2.2用配方法求解一元二次方程第2课时解一元一次方程（配方法）同步练习2025—2026学年北师大版数学九年级上册

2.2用配方法求解一元二次方程
第2课时解一元一次方程（配方法）
1.用配方法解一元二次方程x2－8x＋7＝0，方程可变形为（　　）
A.（x＋4）2＝9 B.（x－4）2＝9
C.（x－8）2＝16 D.（x＋8）2＝57
2.用配方法解方程x2－5＝4x时，配方正确的是（　　）
A.（x－2）2＝8 B.（x－2）2＝9
C.（x＋2）2＝8 D.（x＋2）2＝4
3.下列配方有错误的是（　　）
A.x2－4x－1＝0，化为（x－2）2＝5
B.x2＋6x＋8＝0，化为（x＋3）2＝1
C.2x2－7x－6＝0，化为（x－）2＝
D.3x2－4x－2＝0，化为（3x＋2）2＝6
4.用配方法解一元二次方程2x2＋4x－5＝0时，将它化为（x＋a）2＝b的形式，则a＋b的值为（　　）
A.8 B. C. D.
5.将x2－8x＋4＝0配方成（x－p）2＝q形式，则q＝　 　.
6.把方程x2－2＝2x用配方法化为（x＋m）2＝n的形式，则mn的值是　 　.
7.将方程x2－6x＝0化成（x＋m）2＝n的形式是　 　.
8.用配方法解方程x2－2x－6＝0，原方程可化为　 　.
9.用配方法解方程：
（1）x2＋4x－5＝0；
（2）x2＋2x－1＝0；
（3）2x2－4x＋1＝0；
（4）4x2＋12x＋9＝0；
（5）x2－2x＝2x＋1；
（6）x2－14x＋21＝0；
（7）x2－6x＋3＝0；
（8）x2－4x－4＝0；
（9）3x2－6x＝9.
10.将一元二次方程2y2－2＝4y化成（y－m）2＝n的形式，则（m－n）2 025＝（　　）
A.1 B.－2 025 C.2 025 D.－1
11.∵a2－2a＋5＝a2－2a＋1＋4＝（a－1）2＋4，由（a－1）2≥0，得（a－1）2＋4≥4，∴代数式a2－2a＋5的最小值是4.仿照上述方法求得代数式m2－4m－3的最小值为　　.
12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝21 cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动.如果点P，Q同时出发，P，Q的运动速度均为1 cm/s，那么运动几秒时，它们相距15 cm？
13.配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一.
我们定义：一个整数能表示成a2＋b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和美数”.例如，10是“和美数”.理由：因为10＝32＋12.再如，M＝x2＋2xy＋2y2＝（x＋y）2＋y2（x，y是整数），所以M也是“和美数”.
解决问题：
（1）请你再写一个小于10的“和美数”：　　　　；并判断40是否为“和美数”：　　　　；
（2）若二次三项式x2－4x＋5（x是整数）是“和美数”，可配方成（x－m）2＋n（m，n为常数），则mn的值为　　　　；
探究问题：
（1）已知“和美数”x2＋y2－2x＋4y＋5（x，y是整数）的值为0，则x＋y的值为　　　　；
（2）已知S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值.
拓展结论：已知实数x，y满足－x2＋3x＋y－5＝0，则x＋y的最小值是　　　　.
答案：
1.B　2.B　3.D　4.B　5.12　6.－3　7. （x－3）2＝9
8.（x－1）2＝7
9.解：（1）x2＋4x＝5，x2＋4x＋4＝5＋4，（x＋2）2＝9，
x＋2＝±3，解得x1＝1，x2＝－5.
（2）x2＋2x－1＝0，x2＋2x＝1，
x2＋2x＋1＝1＋1，（x＋1）2＝2，
x＋1＝±，即x＋1＝或x＋1＝－，
解得x1＝－1，x2＝－－1.
（3）2x2－4x＋1＝0，2x2－4x＝－1，x2－2x＝－，
x2－2x＋1＝－＋1，（x－1）2＝，
x－1＝±，即x－1＝或x－1＝－，
∴x1＝1＋＝，x2＝1－＝，
∴原方程的解为x1＝，x2＝.
（4）原方程配方得（2x＋3）2＝0，
开方得2x＋3＝0，
解得x1＝x2＝－.
（5）x2－2x＝2x＋1，x2－4x＝1，
x2－4x＋4＝1＋4，（x－2）2＝5，
x－2＝±，x1＝2＋，x2＝2－.
（6）x2－14x＋21＝0，x2－14x＝－21，
配方得x2－14x＋49＝－21＋49，即（x－7）2＝28，
∴x－7＝±2，
∴x1＝7＋2，x2＝7－2.
（7）x2－6x＋9＝9－3，
（x－3）2＝6，
x－3＝±，
x1＝3＋，x2＝3－.
（8）x2－4x＋4＝4＋4，
（x－2）2＝8，
x－2＝±2，
x1＝2＋2，
x2＝2－2.
（9）3（x2－2x＋1）＝9＋3，
（x－1）2＝4，x－1＝±2，
x1＝3，x2＝－1.
10.D
11.－7　解析：m2－4m－3＝m2－4m＋4－7＝（m－2）2－7，
∵（m－2）2≥0，
∴（m－2）2－7≥－7，
∴代数式m2－4m－3的最小值为－7.
12.解：设运动t s时，P，Q两点相距15 cm，
依题意，得t2＋（21－t）2＝152，
解得t1＝9，t2＝12，
∴运动9 s或12 s时，P，Q两点相距15 cm.
13.解：解决问题：（1）4是“和美数”，理由：4＝22＋02；40是“和美数”，理由：40＝62＋22.故答案为4（答案不唯一）；是.
（2）∵x2－4x＋5＝x2－4x＋4＋1＝（x－2）2＋12，
∴m＝2，n＝1，
∴mn＝2，故答案为2.
探究问题：（1）∵x2＋y2－2x＋4y＋5＝（x－1）2＋（y＋2）2＝0，
∴x＝1，y＝－2，
∴x＋y＝－1.故答案为－1.
（2）S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k＝（x＋2）2＋（2y－3）2＋k－13，
由题意得k－13＝0，
∴k＝13.
拓展结论：∵－x2＋3x＋y－5＝0，
∴x＋y＝x2－2x＋5＝（x－1）2＋4≥4.
∴当x＝1时，x＋y最小，最小值为4.