4.4探索三角形相似的条件同步练习第1课时2025—2026学年北师大版数学九年级上册

4.4探索三角形相似的条件
第1课时　相似三角形的定义与判定1
1.下列说法中，错误的是（　　）
A.两个全等的三角形一定相似
B.两个直角三角形一定相似
C.两个等边三角形一定相似
D.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
2.如图，在△OAB与△OCD中，已知∠A＝∠C，则△　　∽△　　；OA·OD＝　　.
第2题图
3.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝12，AD＝6，AB＝8，则BC＝　　.
第3题图
4.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且∠AED＝∠B，若AB＝15，AC＝12，AE＝10，则AD＝　　.
第4题图
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，则DE＝　　.
第5题图
6.如图，在△ABC中，DE∥BC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有（　　）
第6题图　　　　
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD相似的三角形是（　　）
A.△ABC B.△ADE C.△DBA D.△BDC
第7题图　　　　
8.如图，D是△ABC的边AC上一点，若AB＝AC，要使△CDB∽△CBA，只需添加条件　　（只添一个即可）.
第8题图
9.如图，AB，CD相交于点E，AC与BD不平行，当满足条件∠C＝　　时，△AEC∽△DEB.
第9题图
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）图中还有哪些相似三角形？请直接写出来.
11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝30°.求证：△ABD∽△DCE.
12.如图，将矩形纸片ABCD（AD＞DC）沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F，折痕交AB边于点E.
（1）求证：△EFB∽△FDC；
（2）若AD＝10，CD＝6，求BE的长.
13.如图，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝8，射线CD⊥BC于点C，E是线段BC上一点，F是射线CD上一点，且满足∠AEF＝90°.
（1）若BE＝3，求CF的长；
（2）当BE的长为何值时，CF的长最大？并求出这个最大值.
参考答案
1.B　2.OAB　OCD　OB·OC　3.16　4.8　5.
6.C　7.C　8.∠A＝∠CBD　9.∠B
10.（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB.
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC.
（2）解：△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD.
11.证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABD＝∠ACB＝30°.
∵∠ADE＝30°，
∴∠ABD＝∠ADE＝30°.
∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB，
∴∠EDC＝∠DAB.∴△ABD∽△DCE.
12.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
根据折叠性质知，∠A＝∠DFE＝90°，
∴∠BEF＋∠BFE＝∠BFE＋∠DFC＝90°，
∴∠BEF＝∠DFC，
∴△EFB∽△FDC.
（2）解：由折叠性质知，AD＝DF＝10.
∵CD＝6，
∴CF＝＝＝8，
∴BF＝BC－CF＝10－8＝2.
在Rt△BEF中，BE2＋BF2＝EF2，
即BE2＋22＝（6－BE）2，解得BE＝.
13.解：（1）如图，∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠1＝90°.∴∠BAE＝∠2.
∵CD⊥BC，
∴∠ECF＝90°.
∴∠ABE＝∠ECF.
∴△ABE∽△ECF.∴＝.
∵AB＝2，BC＝8，BE＝3，
∴EC＝5.
∴＝.∴CF＝.
（2）设BE的长为x，则EC＝8－x.
由（1）得＝，
∴＝.
∴CF＝－x2＋4x＝－（x－4）2＋8.
∴当BE＝4时，CF的长最大，且最大值为8.