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5.1 导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第1课时 导数的概念
探究点一 平均变化率
探究点二 导数的定义
探究点三 导数定义的应用
【学习目标】
1.能通过实例分析,说出导数概念的实际背景.
2.了解导数的概念,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵
与思想.
知识点 导数的概念
1.平均变化率：对于函数,设自变量从变化到 ，相应地，函
数值就从变化到，这时，的变化量为， 的变化量为
.比值_____________叫作函数从 到
的平均变化率.
2.导数的概念:如果当时,平均变化率无限趋近于一个______的值,即
有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫作在
处的导数（也称为瞬时变化率）,记作_______或,即
_________________.
确定
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）是函数在 附近的平均变化率.( )
×
[解析] 是函数在 处的瞬时变化率.
（2）函数在区间， 上的平均变化率相等.( )
×
[解析] 设函数在区间，上的平均变化率分别为, ，则
，, .
（3）函数在处的导数与 有关.( )
×
[解析] 函数在处的导数与 无关.
（4）设,则,当趋近于0时,趋近于 ,因此,
.( )
√
2.可以反映函数 变化的什么特征
解：可以反映函数在 处变化的快慢程度.
探究点一 平均变化率
例1（1） 函数在 上的平均变化率是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意得平均变化率为 ，故选C.
（2）函数的图象如图所示，则函数在 ，，
这三个区间内，平均变化率最大的区间是________.
[解析] 由平均变化率的定义可知，函数在区间， ，
内的平均变化率分别为，， ，结合图象可
以发现函数的平均变化率最大的区间是 .
变式（1） （多选题）下列函数在区间 上的平均变化率是正数的有
( )
ABC
A. B. C. D.
[解析] 对于A，，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D， ，故D错误.故选 .
（2）若函数在区间上的平均变化率为5，则 ___.
3
[解析] 因为函数在区间 上的平均变化率为5，所以
，解得 .
［素养小结］
求函数在区间 上的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量 ;
（2）计算平均变化率 .
探究点二 导数的定义
例2（1） [2024·北京大兴区高二期中]若函数，则
( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为 ，所以
.故选B.
（2）设函数，若，则 ( )
A
A.2 B. C.3 D.
[解析] ，且 ，
.故选A.
变式（1） [2024·广东五校高二联考]函数在 处的导数为
( )
A
A.7 B. C.2 D.
[解析] 因为 ，所以
，故
.故选A.
（2）[2024·河南驻马店高二期中]已知函数，若 ，则
( )
D
A.2 B. C.5 D.10
[解析] 因为 ，所以
，故选D.
［素养小结］
利用导数的定义求在 处的导数的步骤:
（1）求函数值的增量 ;
（2）求平均变化率 ;
（3）求极限 .
探究点三 导数定义的应用
例3 一质点做直线运动,已知在时,质点的位移（单位: ）满足
.
（1）求质点在 这段时间内的平均速度;
解：因为 ,所以
,所以质点在 这段
时间内的平均速度 .
（2）求质点在 时的瞬时速度,并说明它的意义.
解：因为，所以质点在 时的瞬时
速度为,说明在第附近,质点的位移每秒大约减少 .
变式 一杯的热红茶置于室温为 的房间里,红茶的温度会逐渐下降,温
度（单位:）与时间（单位:）之间的关系由函数 给出.
（1） 是正数还是负数 有什么实际意义
解：,的意义为在第时红茶的温度的瞬时变化率, 为负数,
说明在第 附近红茶的温度降低.
（2） 的实际意义是什么
解：的实际意义是在第附近红茶的温度以 的速率下降.
［素养小结］
是函数在处的瞬时变化率,是函数值在 附近增加（或减小）
的大小.
拓展 我们知道,在给气球充气时,开始充气时膨胀速度较快,随后膨胀速度将逐
渐缓慢下来,气球膨胀实际上就是气球半径增大,表面积增大,体积增大.将气球看
成球体，并假设气球是不可压缩的,试问:
解：用表示气球的半径,表示气球的表面积, 表示气球的体积,则
, .
（1）如何描述气球的表面积相对于半径的增长率
气球的表面积相对于半径的增长率就是函数 的瞬时变化率.
,当趋近于0时, 趋
近于0,故气球的表面积相对于半径的增长率为.
故随着 的增长,气球表面积的增长率逐渐增大,即随着气球不断充气,气球表面积
的增长率不断增大.
（2）如何描述气球的体积相对于半径的增长率
解： 气球的体积相对于半径的增长率就是函数 的瞬时变化率
,当
趋近于0时,趋近于0,故气球的体积相对于半径的增长率为 .
故随着 的增长,气球体积的增长率逐渐增大,即随着气球不断充气,气球体积的增
长率不断增大.
1.对于导数的概念的理解
（1）函数在处的导数即为函数在 处的瞬时变化率.
（2）当时,若比值的极限存在,则在处可导;若比值 的极限
不存在,则在 处不可导或无导数.
（3）自变量的增量可正可负,但不为0，函数值的增量 可正可负,也可以为0.
（4）的意义：|可以小于给定的任意小的正数，但始终有 .
（5）函数应在 及其附近有意义,否则导数不存在.若极限
不存在,则称函数在 处不可导.
（6）函数在一点处的导数，就是该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量
的比值的极限，它是一个数值.
2.曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系
导数符号 曲线在 附近的升降情况 切线的斜率 切线的倾斜角
上升 锐角
下降 钝角
平坦 零角
（切线与 轴平
行）
说明：切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢.
1.利用导数的定义求导数,先求平均变化率,再求其极限即可.
例1 求函数在 处的导数.
解： ,
即 .
2.利用导数求自变量的值
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品时，需要对原油进行冷却
和加热.如果原油的温度（单位：）与时间（单位： ）的关系式为
，则当 ___时，原油温度的瞬时变化率为
.
4
[解析] 设当时，原油温度的瞬时变化率为 ，则
，解得
，即当时，原油温度的瞬时变化率为 .
3.导数概念的应用
例3 [2024·金华东阳外国语学校高二月考] 设函数 ，且
，则 ( )
D
A. B. C.1 D.
[解析] 因为，
所以
，所以，
解得 .故选D.
练习册
一、选择题
1.如图是函数的图象，则函数在 上的平均变化率是( )
B
A.1 B. C.2 D.
[解析] ，故选B.
2.[2024·福建泉州高二期中]已知点,均在函数 的图象
上，若函数在上的平均变化率为 ，则下列说法正确的是( )
A
A.直线的倾斜角为 B.直线的倾斜角为
C.直线的斜率为 D.直线的斜率为
[解析] 在上的平均变化率为，.
在上的平均变化率就是直线的斜率，，
故直线 的倾斜角为 ，故选A.
3.已知函数，则函数在 处的导数为( )
D
A.2 B.3 C.4 D.6
[解析] 由题意知
，故选D.
4.[2024·河南驻马店高二期末]定义在上的函数 在区间
内的平均变化率为 ，其中，
则函数在处的导数 ( )
B
A. B.1 C.3 D.9
[解析] 由导数的定义可得
.故选B.
5.[2024·安徽亳州高二期中]若，则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以
.故选C.
6.已知函数和在区间 上的图象如图所示，则下列说法正确的是
( )
A.在上的平均变化率大于在 上的
平均变化率
B.在上的平均变化率小于在 上的
平均变化率
C.对于任意，函数在处的瞬时
变化率总大于函数 在 处的瞬时变化率
D.存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数 在
处的瞬时变化率
D
[解析] 在上的平均变化率是，在 上的平均变化率
是，，，， ,B错误；
易知函数在处的瞬时变化率是函数在 处的导数，即函数
的图象在该点处切线的斜率，函数在 处的瞬时变化率是函数
在处的导数，即函数 的图象在该点处切线的斜率，
由题中图象可知，当时，函数的图象在处切线的斜率有
可能大于 的图象在处切线的斜率，也有可能小于等于的图象
在 处切线的斜率，故C错误，D正确.故选D.
7.已知函数的图象开口向下,,则 ( )
B
A. B. C.2 D.
[解析] ,则
,.
函数的图象开口向下, ,故选B.
8.（多选题）[2024·长沙长郡中学高二月考] 已
知函数 的图象如图所示，则关于函数
在区间，，，
上的平均变化率的说法中正确的是( )
BC
A.在区间 上的平均变化率最小
B.在区间 上的平均变化率大于0
C.在区间上的平均变化率比 上的大
D.在区间 上的平均变化率最大
[解析] 由函数图象可得，函数在区间 上的平均变化率小于0；在区
间，，上，平均变化率均大于0且 相同.
由图象可知函数在区间上的平均变化率最大.故选 .
9.（多选题）设在处可导，下列式子中与 相等的是( )
AC
A. B.
C. D.
[解析] 对于A， ，
A满足题意；
对于B， ，
B不满足题意；
对于C， ，C满足题意；
对于D， ，
D不满足题意.故选 .
二、填空题
10.已知函数，则 ___.
2
[解析] 令 ,
因为，所以 ，
所以 .
11.已知物体运动的速度（单位：）与时间（单位： ）之间的关系为
，则该物体在时间段 内的平均加速度是_______
，在时的瞬时加速度是___ .
4
[解析] ,
，即该物体在时间段 内的平均加速度是
， 该物体在 时的瞬时加速度是 .
12.如图，在平面直角坐标系中，直线，， 围成
的的面积为，则在 处的瞬时变化率是_____.
[解析] 由题可知，, ,
, .
三、解答题
13.已知 .
（1）求在 处的导数；
解：因为 ，
所以 .
（2）求在 处的导数.
解：因为 ，
所以 .
14.柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的.铺路工人需要对沥青加热
使其由固体变成粘稠液体，如果开始加热后第的沥青温度（单位： ）为
，，求 ，并说明它的实际意义.
解：因为， ，所以
，所
以，
它表示在 附近，沥青的温度以 的速率上升.
15.已知函数则 ____.
[解析] ，
，
，即
，
， .
16.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,已知关系式为,其中
（单位:）为蜥蜴的体温,（单位: ）为太阳落山后经过的时间.
（1）从到 ,蜥蜴的体温下降了多少
解： ,
故从到,蜥蜴的体温下降了 .
（2）从到 ,蜥蜴体温的平均变化率是多少 它的实际意义是
什么
解：从到 ,蜥蜴体温的平均变化率为
,它表示从到 这段时间内,蜥
蜴的体温平均每分钟下降 .
（3）求 ,并解释它的实际意义.
解：,当趋近于0时, 趋近于
,即,它表示在太阳落山后的 左右,蜥蜴的体温每分钟下降
.5.1.2 导数的概念及其几何意义
第1课时 导数的概念
1.B [解析] ===-1,故选B.
2.A [解析] ∵f(x)在[x1,x2]上的平均变化率为,∴==.∵f(x)在[x1,x2]上的平均变化率就是直线AB的斜率kAB,∴kAB=,故直线AB的倾斜角为,故选A.
3.D [解析] 由题意知f'(1)= ==(6+3Δx)=6,故选D.
4.B [解析] 由导数的定义可得f'(2)==[(Δx)2+2Δx+1]=1,故选B.
5.C [解析] 因为f'(x0)=-2,所以===3f'(x0)=-6.故选C.
6.D [解析] ∵f(x)在[a,b]上的平均变化率是,g(x)在[a,b]上的平均变化率是,f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴=,∴A,B错误;易知函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数,即函数f(x)的图象在该点处切线的斜率,函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x=x0处的导数,即函数g(x)的图象在该点处切线的斜率,由题中图象可知,当x0∈(a,b)时,函数f(x)的图象在x=x0处切线的斜率有可能大于g(x)的图象在x=x0处切线的斜率,也有可能小于等于g(x)的图象在x=x0处切线的斜率,故C错误,D正确.故选D.
7.B [解析] f(a+Δx)-f(a)=a(a+Δx)2+b-a3-b=2a2Δx+a(Δx)2,则f'(a)==(2a2+aΔx)=2a2=4,∴a=±.∵函数f(x)=ax2+b的图象开口向下,∴a=-,故选B.
8.BC [解析] 由函数图象可得,函数y=f(x)在区间[4,7]上的平均变化率小于0;在区间[1,2],[2,3],[3,4]上,平均变化率均大于0且Δx相同.由图象可知函数y=f(x)在区间[3,4]上的平均变化率最大.故选BC.
9.AC [解析] 对于A,==f'(x0),A满足题意;对于B,=2=2f'(x0),B不满足题意;对于C,=f'(x0),C满足题意;对于D,=3=3f'(x0),D不满足题意.故选AC.
10.2 [解析] 令y=f(x),因为Δy=f(5+Δx)-f(5)=[2(5+Δx)-3]-(2×5-3)=2Δx,所以=2,所以f'(5)==2.
11.Δt+4 4 [解析] ∵Δv=v(1+Δt)-v(1)=(1+Δt)2+2(1+Δt)+2-5=(Δt)2+4Δt,∴=Δt+4,即该物体在时间段[1,1+Δt]内的平均加速度是(Δt+4) m/s2.∵v'(1)==(Δt+4)=4,∴该物体在t=1 s时的瞬时加速度是4 m/s2.
12.2 [解析] 由题可知,|AB|=t,|OA|=t,∴S(t)=|AB||OA|=×t·t=t2,∴S'(2)==2.
13.解:(1)因为===2+Δx,
所以f'(1)=(2+Δx)=2.
(2)因为===2a+Δx,
所以f'(a)=(2a+Δx)=2a.
14.解:因为f(x)=80x2+20,0≤x≤1,所以===40+80Δx,所以f'(0.25)= (40+80Δx)=40,它表示在x=0.25 h附近,沥青的温度以40 ℃/h的速率上升.
15.- [解析] f(4+Δx)-f(4)=-+=-==,∴=,∴===,即f'(4)=.==Δx-2,
∴f'(-1)=(Δx-2)=-2,∴ f'(4)·f'(-1)=×(-2)=-.
16.解:(1)T(10)-T(0)=+15-=-16,
故从t=0 min到t=10 min,蜥蜴的体温下降了16 ℃.
(2)从t=0 min到t=10 min,蜥蜴体温的平均变化率为==-1.6(℃/min),它表示从t=0 min到t=10 min这段时间内,蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
(3)==-,当Δt趋近于0时,-趋近于-1.2,即T'(5)=-1.2,它表示在太阳落山后的5 min左右,蜥蜴的体温每分钟下降1.2 ℃.5.1.2 导数的概念及其几何意义
第1课时 导数的概念
【学习目标】
1.能通过实例分析,说出导数概念的实际背景.
2.了解导数的概念,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想.
◆ 知识点 导数的概念
1.平均变化率:对于函数y=f(x), 设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f (x0)变化到f (x0+Δx),这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=f (x0+Δx)-f (x0).比值= 叫作函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.
2.导数的概念:如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个 的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫作y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作 或y',即f'(x0)== .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f'(x0)是函数f(x)在x=x0附近的平均变化率. ( )
(2)函数y=sin x在区间,上的平均变化率相等. ( )
(3)函数f(x)在x=x0处的导数与Δx有关. ( )
(4)设x=x0+Δx,则Δx=x-x0,当Δx趋近于0时,x趋近于x0,因此,f'(x0)==.( )
2.f'(x0)可以反映函数f(x)变化的什么特征
◆ 探究点一 平均变化率
例1 (1)函数f(x)=2x+1在[-1,2]上的平均变化率是 ( )
A. B. C. D.
(2)函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]这三个区间内,平均变化率最大的区间是 .
变式 (1)(多选题)下列函数在区间[1,1.3]上的平均变化率是正数的有 ( )
A.y=x B.y=x2
C.y=x3 D.y=
(2)若函数y=x2-m2在区间[2,t](t>2)上的平均变化率为5,则t= .
[素养小结]
求函数y=f(x)在区间[x1,x2](x2>x1)上的平均变化率的步骤:
(1)求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率=.
◆ 探究点二 导数的定义
例2 (1)[2024·北京大兴区高二期中] 若函数f(x)=x2,则= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)设函数f(x)=ax+1,若f'(1)=2,则a= ( )
A.2 B.-2
C.3 D.-3
变式 (1)[2024·广东五校高二联考] 函数f(x)=x2+3x在x=2处的导数为 ( )
A.7 B.-7 C.2 D.-2
(2)[2024·河南驻马店高二期中] 已知函数f(x),若f'(1)=5,则= ( )
A.2 B. C.5 D.10
[素养小结]
利用导数的定义求y=f(x)在x=x0处的导数的步骤:
(1)求函数值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率=;
(3)求极限.
◆ 探究点三 导数定义的应用
例3 一质点做直线运动,已知在t s时,质点的位移s(单位:m)满足s(t)=8-3t2.
(1)求质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度;
(2)求质点在t=1 s时的瞬时速度,并说明它的意义.
变式 一杯80 ℃的热红茶置于室温为20 ℃的房间里,红茶的温度会逐渐下降,温度T(单位:℃)与时间t(单位:min)之间的关系由函数T=f(t)给出.
(1)f'(t)是正数还是负数 有什么实际意义
(2)f'(3)=-4的实际意义是什么
[素养小结]
f'(x0)是函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率,是函数值在x=x0附近增加(或减小)的大小.
拓展 我们知道,在给气球充气时,开始充气时膨胀速度较快,随后膨胀速度将逐渐缓慢下来,气球膨胀实际上就是气球半径增大,表面积增大,体积增大.将气球看成球体,并假设气球是不可压缩的,试问:
(1)如何描述气球的表面积相对于半径的增长率
(2)如何描述气球的体积相对于半径的增长率 5.1.2 导数的概念及其几何意义
第1课时 导数的概念
一、选择题
1.如图是函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)在[1,3]上的平均变化率是 ( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.[2024·福建泉州高二期中] 已知点A(x1,y1),B(x2,y2)均在函数y=f(x)的图象上,若函数f(x)在[x1,x2]上的平均变化率为,则下列说法正确的是 ( )
A.直线AB的倾斜角为
B.直线AB的倾斜角为
C.直线AB的斜率为-
D.直线AB的斜率为-
3.已知函数f(x)=3x2+1,则函数f(x)在x=1处的导数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
4.[2024·河南驻马店高二期末] 定义在R上的函数y=f(x)在区间[2,2+Δx](Δx>0)内的平均变化率为=(Δx)2+2Δx+1,其中Δy=f(2+Δx)-f(2),则函数f(x)在x=2处的导数f'(2)= ( )
A.-1 B.1
C.3 D.9
5.[2024·安徽亳州高二期中] 若f'(x0)=-2,则= ( )
A.-12 B.-9 C.-6 D.-3
6.已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)在[a,b]上的平均变化率大于g(x)在[a,b]上的平均变化率
B.f(x)在[a,b]上的平均变化率小于g(x)在[a,b]上的平均变化率
C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率
D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率
7.已知函数f(x)=ax2+b的图象开口向下,f'(a)=4,则a= ( )
A. B.- C.2 D.-2
8.(多选题)[2024·长沙长郡中学高二月考] 已知函数y=f(x)的图象如图所示,则关于函数y=f(x)在区间[1,2],[2,3],[3,4],[4,7]上的平均变化率的说法中正确的是 ( )
A.在区间[1,2]上的平均变化率最小
B.在区间[2,3]上的平均变化率大于0
C.在区间[3,4]上的平均变化率比[2,3]上的大
D.在区间[4,7]上的平均变化率最大
9.(多选题)设f(x)在x=x0处可导,下列式子中与f'(x0)相等的是 ( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
10.已知函数f(x)=2x-3,则f'(5)= .
11.已知物体运动的速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)之间的关系为v(t)=t2+2t+2,则该物体在时间段[1,1+Δt]内的平均加速度是 m/s2,在t=1 s时的瞬时加速度是 m/s2.
12.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x,y=0,x=t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t),则S(t)在t=2处的瞬时变化率是 .
三、解答题
13.已知f(x)=x2+3.
(1)求y=f(x)在x=1处的导数;
(2)求y=f(x)在x=a处的导数.
14.柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的.铺路工人需要对沥青加热使其由固体变成粘稠液体,如果开始加热后第x h的沥青温度(单位:℃)为f(x)=80x2+20,0≤x≤1,求f'(0.25),并说明它的实际意义.
15.已知函数f(x)=则f'(4)·f'(-1)= .
16.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,已知关系式为T(t)=+15,其中T(t)(单位:℃)为蜥蜴的体温,t(单位:min)为太阳落山后经过的时间.
(1)从t=0 min到t=10 min,蜥蜴的体温下降了多少
(2)从t=0 min到t=10 min,蜥蜴体温的平均变化率是多少 它的实际意义是什么
(3)求T'(5),并解释它的实际意义.5.1.2 导数的概念及其几何意义
第1课时 导数的概念
【课前预习】
知识点
1.
2.确定 f'(x0)
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× (4)√ [解析] (1) f'(x0)是函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率.
(2)设函数y=sin x在区间,上的平均变化率分别为k1,k2,则k1==,k2==,k1>k2.
(3)函数f(x)在x=x0处的导数与Δx无关.
2.解:f'(x0)可以反映函数f(x)在x=x0处变化的快慢程度.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)[x3,x4] [解析] (1)由题意得平均变化率为==,故选C.
(2)由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]内的平均变化率分别为,,,结合图象可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的区间是[x3,x4].
变式 (1)ABC (2)3 [解析] (1)对于A,=1>0,故A正确;对于B,=2.3>0,故B正确;对于C,=3.99>0,故C正确;对于D,≈-0.77<0,故D错误.故选ABC.
(2)因为函数y=x2-m2在区间[2,t]上的平均变化率为5,所以==5,解得t=3.
探究点二
例2 (1)B (2)A [解析] (1)因为f(x)=x2,所以===(2+Δx)=2.故选B.
(2)∵f'(1)===a,且f'(1)=2,∴a=2.故选A.
变式 (1)A (2)D [解析] (1)因为f(x)=x2+3x,所以f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)2+3(2+Δx)-10=(Δx)2+7Δx,故f'(2)===(Δx+7)=7.故选A.
(2)因为f'(1)=5,所以=2=2f'(1)=10,故选D.
探究点三
例3 解:(1)因为s(t)=8-3t2,所以Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,所以质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度==(-6-3Δt)m/s.
(2)因为s'(1)= = (-6-3Δt)=-6,所以质点在t=1 s时的瞬时速度为-6 m/s,说明在第1 s附近,质点的位移每秒大约减少6 m.
变式 解:(1)f'(t)<0,f'(t)的意义为在第t min时红茶的温度的瞬时变化率,f'(t)为负数,说明在第t min附近红茶的温度降低.
(2)f'(3)=-4的实际意义是在第3 min附近红茶的温度以4 ℃/min的速率下降.
拓展 解:用r(r>0)表示气球的半径,S表示气球的表面积,V表示气球的体积,则S=4πr2,V=πr3.
(1)气球的表面积S相对于半径r的增长率就是函数S=4πr2(r>0)的瞬时变化率.===8πr+4πΔr,当Δr趋近于0时,4πΔr趋近于0,故气球的表面积相对于半径的增长率为8πr.故随着r的增长,气球表面积的增长率逐渐增大,即随着气球不断充气,气球表面积的增长率不断增大.
(2)气球的体积V相对于半径r的增长率就是函数V=πr3的瞬时变化率.==π·=4πr2+4πrΔr+π(Δr)2,当Δr趋近于0时,4πrΔr+π(Δr)2趋近于0,故气球的体积相对于半径的增长率为4πr2.故随着r的增长,气球体积的增长率逐渐增大,即随着气球不断充气,气球体积的增长率不断增大.
