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5.1 导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第2课时 导数的几何意义
探究点一 利用导数的几何意义求切线方程
探究点二 利用导数的几何意义判断函数的变化
探究点三 导函数的概念
【学习目标】
1.能描述曲线在某点处切线的定义,理性认识切线斜率与导数的关系.
2.理解导数的几何意义,能通过函数图象直观地描述导数的几何意义,并能应
用导数的几何意义解决一些简单的具体问题.
知识点一 导数的几何意义
1.割线的斜率
如图，平均变化率_____________，表示割线 的______.
斜率
2.曲线在某点处的切线曲线 在某点处的切线
的定义:如图,在曲线上任取一点 ，
如果当点沿着曲线 无限趋近于点
时,割线 无限趋近于一个确定的位置,
这个确定位置的直线称为曲线在点 处
的______.
切线
3.导数的几何意义
函数在处的导数就是切线的______,即
_________________.因此,曲线在点 处的切线的斜率是
_______,切线方程为_________________________.
斜率
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若直线与曲线相切,则直线与曲线只有一个交点.( )
×
[解析] 若直线与曲线相切,则直线与曲线有一个交点或多于一个交点.
（2）若，则曲线在 处切线不存在.( )
×
[解析] 若，则切线斜率为0，其切线存在，与 轴平行或重合.
（3）若,则曲线在点 处的切线的倾斜角为锐角;
若,则曲线在点 处的切线的倾斜角为钝角;若
,则曲线在点处的切线与 轴平行或重合.( )
√
（4）由导数的几何意义可知，函数值变化越快，导数值越大.( )
×
[解析] 函数值变化越快，导数值的绝对值越大.
知识点二 导函数的定义
对于函数，当时,是一个唯一确定的数.这样,当 变化时,
就是的函数,我们称它为的________（简称导数）
的导函数有时也记作___，即 ________________.
导函数
【诊断分析】
与 相同吗 它们之间有何关系
解：与不相同.是函数的导函数,是函数在
处的导数值,是函数在 时的函数值.
探究点一 利用导数的几何意义求切线方程
例1 已知函数 .
（1）求函数的图象在点 处的切线方程；
解：由导函数的概念，得
，所以，
又 ，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即 .
（2）过点作函数 的图象的切线，求切线的方程.
解：设切点为，则由（1）得切线的斜率 ，
所以切线方程为，即 .
因为切线过点，所以，解得或 ，
从而切线方程为或 .
变式（1） [2024·广东中山高二期中]设 为可导函数，且满足
，则曲线在点 处的切线的斜率是( )
A
A.6 B.2 C.3 D.
[解析] 由题意知 ，故
，则曲线在点 处的切线的斜率是6.故选A.
（2）（多选题）已知点在函数的图象上,则过点 的曲线
的切线方程可能是( )
AD
A. B.
C. D.
[解析] 点在函数的图象上,.
设切点为 ,则由,得
,
即切线的斜率, 曲线在点 处的切线方程为
,即
点在切线上, , 即
,解得或, 切线方程为或
.故选 .
［素养小结］
（1）求曲线的切线方程时,首先要判断所给点是否在曲线上.若求的是“在某点”
的切线,则该点为切点;若求的是“过某点”的切线,则该点不一定是切点;若求的是
“过曲线外一点”的切线,则该点一定不是切点.
（2）根据导数的几何意义，求曲线在点 处的切线方程时，
首先根据定义求出切线的斜率，即函数在 处的导数，然后
利用点斜式写出切线方程 .
探究点二 利用导数的几何意义判断函数的变化
［探索］ 导数值的大小与函数变化的快慢有什么关系？
解：导数的几何意义是函数图象在该点处的切线斜率，函数变化越快，图象越
陡峭，切线斜率的绝对值越大，反之亦然.
例2 已知函数 的部分图象如图所示，其中
,, 为图象上三个不同的
点，则下列结论正确的是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 由图可知，函数图象在A点处的切线斜率小于0，即 ，在B点处
的切线斜率等于0，即，在C点处的切线斜率大于0，即 ，所
以 ，故选B.
变式（1） 已知函数在 上可导，其部分图象如图所
示，设 ，则下列不等式正确的是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 由图象可知，函数在 上的增长速度越来越快，故函数图象在
点处的切线的斜率越来越大，
又 ， ，故选B.
（2）[2024·湖北名校联盟高二联考]函数 的图象如
图所示，则下列不等关系中正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
[解析] 设,，如图，由图可得
，
又，
故 ，故选C.
［素养小结］
导数的几何意义就是切线的斜率,因此比较导数大小的问题可以转化为比较切线
斜率大小的问题,数形结合来解决.
探究点三 导函数的概念
例3 已知函数 .
（1）求 ；
解：根据题意，函数 ,则
，故
.
（2）求函数在 处的导数.
解：由（1）可得，则 .
变式（1） 已知,且,则 的值为( )
D
A.2 B. C. D.
[解析] , ,
,,解得 .
（2）已知直线是函数的图象在点 处的切线，则
___， ___.
5
3
[解析] 由题意知 ，
，
,的图象在点处的切线斜率为 ，解得
，，， .
［素养小结］
求函数在某点处的导数值或曲线在某点处的切线的斜率时,先利用导函数的定义
求出导函数,再令自变量为已知点的横坐标即可.
1.导数是函数的瞬时变化率,它是从众多实际问题中抽象出来的具有相同数学表
达式的一个重要概念,可以从它的几何意义和物理意义来认识这一概念的实质.
导数是函数的局部性质.一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的
变化率.如果函数的自变量和取值都是实数的话，那么函数在某一点的导数就是该
函数的图象在这一点上的切线斜率.导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部
的线性逼近.例如在运动学中,物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度.
2.函数在处的导数的几何意义是曲线在点 处
的切线的斜率,也就是说,曲线在点处的切线的斜率是 .
相应地,切线方程为 .
3.切点问题的处理方法
（1）借助斜率求切点的横坐标:由条件得到切线的倾斜角或斜率,由这些信息求
出切点的横坐标.
（2）与几何知识相联系:解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来,如直
线的倾斜角和斜率的关系,两直线平行或垂直与斜率的关系等.
4.导数与导函数的区别与联系
（1）导数与导函数概念不同,导数是在一点处的导数 ,
导函数是在某一区间内的函数.对任意, ,
导函数是以内任一点为自变量,以 处的导数值为函数值的函数关系,导函
数反映的是一般规律,而 等于某一数值时的导数是此规律中的特殊性.在不发生
混淆时,导函数也简称为导数.
（2）函数在处的导数等于函数的导函数在 处
的函数值，这也是求函数在 处的导数的方法之一.
1.求曲线在某点处的切线方程
求曲线在点 处的切线方程的步骤：
（1）求函数在处的导数，即求曲线在点
处切线的斜率；
（2）写出切线方程，切线方程为 .
注意：若切线的斜率不存在，则切线方程为 .
例1 已知函数，求曲线在点 处的切线方程.
解：显然点在曲线 上，根据导数的几何意义，可知切线的斜率
，
故切线方程为，即 .
2.求曲线过某点的切线方程
求曲线过点 的切线方程的步骤：
（1）设切点为，求切线的斜率 ，写出切线方程（含参）；
（2）把点的坐标代入切线方程，建立关于的方程，解得 的值，即
可得出切线方程.
注意：要检验直线 是否符合题意.
例2 已知函数，求过原点的曲线 的切线方程.
解：设切点坐标为，则 ，
，
,
，
切线方程为 ，
又切线过原点，，即 ，
解得或 ， 切线方程为或 .
练习册
一、选择题
1.函数在处的导数 的几何意义是( )
D
A.曲线在点 处的斜率
B.曲线在点处的切线与 轴所夹的锐角的正切值
C.点与点 连线的斜率
D.曲线在点 处的切线的斜率
[解析] 的几何意义是曲线在点 处的切线的斜率.
2.[2024·广东深圳高二期末]曲线在点 处的切线的斜率为
( )
C
A.0 B.1 C. D.
[解析] 因为，所以 ，
根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率为 .
故选C.
3.[2024·沈阳高二期末]如图，函数 的图象
在点处的切线是，则 等于
( )
D
A. B.3 C. D.1
[解析] 由图象可得函数的图象在点 处的
切线与轴交于点，与轴交于点 ，则
，， ，故
，故选D.
4.已知函数的图象如图所示，是 的导函
数，则下列结论错误的是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 由图可知，函数的图象在处的切线斜率大于在 处的切线斜
率，所以 ，故A中说法错误，B中说法正确；
记，，作直线，则直线 的斜率 ，
由函数图象可知，即 ，
故C，D中说法正确.故选A.
5.一个质量的物体做直线运动，运动路程单位：与时间 单位：
的关系可用函数 表示，并且该物体的动能为物体的
质量，为物体运动的速度，则物体开始运动后第 时的动能是( )
A
A. B. C. D.
[解析] ，，
物体开始运动后第 时的瞬时速度,
此时的动能 ，
故选A.
6.某天早上，小明骑车上学，出发时感到时间较紧张，然后加速前进，后来发
现时间还比较充裕，于是放慢了速度.记出发后经过的时间为,离开家的距离为 ,
则与以上事件吻合得最好的图象是 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 首先加速前进，说明图象上升得越来越快，后来放慢速度，说明图象上
升得越来越慢，所以图象的切线斜率先越来越大，后越来越小，故选C.
7.设函数的图象在点处的切线方程为 ，则
( )
C
A.2024 B.2023 C.4048 D.4046
[解析] 因为函数的图象在点处的切线方程为 ，
所以切线斜率 ，所以
.故选C.
8.（多选题）下列说法正确的是( )
AC
A.若不存在，则曲线在点 处可能有切线
B.若曲线在点处有切线，则 必存在
C.若曲线在点处的切线斜率存在，则 存在
D.若曲线在点处没有切线，则 有可能存在
[解析] 曲线在点处的切线斜率， 不存在只
能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线可能存在，
切线方程是，故A，C正确.故选 .
9.（多选题）下列各点中，在曲线 上，且曲线在该点处的切线倾斜
角为 的是( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 设切点坐标为 ，则
，所以 ，
当时，，当时，.故选 .
二、填空题
10.函数的图象在点 处的切线方程为________________.
[解析] ,
则函数的图象在点处的切线的斜率为 ，得切线方程为
，即 .
11.已知，且，的导函数，则 __，
____.
2
[解析] ，故
，所以.
又 ，即，所以，故， .
12.若点是抛物线上任意一点，则点到直线 的最小距离为
_ ___.
[解析] 由题意可得，当点到直线的距离最小时，抛物线在点
处的切线平行于直线，
设切点为, ，则,
解得，所以，故点 到直线的最小距离为 .
三、解答题
13.已知函数 .
（1）求的导函数 ；
解：
.
（2）求曲线在 处的切线方程；
解：由（1）知，又，所以曲线在 处的切线方程
为 .
（3）求过点且与曲线 相切的直线方程.
解：设切点为，可得切线的斜率为 ，
又，所以切线的方程为 ，
将点的坐标代入，可得 ，
整理得，即 ，
解得或 ，
所以所求切线的方程为或 .
14.设定义在上的函数.若曲线 在点
处的切线方程为，求， 的值.
解:因为 ，所以
，解得或 （舍去）.
由，解得.
综上，， .
15.已知函数，， 的图象如图①所示.
若图②是它们对应的导函数的图象，则
的大致图象为___， 的大致图象为___,
的大致图象为___.
B
C
A
[解析] 由导数的几何意义知，曲线 在任一点处的切线斜率都小于零且
保持不变，则的大致图象为B；
曲线 在任一点处的切线斜率都小于零，且随着的增大，斜率的值趋于
零，故 的大致图象为C；
曲线在任一点处的切线斜率都大于零，且随着 的增大，斜率的值也逐
渐增大，故 的大致图象为A.
16.已知曲线，是否存在实数，使得经过点 能够作出该曲线的
两条切线？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：，则 .
设切点为，则切线的斜率 ，所以切线的方程为.
假设存在实数满足题意，则由切线过点 ，且，
得，即 .
因为切线有两条，所以，解得.
故存在实数 ，使得经过点能够作出该曲线的两条切线，且的取值范围
是 .第2课时 导数的几何意义
【课前预习】
知识点一
1. 斜率
2.切线
3.斜率 f'(x0)
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)若直线与曲线相切,则直线与曲线有一个交点或多于一个交点.
(2)若f '(x0)=0,则切线斜率为0,其切线存在,与x轴平行或重合.
(4)函数值变化越快,导数值的绝对值越大.
知识点二
导函数 y'
诊断分析
解:f'(x)与f'(x0)不相同.f'(x)是函数f(x)的导函数,f'(x0)是函数f(x)在x=x0处的导数值,是函数f'(x)在x=x0时的函数值.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由导函数的概念,得
f'(x)= =
=
=
= [3x(x+Δx)+(Δx)2]=3x2,
所以f'(1)=3,又f(1)=1,
所以函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.
(2)设切点为Q(x0,),则由(1)得切线的斜率k=f'(x0)=3,
所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2.
因为切线过点P,所以2-2=0,解得x0=0或x0=1,
从而切线方程为y=0或y=3x-2.
变式 (1)A (2)AD (1)[解析] 由题意知==f'(3)=2,故f'(3)=6,则曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线的斜率是6.故选A.
(2)∵点A(1,2)在函数f(x)=ax3的图象上,∴a=2.设切点为P(x0,2),则由f(x)=2x3,得f'(x0)===[6x0·Δx+6+2(Δx)2]=6,即切线的斜率k=6,∴曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y-2=6(x-x0),即y=6x-4.∵点A(1,2)在切线上,∴2=6-4, 即2(x0-1)-(-1)=(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=1或x0=-,∴切线方程为6x-y-4=0或3x-2y+1=0.故选AD.
探究点二
探索 解:导数的几何意义是函数图象在该点处的切线斜率,函数变化越快,图象越陡峭,切线斜率的绝对值越大,反之亦然.
例2 B [解析] 由图可知,函数图象在A点处的切线斜率小于0,即f'(x1)<0,在B点处的切线斜率等于0,即f'(x2)=0,在C点处的切线斜率大于0,即f'(x3)>0,所以f'(x3)>f'(x2)>f'(x1),故选B.
变式 (1)B (2)C [解析] (1)由图象可知,函数f (x)在[0,+∞)上的增长速度越来越快,故函数图象在点(x0,f (x0))(x0∈[0,+∞))处的切线的斜率越来越大,又∵=a,
∴f'(2)
(2)设A(1,f(1)),B(2,f(2)),如图,由图可得f'(1)探究点三
例3 解:(1)根据题意,函数f(x)=x2+x,则===2x+1+Δx,故f'(x)= =(2x+1+Δx)=2x+1.
(2)由(1)可得f'(x)=2x+1,则f'(2)=2×2+1=5.
变式 (1)D (2)5 3 [解析] (1)∵f(x)=,∴==,∴f'(x)==-,∴f'(m)=-=-,解得m=±2.
(2)由题意知1+m=b,a+2=m.∵f'(x)===a-,∴f'(1)=a-2,∴f(x)的图象在点(1,m)处的切线斜率为a-2=-1,解得a=1,∴m=3,b=4,∴a+b=5.第2课时 导数的几何意义
1.D [解析] f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
2.C [解析] 因为y'==2ex+e,所以y'|x=0=e,
根据导数的几何意义可知,曲线y=ex2+ex+1在点(0,1)处的切线的斜率为e.故选C.
3.D [解析] 由图象可得函数y=f(x)的图象在点P处的切线l与x轴交于点(4,0),与y轴交于点(0,4),则l:x+y=4,∴f(2)=2,f'(2)=-1,故f(2)+f'(2)=1,故选D.
4.A [解析] 由图可知,函数f(x)的图象在x=2处的切线斜率k1大于在x=3处的切线斜率k2,所以f'(2)>f'(3),故A中说法错误,B中说法正确;记A(2,f(2)),B(3,f(3)),作直线AB,则直线AB的斜率k==f(3)-f(2),由函数图象可知k1>k>k2>0,即f'(2)>f(3)-f(2)>f'(3)>0,故C,D中说法正确.故选A.
5.A [解析] ∵s(t)=t+t2,∴s'(t)=
=1+t,∴物体开始运动后第7 s时的瞬时速度v=s'(7)=1+7=8(m/s),此时的动能Ek=mv2=×5×82=160(J),故选A.
6.C [解析] 首先加速前进,说明图象上升得越来越快,后来放慢速度,说明图象上升得越来越慢,所以图象的切线斜率先越来越大,后越来越小,故选C.
7.C [解析] 因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2024x-2023,所以切线斜率k=f'(1)=2024,所以=2=2f'(1)=4048.故选C.
8.AC [解析] 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率k=f'(x0),f'(x0)不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在,而当斜率不存在时,切线可能存在,切线方程是x=x0,故A,C正确.故选AC.
9.BC [解析] 设切点坐标为(x0,y0),则y'==3-2=tan=1,所以x0=±1,当x0=1时,y0=-1,当x0=-1时,y0=1.故选BC.
10.3x-4y+4=0 [解析] f'(2)====,则函数f(x)的图象在点A处的切线的斜率为,得切线方程为y-=(x-2),即3x-4y+4=0.
11.2 -3 [解析] ==mΔx+2mx,故f'(x)= (mΔx+2mx)=2mx=4x,所以m=2.又f (1)=-1,即2+n=-1,所以n=-3,故m=2,n=-3.
12. [解析] 由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,抛物线y=x2在点P处的切线平行于直线y=x-2,设切点为(x0,y0),f(x)=x2,则f'(x0)==2x0=1,解得x0=,所以y0=,故点P到直线y=x-2的最小距离为=.
13.解:(1)f'(x)==
=
=
=[3x2-1+3x·Δx+(Δx)2]=3x2-1.
(2)由(1)知f'(1)=2,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=2x-2.
(3)设切点为(m,n),可得切线的斜率为3m2-1,
又n=m3-m,所以切线的方程为y-(m3-m)=(3m2-1)(x-m),
将点(1,0)的坐标代入,可得-(m3-m)=(3m2-1)(1-m),
整理得2m3-3m2+1=0,即(m-1)2(2m+1)=0,
解得m=1或m=-,
所以所求切线的方程为y=2x-2或y=-x+.
14.解:因为===,所以f'(1)===,解得a=2或a=-(舍去).由f(1)=a++b=2++b=,解得b=-1.综上,a=2,b=-1.
15.B C A [解析] 由导数的几何意义知,曲线y=f(x)在任一点处的切线斜率都小于零且保持不变,则y=f'(x)的大致图象为B;曲线y=g(x)在任一点处的切线斜率都小于零,且随着x的增大,斜率的值趋于零,故y=g'(x)的大致图象为C;曲线y=h(x)在任一点处的切线斜率都大于零,且随着x的增大,斜率的值也逐渐增大,故y=h'(x)的大致图象为A.
16.解:==2x+Δx,则y'==(2x+Δx)=2x.设切点为P(x0,y0),则切线的斜率k=2x0,所以切线的方程为y-y0=2x0(x-x0).假设存在实数a满足题意,则由切线过点(1,a),且y0=+1,得a-(+1)=2x0(1-x0),即-2x0+a-1=0.因为切线有两条,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,且a的取值范围是a<2.第2课时 导数的几何意义
【学习目标】
1.能描述曲线在某点处切线的定义,理性认识切线斜率与导数的关系.
2.理解导数的几何意义,能通过函数图象直观地描述导数的几何意义,并能应用导数的几何意义解决一些简单的具体问题.
◆ 知识点一 导数的几何意义
1.割线的斜率
如图,平均变化率= ,表示割线P0P的 .
2.曲线在某点处的切线
曲线y=f(x)在某点处的切线的定义:如图,在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的 .
3.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的 k0,即k0= .因此,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 ,切线方程为 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线与曲线相切,则直线与曲线只有一个交点. ( )
(2)若f '(x0)=0,则曲线在x=x0处切线不存在. ( )
(3)若f'(x0)>0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的倾斜角为锐角;若f'(x0)<0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的倾斜角为钝角;若f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与x轴平行或重合. ( )
(4)由导数的几何意义可知,函数值变化越快,导数值越大. ( )
◆ 知识点二 导函数的定义
对于函数y= f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的 (简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作 ,即f'(x)=y'= .
【诊断分析】 f'(x)与f'(x0)相同吗 它们之间有何关系
◆ 探究点一 利用导数的几何意义求切线方程
例1 已知函数f(x)=x3.
(1)求函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程;
(2)过点P作函数f(x)的图象的切线,求切线的方程.
变式 (1)[2024·广东中山高二期中] 设f(x)为可导函数,且满足=2,则曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线的斜率是 ( )
A.6 B.2 C.3 D.
(2)(多选题)已知点A(1,2)在函数f(x)=ax3的图象上,则过点A的曲线y=f(x)的切线方程可能是 ( )
A.6x-y-4=0 B.x-4y+7=0
C.4x-y+7=0 D.3x-2y+1=0
[素养小结]
(1)求曲线的切线方程时,首先要判断所给点是否在曲线上.若求的是“在某点”的切线,则该点为切点;若求的是“过某点”的切线,则该点不一定是切点;若求的是“过曲线外一点”的切线,则该点一定不是切点.
(2)根据导数的几何意义,求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程时,首先根据定义求出切线的斜率k=f'(x0),即函数f(x)在x=x0处的导数,然后利用点斜式写出切线方程y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
◆ 探究点二 利用导数的几何意义判断函数的变化
[探索] 导数值的大小与函数变化的快慢有什么关系
例2 已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))为图象上三个不同的点,则下列结论正确的是 ( )
A.f'(x1)>f'(x2)>f'(x3)
B.f'(x3)>f'(x2)>f'(x1)
C.f'(x3)>f'(x1)>f'(x2)
D.f'(x1)>f'(x3)>f'(x2)
变式 (1)已知函数f (x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是 ( )
A.f'(2)B.f'(2)C.f'(4)D.a(2)[2024·湖北名校联盟高二联考] 函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是 ( )
A.f'(1)B.f'(2)C.f'(1)D.f(2)-f(1)[素养小结]
导数的几何意义就是切线的斜率,因此比较导数大小的问题可以转化为比较切线斜率大小的问题,数形结合来解决.
◆ 探究点三 导函数的概念
例3 已知函数f(x)=x2+x.
(1)求f'(x);
(2)求函数f(x)在x=2处的导数.
变式 (1)已知f(x)=,且f'(m)=-,则m的值为 ( )
A.2 B.-2 C.±1 D.±2
(2)已知直线x+y=b是函数f(x)=ax+的图象在点(1,m)处的切线,则a+b= ,m= .
[素养小结]
求函数在某点处的导数值或曲线在某点处的切线的斜率时,先利用导函数的定义求出导函数,再令自变量为已知点的横坐标即可.第2课时 导数的几何意义
一、选择题
1.函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是 ( )
A.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的斜率
B.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值
C.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率
D.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率
2.[2024·广东深圳高二期末] 曲线y=ex2+ex+1在点(0,1)处的切线的斜率为 ( )
A.0 B.1 C.e D.-1
3.[2024·沈阳高二期末] 如图,函数y=f(x)的图象在点P(2,y0)处的切线是l,则f(2)+f'(2)等于 ( )
A.-4 B.3 C.-2 D.1
4.已知函数f(x)的图象如图所示,f'(x)是f(x)的导函数,则下列结论错误的是 ( )
A.f'(3)>f'(2)
B.f'(3)C.f(3)-f(2)>f'(3)
D.f(3)-f(2)5.一个质量m=5 kg的物体做直线运动,运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t+t2表示,并且该物体的动能Ek=mv2(m为物体的质量,v为物体运动的速度),则物体开始运动后第7 s时的动能是 ( )
A.160 J B.165 J
C.170 J D.175 J
6.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧张,然后加速前进,后来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度.记出发后经过的时间为t,离开家的距离为s,则与以上事件吻合得最好的图象是 ( )
A B C D
7.设函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2024x-2023,则=( )
A.2024 B.2023
C.4048 D.4046
8.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处可能有切线
B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)必存在
C.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率存在,则f'(x0)存在
D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f'(x0)有可能存在
9.(多选题)下列各点中,在曲线y=x3-2x上,且曲线在该点处的切线倾斜角为的是 ( )
A.(0,0) B.(1,-1)
C.(-1,1) D.(1,1)
二、填空题
10.函数f(x)=x+的图象在点A处的切线方程为 .
11.已知f(x)=mx2+n,且f (1)=-1,f(x)的导函数f'(x)=4x,则m= ,n= .
12.若点P是抛物线y=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为 .
三、解答题
13.已知函数f(x)=x3-x.
(1)求f(x)的导函数f'(x);
(2)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(3)求过点(1,0)且与曲线y=f(x)相切的直线方程.
14.设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax++b(a>0).若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,求a,b的值.
15.已知函数y=f(x),y=g(x),y=h(x)的图象如图①所示.
①
若图②是它们对应的导函数的图象,则y=f'(x)的大致图象为 ,y=g'(x)的大致图象为 ,y=h'(x)的大致图象为 .
A B C
②
16.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线 若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.