2.3用公式法求解一元二次方程第1课时同步练习2025—2026学年北师大版数学九年级上册

2.3用公式法求解一元二次方程
第1课时用公式法求解一元二次方程（1）
1.一元二次方程x2＋x＋2＝0的根的情况是（　　）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
2.若关于x的方程x2＋ax＋6＝0有一个根为－3， 则a的值是（　　）
A.9 B.5 C.3 D.－3
3.以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）
A.x2－6x＝0 B.x2－9＝0 C.x2－6x＋6＝0 D.x2－6x＋9＝0
4.若关于x的一元二次方程kx2－x－＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A.k＝0 B.k≥－且k≠0 C.k≥－ D.k＞－
5.方程x2－2x－1＝0的解是　 　.
6.关于x的方程x2－4x＋m＝0，其根的判别式Δ＝　 　.
7.如果方程 kx2＋2x＋1＝0有两个不等实数根，则实数k的取值范围是　　.
8.已知方程x2＋kx－1＝0的根的判别式的值为5，则k＝　 .
9.已知关于x的方程mx2＋x－1＝0有实数根，则m的取值范围是　　.
10.若关于x的一元二次方程（m＋1）x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围.
11.用公式法解下列方程.
（1）x2－5x＋4＝0；
（2） 7x2－12x＝4；
（3）2x2＋3x－3＝0；
（4）x2－2＝4x；
（5）x2－x－2＝0；
（6）2x2－3x－4＝0.
12.若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝（m＋1）x＋m2＋2的图象经过第（　　）
A.二、三、四象限 B.一、三、四象限
C.一、二、四象限 D.一、二、三象限
13.若等腰△ABC的一边长为5，另外两边的长是关于x的方程x2－16x＋m＝0的两个实数根，则m的值是　　.
14.宋代数学家杨辉所著《杨辉算法》中有一题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文为：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？
15.某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题.下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务：
关于根的判别式的探究
素材 对于一个关于x的二次三项式ax2＋bx＋c（a≠0），利用根的判别式可以求该多项式的最值.比如：求x2＋2x＋3的最小值，令y＝x2＋2x＋3，则x2＋2x＋3－y＝0，则b2－4ac＝4－4（3－y）＝－8＋4y≥0，可解得y≥2，从而确定x2＋2x＋3的最小值为2.这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法.
问题解决
任务1 感受新知：用判别式法求3x2＋4x－2的最小值；
任务2 探索新知：若关于x的二次三项式x2－ax＋3（a为常数）的最小值为－1，求a的值；
任务3 应用新知：利用已有知识经验，求证：周长为a的矩形中，正方形的面积最大.
参考答案
1.D　2.B　3.D　4.B　5.x1＝1＋，x2＝1－
6.16－4m　7.k＜1且k≠0　8.±1　9.m≥－
10.解：∵关于x的一元二次方程（m＋1）x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22－4（m＋1）×1＞0，即4－4m－4＞0，
∴m＜0.又∵m＋1≠0，
∴m≠－1.综上，m的取值范围是m＜0且m≠－1.
11.解：（1）∵a＝1，b＝－5，c＝4，
∴b2－4ac＝（－5）2－4×1×4＝9，
∴x＝＝，即x1＝4，x2＝1.
（2）整理，得7x2－12x－4＝0，由a＝7，b＝－12，c＝－4，
∴b2－4ac＝（－12）2－4×7×（－4）＝256＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝2，x2＝－.
（3）∵a＝2，b＝3，c＝－3，
∴b2－4ac＝32－4×2×（－3）＝33＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝.
（4）∵a＝，b＝－4，c＝－2，
∴b2－4ac＝（－4）2－4××（－2）＝48＋16＝64＞0，
∴x＝＝±2，
∴x1＝＋2，x2＝－2.
（5）∵a＝1，b＝－1，c＝－2，
∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－2）＝9，
∴x＝＝，
∴x1＝2，x2＝－1.
（6）∵a＝2，b＝－3，c＝－4，
∴b2－4ac＝（－3）2－4×2×（－4）＝41，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝.
12.C　解析：∵一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，
∴Δ＝（－2）2－4×1×（－m）＜0，解得m＜－1，
∴m＋1＜－1＋1＝0，m2＋2＞0，
∴一次函数y＝（m＋1）x＋m2＋2的图象经过第一、二、四象限.
13.64　解析：关于x的方程x2－16x＋m＝0有两个实数根，
则Δ＝162－4m≥0，得m≤64.当底边长为5时，则另两边相等，
∴Δ＝162－4m＝0，
∴m＝64；当腰长为5时，另两边中至少有一个是5，则x＝5一定是方程x2－16x＋m＝0的一个根，代入得25－80＋m＝0，解得m＝55.∴x2－16x＋55＝0，解得x1＝5，x2＝11，此时三角形的三边长为5，5，11，∵5＋5＜11，
∴此种情况不存在，
∴m的值为64.
14.解：设矩形的长为x步，则宽为（60－x）步，
根据题意，得x（60－x）＝864.
解得x1＝36，x2＝24（舍去），
∴当x＝36时，60－x＝24，36－24＝12.
答：长比宽多12步.
15.任务1：解：由题意，令y＝3x2＋4x－2，
∴3x2＋4x－2－y＝0，
∴Δ＝16－4×3×（－2－y）≥0，
∴y≥－，
∴3x2＋4x－2的最小值为－.
任务2：解：由题意，令y＝x2－ax＋3，
∴x2－ax＋3－y＝0，
∴Δ＝a2－4×（3－y）≥0，
∴y≥－.
又∵y的最小值为－1，
∴－＝－1.
∴a＝±4.
任务3：证明：设矩形的长为x，则宽为－x，面积为S，
∴S＝x（－x）＝－x2＋x，
∴x2－x＋S＝0，
∴Δ＝－4×S≥0，
∴S≤.
∴当x＝时，S最大≤，此时－x＝，即四边形为正方形时，面积最大.