4.5相似三角形判定定理的证明同步练习2025—2026学年北师大版数学九年级上册

4.5相似三角形判定定理的证明
1.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（　　）
A.∠A＝55°，∠D＝35°
B.AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
C.AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8
D.AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8
2.如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF∶FD＝1∶3，则BE∶EC＝（　　）
A. B. C. D.
第2题图　　　
3.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则＝　　.
第3题图
4.如图，在△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（　　）
第4题图
A B C D
5.如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（　　）
第5题图　　　
A.∠B＝∠ACD B.∠ADC＝∠ACB
C.＝ D.AC2＝AD·AB
6.如图，AB∥EF，AE∥BC，EF与AC交于点G，则图中相似三角形共有　　对.
第6题图
7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，以2 cm/s的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t＝　　秒时，△CPQ与△ABC相似.
第7题图
8.如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝8，AE＝4，AC＝16.
（1）求CD的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB.
9.如图，在△ABC中，边BC＝12 cm，高AD＝6 cm，边长为x的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则正方形的边长x＝　　cm.
第9题图　　　
10.如图，已知△ABC和△AED均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AB相交于点F，如果AC＝12，CD＝4，那么BF的长度为　　.
第10题图
11.定义】如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”.如图1，在 ABCD中，BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则 ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点.
　
【应用】（1）如图1，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点.若AF＝，CE＝2，则AE＝　　　　，AB＝　　　　.
（2）如图2，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点.若AB＝BD，试猜想AF与CD的数量关系，并加以证明.
（3）如图3，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CE＝2AE＝12，BE＝5.
①请画出以BC为边的垂中平行四边形，使得E为垂中点，点A在垂中平行四边形的边上；
②将△ABC沿AC翻折得到△AB'C，若射线CB'与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点P，连接PE，请直接写出PE的长.
参考答案
1.C　2.A　3.　4.C　5.C　6.3
7.4.8或
8.（1）解：∵AE＝4，AC＝16，
∴CE＝AC－AE＝16－4＝12.
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴＝，
∴CD＝＝＝24.
（2）证明：∵＝＝，＝＝，
∴＝.
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB.
9.4　10.　
11.解：（1）由题可知，AF＝AD＝BC，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝＝.
∵CE＝2，
∴AE＝1.
∵BC＝2AF＝2，
∴BE＝＝4，
∴AB＝＝.
故答案为：1，.
（2）AF＝CD，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴△AED∽△FEB，
∴＝＝＝＝2.
设BE＝x，则DE＝2x，
∴AB＝BD＝3x，
∴AE＝＝2x，
∴EF＝AE＝x，
∴AF＝AE＋EF＝3x，
∴AF＝AB，
∴AF＝CD.
（3）①第一种情况：如图1.
图1　
第二种情况：如图2.
图2
第三种情况：如图3.
图3　
②若按照上图1作图，即如图4，
图4
由题意可知，∠ACB＝∠ACP，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ACB＝∠PAC，
∴∠PAC＝∠PCA.
∴△PAC是等腰三角形.
过点P作PH⊥AC于点H，则AH＝HC.
∵BE＝5，CE＝2AE＝12，
∴B'E＝BE＝5，AE＝6，
∴AH＝HC＝AC＝（AE＋CE）＝×（6＋12）＝9，
∴EH＝AH－AE＝9－6＝3.
∵PH⊥AC，BE⊥AC，
∴△CPH∽△CB'E，
∴＝，即PH＝＝＝，
∴PE＝＝＝；
若按照上图2作图，即如图5，
图5　
连接PA，延长CA，DF交于点G，同理可得△PGC是等腰三角形，
∵GF∥BC，
∴△GAF∽△CAB，
∴＝＝1，
∴AG＝AC，
∴PA⊥AC.
同理△CPA∽△CB'E，
∵AE＝6，EC＝12，B'E＝BE＝5，
∴＝，
即PA＝＝＝，
∴PE＝＝＝；
若按照上图3作图，如图6，则没有交点，不存在PE（不符合题意）.
综上，PE的长为或.
图6