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5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
探究点一 幂函数的导数
探究点二 利用导数公式求函数的导数
探究点三 导数公式的应用
探究点四 利用导数公式解决切线问题
【学习目标】
掌握基本初等函数的导数,能根据导数的定义求函数为常数, ,
,,, 的导数.
知识点一 几个常用函数的导数
1.函数的导数是 ___.
2.函数的导数是 ___.
3.函数的导数是 ____.
4.函数的导数是 _____.
5.函数的导数是 _____.
6.函数的导数是 ____.
0
1
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知函数，则 .( )
×
[解析] 因为，所以，所以 .
（2）若，则 .( )
×
[解析] .
知识点二 基本初等函数的导数公式
1.若为常数,则 ___.
2.若，且,则 _______.
3.若,则 ______.
4.若,则 _______.
0
5.若,且，则 _______；
特别地，若，则 ____.
6.若，且，则 _____；
特别地，若，则 __.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若,则 .( )
√
（2） .( )
×
[解析] .
（3）若，则 .( )
×
[解析] 若，则 .
（4）已知,则 .( )
×
[解析] 因为是常函数,所以 .
（5）若,则 .( )
×
[解析] .
探究点一 幂函数的导数
例1（1） 若函数,则 ( )
D
A.0 B. C.2 D.
[解析] 因为,所以 .故选D.
（2）已知,若,则 ____.
[解析] ,则,解得 .
（3）设的图象在点处的切线与 轴的交点的横
坐标为，则 _____.
[解析] 由得，所以 的图象在
处的切线的斜率为，切线的方程为，
令 ，解得，即 ，
所以 .
（4）求曲线在点 处的切线方程.
解：因为,所以曲线在点处的切线的斜率为 ,则切线方程为
,即 .
探究点二 利用导数公式求函数的导数
例2 求下列函数的导数：
（1） ；
解：因为，所以 .
（2） ；
解：因为，所以 .
（3） ；
解：因为，所以 .
（4） ；
解：因为，所以 .
（5） ；
解：因为，所以 .
（6） ；
解：因为，所以 .
（7） .
解：因为,所以 .
变式 求下列函数的导数:
（1） ；
解：， .
（2） ;
解：, .
（3） ；
解：， .
（4） .
解：， .
［素养小结］
（1）若函数符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导.
（2）若函数不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等交换对解析式进行化
简或变形后求导.
探究点三 导数公式的应用
例3（1） 质点沿直线运动的路程（单位：）与时间（单位： ）的关系式
是，则质点在 时的瞬时速度为( )
B
A. B. C. D.
[解析] ,, 质点在 时的瞬时速度为
.故选B.
（2）一个物体的位移（单位：）与时间（单位： ）之间的关系式为
,则该物体在时的瞬时速度是____ .
48
[解析] ,,则，故该物体在 时的瞬
时速度是 .
探究点四 利用导数公式解决切线问题
例4 求满足下列条件的直线方程：
（1）过原点且与曲线 相切；
解:，设切点为，切线方程为，则 ，
所以，解得，所以所求切线方程为 .
（2）斜率为且与曲线 相切.
解:因为切线的斜率为，所以令，得，则切点为 ，所以所
求切线方程为，即 .
变式（1） （多选题）[2024·浙江绍兴高二期末] 设函数 的图象在
点处的切线为，则直线 的斜率可能为( )
ABC
A. B. C.1 D.
[解析] 因为，所以，又函数 的图
象在点处的切线为，所以直线的斜率的取值范围是.故选 .
（2）（多选题）曲线在点处的切线与直线垂直，则点 的坐标可
能是( )
AB
A. B. C. D.
[解析] 易知切线的斜率为，设，因为，所以 ，解
得，则点的坐标为或，故选 .
（3）若直线与曲线相切于点，则切点 的坐标为
_________， ___.
2
[解析] 设，由题意可知，函数在 处的导数
,解得，所以点或.
由点 在直线上，可得（舍）；
由点在直线 上，可得.
故切点的坐标为, .
［素养小结］
（1）对于指数、对数函数的导数，最常考查的是与 ，研究它们
图象的切线问题时，应注意数形结合.
（2）， 的导数公式是特例，可以帮助记忆一般的指数、对数函
数的导数公式.
1.知识点一的这六个幂函数在中学阶段是最为重要的六个,同时也代表各种类型.
如:（1）常函数的导数为0;（2）奇函数,, 的导函数都为偶函数;
（3）偶函数的导函数为奇函数;（4） 体现的是根式的导数.
2.知识点二的导数公式,除了常函数,可分为三类:第一类为幂函数,
;第二类为三角函数,可记为正弦函数的导函数为余弦函数,
余弦函数的导函数为正弦函数的相反数;第三类为指对数函数,对于公式
和很好记,但对于公式且 和
且 的记忆就较难,应区分公式的结构特征,找出差异,记
忆公式.
1.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免
不必要的运算失误.比如对带根号的函数，一般先将其转化为分数指数幂，再利
用公式 进行求导.
例1 求 的导数.
解:因为，所以 .
2.导数的几何意义是曲线的切线的斜率,解决与切线有关的问题时,使用导数公式
运算更加简捷快速.
例2（1） 过点作曲线 的切线，则切点坐标为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设切点坐标为,由得， 切线方程为
，
又切线过点， ，解得,故切点坐标为 ，
故选A.
（2）函数的图象在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的
周长为_______.
[解析] 因为，所以，则切线斜率 ，
又，所以切线方程为，即 ，则切线与
坐标轴的交点为，，则切线与坐标轴围成的三角形的周长为 .
练习册
一、选择题
1.已知，则 ( )
D
A. B. C. D.0
[解析] 由，得 ，故选D.
2.若，则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] ，， .故选B.
3.[2024·广东珠海高二期末]下列导数运算正确的是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 对于A,,故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D, ,故D错误.故选B.
4.函数的图象在点 处的切线方程是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由，得，则，
又， 函数的图象在点处的切线方程是 .
故选C.
5.如果质点按照规律运动，那么在 时的瞬时速度为( )
B
A.2 B.4 C.6 D.8
[解析] 质点按照规律运动，，在 时的瞬时速度为
.故选B.
6.已知直线是曲线的切线，则实数 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，
设切点为，则切线斜率为 ，所以
切线方程是，即，
由得 .故选C.
7.曲线在点 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
D
A. B. C. D.
[解析] ，， 切线方程为 ，即
.
令，得；令，得
所求面积为 .故选D.
8.（多选题）下列函数中，其图象在某点处的切线的斜率可以为 的是 ( )
BCD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，由，可得, 无解，所以A不符合
题意；
对于B，由，可得, 有解，所以B符合题意；
对于C，由，可得， 有解，所以C符合题意；
对于D，由，可得， 有解，所以D符合题意.
故选 .
9.（多选题）已知函数若，则实数 的值可以
为( )
BC
A.2 B. C. D.4
[解析]
当时，由，解得 或（舍去）；
当时，由，解得.故选 .
二、填空题
10.已知，，若实数满足，则实数
的值为___.
1
[解析] 因为， ，所以
，解得或 （舍去）.
11.设曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线垂直，
则点 的坐标为______.
[解析] 由得，所以曲线在点处的切线的斜率 .
又曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线垂直，所以曲
线在点处的切线的斜率为.
设，因为 ，所以曲线在点处的切线的斜率
为，解得 或（舍去），
又在曲线上，所以，故点 的坐标为. .
12.若函数的导数存在导数，则记的导数为.如果 对任意
，都有成立，那么 有如下性质：
，其中，，， ，
.若，则____________；当 且
，，时， 的最大值为___.
3
[解析] 由，得，则
显然在上恒成立，所以 ，
即，所以 的最大值为3.
三、解答题
13.求下列函数的导数.
（1） ；
解：由已知可得 .
（2） ；
解：由已知可得 .
（3） ；
解：由已知可得 .
（4） .
解：由已知可得 .
14.若直线为曲线与曲线的公切线，求直线 的斜率.
解：由，得,由，得 .
设直线与曲线相切于点，则切线方程为 ，
设直线与曲线相切于点，则切线方程为 ，
或 直线的斜率为0或 .
15.过点作曲线的切线，切点为，设在 轴上的射影是
点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的射影是点 ，依此
进行下去，得到第个切点，则点 的坐标为_____________.
[解析] 设，由，得，所以 ，故切线方程为
，将点的坐标代入，可得 ，
解得，即，.
同理，设，则过点的曲线 的切线方程为，
将点 的坐标代入，可得，解得，故， ，
依此进行下去，可得的坐标为 .
16.已知为曲线上的一动点，为直线上的一动点，当
最小时，求的坐标及 的最小值.
解:如图，当直线与曲线 相切且与直线
平行时，切点到直线 的距离即为
的最小值.
由，得 ，
设，令，得，则 ，故
此时点的坐标为，所以的最小值为 .5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
【课前预习】
知识点一
1.0 2.1 3.2x 4.3x2 5.- 6.
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)因为f(x)=5,所以f'(x)=0,所以f'(1)=0.
(2)y'=3x2.
知识点二
1.0 2.αxα-1 3.cos x 4.-sin x 5. axln a ex
6.
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× [解析] (2)(2x)'=2xln 2.
(3)若f(x)=log2x,则f'(x)=.
(4)因为y=cos是常函数,所以y'=0.
(5)y'=(ln 2)'=0.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)±2 (3) [解析] (1)因为f'(x)=()'=,所以f'(1)=.故选D.
(2)f'(x)=-,则f'(α)=-=-,解得α=±2.
(3)由f(x)=xn+1(n∈N,n≥1)得f'(x)=(n+1)xn,所以f(x)的图象在(1,1)处的切线的斜率为n+1,切线的方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,解得x=,即xn=,所以x1·x2·x3·x4·…·x2024=×××…×=.
(4)解:因为y'=-,所以曲线在点P(-1,-1)处的切线的斜率为-3,则切线方程为y+1=-3(x+1),即3x+y+4=0.
探究点二
例2 解:(1)因为y==x-4,所以y'=(x-4)'=-4x-5.
(2)因为y==,所以y'=()'=.
(3)因为y=3x,所以y'=3xln 3.
(4)因为y=,所以y'=ln=-ln 2.
(5)因为y=log4x,所以y'=.
(6)因为y=lox,所以y'==.
(7)因为y=cos=sin x,所以y'=cos x.
变式 解:(1)∵y===,∴y'='=.
(2)∵y=log2x2-log2x=log2x,∴y'=(log2x)'=.
(3)∵y=2sincos=sin x,∴y'=cos x.
(4)∵y=4-x=,∴y'='=ln =-ln 4.
探究点三
例3 (1)B (2)48 [解析] (1)∵s=,∴s'=,∴质点在t=4 s时的瞬时速度为×=×=(m/s).故选B.
(2)∵y=t3,∴y'=3t2,则y'|t=4=3×42=48,故该物体在t=4 h时的瞬时速度是48 km/h.
探究点四
例4 解:(1)y'=(x>0),设切点为(m,ln m)(m>0),切线方程为y=kx,则k=,所以ln m=·m=1,解得m=e,所以所求切线方程为y=x.
(2)因为切线的斜率为e,所以令y'=ex=e,得x=1,则切点为(1,e),所以所求切线方程为y-e=e(x-1),即y=ex.
变式 (1)ABC (2)AB (3)(-1,-1) 2 [解析] (1)因为f(x)=sin x,所以f'(x)=cos x∈[-1,1],又函数f(x)=sin x的图象在点P处的切线为l,所以直线l的斜率的取值范围是[-1,1].故选ABC.
(2)易知切线的斜率为-4,设P,因为y'=-,所以-=-4,解得x0=±,则点P的坐标为或,故选AB.
(3)设P(x0,y0),由题意可知,函数y=x3在x=x0处的导数y'=3=3,解得x0=±1,所以点P(1,1)或P(-1,-1).由点P(1,1)在直线y=3x+b上,可得b=-2(舍);由点P(-1,-1)在直线y=3x+b上,可得b=2.故切点P的坐标为(-1,1),b=2.5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
1.D [解析] 由y=,得y'=()'=0,故选D.
2.B [解析] ∵f(x)=sin x,∴f'(x)=cos x,∴f'=cos=.故选B.
3.B [解析] 对于A,(cos x)'=-sin x,故A错误;对于B,(log2x)'=,故B正确;对于C,(2x)'=2xln 2,故C错误;对于D,'=-,故D错误.故选B.
4.C [解析] 由f(x)=ex,得f'(x)=ex,则f'(0)=e0=1,又f(0)=1,∴函数f(x)=ex的图象在点(0,f(0))处的切线方程是y=x+1.故选C.
5.B [解析] ∵质点M按照规律s=t2运动,∴s'=2t,∴M在t=2时的瞬时速度为s'|t=2=2×2=4.故选B.
6.C [解析] 因为y=ln x,所以y'=,设切点为(x0,ln x0),则切线斜率为,所以切线方程是y-ln x0=(x-x0),即y=+ln x0-1,由.故选C.
7.D [解析] ∵y'=ex,∴y'|x=2=e2,∴切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2x-e2.令x=0,得y=-e2;令y=0,得x=1.∴所求面积为×1×e2=.故选D.
8.BCD [解析] 对于A,由f(x)=,可得f'(x)=-<0,f'(x)=无解,所以A不符合题意;对于B,由f(x)=x4,可得f'(x)=4x3,f'(x)=有解,所以B符合题意;对于C,由f(x)=cos x,可得f'(x)=-sin x,f'(x)=有解,所以C符合题意;对于D,由f(x)=ln x,可得f'(x)=(x>0),f'(x)=有解,所以D符合题意.故选BCD.
9.BC [解析] f'(x)=当a<0时,由f'(a)=3a2=12,解得a=-2或a=2(舍去);当0
10.1 [解析] 因为f'(x)=2x,g'(x)=(x>0),所以f'(m)-g'(m)=2m-=1(m>0),解得m=1或m=-(舍去).
11.(1,1) [解析] 由y=ex得y'=ex,所以曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k=1.又曲线y=(x>0)在点P处的切线与曲线y=ex在点(0,1)处的切线垂直,所以曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率为-1.设P(a,b),因为y'='=-x-2,所以曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率为y'|x=a=-a-2=-1,解得a=1或a=-1(舍去),又P(a,b)在曲线y=上,所以b=1,故点P的坐标为(1,1).
12.-(x>0) 3 [解析] 由f(x)=ln x,得f'(x)=(x>0),则f″(x)=-(x>0).显然f″(x)<0在(0,+∞)上恒成立,所以≤ln=ln e=1,即ln x1+ln x2+ln x3≤3,所以ln x1+ln x2+ln x3的最大值为3.
13.解:(1)由已知可得y'=0.
(2)由已知可得y'=.
(3)由已知可得y'=-.
(4)由已知可得y'=5xln 5.
14.解:由y=x2,得y'=2x,由y=x3,得y'=3x2.
设直线l与曲线C1相切于点(a,a2),则切线方程为y=2ax-a2,
设直线l与曲线C2相切于点(m,m3),则切线方程为y=3m2x-2m3,
∴∴或∴直线l的斜率为0或.
15.(en-1,n-1) [解析] 设A1(x1,ln x1),由y=ln x,得y'=,所以y'=,故切线方程为y-ln x1=(x-x1),将点(0,-1)的坐标代入,可得-1-ln x1=(0-x1),解得x1=1,即A1(1,0),B1(0,0).同理,设A2(x2,ln x2),则过点B1的曲线C的切线方程为y-ln x2=(x-x2),将点(0,0)的坐标代入,可得0-ln x2=(0-x2),解得x2=e,故A2(e,1),B2(0,1),依此进行下去,可得An的坐标为(en-1,n-1).
16.解:如图,当直线l与曲线y=ln x相切且与直线y=x+3平行时,切点P到直线y=x+3的距离即为|PQ|的最小值.由y=ln x,得y'=(ln x)'=,设P(x0,y0),令=1,得x0=1,则y0=ln x0=0,故此时点P的坐标为(1,0),所以|PQ|的最小值为=2.5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
【学习目标】
掌握基本初等函数的导数,能根据导数的定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.
◆ 知识点一 几个常用函数的导数
1.函数f(x)=c的导数是f'(x)= .
2.函数f(x)=x的导数是f'(x)= .
3.函数f(x)=x2的导数是f'(x)= .
4.函数f(x)=x3的导数是f'(x)= .
5.函数f(x)=的导数是f'(x)= .
6.函数f(x)=的导数是f'(x)= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知函数f(x)=5,则f'(1)=5. ( )
(2)若y=x3,则y'=3x. ( )
◆ 知识点二 基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c(c为常数),则f'(x)= .
2.若f(x)=xα(α∈R,且α≠0),则f'(x)= .
3.若f(x)=sin x,则f'(x)= .
4.若f(x)=cos x,则f'(x)= .
5.若f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f'(x)= ;
特别地,若f(x)=ex,则f'(x)= .
6.若f(x)=logax(a>0,且a≠1),则f'(x)= ;
特别地,若f(x)=ln x,则f'(x)= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若y=ex,则y'=ex. ( )
(2)(2x)'=2xlog2e. ( )
(3)若f(x)=log2x,则f'(x)=xln 2. ( )
(4)已知y=cos,则y'='=-sin=-. ( )
(5)若y=ln 2,则y'=. ( )
◆ 探究点一 幂函数的导数
例1 (1)若函数f(x)=,则f'(1)= ( )
A.0 B.-
C.2 D.
(2)已知f(x)=,若f'(α)=-,则α= .
(3)设f(x)=xn+1(n∈N,n≥1)的图象在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1·x2·x3·x4·…·x2024= .
(4)求曲线y=在点P(-1,-1)处的切线方程.
◆ 探究点二 利用导数公式求函数的导数
例2 求下列函数的导数:
(1)y=;(2)y=;(3)y=3x;
(4)y=;(5)y=log4x;(6)y=lox;
(7)y=cos.
变式 求下列函数的导数:
(1)y=;
(2)y=log2x2-log2x;
(3)y=2sincos;
(4)y=4-x.
[素养小结]
(1)若函数符合基本初等函数的导数公式,则直接利用公式求导.
(2)若函数不符合基本初等函数的导数公式,则通过恒等交换对解析式进行化简或变形后求导.
◆ 探究点三 导数公式的应用
例3 (1)质点沿直线运动的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系式是s=,则质点在t=4 s时的瞬时速度为 ( )
A. m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
(2)一个物体的位移y(单位:km)与时间t(单位:h)之间的关系式为y=t3,则该物体在t=4 h时的瞬时速度是 km/h.
◆ 探究点四 利用导数公式解决切线问题
例4 求满足下列条件的直线方程:
(1)过原点且与曲线y=ln x相切;
(2)斜率为e且与曲线y=ex相切.
变式 (1)(多选题)[2024·浙江绍兴高二期末] 设函数f(x)=sin x的图象在点P处的切线为l,则直线l的斜率可能为 ( )
A. B.
C.1 D.
(2)(多选题)曲线y=在点P处的切线与直线y=x垂直,则点P的坐标可能是 ( )
A. B.
C. D.
(3)若直线y=3x+b(b>0)与曲线y=x3相切于点P,则切点P的坐标为 ,b= .
[素养小结]
(1)对于指数、对数函数的导数,最常考查的是y=ex与y=ln x,研究它们图象的切线问题时,应注意数形结合.
(2)y=ex,y=ln x的导数公式是特例,可以帮助记忆一般的指数、对数函数的导数公式.5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
一、选择题
1.已知y=,则y'= ( )
A. B.-
C. D.0
2.若f(x)=sin x,则f'= ( )
A. B. C. - D. -
3.[2024·广东珠海高二期末] 下列导数运算正确的是 ( )
A.(cos x)'=sin x B.(log2x)'=
C.(2x)'=2x D.'=
4. 函数f(x)=ex的图象在点(0,f(0))处的切线方程是 ( )
A.y=x B.y=x-1
C.y=x+1 D.y=2x
5.如果质点M按照规律s=t2运动,那么M在t=2时的瞬时速度为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.8
6.已知直线y=ax是曲线y=ln x的切线,则实数a= ( )
A. B.
C. D.
7.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ( )
A. B.2e2
C.e2 D.
8.(多选题)下列函数中,其图象在某点处的切线的斜率可以为的是 ( )
A.f(x)=
B.f(x)=x4
C.f(x)=cos x
D.f(x)=ln x
9.(多选题)已知函数f(x)=若f'(a)=12,则实数a的值可以为 ( )
A.2 B.-2
C. D.4
二、填空题
10.已知f(x)=x2,g(x)=ln x,若实数m满足f'(m)-g'(m)=1,则实数m的值为 .
11.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)在点P处的切线垂直,则点P的坐标为 .
12.若函数f(x)的导数f'(x)存在导数,则记f'(x)的导数为f″(x).如果f(x)对任意x∈(a,b),都有f″(x)<0成立,那么f(x)有如下性质:f≥,其中n∈N*,x1,x2,…,xn∈(a,b).若f(x)=ln x,则f″(x)= ;当x1+x2+x3=3e且x1,x2,x3∈(0,+∞)时,ln x1+ln x2+ln x3的最大值为 .
三、解答题
13.求下列函数的导数.
(1)y=cos;
(2)y=log5x;
(3)y=;
(4)y=5x.
14.若直线l为曲线C1:y=x2与曲线C2:y=x3的公切线,求直线l的斜率.
15.过点P(0,-1)作曲线C:y=ln x的切线,切点为A1,设A1在y轴上的射影是点B1,过点B1再作曲线C的切线,切点为A2,设A2在y轴上的射影是点B2,依此进行下去,得到第n(n∈N*)个切点An,则点An的坐标为 .
16.已知P为曲线y=ln x上的一动点,Q为直线y=x+3上的一动点,当|PQ|最小时,求P的坐标及|PQ|的最小值.