第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
【课前预习】
知识点一
1.
2.(1)某一时刻 (3)
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× (4)× [解析] (1)平均速度为0,并不能保证瞬时速度为0.
(2)也可能有h(t0+Δt)≤h(t0).
(3)瞬时速度是刻画物体在某一时刻速度的物理量.
(4)Δt可正可负,但不能为0.
2.解:因为Δh=5(1+Δt)2-5=10Δt+5(Δt)2,所以平均速度==10+5Δt.
3.解:当Δt趋近于0时,趋近于10,这时的平均速度即为t=1时的瞬时速度.
知识点二
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× [解析] (3)=(3Δx+5)=5.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由已知得,物体开始运动后3 s内的平均速度为=-15(m/s).
(2)由已知得,物体在2 s到3 s内的平均速度为=-25(m/s).
变式 解: (1)物体在0≤t≤这段时间内的平均速度===.
物体在≤t≤这段时间内的平均速度===.
(2)由(1)可知-=>0,所以<.作出函数s(t)=sin t,t∈的图象,如图所示,可以发现,在上,随着t的增大,函数值s(t)变化得越来越慢.
探究点二
例2 (1)A (2)2 [解析] (1)Δy=-(3+Δt)2+9(3+Δt)-(-9+27)=-9-(Δt)2-6Δt+27+9Δt+9-27=-(Δt)2+3Δt,所以==-Δt+3,所以物体在t=3 s时的瞬时速度为=3(m/s).故选A.
(2)∵Δs=a(2+Δt)2+1-a·22-1=4aΔt+a(Δt)2,
∴=4a+aΔt,则该质点在t=2 s时的瞬时速度为=4a(m/s).由题意得4a=8,∴a=2.
变式 (1)①1 m/s ②3 m/s ③-1 m/s (2)2 [解析]
(1)①此物体在t=0 s到t=2 s时的平均速度===1(m/s).
②此物体的初速度v0===(3-Δt)=3(m/s).
③此物体在t=2 s时的瞬时速度v====(-Δt-1)=-1(m/s).
(2)设物体在t=t0 s时的瞬时速度为12 m/s,则=
=(-3Δt+24-6t0)=24-6t0=12,解得t0=2.
探究点三
例3 解:(1)由题意得,割线AB的斜率为===-3-Δx.由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2,又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞).
(2)曲线y=x2过(1,1),(1+Δx,(1+Δx)2)两点的割线的斜率为=Δx+2,所以曲线y=x2在点(1,1)处的切线的斜率为(Δx+2)=2,所以切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
变式 解:(1)曲线y=f(x)过(4,f(4)),(4+Δx,f(4+Δx))两点的割线的斜率为=19+2Δx.
(2)由(1)知,曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线斜率为(19+2Δx)=19,又f(4)=39,所以所求切线方程为y-39=19(x-4),即19x-y-37=0.
拓展 2 [解析] 由题意得= ==(aΔx+2a)=2a=2,所以a=1,又f(1)=a+b=1+b=3,所以b=2,所以=2.第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
1.D [解析] Δy=f(x0+kΔx)-f(x0).故选D.
2.C [解析] ==2+Δx,故选C.
3.A [解析] 当t=2时,位移为×22+2×2=6(m),当t=4时,位移为×42+2×4=16(m),所以在2≤t≤4这段时间里,该物体的平均速度为=5(m/s).故选A.
4.D [解析] 表示从时刻t到t+Δt时物体的平均速度,而表示该物体在t时刻的瞬时速度,故选D.
5.C [解析] 设f(x)=3x2,则曲线y=3x2在点(1,3)处的切线斜率为===(3Δx+6)=6,故选C.
6.B [解析] 初速度即为t=0时的瞬时速度,由题知===3-Δt,则当Δt趋近于0时,趋近于3,故它的初速度为3.
7.C [解析] 由题意知,汽车在时间段[t1,t2],[t2,t3],[t3,t4],[t1,t4]上的平均速度的大小分别为,,,,设路程y与时间t的函数关系为y=f(t),则=,即为经过点(t1,f(t1)),(t2,f(t2))的直线的斜率k1,同理,为经过点(t2,f(t2)),(t3,f(t3))的直线的斜率k2,为经过点(t3,f(t3)),(t4,f(t4))的直线的斜率k3,为经过点(t1,f(t1)),(t4,f(t4))的直线的斜率k4,如图,
由图可知,k3最小,即最小.故选C.
8.A [解析] f(x)=3x+x2的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率k==5,又f(1)=4,所以切线方程为y-4=5(x-1),即y=5x-1.
9.BCD [解析] 对于A,=
=(3+Δt)=3,即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s,A错误.对于B,==(1+Δt)=1,即物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s,B正确.对于C,设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s,则=(2t0+1+Δt)=2t0+1=9,所以t0=4,即物体在t=4 s时的瞬时速度为9 m/s,C正确.对于D,==2(m/s),D正确.故选BCD.
10. [解析] l(3+Δt)-l(3)=2(3+Δt)2+(3+Δt)-2×32-=2(Δt)2+Δt,所以当t=3 s时该运动员滑雪的瞬时速度为==(m/s).
11.2 [解析] Δs=s(2)-s(1)=6×22+2m-(6×12+m)=18+m,Δt=2-1=1,因为物体在[1,2]这段时间内的平均速度为20 m/s,所以==18+m=20,解得m=2.
12.3 [解析] 因为===2a-2,
所以由题意可得2a-2=4,
解得a=3.
13.解:(1)h(0)表示飞行器未发射时的高度,h(1)表示飞行器发射1 s后的高度.
(2)==80(m/s),即t=0 s到t=1 s这段时间内飞行器的平均速度为80 m/s.
(3)v==[5(Δt)2+45Δt+120]=120(m/s),即t=1 s时飞行器的瞬时速度为120 m/s.
14.解:设P(x0,y0)是曲线y=x2上的点,则曲线y=x2在点P(x0,y0)处切线的斜率k==2x0.
(1)∵切线与直线y=4x-5平行,∴2x0=4,即x0=2,
∴y0=4,即P(2,4)是满足条件的点.
(2)∵切线与直线2x-6y+5=0垂直,∴2x0×=-1,
得x0=-,∴y0=,即P是满足条件的点.
(3)∵切线的倾斜角为135°,∴切线的斜率为-1,即2x0=-1,得x0=-,∴y0=,即P是满足条件的点.
15.①②③ [解析] 对于①,在[a,b]这段时间内,f(x)图象的割线斜率的绝对值比g(x)图象的割线斜率的绝对值大,所以甲的心率变化比乙快,故①正确;对于②,在a时刻,f(x)图象的切线斜率的绝对值比g(x)图象的切线斜率的绝对值大,所以甲的心率变化比乙快,故②正确;对于③,在b时刻,f(x)图象的切线斜率和g(x)图象的切线斜率相同,所以甲、乙的心率变化相同,故③正确;对于④,g(x)的图象在[0,a]内的割线斜率的绝对值大于f(x)的图象在[b,c]内的割线斜率的绝对值,故乙在[0,a]这段时间内的心率变化比甲在[b,c]这段时间内的心率变化快,故④错误.故填①②③.
16.解:(1)由题意知s=
因为Δt=5-3=2,Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,
所以物体在时间段[3,5]内的平均速度为==24(m/s).
(2)物体的初速度即为物体在t=0 s时的瞬时速度,因为==3Δt-18,所以物体在t=0 s时的瞬时速度为=(3Δt-18)=-18(m/s),
即物体的初速度为-18 m/s.
(3)因为==3Δt-12,所以=(3Δt-12)=-12,即物体在t=1 s时的瞬时速度为-12 m/s.第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
【学习目标】
1.通过实例分析,经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程.
2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系.
3.体会极限思想.
◆ 知识点一 平均速度与瞬时速度
1.平均速度:如果物体的运动方程是h=h(t),那么物体在[t,t+Δt]内的平均速度= .
2.瞬时速度
(1)定义:物体在 的速度称为瞬时速度.
(2)瞬时速度与平均速度的关系:从物理的角度看,当时间间隔|Δt|无限趋近于0时,平均速度就无限趋近于t=t0时的瞬时速度.
(3)计算:如果物体的运动方程是h=h(t),那么物体在时刻t的瞬时速度 v== .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)某物体在一段时间内的平均速度为0,则该物体在这段时间内是静止的. ( )
(2)在计算物体运动的瞬时速度时,h(t0+Δt)>h(t0). ( )
(3)瞬时速度是刻画物体在区间[t0,t0+Δt](Δt>0)上变化快慢的物理量. ( )
(4)在v=中Δt一定为正. ( )
2.物体的位移h与时间t的关系是h(t)=5t2,试求物体在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度.
3.当Δt趋近于0时,上题中的平均速度趋近于多少 怎样理解这一速度
◆ 知识点二 抛物线y=x2的割线与切线
1.
过P0(1,1),P(x,x2)(x≠1)的割线 在P0(1,1)处的切线 P0T
由来 抛物线上点P,P0的连线 动点P无限趋近于点P0时,割线PP0无限趋近于一个确定的位置
图形
斜率 k1= k2==2
联系 当x无限趋近于1时,割线变为切线,k1等于k2
2.切线的斜率与割线的斜率的关系:从几何图形上看,当横坐标间隔|Δx|无限变小时,点P无限趋近于点P0,于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T,这时,割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)切线的斜率是割线斜率的极限值. ( )
(2)曲线在某点处的切线是过该点的割线的极限位置. ( )
(3)若=3Δx+5,则=3. ( )
◆ 探究点一 求物体运动的平均速度
例1 一物体从离地面50 m处做自由落体运动,其离地面的高度x(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系是x=-5t2+50,求:
(1)物体开始运动后3 s内的平均速度;
(2)物体在2 s到3 s内的平均速度.
变式 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t,t∈.
(1)分别求物体在0≤t≤和≤t≤这段时间内的平均速度;
(2)比较(1)中两个平均速度的大小,说明其几何意义.
[素养小结]
(1)平均速度反映了运动物体的位移随时间变化而变化的情况,平均速度等于运动物体在一个时间段内位移的改变量与这段时间的比值.
(2)求物体运动的平均速度的步骤:
①求时间的改变量Δt=t2-t1;②求位移的变化量Δs=s(t2)-s(t1);③求平均速度==.
◆ 探究点二 求物体运动的瞬时速度
例2 (1)一物体做直线运动,其位移y(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是y=-t2+9t,则该物体在t=3 s时的瞬时速度为 ( )
A.3 m/s B.6 m/s
C.12 m/s D.16 m/s
(2)一质点按规律s=at2+1做直线运动(位移s的单位:m,时间t的单位:s),若该质点在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s,则常数a= .
变式 (1)一做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s(t)=3t-t2(位移单位:m,时间单位:s).①此物体在t=0 s到t=2 s时的平均速度为 .②此物体的初速度为 ;③此物体在t=2 s时的瞬时速度为 .
(2)已知一物体的运动方程是s=24t-3t2(s的单位为m, t的单位为s),则物体在t= s时的瞬时速度为12 m/s.
[素养小结]
求运动物体的瞬时速度的步骤:
①由运动物体的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
②求t0到t0+Δt这段时间内的平均速度=;
③求的值,即得t=t0时的瞬时速度.
◆ 探究点三 曲线的割线与切线
例3 (1)已知函数f(x)=-x2+x图象上的两点A(2,f(2)),B(2+Δx,f(2+Δx))(Δx>0).若割线AB的斜率不大于-1,求Δx的取值范围.
(2)求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.
变式 已知函数f(x)=2x2+3x-5.
(1)求曲线y=f(x)过(4,f(4)),(4+Δx,f(4+Δx))两点的割线的斜率;
(2)求曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线方程.
[素养小结]
求曲线在某点处的切线方程的三个步骤
拓展 已知函数f(x)=ax2+b的图象在点(1,3)处的切线斜率为2,则= . 第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
一、选择题
1.对于函数y=f(x),自变量x由x0改变到x0+kΔx(k为常数)时,函数值的改变量Δy= ( )
A.f(x0+kΔx)
B.f(x0)+kΔx
C.f(x0)·kΔx
D.f(x0+kΔx)-f(x0)
2.在曲线y=x2+1上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则= ( )
A.Δx++2 B.Δx--2
C.2+Δx D.2+Δx-
3.[2024·湖南部分学校高二期末] 某物体运动t s后,其位移(单位:m)为y=t2+2t.在2≤t≤4这段时间里,该物体的平均速度为 ( )
A.5 m/s B.6 m/s
C.8 m/s D.10 m/s
4.做直线运动的物体,从时刻t到t+Δt时,物体的位移为Δs,那么表示 ( )
A.从时刻t到t+Δt时物体的平均速度
B.从时刻t到t+Δt时物体的瞬时速度
C.该物体在Δt时刻的瞬时速度
D.该物体在t时刻的瞬时速度
5.曲线y=3x2在点(1,3)处的切线的斜率为 ( )
A.3 B.-3
C.6 D.-6
6.某物体做直线运动,其位移s和时间t的关系是s(t)=3t-t2,则它的初速度是 ( )
A.0 B.3
C.-2 D.3-2t
7.某汽车在平直的公路上向前行驶,其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段[t1,t2],[t2,t3],[t3,t4],[t1,t4]上的平均速度的大小分别为,,,,则平均速度最小的是 ( )
A.
B.
C.
D.
8.f(x)=3x+x2的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 ( )
A.y=5x-1 B.y=-5x-1
C.y=x+1 D.y=-x-1
9.(多选题)某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,则 ( )
A.物体在t=1 s时的瞬时速度为0 m/s
B.物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s
C.瞬时速度为9 m/s的时刻是在t=4 s时
D.物体从0 s到1 s的平均速度为2 m/s
二、填空题
10.某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为l(t)=2t2+t,则当t=3 s时,该运动员滑雪的瞬时速度为 m/s.
11.一个物体做直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=6t2+mt,且这一物体在[1,2]这段时间内的平均速度为20 m/s,则实数m的值为 .
12.已知定义在R上的函数f(x)= ax2-2x-1,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为4,则a= .
三、解答题
13.某飞行器发射后的一段时间内,时间t与飞行器高度h的关系为h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.
(1)h(0),h(1)分别表示什么
(2)求t=0 s到t=1 s这段时间内飞行器的平均速度.
(3)求t=1 s时飞行器的瞬时速度.
14.曲线y=x2在哪一点处的切线分别满足下列条件
(1)平行于直线y=4x-5;
(2)垂直于直线2x-6y+5=0;
(3)倾斜角为135°.
15.人的心率会因运动而变化,并且用的大小评价心率变化的快慢.已知运动员甲(y=f(x))、乙(y=g(x))在某次运动前后,心率随时间的变化情况如图所示(a,b,c为定义域的四等分点),给出如下结论:
①在[a,b]这段时间内,甲的心率变化比乙快;
②在a时刻,甲的心率变化比乙快;
③在b时刻,甲、乙的心率变化相同;
④乙在[0,a]这段时间内的心率变化比甲在[b,c]这段时间内的心率变化慢.
其中,所有正确结论的序号是 .
16.已知一物体的运动方程为s=(位移s的单位:m,时间t的单位:s).求:
(1)物体在时间段[3,5]内的平均速度;
(2)物体的初速度;
(3)物体在t=1 s时的瞬时速度.(共55张PPT)
5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
探究点一 求物体运动的平均速度
探究点二 求物体运动的瞬时速度
探究点三 曲线的割线与切线
【学习目标】
1.通过实例分析,经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程.
2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系.
3.体会极限思想.
知识点一 平均速度与瞬时速度
1.平均速度：如果物体的运动方程是,那么物体在 内的平均
速度 ___________.
2.瞬时速度
（1）定义：物体在__________的速度称为瞬时速度.
某一时刻
（2）瞬时速度与平均速度的关系：从物理的角度看，当时间间隔 无限趋近
于0时，平均速度就无限趋近于 时的瞬时速度.
（3）计算：如果物体的运动方程是,那么物体在时刻 的瞬时速度
_______________.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）某物体在一段时间内的平均速度为0,则该物体在这段时间内是静止的.( )
×
[解析] 平均速度为0,并不能保证瞬时速度为0.
（2）在计算物体运动的瞬时速度时， .( )
×
[解析] 也可能有 .
（3）瞬时速度是刻画物体在区间 上变化快慢的物理量.( )
×
[解析] 瞬时速度是刻画物体在某一时刻速度的物理量.
（4）在中 一定为正.( )
×
[解析] 可正可负,但不能为0.
2.物体的位移与时间的关系是,试求物体在 这段时间内
的平均速度.
解:因为,所以平均速度 .
3.当 趋近于0时,上题中的平均速度趋近于多少 怎样理解这一速度
解:当趋近于0时,趋近于10,这时的平均速度即为 时的瞬时速度.
知识点二 抛物线 的割线与切线
1.
过, 的 割线 在处的切线
由来 抛物线上点, 的连线 动点无限趋近于点时，割线 无限
趋近于一个确定的位置
图形 __________________________________________ __________________________________________
斜率
联系 当无限趋近于1时,割线变为切线,等于
续表
2.切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔 无限变
小时，点无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线 ，这时，
割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率 .
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）切线的斜率是割线斜率的极限值.( )
√
（2）曲线在某点处的切线是过该点的割线的极限位置.( )
√
（3）若,则 .( )
×
[解析] .
探究点一 求物体运动的平均速度
例1 一物体从离地面处做自由落体运动，其离地面的高度（单位： ）
与时间（单位：）之间的函数关系是 ，求：
（1）物体开始运动后 内的平均速度；
解:由已知得，物体开始运动后内的平均速度为 .
（2）物体在到 内的平均速度.
解:由已知得,物体在到内的平均速度为 .
变式 某物体运动的位移与时间之间的函数关系式为， .
（1）分别求物体在和 这段时间内的平均速度；
解:物体在这段时间内的平均速度 .
物体在这段时间内的平均速度 .
（2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义.
解:由（1）可知，所以.
作出函数 ,的图象，如图所示，
可以发现，在上，随着的增大，函数值 变化得越来越慢.
［素养小结］
（1）平均速度反映了运动物体的位移随时间变化而变化的情况，平均速度等于
运动物体在一个时间段内位移的改变量与这段时间的比值.
（2）求物体运动的平均速度的步骤：
①求时间的改变量；②求位移的变化量 ；③求平
均速度 .
探究点二 求物体运动的瞬时速度
例2（1） 一物体做直线运动，其位移（单位：）与时间（单位： ）的
关系是，则该物体在 时的瞬时速度为( )
A
A. B. C. D.
[解析] ,所以 ，所以物体在
时的瞬时速度为 .故选A.
（2）一质点按规律做直线运动（位移的单位:,时间的单位: ）,
若该质点在时的瞬时速度为,则常数 ___.
2
[解析] ,
,则该质点在时的瞬时速度为
由题意得, .
变式（1） 一做直线运动的物体，其位移与时间的关系是
（位移单位：，时间单位：）.①此物体在到 时的平均速度为
_______.②此物体的初速度为_______；③此物体在 时的瞬时速度为
_________.
[解析] ①此物体在到时的平均速度 .
②此物体的初速度 .
③此物体在 时的瞬时速度
.
（2）已知一物体的运动方程是的单位为，的单位为 ，
则物体在___时的瞬时速度为 .
[解析] 设物体在时的瞬时速度为 ，则
，解得 .
［素养小结］
求运动物体的瞬时速度的步骤:
①由运动物体的位移与时间 的函数关系式求出位移增量
；
②求到这段时间内的平均速度 ；
③求的值,即得 时的瞬时速度.
探究点三 曲线的割线与切线
例3（1） 已知函数图象上的两点 ，
.若割线的斜率不大于，求 的取值范围.
解：由题意得，割线 的斜率为
.
由，得，又因为，所以的取值范围是 .
（2）求曲线在点 处的切线方程.
解：曲线过， 两点的割线的斜率为
，所以曲线在点 处的切线的斜率为
，所以切线方程为,即 .
变式 已知函数 .
（1）求曲线过, 两点的割线的斜率；
解：曲线过, 两点的割线的斜率为
.
（2）求曲线在点 处的切线方程.
解：由（1）知，曲线在点 处的切线斜率为
，
又，所以所求切线方程为 ，
即 .
［素养小结］
求曲线在某点处的切线方程的三个步骤
拓展 已知函数的图象在点处的切线斜率为2，则 ___.
2
[解析] 由题意得，所以，
又，所以 ，所以 .
1.平均速度
设跳高运动员在跳高过程中，离地面的高度与时间的关系是,则在
到这段时间内,运动员的平均速度 .
注意:在匀速直线运动中,比值是恒定的；在非匀速直线运动中,比值 不是恒定
的.要想精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,
即瞬时速度.
2.对于瞬时速度的理解
（1）瞬时速度的实质是平均速度在 无限趋近于0时的极限值.
（2）瞬时速度的计算必须先求出平均速度 ，再对平均速度取极限.
（3）趋近于0,是指时间间隔 越来越短,能比任意小的时间间隔更小,但始终
不能为零.
（4）, 在变化中都趋近于0,但它们的比值却趋近于一个确定的常数.
3.割线斜率与切线斜率的几何意义
由函数 的图象（如图）可知,函数
的图象的割线斜率 的几何
意义是函数图象上的两点 ,
所在直线的斜率，可以看作是曲线陡
峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是割线斜率的“视
觉化”,利用割线斜率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度,但效果是“粗糙不精
确的”,只有当 无限变小,即转化为切线斜率时，这种量化才由“粗糙”逐
渐变得“精确”.
4.极限的含义
“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而
永远不能到达”.数学中的“极限”是指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变
大（或者变小）且永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值 不断地逼近而
“永远不能够重合到 ”，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”，其
有一个“不断靠近 点的趋势”.极限是一种“变化状态”的描述.此变量永远趋近的
值 叫作“极限值”（当然也可以用其他符号表示）.
1.变化量的理解
例1 某物体的位移公式为，从到 这段时间内，下列说法正确
的是( )
C
A. 称为函数值增量
B. 称为函数值增量
C. 称为函数值增量
D. 称为函数值变量
[解析] 由自变量的变化量、函数值的变化量等概念易得C正确.
2.求（当 无限趋近于0时）的极限的方法
（1）在极限表达式中，可把 作为一个数来参与运算.
（2）求出的表达式后，无限趋近于0，令 ，求出结果即可.
例2 已知，则 ____ .
[解析]
.
练习册
一、选择题
1.对于函数，自变量由改变到为常数 时，函数值的改
变量 ( )
D
A. B.
C. D.
[解析] .故选D.
2.在曲线上取一点及邻近一点，则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] ，故选C.
3.[2024·湖南部分学校高二期末]某物体运动后，其位移（单位： ）为
.在 这段时间里，该物体的平均速度为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 当时，位移为，当 时，位移为
，所以在 这段时间里，该物体的平均速度为
.故选A.
4.做直线运动的物体，从时刻到时，物体的位移为，那么 表示
( )
D
A.从时刻到时物体的平均速度 B.从时刻到 时物体的瞬时速度
C.该物体在时刻的瞬时速度 D.该物体在 时刻的瞬时速度
[解析] 表示从时刻到时物体的平均速度，而表示该物体在 时刻
的瞬时速度，故选D.
5.曲线在点 处的切线的斜率为( )
C
A.3 B. C.6 D.
[解析] 设，则曲线在点 处的切线斜率为
，
故选C.
6.某物体做直线运动,其位移和时间的关系是 ,则它的初速度是
( )
B
A.0 B.3 C. D.
[解析] 初速度即为 时的瞬时速度,
由题知,
则当趋近于0时, 趋近于3,故它的初速度为3.
7.某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程
与时间的函数图象如图.记该车在时间段 ，
，， 上的平均速度的大小
分别为，，， ，则平均速度最小的是
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，汽车在时间段， ，，上的平均速度
的大小分别为， ，，，
设路程与时间的函数关系为 ，
则，即为经过点 ,的直线的斜率，
由图可知，最小，即 最小.故选C.
同理， 为经过点,的直线的斜率，
为经过点, 的直线的斜率，
为经过点,的直线的斜率 ，如图，
8.的图象在点 处的切线方程为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 的图象在点 处的切线的斜率
,
又 ，所以切线方程为，即 .
9.（多选题）某物体的运动路程（单位：）与时间（单位： ）的关系可
用函数 表示，则( )
BCD
A.物体在时的瞬时速度为
B.物体在时的瞬时速度为
C.瞬时速度为的时刻是在 时
D.物体从到的平均速度为
[解析] 对于A， ，
即物体在 时的瞬时速度为 ，A错误.
对于B，，
即物体在 时的瞬时速度为，B正确.
对于C，设物体在时刻的瞬时速度为 ，则
，所以 ，即物体在
时的瞬时速度为，C正确.
对于D， ，D正确.故选 .
二、填空题
10.某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间
（单位：）之间的关系为，则当 时，该运动员滑雪的瞬
时速度为___ .
[解析] ，
所以当 时该运动员滑雪的瞬时速度为
11.一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位： ）之间的函数
关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为 ，
则实数 的值为___.
2
[解析] ，
，因为物体在这段时间内的平均速度为 ，所以
，解得 .
12.已知定义在上的函数，且曲线在点
处的切线斜率为4，则 ___.
3
[解析] 因为 ，
所以由题意可得 ，
解得 .
三、解答题
13.某飞行器发射后的一段时间内，时间与飞行器高度 的关系为
，其中的单位为，的单位为 .
（1）， 分别表示什么？
解:表示飞行器未发射时的高度，表示飞行器发射 后的高度.
（2）求到 这段时间内飞行器的平均速度.
解:，即到 这段时间内飞行器的平均速度为
.
（3）求 时飞行器的瞬时速度.
解:，即 时
飞行器的瞬时速度为 .
14.曲线 在哪一点处的切线分别满足下列条件？
（1）平行于直线 ；
解：设是曲线上的点，则曲线在点 处切线的斜率
.
切线与直线平行，，即 ，
，即 是满足条件的点.
（2）垂直于直线 ；
解： 切线与直线垂直， ，
得，，即 是满足条件的点.
（3）倾斜角为 .
解： 切线的倾斜角为 ， 切线的斜率为，即 ，得
，，即 是满足条件的点.
15.人的心率会因运动而变化，并且用
的大小评价心率变化的快慢.已知运
动员甲、乙 在某
次运动前后，心率随时间的变化情况如
图所示,,为定义域的四等分点 ，给
出如下结论：
①在 这段时间内，甲的心率变化比乙快；
②在 时刻，甲的心率变化比乙快；
③在 时刻，甲、乙的心率变化相同；
④乙在这段时间内的心率变化比甲在 这段时间内的心率变化慢.
其中，所有正确结论的序号是________.
①②③
[解析] 对于①，在这段时间内，图象的割线斜率的绝对值比 图象
的割线斜率的绝对值大，所以甲的心率变化比乙快，故①正确；
对于②，在 时刻，图象的切线斜率的绝对值比 图象的切线斜率的绝对
值大，所以甲的心率变化比乙快，故②正确；
对于③，在时刻，图象的切线斜率和 图象的切线斜率相同，所以甲、
乙的心率变化相同，故③正确；
对于④， 的图象在内的割线斜率的绝对值大于的图象在 内的
割线斜率的绝对值，故乙在这段时间内的心率变化比甲在 这段时间内
的心率变化快，故④错误.故填①②③.
16.已知一物体的运动方程为（位移的单位： ，
时间的单位： ）.求：
（1）物体在时间段 内的平均速度；
解:由题意知
因为， ，
所以物体在时间段内的平均速度为 .
（2）物体的初速度；
解:物体的初速度即为物体在 时的瞬时速度，
因为，所以物体在 时的瞬时
速度为 ，
即物体的初速度为 .
（3）物体在 时的瞬时速度.
解:因为 ，所以
，即物体在时的瞬时速度为 .
