3.1 代数式（共3课时，76张PPT）2025-2026学年数学北师大版（2024）七年级上册

(共76张PPT)
课时1 代数式
3.1 代数式
第三章 整式及其加减
1.了解代数式的概念及其书写规范；
2.学会根据数量关系列代数式；
3.理解代数式在具体问题中所表达的含义。
…
用长度相同的小棒按如图所示的方式拼摆正方形。
拼摆1个正方形需要____根火柴棒.
拼摆2个正方形需要____根火柴棒.
拼摆3个正方形需要____根火柴棒.
4
7
10
探究点 代数式
问题1
(1) 拼摆5个这样的正方形需要多少根小棒？
1+3×5=16(根)
(2) 拼摆100个这样的正方形需要多少根小棒？
1+3×100=301(根)
方法1：
(2) 拼摆100个这样的正方形需要多少根小棒？
4+3×(100-1)=301(根)
方法2：
(3) 拼摆 x 个这样的正方形需要多少根小棒？
1+3×x
4+3 (x-1)
方法1：
方法2：
(3) 拼摆 x 个这样的正方形需要多少根小棒？
4x - (x-1)
方法3：
(3) 拼摆 x 个这样的正方形需要多少根小棒？
x+x + (x+1)
方法4：
(4) 拼摆200个这样的正方形需要多少根小棒？
你是怎样计算的？
当x=200时，1+3x=1+3×200=601
即拼摆200个这样的正方形需要601根小棒。
(1) 在上面的活动中，我们借助字母表示正方形的个数与小棒的根数之间的关系，这样做有什么好处？
可以用一个式子表示任意个数的正方形与小棒根数之间的关系。
问题2
(2) 在以前的学习中还有哪些地方用到了字母？这些字母都表示什么？
用字母表示数的运算律
加法的交换律：
a+b=b+a；
加法的结合律：
(a+b)+c=a+(b+c)；
乘法的交换律：
ab=ba；
乘法的结合律：
(ab)c=a(bc)；
乘法对加法的分配律：
a(b+c) =ab+ac.
问题2
用字母表示面积公式
(1) 今年李华m岁，去年李华________岁，5年后李华________。
(2) a个人n天完成一项工作，那么平均每人每天的工
作量为________。
(3) 某商店上月的收人为a元，本月的收入比上月收入的2倍还多10元，本月的收入是________元。
(4) 如果一个正方体的棱长是a―1，那么这个正方体的体积是________，表面积是________。
(2a+10)
(m+5)
(a-1)3
6(a-1)2
(m-1)
问题3
像4+3(x-1)，x+x+(x+1)，m-1，m+5，2a+10，
(a-1)3，6(a-1)2等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接
而成的，这样的式子叫作代数式。
代数式的概念
单独一个数或一个字母也是代数式．
4+3(x-1)，x+x+(x+1)，m-1，m+5，，2a+10，(a-1)3，6(a-1)2
用具体数值代替代数式中的字母，
就可以求出代数式的值
代数式的书写要求
1
在代数式中，数字与字母或字母与字母相乘，通常将乘号写作“·”，或省略不写，数字要写在字母的前面.
3×a写作 3·a或 3a.
a×b写作 a·b或 ab.
2
数字因数是1或-1时，常省略“1”.
如1a写成a，-1ab写成-ab.
3
带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数.如 应写成 .
4
在含有字母的除法运算中，结果一般写成分数的形式.如 写成 .
5
在实际问题中，如果式子是和或差的形式，要把整个式子括起来，再写单位名称，如(a+b)千克.
1.判断下列式子哪些是代数式，哪些不是代数式，是的打“√”，不是的打“×”。
(1) a2+b2 ( )
(3) x=2 ( )
(5) a≠b ( )
(4) 13 ( )
(6) x+2＞3 ( )
(2) ( )
√
√
×
√
×
×
代数式中不含表示数量关系的符号。
如“=”“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”等。
对应训练
2.（1）小明步行上学，速度为 v m/s；小亮骑自行车上学，速度是小明的3倍，则小亮的速度可以表示为_______m/s.
3v
在含有字母的式子中如果出现乘号，
通常将乘号写作“·”或省略不写.
对应训练
(2) 如图，用字母表示图中阴影部分的面积.
mn-pq
对应训练
3.用代数式表示下列各数：
解：(1)10b+a
(1) 个位数字是 a，十位数字是 b(b≠0)的两位数；
(2) 个位数字是 a，十位数字是 b，百位数字是 c (c≠0)的三位数。
(2)100c+10b+a
对应训练
1.以下各式不是代数式的是( )
A.πa+b
B.
C.5=3+a
D.0
C
2.下列各式符合代数式书写规范的是( )
A.1x
B.2
C.0.3÷x
D.-
D
3. 某校购进单价为 a 元的排球10个，单价为 b 元的篮球5个，则一共需支付( )
A.(10a+5b) 元
B.(10a-5b) 元
C.(5a+10b) 元
D.(5a-10b) 元
A
4.三个连续的偶数，中间的数是n，则最大的数是________。
5.用代数式表示：
(1) 比k的3倍少6的数可以表示为________；
(2) x的相反数与y的和可以表示为________；
(3) m的4倍与n的差的平方可以表示为_______。
n+2
3k-6
-x+y
(4m-n)2
代数式
代数式的概念
用运算符号把数与字母连接而成的式子叫作代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
用字母表示数
字母可以表示任何数
课时2 代数式求值
3.1 代数式
第三章 整式及其加减
2.能在具体情境中，解释代数式的实际意义．
1.在具体情境中，能正确列出代数式，会把具体数代入代数式进行计算．
用运算符号把数与字母连接而成的式子叫作代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值
什么是代数式？
某景点的门票价格：成人票每张10元，学生票每张5元。
(1) 一个旅游团有成人x名、学生y名，那么该旅游团应付多少门票费？
该旅游团应付门票费(10x+5y)元。
探究点 1 代数式求值
问题1
(2) 如果该旅游团有37名成人、15名学生，那么他们应付多少门票费？
把x=37，y=15代入代数式10x+5y，得
10×37+5×15=445 。
因此，他们应付门票费445元。
代数式10x+5y还可以表示哪些生活中的问题
用x和y分别表示小明每秒跑步的速度和走路的速度，
用x和y分别表示1元硬币和5角硬币的枚数，
则10x＋5y表示他跑步10s和走路5s所经过的路程.
则10x＋5y表示x枚1元硬币和y枚5角硬币共多少钱.
例 营养学家通常用身体质量指数(简称BMI)衡量人体胖瘦程度，这个指数等于人体体重（单位：kg）与人体身高（单位：m）平方的商。对于成年人来说，BMI在 18.5~24 之间，体重适中； BMI低于 18.5，体重过轻； BMI高于24，体重超重。
（1）设一个人的体重为 w kg，身高为 h m，请用含w，h的代数式表示这个人的BMI。
（2）张老师的身高为 1.75 m，体重是 65 kg，他的体重是否适中？
当w=65，h=1.75时
张老师体重适中.
你的身体质量指数是多少？
1.代数式6p可以表示什么？
6的p倍
p的6倍
6个p的和
2.求代数式3a2-2ab的值，其中a=6，b=- 。
解：当a=6，b= - 时，
3a2-2ab=3×62-2×6×(- )=116。
练一练
3. 华氏温度 f (单位: ℉)与摄氏度c(单位:℃)之间存在如下的关系： f= +32。小华对潇潇说：“现在室内的摄氏温度是20 ℃，此时对应的华氏温度应该是68℉”，请你通过计算说明小华的说法对吗
解：将c=20代入 f= +32，得
f= 20+32=36+32=68(℉)。
答：小华的说法对。
填写下表，并观察5n+6和n2这两个代数式的值的变化情况。
（1）随着 n 的值逐渐变大， 5n+6和n2这两个代数式的值如何变化？
n 1 2 3 4 5 6 7 8
5n+6
n2
11
1
16
4
21
9
26
16
31
25
36
36
41
49
46
64
两个代数式的值都逐渐增大。
n2的值先超过 100。
（2）估计一下，哪个代数式的值先超过 100？
探究点 2 代数式的值的变化探究
问题
1.填写下表，并观察-8n+5和-n2这两个代数式的值的变化情况。
n 1 2 3 4 5 6 7 8
-8n+5
-n2
-3
-11
-19
-27
-35
-43
-51
-59
-1
-4
-9
-16
-25
-36
-49
-64
（1）随着 n 的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？
（2）估计一下，哪个代数式的值先小于 -100？
（1）随着 n 的值逐渐变大，两个代数式的值都逐渐减小；
（2）-n2 的值先小于-100 。
练一练
例1 如图是一个“数值转换机”的示意图，根据要求写出输出的结果。
(1) 当输入x=1，y=3 时，求输出的结果；
(2) 当输入x=3，y=-4 时，求输出的结果；
解：根据题中“数值转换机”的示意图可得输出的结果是代数式 x3＋2y-3 的值。
(1) 当输入x=1，y=3 时， 输出的结果为x3＋2y-3=13＋2×3-3=4。
(2) 当输入x=3，y=-4 时， 输出的结果为x3＋2y-3=33＋2×(-4) -3=16。
例2 在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”。右面是一组“数值转换机”，请填写下表，并写出图①的输出结果、图②的运算过程。
-15
-30
-6
-21
-3
-18
-1.44
-16.44
-1
-16
12
-3
24
9
-3
x-3
(x-3)×6
6x-3
1.当x=2时，代数式2x-3的值为( )
A.1
B.-1
C.5
D.3
A
2.若x=-2，y=1，则代数式2x+3y+2的值为( )
A.9
D.-1
C.1
B.3
C
3.下图是一个“数值转换机”的示意图，若输入的值分别为则输出的结果是(　　)
A B. C. D.
D
4.观察右图，回答下列问题：
(1)标出未注明的边的长度；
(2)阴影部分的周长是___________；
(3)阴影部分的面积是______________；
(4)当时，阴影部分的周长是________，面积是________.
2y
y
0.5x
x
y
2y
0.5x
2x
y
(2)如果是100元，将代入代数式，得：
(元).
表示原价为元的衣服，提高后的价格后为元.
5.(1)代数式可以表示什么？
(2)用具体数值代替中的，并解释所得代数式值的意义.
解：(1)若表示某件物品的原价，那么(1＋8%)表示价格提高 8%后的价格.
1.在具体情境中，主要根据什么列代数式
2.怎样求代数式的值
3.你能给一个指定的代数式赋予实际背景或几何意义吗
4.字母的值与代数式的值之间的关系是怎样的
5.我们是怎样根据代数式的值的变化趋势进行预测的
代数式求值
用数值代替代数式中的字母
代数式的值随字母的取值变化而变化
①同一代数式中的字母在不同问题中代表不同的量
②在同一问题中不同的量要用不同的字母来表示
课时3 整式
3.1 代数式
第三章 整式及其加减
1.通过具体实例理解单项式、多项式及整式的有关概念；
2.能识别单项式、多项式及整式，知道它们之间的联系与区别；
3.能确定单项式的系数与次数，多项式的次数与项等，并能灵活运用.
某学校的操场如图所示，由一个长方形和两个半圆组成。
(1) 两个半圆的面积和是多少？
(2) 整个操场的面积是多少？
π ()2
π ()2+ab
这两个代数式之间有什么区别和联系呢？
一个组合柜如图①所示，内部用隔板纵向分隔成 5 个独立的小柜子(如图②)，柜门由 5 个完全相同的长方形组成。
图①
图②
探究点 整式的相关概念
问题1
(1) 若要在 5 个柜门的周边都贴上装饰条，则所需装饰条的总长度是多少
5a
5a
纵向要贴____根装饰条
长度为______________。
总长度：____________。
10
10×b=10b
5a+5a+10b
(2) 若要给柜门外表面喷漆，则需要喷漆的面积是多少(边框缝隙忽略不计)
喷漆的面积是 5ab。
(3) 设柜子的进深为 c (如图①)，则整个柜子的容积是多少(柜门、隔板及背板的厚度忽略不计)
整个柜子的容积是 5abc。
图①
观察代数式 5ab，5abc，3v，6p。它们是数与字母通过什么运算构成的？
5ab=5·a·b
3v=3·v
5abc=5·a·b·c
6p=6·p
乘法运算
都是数与字母的乘积
Ⅰ. 单项式及其相关概念
问题2
像5ab，5abc，3v，6p等，它们都是数与字母的乘积，这样的代数式叫作单项式.
单独一个数或一个字母也是单项式.
(1)上面 5ab，5abc，3v，6p 都是数与字母的乘积，其中数也是数字因数，指出 5ab，3v 的数字因数分别是什么？
分别是 5，3
单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。
问题3
5 a b
(2) 5ab，3v 中各个字母的指数分别是什么？
3 v
指数是1
指数是1
指数是1
所有字母的指数和叫作这个单项式的次数。
注意：
① ab 这样的代数式，可视为1与ab的积，是单项式；
② 这样的代数式，可视为与ab的积，是单项式；
③ 作为单项式，单独一个非零数的次数是 0 。
如 10 的次数是 0 。
(3) 说一说 5ab，3v 的系数和次数，再在图示中指出- 的系数和次数。
- =_______
_____
_____
系数
次数
- xy3
-
4
Ⅱ. 多项式、整式及其相关概念
说一说下面的两个式子中被圈住的部分是不是单项式？这些被圈住的式子与原来的两个式子分别是什么关系
5a +5a +10b
10x +5y
单项式
单项式
单项式
单项式
单项式
这些被圈住的单项式的和分别是原来的两个式子。
问题4
几个单项式的和叫作多项式。
如 5a+5a+10b，10x+5y 都是多项式。
在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，如多项式10x+5y 是 10x 与 5y 两项的和。
不含字母的项叫作常数项。
如a2b-3a2+1的常数项是1。
单项式和多项式统称整式.
一个多项式中，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。
如a2b-3a2+1是3次的。
根据上面有关概念填一填下面的图示。
10x+5y
a2b+2a
次数最高的项的次数是_____,
即多项式的次数是_____。
多项式一共有_____项。
次数最高的项是_____，
它的次数是_____，
即多项式的次数是_____。
10x1+5y1
a2b1+2a1
1
1
二
a2b
3
3
问题5
1.有以下式子：
① - mn ，②m，③ ，④ ，⑤ 2m+1，
⑥ ⑦ ，⑧ x2+2x+ 。
其中单项式是________，多项式是________，
整式是________________。
①②③
⑤⑥⑧
①②③⑤⑥⑧
对应训练
2.将下列代数式中的单项式和多项式分别填入所属的圈中，并指出其中：各单项式的系数分别是多少？多项式中哪个次数最高？次数是多少？
单项式
多项式
单项式系数依次为
多项式
次数最高，次数为4
例 请列出下列问题中的代数式，并指出其中：①哪些是单项式？单项式的系数和次数分别是多少 ②哪些是多项式 多项式的次数是多少
(1)如图,一个十字形花坛铺满了草皮，这个花坛草地面积是多少？
这个花坛草地面积是ab－4c2。
ab－4c2是多项式，次数是2。
(2)当水结冰时，其体积大约会比原来增加,x m 的水结成冰后体积是多少
(3)如图,一个长方体的箱子紧靠墙角，它的长、宽、
高分别是a,b,c。这个箱子露在外面的表面积是多
少？
(4)某件商品的成本价为a元，按成本价提高 15% 标价，后又以八折(即按标价的80%)销售，这件商品的售价为多少元？
体积是x m2; x是单项式，系数是，次数是1。
表面积是ac＋bc＋ab; 是多项式，次数是2。
售价是(1＋15%)a×0.8＝0.92a元;
0.92a是单项式，系数是0.92，次数是1。
1.下列说法正确的是(　　)
A．单项式x的系数和次数都是0 B．34x3是7次单项式
C．5πR2的系数是5 D．0是单项式
D
2.多项式1＋2xy－3xy2的次数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
C
3.多项式 x2y+3xy-1 的次数与项数分别是( )
A. 2，3
B. 3，3
C. 4，3
D. 5，3
B
4.多项式 3x2-2x-1 的各项分别是____________，
一次项的系数是________。
3x2，-2x，-1
-2
5. 已知多项式-8x3ym+xy2-3x3+6y 是六次四项式，单项式x2y5-n的次数与这个多项式的次数相同。求m ，n的值。
解：由题意得 3+m=6，2+5-n=6 ，
所以 m=3，n=1。
6.已知关于x的多项式-5x3+(m-1)x2+(3n-2)x-1不含二次项和一次项，求mn的值。
解：因为关于x的多项式-5x3+(m-1)x2+(3n-2)x-1不含二次项和一次项，
所以 m-1=0，3n-2=0，
所以 m =1，n=，
所以 mn =1×=
1. 什么是单项式 怎样判断单项式的系数和次数
2. 什么是多项式 怎样判断多项式的项和次数
3.什么是整式
单项式
多项式
次数：多项式里次数最高项的次数
项：多项式中的每个单项式
系数：单项式中的数字因数
次数：所有字母的指数的和
整式