2.5一元二次方程的根与系数的关系同步练习2025—2026学年北师大版数学九年级上册

2.5一元二次方程的根与系数的关系
1.已知方程x2－5x－6＝0的一个根是6，则它的另一个根是（　　）
A.1 B.－6 C.－1 D.3
2.若一元二次方程2x2＋3x－6＝0的两个根分别为x1，x2，则x1x2的值等于（　　）
A.－6 B.6 C.－3 D.3
3.下列一元二次方程中，两根之和为2的是（　　）
A.x2－2x＋3＝0 B.－x2－2x－1＝0
C.x2－x－1＝0 D.2x2－4x－1＝0
4.已知一元二次方程x2－4x＋2＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为 （　　）
A.6 B.－6 C.2 D.－2
5.若方程x2－4x－5＝0的两根分别是x1，x2，则＋的值为（　　）
A.26 B.18 C.16 D.－16
6.若m，n是方程x2－3x－5＝0的两个根，则＋的值为　 　.
7.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根，且x1＋x2＝5，x1·x2＝6，则该一元二次方程是　 　.
8.若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则x1＋x2－2x1x2的值为　　.
9.已知一元二次方程x2－4x＋3＝0的两根为x1，x2，那么（1＋x1）（1＋x2）的值是　　.
10.用合适的方法解下列方程.
（1）2x2－8＝0；
（2）x2＋2x－4＝0；
（3）x（x－3）＝x－3；
（4）2x2－3x－1＝0.
11.已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋2k2＝0的两根x1，x2满足x＋x＝5，求k的值.
12.若m，n是一元二次方程x2＋3x－9＝0的两个根，则2m2＋7m＋n的值是（　 　）
A.9 B.－9 C.15 D.－15
13.x1和x2是关于x的方程x2－2mx＋4＝0的两个实根，且满足x1＞x2＞1，则实数m的取值范围为　　.
14.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根是2和4，则方程x2－6x＋8＝0是“倍根方程”.
（1）若一元二次方程x2－3x＋c＝0是“倍根方程”，则c＝　　　　；
（2）判断方程x2－x－2＝0是不是“倍根方程”，并说明理由；
（3）若（x－2）（mx－n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2－5mn＋n2的值.
15.关于x的一元二次方程x2－2（m＋1）x＋m2＋5＝0有两个实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长恰好是此方程的两个实数根，斜边AB＝6，求Rt△ABC的周长.
答案：
1.C　2.C　3.D　4.C　5.A　6.－　7.x2－5x＋6＝0
8.8　9.8
10.解：（1）x1＝2，x2＝－2；
（2）x1＝－1＋，x2＝－1－；
（3）x1＝3，x2＝1；
（4）x1＝，x2＝.
11.解：根据题意，得x1＋x2＝2k＋1，x1x2＝2k2.
∵x＋x＝（x1＋x2）2－2x1x2，
∴（2k＋1）2－2×2k2＝4k＋1＝5，解得k＝1.
12. C　解析： ∵m是一元二次方程x2＋3x－9＝0的根，
∴m2＋3m－9＝0，
∴m2＋3m＝9.
∵m，n是一元二次方程x2＋3x－9＝0的两个根，
∴m＋n＝－3，
∴2m2＋7m＋n＝2（m2＋3m）＋（m＋n）＝2×9－3＝15.
13.2＜m＜　解析：∵x1和x2是关于x的方程x2－2mx＋4＝0的两个实根，
∴Δ＝（－2m）2－4×1×4＞0，
∴m＞2或m＜－2，
构造函数y＝x2－2mx＋4.
∵x1和x2是关于x的方程x2－2mx＋4＝0的两个实根，且满足x1＞x2＞1，
∴－＞1，解得m＞1.
当x＝1时，y＞0，即5－2m＞0，
∴1＜m＜，综上，实数m的取值范围是2＜m＜.
14.解：（1）∵一元二次方程x2－3x＋c＝0是“倍根方程”，又x1＋x2＝3，x1x2＝c，
∴x1＋2x1＝3，2＝c，
∴x1＝1，c＝2，
故答案为2.
（2）方程x2－x－2＝0不是“倍根方程”，理由：
x2－x－2＝0，（x＋1）（x－2）＝0，
解得x1＝－1，x2＝2，
∴＝＝－2，
∴方程x2－x－2＝0不是“倍根方程”.
（3）解方程（x－2）（mx－n）＝0（m≠0）得x1＝2，x2＝.
∵方程两根是2倍关系，
∴x2＝1或4.
当x2＝1时，x2＝＝1，即m＝n，代入代数式得4m2－5mn＋n2＝0，
当x2＝4时，x2＝＝4，即n＝4m，代入代数式得4m2－5mn＋n2＝0.
综上，4m2－5mn＋n2＝0.
15.解：（1）∵关于x的一元二次方程x2－2（m＋1）x＋m2＋5＝0有两个实数根，
∴Δ＝4（m＋1）2－4（m2＋5）＝8m－16≥0，解得m≥2.
（2）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2（m＋1）x＋m2＋5＝0的两实数根，
∴x1＋x2＝2（m＋1），x1·x2＝m2＋5.
∵（x1＋x2）2＝＋＋2x1x2，
∴＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝[2（m＋1）]2－2（m2＋5）
＝4（m＋1）2－2m2－10＝2m2＋8m－6，
根据勾股定理得＋＝AB2＝62，
∴2m2＋8m－6＝36，解得m＝3或m＝－7（舍去），
∴x1＋x2＝2（m＋1）＝8，
∴AC＋BC＝8，
∴△ABC的周长为8＋6＝14.