第四章图形的相似章末复习同步练习2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第四章图形的相似章末复习
1.如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m，n分别与直线l1，l2，l3分别交于点A，B，C，D，E，F，若DE＝4，DF＝9，则的值为　　.
第1题图　　　
2.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB＝4，则EF的长为（　　）
A. B.1 C. D.2
第2题图　　　
3.如图，在△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（　　）
第3题图　　　　
A B C D
4.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是　　.（写出一种情况即可）
第4题图
5.在某市建设规划图上，城区南北长为120 cm，该市城区南北实际长为36 km，则该规划图的比例尺是　　.
6.已知点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＜BP，如果BP＝4，那么AB＝　　.
7.在平面直角坐标系中，点A（－6，0）、点B（－4，－2），O为坐标原点，以点O为位似中心，按相似比2∶1把△ABO放大，则点B的对应点B'的坐标为　　.
8.已知五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，且五边形ABCDE的面积是五边形A'B'C'D'E'面积的4倍，则AB∶A'B'＝　　.
9.如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过D作DH∥AB，交BC的延长线于点H.
（1）求证：△HCD∽△HDB.
（2）求DH的长度.
10.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在AC边上的F处，折痕为DE.若AB＝AC＝3，BC＝4，且以点C，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则BE的长是　　.
第10题图　　　　
11.如图，D是△ABC中BC边的中点，连接AD，BE是△ABD的中线，BE的延长线与AC交于点F，连接DF，则＝　　.
第11题图
12.综合与实践
主题：X型晒衣架稳固性检测
步骤：如图1是晒衣架的实物图，图2是晒衣架侧面示意图，经测量得到立杆AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，横扣链EF成一条线段，测得EF＝32 cm.
证明与计算：
（1）连接AC，证明：AC∥BD；
（2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
13.如图，在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2 cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4 cm/s；如果P，Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
参考答案
1.　2.B　3.C　4.∠ADE＝∠C（答案不唯一）
5.1∶30 000　6.2＋2　7.（－8，－4）或（8，4）　8.2∶1
9.（1）证明：∵DH∥AB，
∴∠A＝∠HDC.
∵∠CBD＝∠A，
∴∠HDC＝∠CBD.又∠H＝∠H，
∴△HCD∽△HDB.
（2）解：∵DH∥AB，
∴＝.
∵AC＝3CD，
∴＝，
∴CH＝1，
∴BH＝BC＋CH＝3＋1＝4，
由（1）知△HCD∽△HDB，
∴＝，
∴DH2＝4×1＝4，
∴DH＝2（负值舍去）.
10.2或　解析：由折叠的性质可得，EF＝BE，
设BE＝x，则EF＝x，EC＝BC－BE＝4－x.
①若△CEF∽△CBA，则＝，
即＝，解得x＝；
②若△CEF∽△CAB，则＝，
即＝，解得x＝2.
综上，BE的长是2或.
故答案为2或.
11.　解析：如图，作DH∥BF交AC于点H，
∵DH∥BF，D是△ABC中BC边的中点，
∴CD＝BD，
∴＝，
∴CH＝HF.
∵DH∥BF，BE是△ABD的中线，
∴AE＝DE，
且＝，
∴AF＝FH，
∴AF＝FH＝HC，
∴AF∶FC＝1∶2，
∴＝.故答案为.
12.（1）证明：如图1，连接AC，
∴∠AOC＝∠EOF.
又∵＝＝＝， ∴△AOC∽△BOD，
∴∠A＝∠OBD，
∴AC∥BD.
（2）解：如图2，过点A作AM⊥BD于点M，过点O作ON⊥EF，
∴ON∥AM，由（1）已证AC∥BD，
∴∠EON＝∠EAM，
∴△EON∽△BAM.
∵OE＝OF＝34 cm，
∴△OEF是等腰三角形.
∵ON⊥EF，EF＝32 cm，
∴ON是边EF上的中线，
∴EN＝16 cm.
在Rt△OEN中，根据勾股定理，
得ON＝＝＝30（cm）.
∴＝，即＝，解得AM＝120 cm.
答：晒衣架上的连衣裙总长度小于120 cm时，连衣裙才不会拖在地面上.
13.解：设经过t s时，△QBP与△ABC相似，
则AP＝2t cm，BP＝（8－2t）cm，BQ＝4t cm.
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当＝时，△BPQ∽△BAC，
即＝，解得t＝2；
当＝时，△BPQ∽△BCA，
即＝，解得t＝0.8.
即经过2 s或0.8 s时，△QBP与△ABC相似.