械能守恒定律得：
1
m v0=mvP+Mv3 Q
1 1 1 2 1 2
2mgR+ m（ v ）
2= mv + Mv
2 3 0 2 P 2 Q
1 2
又有：Ek= MvQ 2
联立可得：2（m +M）E 2m√k MgR · √Ek
2
4m gR = 0
E √√ M + √ 9M + 8m解得： k = √ 2（M + m · m gR ，另一解为负值，舍去。）
√M + √ 9M + 8m
令：y= 2（M + m）
将y对M求导，并令其倒数等于0，得到：
（m M）√ 9M + 8m = √M（9M + 7m）
将此式平方可得：9M3+7m2M+17mM2-m3=0
M
令： m = x ，x＞0
上式可变形为：9x3+17x2+7x-1=0
可得：（x+1）（9x2+8x-1）=0
则有：9x2+8x-1=0
1
解得：x= ，另一解为负值，舍去。9
M 1 1
可得当 = ，即M= m时， E m 取最大值，即E 取最大值。9 9 √ k k
1 9
（验证：当M= m时，可得Ek最大值为 mgR ，最终Q的最大速度大小为3v0，P的最终速度为零，即Q最9 4
1
终的动能等于系统初始的机械能，系统初始的机械能等于 mv
2 9
0 =
mgR ，可见此结果合理。）
2 4
7. 如图所示，一足够长的平直木板放置在水平地面上，木板上有3n（n是大于1的正整数）
个质量均为m的相同小滑块，从左向右依次编号为1、2、…、3n,木板的质量为nm。
相邻滑块间的距离均为L，木板与地面之间的动摩擦因数为μ，滑块与木板间的动摩擦因数为2μ。
初始时木板和所有滑块均处于静止状态。现给第1个滑块一个水平向右的初速度，大小为√ βμgL
（β为足够大常数，g为重力加速度大小）。滑块间的每次碰撞时间极短，
碰后滑块均会粘在一起继续运动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（18分）
(1)求第1个滑块与第2个滑块碰撞前瞬间，第1个滑块的速度大小。 （6分）
正确答案： 第1个滑块的速度大小为v10 = √（β 4）μgL ；
答案解析： 对长木板和滑块分别做受力分析可知，第一个滑块开始向右运动的过程中，受到的摩
擦力为f=2μmg,而长木板受到地面的最大静摩擦力为：fm=μ（M+3nm）g,由于n＞1，则f＜fm，所以长木
板处于静止状态，第一个滑块做匀减速运动，对第一个滑块，由牛顿第二定律可得：
2μmg=ma,解得：a=2μg
设第一个滑块与第二个滑块碰撞前的速度为v10，初速度为v √1 = βμgL ，由运动学公式可得：
v2 v2 2aL 1 10 =
联立解得：v √10 = （β 4）μgL ；
(2)记木板滑动前第j个滑块开始滑动时的速度为vj，第j+1个滑块开始滑动时的速度为vj+1。
用已知量和vj表示vj+1。 （6分）
正确答案： 用已知量和vj表示vj+1的关系式为vj+ 1 =
j
j √ v
2
j 4μgL ；+ 1
答案解析： 设第一个和第二个滑块碰撞后共同的速度为v2，对第一、第二个滑块组成的系统，以
水平向右的方向为正方向，由动量守恒定律可得：mv10=2mv2，
v 1 1 1解得： = v = √（β 4）μgL =
2
√ v 4μgL 2 2 10 2 2 1
2 2
设第二个滑块和第三个滑块碰撞前的速度为v20，则有：v v = 2aL 2 20 ，
解得：v 220 = √ v2 4μgL
碰撞后共同的速度为v3，由动量守恒定律可得：2mv20=3mv3，
2 2
解得：v 23 = v =3 20 √ v2 4μgL 3
设第3个滑块和第4个滑块碰撞前的速度为v 230，则有：v3 v
2
30 = 2aL ，
解得：v =
30 √ v
2 4μgL
3
碰撞后共同的速度为v4，由动量守恒定律可得：3mv30=4mv4，
3 3
解得：v = v = √ v2 4μgL 4 4 30 4 3
由此类推可得：vj =
j v2
+ 1 j + 1 √ j 4μgL ；
(3)若木板开始滑动后，滑块间恰好不再相碰，求β的值。
1
提示：12+22+ +k2 = k（k+1）（2k+1）。 （6分）6
2
正确答案： β的值为 4n（2n + 1）（8n + 10n + 5） 。 3（2n 1）
答案解析： 设k个滑块一起在木板上滑动时，木板可以滑动，则有：
2μkmg＞μ（nm+3nm）g,解得：k＞2n
由此可知，第2n+1个滑块在木板上滑动时，木板开始滑动，其余滑块和木板相对静止，设第2n+1个滑块
刚开始在木板上时的速度大小为v2n+1，加速度的大小为a1，木板的加速度大小为a2，由（2）可知：
v 1n = n √
4
μgL[β n（2n + 1）（4n 1）] 2 + 1 +2 + 1 3
由牛顿第二定律可得：2μ（2n+1）mg=（2n+1）ma1
2μ（2n+1）mg-4μnmg=[4n-（2n+1）]ma2
设第2n+1个滑块开始滑动后，经过时间t与木板达到共同速度，恰好不与下一个滑块相碰，由运动学公式
可得；v2n+1-a1t=a2t
v t 1 a t2 1 a t2n = L 2 + 1 2 1 2 2
2
联立以上各式解得： 4n（2n + 1）（8n + 10n + 5）β = 。3（2n 1）
8. 某物体以一定初速度从地面竖直向上抛出，经过时间t到达最高点。在最高点该物体炸裂成A、
B两部分，质量分别为2m和m,其中A以速度v沿水平方向飞出。重力加速度为g,不计空气阻力。求：
（8分）
(1)该物体抛出时的初速度大小v0； （2分）
正确答案： 该物体抛出时的初速度大小v0为gt；
答案解析： 物体竖直上抛至最高点时速度为零，由运动学公式得：
0=v0-gt
解得：v0=gt
(2)炸裂后瞬间B的速度大小vB； （3分）
正确答案： 炸裂后瞬间B的速度大小vB为2v；
答案解析： 爆炸瞬间水平方向动量守恒，爆炸前总动量为零，以炸裂后瞬间B的速度方向为正方
向，由动量守恒定律得：
0=-2mv+mvB
解得：vB=2v
(3)A、B落地点之间的距离d。 （3分）
正确答案： A、B落地点之间的距离d为3vt。
答案解析： 爆炸后A、B两部分均做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动。根据竖直上抛运动的
对称性可知平抛运动的时间与上升时间相等为t,可得：
A的水平位移大小为：xA=vt
B的水平位移大小为：xB=vBt=2vt
可得A、B落地点之间的距离为：d=xA+xB=vt+2vt=3vt
9. 如图所示，两个完全相同的直角三角形光滑斜面体固定在水平地面上，倾角均为θ=30°，
斜面体顶端均固定相同的轻质滑轮。两根等长的轻细线均绕过滑轮，
一端与放在斜面上的质量均为m的物块A、B相连，另一端与质量为2m的物块C连接。
一开始用外力托住物块A、B、C，细线处于拉直状态，此时物块C距离地面高度为h0，同时撤去外力后，
物块C开始向下运动。已知物块C触地后速度立即变为零；物块C被提起时，细线瞬间绷直，
绷直瞬间细线上的拉力非常大；从细线绷直到物块C再次落地前，细线均保持拉直状态；
在整个运动过程中，细线始终不会脱离滑轮，物块A、B不会与滑轮相碰；不计一切摩擦，
重力加速度为g,求：
（16分）
(1)物块C开始下落时的加速度大小a1； （2分）
正确答案： 解；（1）由对称性可知两细线的弹力相等，设为T。A、B、C的加速度大小均相等。
根据牛顿第二定律可得：
对A有：T-mgsinθ=ma1
对C有：2mg-2T=2ma1
1
解得：a1= g 4
答案解析： 由对称性可知两细线的弹力相等，A、B、C的加速度大小均相等，根据牛顿第二定律求解；
(2)物块C第一次触地过程中损失的机械能ΔE； （2分）
正确答案： C从开始下落到接触地面前瞬间：
v2 =2a
1 1
h0
gh
解得：v1=√ 0 2
物块C第一次触地过程中损失的机械能为：
1
ΔE= mv
2
2 1
1
解得：ΔE= mgh2 0
答案解析： 根据运动学公式求得C从开始下落到落地前瞬间的速度，物块C第一次触地过程中损失的机械
能等于落地前瞬间的动能；
(3)物块C第一次触地后上升的最大高度h1； （3分）
正确答案： C触地后，A、B先以初速度大小为v1沿着斜面上滑，速度减到零后再下滑，下滑至细
线再次绷直前瞬间的速度大小仍为v1。
细线绷直瞬间，细线上的拉力非常大，远大于物块的重力，可将A、B、C与细线组成的系统看成是一维的
动量守恒的系统（即把两细线伸直，AB在两细线同一端，C在两细线另一端），设细线再次绷直后瞬间
A、B、C的速度大小均为v2，在等效的一维系统中，以AB的速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
2mv1=4mv2
gh
解得：v = 1 √ 0 2 2 2
1
此后C以加速度大小为a1= g，向上做匀减速直线运动，则有：4
v2
2 =2a1h1
1
解得：h1= h0 4
答案解析： 细线绷直瞬间，细线上的拉力远大于物块的重力，可将A、B、C与细线组成的系统看成是一
维的动量守恒的系统，由动量守恒定律求得C上升的初速度，由运动学公式求解上升的高度；
(4)物块C从开始下落到最终停止运动所经历的时间t。 （9分）
正确答案： 把C由最高点开始下落到下一次上升到最高点当作一个过程，第1次这个过程C由高度
1
h0开始，第2次这个过程C由高度h1= h 开始，根据（2）（3）的解答过程，可得到第3次这个过程C由4 0
1 1
高度h2= h4 1=
h
16 0
开始，以此类推可得：
1 n 1
第n次开始的高度为：hn=( ) h 0 。4
第1次这个过程的时间包括：
v1 2h
①C由最高点下落时间为：t1=
0
a =2√ 1 g
②C触地后A、B上滑后下滑至再次绷直的时间，此过程A、B的加速度大小为：
1
a2=gsinθ= 2 g
v1 2h
所用时间为：t2=2×
0
a =2√2 g
v2 √ 2h③C上升至最高点所用时间为：t = = 0 3 a g 1
第1次这个过程的时间总时间为：
2h
t1总 = t1 + t2 + t
0
3 = 5√ g
可知这个过程的时间总时间与开始时的高度的平方根成正比，故可得：
√ 2ht = 0 1 n 1n总 5 g ×( ) 2
当n→∞，应用等比数列求和，可得物块C从开始运动到最终停止所经历的总时间为：
t=t1总+t2总+t3总+……=5√ 2h0 1 1 2 1 3 2h [1 + + ( ) + ( ) + ……] = √ 0 g 2 2 2 10 g
答案解析： 把C由最高点开始下落到下一次上升到最高点当作一个过程，根据（2）（3）的解答过程，
归纳总结运动规律，应用数学知识求解物块C从开始运动到最终停止所经历的总时间。15.4碰撞
满分：98
班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、单选题（共3小题,共12分）
1. 如图所示，光滑水平面上，小球M、N分别在水平恒力F1和F2作用下，
由静止开始沿同一直线相向运动，在t1时刻发生正碰后各自反向运动。已知F1和F2始终大小相等、
方向相反。从开始运动到碰撞后第1次速度减为0的过程中，两小球速度v随时间t变化的图像，
可能正确的是（ ）
（4分）
A.
B.
C.
D.
2. 如图，小球A从距离地面20m处自由下落，1s末恰好被小球B从左侧水平击中，
小球A落地时的水平位移为3m。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取10m/s2，
则碰撞前小球B的速度大小v为（ ）
（4分）
A.1.5m/s
B.3.0m/s
C.4.5m/s
D.6.0m/s
3. 两小车P、Q的质量分别为mP和mQ，将它们分别与小车N沿直线做碰撞实验，
碰撞前后的速度v随时间t的变化分别如图1和图2所示。小车N的质量为mN，碰撞时间极短，则（ ）
（4分）
A.mP＞mN＞mQ
B.mN＞mP＞mQ
C.mQ＞mP＞mN
D.mQ＞mN＞mP
二、多选题（共1小题,共6分）
4. 如图甲，在杂技表演中，表演者平躺在水平地面上，腹部上平放一块石板，助手用铁锤猛击石板，
石板裂开而表演者没有受伤（危险节目，请勿模仿）。其原理可简化为图乙所示：
质量为m的铁锤从石板上方高h处由静止自由落下，竖直砸中石板，铁锤与石板瞬间达到共同速度，
之后，铁锤与石板一起向下运动距离d后速度减为零，
该过程中弹性气囊A对石板的作用力F随石板向下运动的距离x的变化规律近似如图丙所示，
已知石板的质量为铁锤质量的k倍，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
（6分）
A.铁锤与石板碰撞后的共同速度大小v √ 2gh= k + 1
kmgh
B.碰撞过程中系统机械能的损失量ΔE = k + 1
2mgh
C.弹性气囊A对石板作用力的最大值Fm = k d + (k + 2)mg ( + 1)
mgh
D.弹性气囊A对石板作用力做的功为WF = k + (k + 1)mgd ( + 1)
三、计算题（组）（共5小题,共80分）
5. 如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n个。
在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度v0向右运动，与钢球发生正碰。
所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。
（13分）
(1)若钢球质量为m,求最右侧的钢球最终运动的速度大小v； （4分）
(2)若钢球质量为3m,求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小v1； （4分）
(3)若钢球质量为3m,求玻璃球经历2n次碰撞后的动能Ek。 （5分）
1
6. 如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的 4 圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，
圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。
质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，
1
当速度减小至刚接触时的 3 时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，从静止开始向右滑动。
g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，
弹簧长度的变化始终在弹性限度内。
（25分）
(1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； （6分）
(2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； （6分）
(3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ （6分）
(4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ （7分）
7. 如图所示，一足够长的平直木板放置在水平地面上，木板上有3n（n是大于1的正整数）
个质量均为m的相同小滑块，从左向右依次编号为1、2、…、3n,木板的质量为nm。
相邻滑块间的距离均为L，木板与地面之间的动摩擦因数为μ，滑块与木板间的动摩擦因数为2μ。
初始时木板和所有滑块均处于静止状态。现给第1个滑块一个水平向右的初速度，大小为√ βμgL
（β为足够大常数，g为重力加速度大小）。滑块间的每次碰撞时间极短，
碰后滑块均会粘在一起继续运动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（18分）
(1)求第1个滑块与第2个滑块碰撞前瞬间，第1个滑块的速度大小。 （6分）
(2)记木板滑动前第j个滑块开始滑动时的速度为vj，第j+1个滑块开始滑动时的速度为vj+1。
用已知量和vj表示vj+1。 （6分）
(3)若木板开始滑动后，滑块间恰好不再相碰，求β的值。
1
提示：12+22+ +k2 = k（k+1）（2k+1）。 （6分）6
8. 某物体以一定初速度从地面竖直向上抛出，经过时间t到达最高点。在最高点该物体炸裂成A、
B两部分，质量分别为2m和m,其中A以速度v沿水平方向飞出。重力加速度为g,不计空气阻力。求：
（8分）
(1)该物体抛出时的初速度大小v0； （2分）
(2)炸裂后瞬间B的速度大小vB； （3分）
(3)A、B落地点之间的距离d。 （3分）
9. 如图所示，两个完全相同的直角三角形光滑斜面体固定在水平地面上，倾角均为θ=30°，
斜面体顶端均固定相同的轻质滑轮。两根等长的轻细线均绕过滑轮，
一端与放在斜面上的质量均为m的物块A、B相连，另一端与质量为2m的物块C连接。
一开始用外力托住物块A、B、C，细线处于拉直状态，此时物块C距离地面高度为h0，同时撤去外力后，
物块C开始向下运动。已知物块C触地后速度立即变为零；物块C被提起时，细线瞬间绷直，
绷直瞬间细线上的拉力非常大；从细线绷直到物块C再次落地前，细线均保持拉直状态；
在整个运动过程中，细线始终不会脱离滑轮，物块A、B不会与滑轮相碰；不计一切摩擦，
重力加速度为g,求：
（16分）
(1)物块C开始下落时的加速度大小a1； （2分）
(2)物块C第一次触地过程中损失的机械能ΔE； （2分）
(3)物块C第一次触地后上升的最大高度h1； （3分）
(4)物块C从开始下落到最终停止运动所经历的时间t。 （9分）
