3.2 整式的加减 2025-2026学年数学北师大版（2024）七年级上册

(共65张PPT)
3.2 整式的加减
课时1 合并同类项
1.理解同类项概念，会识别同类项.
2.掌握合并同类项的法则，并能熟练地合并同类项.
下图的长方形由两个小长方形组成。
长方形的面积：8n+5n=13n
8n
5n
13n
你能用运算律解释这个式子吗？
探究点 合并同类项
问题1
请你根据问题1，化简2xy+3xy及-7a2b+2a2b。
2xy+3xy=(2+3) xy=5xy。
-7a2b+2a2b =(-7+2) a2b =-5a2b。
问题2
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项。
如 8n 与 5n，2xy与3xy，-7a2b与 2a2b 。
把同类项合并成一项叫作合并同类项.
8n+5n=13n
-7a2b+2a2b=-5a2b
2xy+3xy= 5xy
根据乘法对加法的分配律合并同类项：
（1）-xy2+3xy2；
解:-xy2+3xy2
=(-1+3)xy2
=2xy2
合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变．
简记为：“一相加两不变”
例1
（2）7a+3a2+2a-a2+3
解:7a+3a2+2a-a2+3
=(7a+2a)+(3a2-a2)+3
=(7+2)a+(3-1)a2+3
=9a+2a2+3
① 找：找出同类项
②移：运用加法运算律将同类项结合
③合：合并同类项
④排：结果可按某一字母升
(降)幂排列，常数项写在最后
1.合并同类项：
对应训练
2.下列各题的结果是否正确？
（1）3x+3y = 6xy； （2）7x-5x = 2x2；
（3）-y2-y2 = 0； （4）19a2b-9ab2 = 10.
解：（1）不正确，因为 3x 与 3y 不是同类项，不能合并；
（2）不正确，合并同类项时，只把系数相加，字母及字母的指数不变，正确结果应为 2x；
2.下列各题的结果是否正确？指出错误的地方.
（1）3x+3y = 6xy； （2）7x-5x = 2x2；
（3）-y2-y2 = 0； （4）19a2b-9ab2 = 10.
（3）不正确，合并同类项时，只把系数相加，字母及字母的指数不变，正确结果应为-2y2；
（4）不正确，19a2b 与 -9ab2 不是同类项，不能合并.
合并同类项：
（1）3a+2b-5a-b；
= (3-5) a+(2-1) b
解:(1)3a+2b-5a-b
= (3a-5a)+(2b-b)
= -2a+b；
例2
①找出同类项（并做标记）；
②运用运算律将多项式的同类项移动并结合；
③合并同类项；
④按同一字母的降幂（或升幂）排列。
合并同类项的一般步骤：
①运用交换律、结合律将多项式变形时，不能
丢掉各项系数的符号；
②不要漏项；
③运算结果通常按某一字母的降幂（或升幂）排列。
合并同类项应注意的问题：
例 求代数式-3x2y+5x-0.5x2y+3.5x2y-2的值，其中x= ，y=7。
1.求下列各式的值：
（1）8p2-7q+6q-7p2-7，其中 p = 3，q = 3；
（2） ，其中 m = 6，n = 2.
（1）8p2-7q+6q-7p2-7 = (8-7) p2 + (-7+6)q -7 = p2-q-7.
当 p=3，q=3 时，原式 = 32-3-7 = -1.
对应训练
1.求代数式的值：
（1）8p2-7q+6q-7p2-7，其中 p = 3，q = 3；
（2） ，其中 m = 6，n = 2.
1.与单项式a2b3不是同类项的是( )
A.-a2b3
B. 3b3a2
C.
D. a3b2
D
2.计算-2x+3y 的结果是 ( )
A.1
B. y
C. -y
D. 5y
B
3.若-5x6y3与2x2ny3是同类项，则常数n的值为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
B
4.“十一”期间，小敏和她的同学们在家长的陪同下去杜甫故里游玩，门票价格是：成人票每张a元，学生票是成人票的一半。小敏的爸爸让小敏购买8张成人票，5张学生票，那么她应付的门票费用是_______元。
10.5a
解：(1) 原式=(2+3-4) m2= m2;
(2) 原式=(2x+5x) +(-3y-8y)-2
=(2+5) x+(-3-8) y-2
= 7x-11y-2;
5.合并同类项：
(1) 2m2+3m2-4m2；
(2) 2x-3y+5x-8y-2；
(3) 4a2+3b2+2ab-4a2-4b2。
5.合并同类项：
(1) 2m2+3m2-4m2；
(2) 2x-3y+5x-8y-2；
(3) 4a2+3b2+2ab-4a2-4b2。
(3) 原式= (4a2-4a2)+(3b2-4b2) +2ab
=(4-4) a2+(3-4) b2+2ab
= -b2+2ab。
6.先化简，再求值：-3a3-2a-6+a3+3a+7，其中a= 。
解：原式= (-3a3+a3)+(-2a+3a)+(-6+7)
= (-3+1) a3+(-2+3) a+(-6+7)
= -2a3+a+1。
当a= ，原式 = -2×()3+ +1=。
1. 什么是同类项
2. 合并同类项的法则是怎样的
3.合并同类项的法则的依据是什么
4.合并同类项在代数式的求值中可以起到什么作用？
同类项的概念
合并同类项的方法
“一加二不变”
两同
两无关
相同字母的指数相同
所含字母相同
与所含字母的顺序无关
与系数无关(不为0)
合并同类项
课时2 去括号
3.2 整式的加减
1．能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则
将整式化简．
2．理解去括号时符号变化的规律,会用去括号法则进行计算.
学习目标
在上一节用小棒拼摆正方形时，拼摆 x 个这样的正方形需要
多少根小棒 用不同的代数式表示。
第1个
第2个
第 x 个
…
…
第3个
x + x + (x + 1)
4 + 3(x - 1)
4x - (x - 1)
3x + 1
这几个代数式相等吗？
探究一：去括号法则
问题：能否用运算律解释下列几个多项式结果为何相等？
x + x + (x + 1)
4 + 3(x - 1)
4x - (x - 1)
利用乘法分配律去括号，可得
= x + x + x + 1
= 3x + 1
= 4x - x + 1
= 3x + 1
= 4 + 3x - 3
= 3x + 1
(1) a + (b + c)
(2) a - (b + c)
括号没了，正负号没变
括号没了，正负号却变了
= a + b + c；
利用乘法分配律将下列各式去括号。去括号前后，括号里
各项的符号有什么变化 与同伴进行交流。
= a - b - c；
(3) a + (b - c)
(4) a - (b - c)
= a + b - c；
= a - b + c。
通过观察与分析，可以得到去括号法则：
1. 括号前是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里
各项的符号都不改变；
2. 括号前是“-”，把括号和它前面的“-”去掉后，原括号里
各项的符号都要改变。
例1　化简下列各式
解：(1) 4a－(a－3b)＝4a－a＋3b＝3a＋3b。
(4) 5x－y－2(x－y)＝5x－y－(2x－2y)＝5x－y－2x＋2y＝3x＋y。
(3) 3(2xy－y)－2xy＝6xy－3y－2xy＝4xy－3y。
(2) a＋(5a－3b)－(a－2b)＝a＋5a－3b－a＋2b＝5a－b。
(1) 4a－(a－3b)； (2) a＋(5a－3b)－(a－2b)；
(3) 3(2xy－y)－2xy； (4) 5x－y－2(x－y)。
1. 判断下面去括号的算式是否正确。正确的在括号里打“√”；错误的在括号里打“×”，并改正。
(1) a2 - (2a - b - c) = a2 - 2a - b - c； ( )
(2) -(x - y) + (xy - 1) = -x - y + xy + 1； ( )
(3) (12 + x) - (2x2 + x3) = 12 + x - 2x2 + x3； ( )
(4) 4x3 - (-3x2 + 2x - 1) = 4x3 + 3x2 - 2x + 1。 ( )
×
+
+
×
+
-
-
×
√
练一练
例2 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是 50 km/h ，水流速度是 a km/h 。
(1) 2 h 后两船相距多远？
(2) 2 h 后甲船比乙船多航行多少千米？
顺水时
逆水时
船的速度＝船在静水中的速度＋水流速度
船的速度＝船在静水中的速度－水流速度
行船问题
分析：
解：顺水航速＝船速＋水速＝(50＋a) km/h，
逆水航速＝船速－水速＝(50－a) km/h。
(1) 由 2(50＋a)＋2(50－a)＝100＋2a＋100－2a
＝200。
(2) 由 2(50＋a)－2(50－a)＝100＋2a－100＋2a
＝4a。
可知，2 h 后两船相距 200 km。
可知，2 h 后甲船比乙船多航行 4a km。
例3 先化简，再求值：
3y2 - x2 + 2(2x2 - 3xy) - 3(x2 + y2)，其中 x = 2，y = -1。
解：原式 = 3y2 - x2 + 4x2 - 6xy - 3x2 - 3y2
= (3y2 - 3y2) + (- x2 + 4x2 - 3x2) - 6xy
= -6xy。
当 x = 2，y = -1 时，上式 = -6×2×(-1) = 12。
1.去括号的依据是( )
A.乘法交换律
B.乘法结合律
C.乘法对加法的分配律
D.乘法交换律与乘法结合律
C
2.把-(2a+b)去括号，结果正确是( )
A. 2a+b
B. -2a+b
C. -2a-b
D. 2a-b
C
3.化简 m-(m+n) 的结果是( )
A.0
B. 2m+n
C.-n
D .2m-n
A
4.一个两位数，个位数字为 a，十位数字比个位数字大1，则这个两位数可表示为_________。
11a+10
5.化简下列各式：
(1) x+(-3y-2x)；
(3) 3(2x-4y)- (-y+3x)；
(4) -2(3y2-5x2) + (7xy-4y2)。
解：(1)原式= x-3y-2x=-x-3y；
(2)原式= -(5- x)+x= -5+ x+x=-5+ x ；
(2) -5(1- x)+x；
(3)原式= (6x-12y) + y-3x
=6x-12y + y-3x
=3x-11y
5.化简下列各式：
(1) x+(-3y-2x)；
(3) 3(2x-4y)- (-y+3x)；
(2) -5(1- x)+x；
(4) -2(3y2-5x2) + (7xy-4y2)。
(4)原式 = - (6y2-10x2) +( xy-y2)
= - 6y2+10x2 + xy-y2
= 10x2+ xy- 7y2
1.去括号时运用的是什么运算律
2.去括号时符号的变化规律是怎样的
3.去括号时要注意什么
4.关于整式的运算，我们已经学过了哪两种法则
去括号
去括号法则
解题步骤
括号前面是“+”，原括号里各项的符号都不改变
①乘系数
②去括号
③合并同类项
括号前面是“-”，原括号里各项的符号都要改变
课时3 整式的加减运算
3.2 整式的加减
学习目标
1.进一步经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感;
2.能灵活准确的运用整式的加减的步骤进行运算.
计算：
(1) 2ab2+3ab2；
(2) 2x+3y-3(x-y) 。
(1) 2ab2+3ab2=(2+3) ab2=5ab2;
(2) 2x+3y-3(x-y) = 2x+3y-3x+3y
= (2x-3x)+(3y+3y)
= -x+ 6y。
再写几个两位数重复上面的过程。这些和有什么规律？这个规律对任意一个两位数都成立吗？
按照下面的步骤做一做：
(1)任意写一个两位数； (2) 交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个数；(3) 求这两个数的和。
Ⅰ.整式的加法运算
探究点 整式的加减运算
问题1
12，21
12+21=33
23，32
23+32=55
62，26
62+26=88
…….
发现这些和都是11的倍数。
猜想这个规律对任意一个两位数都成立。
问题2 如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为10a+b。交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是10b+a。这两个数相加：
(10a+b) +(10b+a)=_____________。
11(a+b)
任意一个两位数，经过上述运算程序后的结果一定是11的倍数。因为
(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)。
任意写一个三位数
交换它的百位数字与个位数字，又得到一个数
两个数相减
Ⅱ.整式的减法运算
问题1 请你任意写一个三位数，按照上面的结果试一试，写出结果。
123，321
123-321=-198
514，415
514-415=99
732，237
732-237=495
…….
问题2 两个数相减后的结果有什么规律？
两个数相减后的结果都是99的倍数。
问题3 这个规律对任意一个三位数都成立吗？
任意一个三位数可以表示为 100 a + 10 b + c。
交换百位数字与个位数字得到 100 c + 10 b + a。
两个数相减，得
(100 a + 10 b + c) –(100 c + 10 b + a)
=99a–99c
=99(a–c)
对任意一个三位数都成立
任意一个三位数，经过上述运算程序后的结果一定是99的倍数。因为
(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)。
通过上面的学习，我们可以得到整式加减的运算法则：
进行整式的加减运算时，如果遇到括号要先去括号，再合并同类项.
1.计算：
(1) (4k2+7k) + (-k2+3k-1)；
(2) (5y+3x-15z2) - (12y+7x+z2)；
(3) 7(p3+p2-p-1) - 2(p3+p)；
(4) -(+m2n + m3) - (-m2n-m3)。
对应训练
解：（1）原式 = 4k2+7k-k2+3k-1 = 3k2+10k-1；
（2）原式 = 5y+3x-15z2-12y-7x-z2 = -7y-4x-16z2；
（3）原式 = 7p3+7p2-7p-7-2p3 -2p= 5p3+7p2-9p-7；
（4）原式 =- -m2n-m3 - + m2n + m3 = -1 。
计算：
2x2-3x+1 与-3x2+5x-7的和；
解:(2x2-3x+1)+ (-3x2+5x-7)
= 2x2-3x+1-3x2+5x-7
= 2x2-3x2-3x+5x+1-7
= -x2+2x-6
例
(2) -x2+3xy- y2 与-x2+4xy- y2的差。
解：(-x2+3xy- y2)- (-x2+4xy- y2)
= -x2+3xy- y2+ x2-4xy + y2
= -x2x2+3xy-4xy - y2 + y2
= -x2-xy + y2 。
1.计算(3x+2)-2(2x+1)的结果是( )
A. x+3
B. -x+3
C. x
D. -x
D
2. 3a+2与5a2-3a-5 的和是 ( )
A. 5a-3
B. 5a2-6a-3
C. 5a2-3
D. 5a2+3
C
3. 若多项式(2x2+ay+6)-(3x2-y)化简后的结果不含字母 y，则a的值为_____。
-1
4.计算：
(1) (5a+3b)+(-2a+4b)；
(2) 3(ab-2b2)-2(3a2-ab)；
(3) -(3a2-ab-6b2)+3(a2+ab-2b2)。
解：(1)原式= 5a+3b-2a+4b
= 5a-2a+3b+4b
= 3a+7b；
(2)原式= 3ab-6b2-6a2+2ab
= -6a2+3ab+2ab-6b2
= -6a2+5ab-6b2；
4.计算：
(1) (5a+3b)+(-2a+4b)；
(2) 3(ab-2b2)-2(3a2-ab)；
(3) -(3a2-ab-6b2)+3(a2+ab-2b2)。
(3)原式 = -3a2+ab+6b2+3a2+3ab-6b2
= -3a2+3a2+ab+3ab+6b2-6b2
= 4ab 。
5.先化简，再求值：x-2( x- y2)+( x+ y2)，其中x=-2，y= 。
解：原式= x - x+ y2 x+ y2
当 x=-2，y= 时，
= -x+y2
原式=-(-2)+()2= 。
1.整式的加减运算主要用到哪两个法则？
2.你是如何进行整式的加减运算的？
先去括号，再合并同类项
先根据题意列代数式，
再按法则进行运算
法则
应用
整式的加减