2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第一章 集合与常用逻辑用语 检测试卷（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册
第一章 集合与常用逻辑用语
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一项符合题目要求）
1.设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则实数的所有可能的取值组成的集合为（ ）
A. B. C. D.
3.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
4.设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥。其中不正确的是（ ）
A. ①③ B. ③④ C. ①②⑤⑥ D. ③④⑤
6.已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ）
A. 23 B. 38 C. 128 D. 233
7.命题，，若命题是真命题，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，则下列判断错误的是（ ）
A. B. Z
C. D. 若，则整数属于同一类
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得5分，部分选对得2分，选错得0分）
9.已知全集是全集，集合的关系如图所示（），则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.德国数学家戴德金将有理数集划分为两个非空子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割。则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则是一个戴德金分割
B. 若，，则是一个戴德金分割
C. 若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割
D. 若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割
11.下列说法中正确的有（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. “”是“”的必要条件
C. 若命题“，”是真命题，则的取值范围为
D. 命题“，”是假命题
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知集合，，，则集合的子集个数为______
13.已知集合，，若，则实数______
14.已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围是______
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知集合或，或。
(1) 若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围；
(2) 若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围。
16.（15分）已知是实数，集合，。
(1) 求证：“”是“”的充要条件；
(2) 当时，写出的所有真子集。
17.（15分）
命题，；命题，。
(1) 若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2) 若命题为假命题，求实数的取值范围；
(3) 若命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围。
18.（17分）定义运算与：对任意，有，。设全集且，集合是的子集，且，。
(1) 求集合和；
(2) 集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，说明理由。
19.（17分）已知集合，。
(1) 若，求实数的取值范围；
(2) 若集合中仅有一个整数元素，求。
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1.答案：B
解析：先求集合，由得或，故。全集，则。又，故。
2.答案：C
解析：分情况讨论：
若，则（方程无解）；
若，则，得；
若，则，得。
综上，的取值集合为。
3.答案：B
解析：为两集合公共元素，，，故。
4.答案：C
解析：，（指数函数单调递增），故二者互为充要条件。
5.答案：B
解析：逐一判断关系式：
①集合元素无序，，正确；
②任何集合是自身子集，，正确；
③是不含元素的集合，错误（后者含元素）；
④是元素，无元素，错误；
⑤是任何非空集合的真子集，，正确；
⑥，正确。
不正确的是③④。
6.答案：A
解析：需满足：
（）、（）、（），。
验证选项：
：，满足所有条件；
其他选项：（非整数）、（，但，，虽满足，但题目优先最小符合值，更优）。
7.答案：C
解析：命题为真，即对恒成立，等价于在的最小值。在单调递增，最小值为，故。
8.答案：C
解析：
A：，故，正确；
B：整数被5除余数仅为，故，正确；
C：，故，非，错误；
D：，故同余，正确。
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
9.答案：ACD
解析：由，结合韦恩图分析：
A：在内，与无交集，，正确；
B：，错误；
C：（），正确；
D：（），正确。
10.答案：BCD
解析：戴德金分割需满足、、中元素均小于中元素：
A：，错误；
B：，故，满足所有条件，正确；
C：若、，有最大元素，无最小元素，满足条件，正确；
D：若、，无最大元素，无最小元素，满足条件，正确。
11.答案：AC
解析：
A：存在命题的否定为全称命题，否定结论，正确；
B：（如），（如），非必要条件，错误；
C：命题为真，即对恒成立，，故，正确；
D：当、时，，命题为真，错误。
三、填空题（每小题5分，共15分）
12.答案：16
解析：，，，计算得，故。子集个数为。
13.答案：1
解析：，故：
若，得，此时（元素重复，舍去）；
若，得或，时，（满足）；
若，无实根。故。
14.答案：
解析：命题为假，即方程无实根，判别式，解得。
四、解答题（共77分）
15.(13 分)
解： 或 , 或 。
(1) " 是 " " 的必要不充分条件 ：
需满足 (左段 含于 左段,右段 含于 右段),解得 ,故 。
(2) " " 是 " " 的充分不必要条件 ；
需满足 (左段 含于 左段,右段 含于 右段),且 ( 非空),解得
故。
16.(15 分)
(1) 证明:
充分性：若 ,则 , ,故 ；
必要性：若 ,则 ,故 。
综上,“ ” 是 “ ” 的充要条件。
(2) 当 时, ,所有真子集为：
(共 15 个)。
17.(15 分)
解:
(1) 命题 为真 恒成立,判别式 ,解得 。
(2) 命题 为假 恒成立,判别式 ,解得 。
(3) " 至少一个为真" 真或 真： 真时 , 真时 ,故并集为 。
18.(17 分)
解:
(1) 先求 ： , , ,可能的(a,b)： ：
;
: ,故 。
再求 ,仅 ；
: ,故 。
(2) ；
若 ,判别式 ；
若 ,则 ,但 是 的子集,仅 ,代入方程得
(此时 )。
综上, 或 。
19.(17 分)
解： , 或 。
(1) :
需满足 ,解得 。
(2) 仅有一个整数元素(-2或-1)：
若仅有 -2: ,此时 ;
若仅有 -1 : ,此时 。
综上,当 时, ；当 时,