1.3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定同步练习2025—2026学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定
1.已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，下列可以判定四边形是正方形的是（　　）
A.∠D＝90° B.AB＝CD C.AC＝BD D.BC＝CD
2.若四边形ABCD的对角线AC与BD相等且互相垂直，则顺次连接这个四边形四边中点得到的四边形是（　　）
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
3.如图，在平行四边形ABCD中，添加的下列条件中，能判定平行四边形ABCD是正方形的是（　　）
第3题图
A.AC＝BD，AC⊥BD B.AC＝BD，∠ABC＝90°
C.BD平分∠ABC，AB＝BC D.AB＝BC，AC⊥BD
4.如图，点E为正方形ABCD内一点，AD＝ED，∠AED＝70°，连接EC，那么∠AEC的度数是（　　）
第4题图
A.105° B.130° C.135° D.140°
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件　 　，使菱形ABCD是正方形.
第5题图
6.在平面直角坐标系中，一个四边形各顶点坐标分别为A（－1，－2），B（4，－2），C（4，3），D（－1，3），则四边形ABCD的形状是　　.
7.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4 cm，CE＝2 cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B'处，折痕与边BC交于点E，则BC的长为　　cm.
第7题图
8.如图，点E在正方形ABCD的边BA的延长线上，连接AC，AC＝AE，CE交AD于点F，则∠ACE的度数等于　 　.
第8题图
9.已知正方形ABCD的一条对角线长为2，则它的面积是　　.
10.如图，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A＝∠C＝90°.求证：四边形ABCD是正方形.
11.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为　　°.
第11题图
12.如图，边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°得到正方形AB'C'D'，则图中阴影部分的面积为　　.
第12题图
13.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G.
求证：矩形ABCD是正方形.
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AE∥BC，O是AC的中点，连接DO并延长，交AE于点E.
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝60°，AC＝4，求AE的长；
（3）当△ABC满足条件　　　　　　时，四边形ADCE是正方形.
参考答案
1.D　2.D　3.A　4.C　5.AC＝BD（答案不唯一）
6. 正方形　7.6　8.22.5°　9.6
10.证明：∵△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A＝∠C＝90°，
∴AB＝AD，BC＝CD，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形.
11.135　解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2＋∠BCP＝45°.
∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BCP＝45°.
∵∠BPC＝180°－∠1－∠BCP，
∴∠BPC＝135°.
12.－1　解析：如图，连接AC'.
∵边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°得到正方形AB'C'D'，
∴AD'＝D'C'＝AD＝AB＝1，∠ABC＝∠D'＝90°，∠D'C'A＝45°，∠D'AC'＝45°，∠D'AB＝45°，
∴A，B，C'三点共线.在Rt△AD'C'中，由勾股定理得AC'＝＝＝，
∴BC'＝AC'－AB＝－1.
∵在Rt△EBC'中，∠EBC'＝90°，∠EC'B＝45°，
∴∠BEC'＝∠EC'B＝45°，
∴EB＝BC'＝－1，
∴阴影部分的面积S＝△AD'C'的面积－△EBC'的面积＝AD'·D'C'－BE·BC'＝×1×1－×（－1）×（－1）＝－1.
13.证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°.
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF＋∠DAF＝90°，∠ADE ＋∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE.
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AB＝AD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形.
14.（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC.
∵AE∥BC，
∴∠OAE＝∠OCD，∠OEA＝∠ODC，
在△OAE和△OCD中，
∴△OAE≌△OCD（AAS），
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形.
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，
∴AO＝OE＝AC＝2.
∵∠AOE＝60°，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE＝OA＝2.
（3）解：当∠BAC＝90°时，∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AD＝DC，
由（1）知四边形ADCE是矩形，
∴四边形ADCE是正方形.
故答案为∠BAC＝90°.