(共48张PPT)
5.2 导数的运算
5.2.2 导数的四则运算法则
探究点一 利用导数的加减运算法则求导数
探究点二 利用导数的乘除运算法则求导数
探究点三 导数公式及导数的运算法则的应用
【学习目标】
掌握导数的四则运算法则,能灵活运用基本初等函数的导数公式和导数的四
则运算法则求简单函数的导数.
知识点 导数的运算法则
已知, 为可导函数.
（1） _____________.
（2）_____________________,特别地, _______.
（3）________________ .
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知，则 .( )
√
[解析] .
（2）已知,则 ( )
×
[解析] .
（3）已知,则 .( )
×
[解析] .
（4）若函数的导函数为,则 .( )
×
[解析] 为常数 .
探究点一 利用导数的加减运算法则求导数
例1 求下列函数的导数.
（1） ；
解：因为，所以 .
（2） ;
解：因为,所以 .
（3） .
解：因为，所以， .
变式 求下列函数的导数.
（1） ；
解: .
（2） ;
解: .
（3） ;
解: .
（4） .
解: .
［素养小结］
两个函数和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）.
拓展 已知函数的导函数为，且，则
( )
D
A. B. C. D.
[解析] ，，
令 ，则 ，
，则， .故选D.
探究点二 利用导数的乘除运算法则求导数
例2 求下列函数的导数.
（1） ；
解: 方法一： .
方法二：， .
（2） ；
解: .
（3） .
解: .
变式 求下列函数的导数.
（1） ；
解：方法一：因为 ，
所以 .
方法二： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解：因为 ，所以
.
（4） .
解： .
［素养小结］
一般情况下,应用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求导数时,要尽量少
用积、商的求导法则,在求导之前,可先对函数进行化简,再求导,这样可减少运算
量,提高运算速度,避免出错.
探究点三 导数公式及导数的运算法则的应用
例3（1） 已知，则曲线在点 处的切线方程为 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题得，设曲线在点 处的切线方程为
，
因为，所以 ，所以
，所以曲线在点 处的切线方程为
，即 .故选C.
（2）[2024·辽宁阜新二中高二期末]若直线 与函数
的图象相切，则实数 的值为( )
A
A. B.0 C. D.
[解析] 由，得，设直线 与函数
的图象相切于点，则直线 的斜率为
，
又因为直线的斜率为，所以 ，解得，
所以，即切点坐标为，
故 ，解得 .故选A.
（3）若函数 ，则
___.
6
[解析] 令 ，则
，求导得 ，所以
.
变式（1） 已知函数，则的图象在 处的切线与坐标轴
围成的三角形的面积为___.
[解析] 因为函数，所以，所以的图象在
处的切线的斜率为，
又因为 ，所以切线方程为，即.
当时，可得，当 时，可得，
所以该切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .
（2）给出定义：设是函数的导函数，是 的导函数，若方
程有实数解，则称点为函数 的“拐点”.经研究发
现，所有的三次函数 都有“拐点”，且该“拐点”
也是函数图象的对称中心.若 ，则
________.
[解析] 由题意得，，由得 ，
, 点为图象的对称中心，则 .
［素养小结］
利用导数运算法则的策略
（1）分析待求导式子，确定求导法则，基本公式.
（2）如果待求导式子比较复杂，那么需要对式子先变形再求导，常用的变形有
乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.
拓展 已知函数的图象在点 处的切线方程为
.
（1）求 的解析式；
解： 函数，的定义域为， ，
由题知的图象在点处的切线的斜率为 .
由切线方程可知切点坐标为， 切点也在函数的图象上，，
的解析式为 .
（2）求函数图象上的点到直线 的距离的最小值.
解： 直线与直线平行，直线 与函
数的图象在点处相切，
所求距离的最小值为切点 到直线的距离，为，
故函数 图象上的点到直线的距离的最小值为 .
1.导数的加法与减法运算法则
（1）两个函数和（或差）的导数等于两个函数的导数的和（或差），可推广到
多个函数的和（或差），即
.
（2）两个函数和（或差）的导数还可推广为
,为常数 .
2.导数运算法则的推导
（1）设 ，则
，
，
，
即 .
同理可证， .
（2）
.
1.一般情况下,应用和、差、积、商的求导法则和基本初等函数的导数公式求导
数时,积、商的求导法则运算量较大,要尽量少用积、商的求导法则,应先对函数
进行化简,然后求导,这样可减少运算量.
例1 求下列函数的导数：
（1） ；
解：因为 ，
所以 .
（2） .
解：方法一：
.
方法二：因为 ，
所以
.
2.高考注重考查导数的几何意义,往往通过求切线方程来考查导数的运算.
例2（1） [2024·黑龙江牡丹江一中高二期末]已知函数 ，
则的图象在点 处的切线方程为( )
D
A. B. C. D.
[解析] ，
， ，
又，的图象在点处的切线方程为 ，即
.故选D.
（2）[2024·江苏连云港高二期末]已知曲线 存在过坐标原点的切线，则
实数 的取值范围是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] ，，设切点坐标为，则 ，切线的
斜率， 切线方程为 ，
又切线过坐标原点，，整理得
存在过坐标原点的切线，，解得或，
实数 的取值范围是 .故选B.
（3）（多选题）已知直线是函数 的图象的一条切线,则实数
的值可以为( )
ABD
A.0 B.1 C. D.
[解析] 设切点坐标为,因为 ,所以
,所以切线方程为 ,
又切线过坐标原点,所以,整理得,
所以 或.
当时,;当 时,
.
综上所述,的值可以为0,1，.故选 .
练习册
一、选择题
1.已知函数，则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由，得，则 ．故选C．
2.下列求导运算正确的是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，，故A错误；
对于B, ,故B正确；
对于C, ，故C错误；
对于D, ,故D错误.故选B.
3.函数的导数为,则 的值为( )
A
A.3 B.4 C.2 D.
[解析] 因为,所以,所以 .故选A.
4.已知函数，则 的解集是 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为,所以函数的定义域为 ，且
.
令，得,所以的解集为 ,
故选B.
5.[2024·长沙明德中学高二月考]已知，曲线在点 处的
切线与直线平行，则切线 的方程为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由，，得， ，
因为直线的斜率为2，所以令，解得，
又 ，所以切线的方程为，即 .故选B.
6.[2024·云南曲靖一中高二期中]设为 的导函数，若
，则曲线在点 处的切线方程为 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，可得
,所以，所以，
所以 ，则曲线在点处的切线方程为，
即 .故选D.
7.若函数与的图象在交点 处有公切线，
则 ( )
A
A.6 B.4 C.3 D.2
[解析] 由题可知,,, ，所以
.
因为函数与的图象在交点 处
有公切线，所以，即，所以 .
8.（多选题）若函数的导函数的图象关于轴对称，则函数 的解析
式可能为( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 对于A，由，得，其图象不关于 轴对称，
不符合题意；
对于B，由，得，其图象关于 轴对称，符合题意；
对于C，由，得，其图象关于 轴对称，符合题意；
对于D，由，得，其图象不关于 轴对称，
不符合题意.故选 .
9.（多选题）[2024·山西部分学校高二联考] 已知函数 的图
象在点处的切线为 ，则( )
BCD
A.的斜率的最小值为 B.的斜率的最小值为
C.的方程为 D.的方程为
[解析] 因为，所以 的斜率的最小值为
，故A错误，B正确；
因为,，所以的方程为 ，故C正确；
因为,，所以的方程为 ，即
，故D正确.故选 .
二、填空题
10.[2024·浙江温州高二期末] 已知函数满足 ，则
____.
[解析] 由题意得 ，则
，
解得 .
11.设函数.若，则 ___.
1
[解析] 由题意得，则 ，
所以，整理得，解得 .
12.[2024·河南驻马店高二期中] 已知，若点 是曲线
上的任意一点，则点到直线 的最短距离是_ ___.
[解析] 由，得 ，
令，解得或（舍去），
又 ，所以与直线平行的直线与曲线相切于点，
故点到直线 的最短距离为 .
三、解答题
13.求下列函数的导数:
（1） ；
解: .
（2） ;
解: .
（3） .
解: .
14.[2024·重庆璧山来凤中学高二月考] 已知函数 的图
象过点，且在点处的切线方程为 .
（1）求和 的值；
解:的图象在点处的切线方程为， 点
在切线上，将代入 ，得
，，又切线的斜率为6， .
（2）求函数 的解析式.
解:的图象过点，.
由 ，得 .
，，又， .
由解得故 .
15.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当 时，
的极限即为 型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在.早在1696年
洛必达在他的著作中创造了在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限
来确定未定式值的方法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商
的极限.如：.据此可知， ___ .
2
[解析] 由题可得
.
16.[2024·山东菏泽高二期中] 已知函数 .
（1）求 ；
解:由，得 ，所以
，解得 .
（2）若是曲线的切线，且经过点，求 的方程.
解:由（1）可得，则，设切点坐标为 ，
则切线的斜率为，
又因为，所以直线 的方程为，
将 代入上式并整理，可得，由此可解得或，
所以切点坐标为或 ，切线方程为或，
即的方程为 或 .5.2.2 导数的四则运算法则
【课前预习】
知识点
(1)f'(x)±g'(x)
(2)f'(x)g(x)+f(x)g'(x) cf'(x)
(3)
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)× [解析] (1) f'(x)='=ex.
(2)f'(x)=cos x-xsin x.
(3)f'(x)==.
(4)f(x)=x2+c(c为常数).
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)因为y=2x3-3x2+5,所以y'=6x2-6x.
(2)因为y=-=2x-1-4x-2,所以y'=-2x-2+8x-3=-+.
(3)因为y=2x+log2x,所以y'=2xln 2+,x>0.
变式 解:(1)f'(x)=(x4)'-(x3)'+(cos x)'=4x3-3x2-sin x.
(2)f'(x)=(lg x)'-(ex)'=-ex.
(3)f'(x)=(sin x)'+(ln x)'=cos x+.
(4)f'(x)=(x3)'-'-(6x)'+(2)'=3x2-3x-6.
拓展 D [解析] ∵f(x)=2xf'+cos x,∴f'(x)=2f'-sin x,令x=,则f'=2f'-sin,
∴f'=,则f(x)=x+cos x,∴f=+cos=+.故选D.
探究点二
例2 解:(1)方法一:y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+(2x2+3)×3=18x2-8x+9.
方法二:∵y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,∴y'=18x2-8x+9.
(2)y'=(2xcos x-3xln x)'=(2x)'cos x+2x(cos x)'-3[x'ln x+x(ln x)']=2xln 2×cos x-2xsin x-3=2xln 2×cos x-2xsin x-3ln x-3.
(3)y'==
=.
变式 解:(1)方法一:因为y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,
所以y'=(6x3+2x2-3x-1)'=(6x3)'+(2x2)'-(3x)'-(1)'=18x2+4x-3.
方法二:y'=(2x2-1)'(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)'=4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3.
(2)y'=(cos x)'·ln x+cos x·(ln x)'=-sin x·ln x+.
(3)因为y=x2+,所以y'=(x2)'+'=2x+=2x+.
(4)y'===.
探究点三
例3 (1)C (2)A (3)6 [解析] (1)由题得f(1)=,设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=k(x-1),因为f(x)=,所以f'(x)==,所以k=f'(1)=,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=(x-1),即y=x+.故选C.
(2)由f(x)=x-2ln x,得f'(x)=1-,设直线x+y+2a=0与函数f(x)=x-2ln x的图象相切于点(x0,y0),则直线x+y+2a=0的斜率为f'(x0)=1-,又因为直线x+y+2a=0的斜率为-1,所以1-=-1,解得x0=1,所以y0=1-2ln 1=1,即切点坐标为(1,1),故1+1+2a=0,解得a=-1.故选A.
(3)令g(x)=(x-2021)(x-2022)(x-2023),则f(x)=(x-2024)·g(x),求导得f'(x)=1·g(x)+(x-2024)·g'(x),所以f'(2024)=g(2024)=3×2×1=6.
变式 (1) (2)-8098 [解析] (1)因为函数f(x)=xln x,所以f'(x)=ln x+1,所以f(x)的图象在x=e处的切线的斜率为f'(e)=1+1=2,又因为f(e)=e,所以切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e.当x=0时,可得y=-e,当y=0时,可得x=,所以该切线与坐标轴围成的三角形的面积为×e×=.
(2)由题意得f'(x)=3x2-6x,f″(x)=6x-6,由f″(x)=0得x=1,∵f(1)=-2,∴点(1,-2)为f(x)图象的对称中心,则f+f+f+…+f+f=2×(-2)×+(-2)=-8098.
拓展 解:(1)∵函数f(x)=+b,∴f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,由题知f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=a=2.由切线方程可知切点坐标为(1,0),∵切点也在函数f(x)的图象上,∴b=0,∴f(x)的解析式为f(x)=.
(2)∵直线2x-y-2=0与直线2x-y+3=0平行,直线2x-y-2=0与函数f(x)=的图象在点(1,0)处相切,∴所求距离的最小值为切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离,为=,故函数f(x)图象上的点到直线2x-y+3=0的距离的最小值为.5.2.2 导数的四则运算法则
1.C [解析] 由f(x)=xex,得f'(x)=ex+xex,则f'(1)=e+e=2e.故选C.
2.B [解析] 对于A,'=1-,故A错误;对于B,(log2x)'=,故B正确;对于C,(3x)'=3xln 3,故C错误;对于D,(x2cos x)'=(x2)'cos x+x2(cos x)'=2xcos x-x2sin x,故D错误.故选B.
3.A [解析] 因为f'(x)=a(a+b)xa+b-1=6x2,所以a+b-1=2,所以a+b=3.故选A.
4.B [解析] 因为f(x)=+ln x,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-+=.令f'(x)<0,得05.B [解析] 由f(x)=x+ln x,x>0,得f'(x)=1+,x>0,因为直线2x-y-14=0的斜率为2,所以令f'(x)=1+=2,解得x=1,又f(1)=1,所以切线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.故选B.
6.D [解析] 因为f(x)=(x+1)ex-f'(0)x,所以f'(x)=ex(x+2)-f'(0),可得f'(0)=2-f'(0),所以f'(0)=1,所以f(x)=(x+1)ex-x,所以f(0)=1,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-1=x,即y=x+1.故选D.
7.A [解析] 由题可知f'(x)=-asin x,g'(x)=2x+b,f(0)=a,g(0)=3,所以a=m=3.因为函数f(x)=acos x与g(x)=x2+bx+3的图象在交点(0,m)处有公切线,所以f'(0)=g'(0),即0=b,所以a+b+m=3+0+3=6.
8.BC [解析] 对于A,由f(x)=3cos x,得f'(x)=-3sin x,其图象不关于y轴对称,不符合题意;对于B,由f(x)=x3+x,得f'(x)=3x2+1,其图象关于y轴对称,符合题意;对于C,由f(x)=x+,得f'(x)=1-,其图象关于y轴对称,符合题意;对于D,由f(x)=ex+x,得f'(x)=ex+1,其图象不关于y轴对称,不符合题意.故选BC.
9.BCD [解析] 因为f'(x)=3x2-6x=3(x-1)2-3≥-3,所以lm的斜率的最小值为-3,故A错误,B正确;因为f'(0)=0,f(0)=1,所以l0的方程为y=1,故C正确;因为f'(-1)=9,f(-1)=-3,所以l-1的方程为y+3=9(x+1),即y=9x+6,故D正确.故选BCD.
10. [解析] 由题意得f'(x)=f'cos x+sin x,则f'=f'cos+sin=f'+,
解得f'=.
11.1 [解析] 由题意得f'(x)==,则f'(1)==,所以=,整理得a2-2a+1=0,解得a=1.
12. [解析] 由f(x)=2x2-3ln x(x>0),得f'(x)=4x-(x>0),令f'(x)=4x-=1,解得x=1或x=-(舍去),又f(1)=2,所以与直线y=x-4平行的直线与曲线y=f(x)相切于点(1,2),故点P到直线y=x-4的最短距离为=.
13.解:(1)f'(x)=(ln x)'+'=-=.
(2)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x.
(3)f'(x)=-2xln 2=-2xln 2=-2xln 2.
14.解:(1)∵f(x)的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,∴点M(-1,f(-1))在切线6x-y+7=0上,将x=-1代入6x-y+7=0,得y=1,∴f(-1)=1,又切线6x-y+7=0的斜率为6,∴f'(-1)=6.
(2)∵f(x)的图象过点P(0,2),∴d=2.由f(x)=x3+bx2+cx+2,得f'(x)=3x2+2bx+c.
∵f'(-1)=6,∴3-2b+c=6,又f(-1)=1,∴-1+b-c+2=1.由解得故f(x)=x3-3x2-3x+2.
15.2 [解析] 由题可得=====2.
16.解:(1)由f(x)=x2+2xf',得f'(x)=2x+2f',所以f'=2×+2f',解得f'=-1.
(2)由(1)可得f(x)=x2-2x,则f'(x)=2x-2,设切点坐标为(x0,f(x0)),则切线的斜率为f'(x0)=2x0-2,又因为f(x0)=-2x0,所以直线l的方程为y-(-2x0)=(2x0-2)(x-x0),将(2,-1)代入上式并整理,可得-4x0+3=0,由此可解得x0=1或x0=3,所以切点坐标为(1,-1)或(3,3),切线方程为y+1=0或y-3=4(x-3),即l的方程为y+1=0或4x-y-9=0.5.2.2 导数的四则运算法则
【学习目标】
掌握导数的四则运算法则,能灵活运用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
◆ 知识点 导数的运算法则
已知f(x),g(x)为可导函数.
(1)[f(x)±g(x)]'= .
(2)[f(x)g(x)]'= ,特别地,[cf(x)]'= .
(3)'= (g(x)≠0).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知f(x)=ex+cos,则f'(x)=ex. ( )
(2)已知f(x)=xcos x,则f'(x)=cos x+xsin x. ( )
(3)已知f(x)=,则f'(x)=. ( )
(4)若函数f(x)的导函数为f'(x)= x,则f(x)=x2. ( )
◆ 探究点一 利用导数的加减运算法则求导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y=2x3-3x2+5;(2)y=-;
(3)y=2x+log2x.
变式 求下列函数的导数.
(1)f(x)=x4-x3+cos x;
(2)f(x)=lg x-ex ;
(3)f(x)=sin x+ln x;
(4)f(x)=x3-x2-6x+2.
[素养小结]
两个函数和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差).
拓展 已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=2xf'+cos x,则f= ( )
A.- B.
C.- D.+
◆ 探究点二 利用导数的乘除运算法则求导数
例2 求下列函数的导数.
(1)y=(2x2+3)(3x-2);
(2)y=2xcos x-3xln x;
(3)y=.
变式 求下列函数的导数.
(1)y=(2x2-1)(3x+1);
(2)y=cos x·ln x ;
(3)y=x2+tan x;
(4)y=.
[素养小结]
一般情况下,应用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求导数时,要尽量少用积、商的求导法则,在求导之前,可先对函数进行化简,再求导,这样可减少运算量,提高运算速度,避免出错.
◆ 探究点三 导数公式及导数的运算法则的应用
例3 (1)已知f(x)=,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 ( )
A.y=x B.y=x
C.y=x+ D.y=x+
(2)[2024·辽宁阜新二中高二期末] 若直线x+y+2a=0与函数f(x)=x-2ln x的图象相切,则实数a的值为 ( )
A.-1 B.0 C.-3 D.-2
(3)若函数f(x)=(x-2021)(x-2022)(x-2023)(x-2024),则f'(2024)= .
变式 (1)已知函数f(x)=xln x,则f(x)的图象在x=e处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .
(2)给出定义:设f'(x)是函数f(x)的导函数,f″(x)是f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x=x0,则称点(x0,f(x0))为函数f(x)的“拐点”.经研究发现,所有的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”,且该“拐点”也是函数f(x)图象的对称中心.若f(x)=x3-3x2,则f+f+f+…+f+f= .
[素养小结]
利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子,确定求导法则,基本公式.
(2)如果待求导式子比较复杂,那么需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等.
拓展 已知函数f(x)=+b的图象在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y-2=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)图象上的点到直线2x-y+3=0的距离的最小值.5.2.2 导数的四则运算法则
一、选择题
1.已知函数f(x)=xex,则f'(1)= ( )
A.-1 B.e
C.2e D.e0
2.下列求导运算正确的是 ( )
A.'=1+
B.(log2x)'=
C.(3x)'=3xlog3e
D.(x2cos x)'=-2xsin x
3.函数f(x)=axa+b的导数为f'(x)=6x2,则a+b的值为 ( )
A.3 B.4
C.2 D.-1
4.已知函数f(x)=+ln x,则f'(x)<0的解集是 ( )
A.(-∞,5) B.(0,5)
C.(5,+∞) D.(0,+∞)
5.[2024·长沙明德中学高二月考] 已知f(x)=x+ln x,曲线y=f(x)在点Q处的切线l与直线2x-y-14=0平行,则切线l的方程为 ( )
A.2x-y+1=0 B.2x-y-1=0
C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0
6.[2024·云南曲靖一中高二期中] 设f'(x)为f(x)的导函数,若f(x)=(x+1)ex-f'(0)x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 ( )
A.y=-x+1 B.y=-2x+1
C.y=2x+1 D.y=x+1
7.若函数f(x)=acos x与g(x)=x2+bx+3的图象在交点(0,m)处有公切线,则a+b+m=( )
A.6 B.4
C.3 D.2
8.(多选题)若函数f(x)的导函数f'(x)的图象关于y轴对称,则函数f(x)的解析式可能为 ( )
A.f(x)=3cos x B.f(x)=x3+x
C.f(x)=x+ D.f(x)=ex+x
9.(多选题)[2024·山西部分学校高二联考] 已知函数f(x)=x3-3x2+1的图象在点(m,f(m))处的切线为lm,则 ( )
A.lm的斜率的最小值为-2
B.lm的斜率的最小值为-3
C.l0的方程为y=1
D.l-1的方程为y=9x+6
二、填空题
10.[2024·浙江温州高二期末] 已知函数f(x)满足f(x)=f'sin x-cos x,则f'= .
11.设函数f(x)=.若f'(1)=,则a= .
12.[2024·河南驻马店高二期中] 已知f(x)=2x2-3ln x,若点P是曲线y=f(x)上的任意一点,则点P到直线y=x-4的最短距离是 .
三、解答题
13.求下列函数的导数:
(1)f(x)=ln x+;
(2)f(x)=(1+sin x)(1-4x);
(3)f(x)=-2x.
14.[2024·重庆璧山来凤中学高二月考] 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.
(1)求f(-1)和f'(1)的值;
(2)求函数f(x)的解析式.
15.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型,比如:当x→0时,的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在,也可能不存在.早在1696年洛必达在他的著作中创造了在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法(洛必达法则),用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限.如:===1.据此可知,= .
16.[2024·山东菏泽高二期中] 已知函数f(x)=x2+2xf'.
(1)求f';
(2)若l是曲线y=f(x)的切线,且经过点(2,-1),求l的方程.
