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5.2 导数的运算
5.2.3 简单复合函数的导数
探究点一 复合函数的概念
探究点二 复合函数的导数
探究点三 复合函数导数的应用
【学习目标】
理解简单复合函数的导数,能求简单复合函数的导数.
知识点 复合函数的求导法则
1.复合函数
一般地,对于两个函数和,如果通过中间变量,可以表示成 的
函数,那么称这个函数为函数和的复合函数,记作 .
2.复合函数的导数
一般地，对于由函数和复合而成的函数 ，它的
导数与函数,的导数间的关系为______________,即对 的导数
等于对的导数与对 的导数的______.
乘积
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数是函数, 的复合函数.( )
√
（2）函数的导数是 .( )
×
[解析] 根据题意得 .
（3）函数的导数为 .( )
√
[解析] .
（4）函数的导数是 .( )
√
（5）函数的导数是 .( )
×
[解析] .
2.观察函数及 的结构特点,它们分别是由哪些基本初等
函数组成的
解：是由及相乘得到的.
是由与经过复合得到的,即可以通过
中间变量 表示成自变量 的函数.
探究点一 复合函数的概念
例1（1） （多选题）下列函数是复合函数的有( )
BCD
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，是由及 相乘得到的，不是复合函数；
对于B，函数是由与 经过复合得到的，是复合函数；
对于C，函数是由与 经过复合得到的，是复合函数；
对于D，函数是由与 经过复合得到的，是复合
函数.故选 .
（2）指出下列函数的复合关系：
① ；
解:是由和或 经过复
合得到的.
② .
解:是由，和 经过复合得到的.
［素养小结］
若与均为基本初等函数，则函数和函数 均为复
合函数.
探究点二 复合函数的导数
例2 求下列函数的导数:
（1） ;
解:原函数可看作, 的复合函数,则
.
（2） ;
解:可看作, 的复合函数,则
.
（3） ;
解:原函数可看作, 的复合函数,则
.
（4） ;
解:原函数可看作, 的复合函数,则
.
（5） .
解:原函数可看作, 的复合函数，则
.
变式 求下列函数的导数:
（1） ；
解：设，，则 .
（2） ；
解：设， ，则
.
（3） ;
解：设， ，则
.
（4） ;
解：设， ，则
.
（5） .
解：设， ,则
.
［素养小结］
复合函数求导的步骤：
（1）正确分清复合关系,选定中间变量;
（2）分步计算对应变量的导数;
（3）把中间变量代回,将导函数写成关于自变量的函数.
整个过程简记为“分解 求导 回代”,熟练后,可以省略中间过程,若遇多重复合,
则可多次用中间变量求导.
探究点三 复合函数导数的应用
例3（1） 已知，若曲线在点 处的切线
的斜率为2，则 ( )
B
A.1 B.2或1 C. 或2 D.2
[解析] ,
根据导数的几何意义可得 ，所以
，所以或，所以或 ，
故选B.
（2）已知直线与曲线相切,则 的值为___.
2
[解析] 设直线与曲线相切于点,则 ,
,.
对于, ,
,即,, .
变式（1） 若存在过点的直线与曲线和曲线 都相
切，则 ( )
A
A.0 B. C.1 D.
[解析] 设切线方程为，与联立，得 ，所以
，解得，所以切线方程为.
设直线 与曲线相切于点，
因为，所以有 解得 故选A.
（2）已知函数的图象在点处的切线斜率为 ，若
，则 ___.
[解析] 函数的图象过点 ，
， ，
，
又，
，，即 .
［素养小结］
与复合函数有关的切线问题，关键是牢记复合函数的求导方法，准确求出函数
的导数，再利用导数的几何意义求解.
拓展 某港口在一天24小时内潮水的高度（单位：米）与时间 （单位：时）
近似满足函数关系式，求该函数在 时
的导数，并解释它的实际意义.
解:，将代入 ，得
.
表示18时时，潮水高度上升的瞬时速度为 米/时.
1.求复合函数的导数需处理好以下环节：
（1）中间变量的选择应是基本初等函数结构；
（2）正确分析函数的复合层次；
（3）一般是从最外层开始，由外及里，一层层进行求导；
（4）善于把一部分表达式作为一个整体；
（5）最后要把中间变量换成自变量的函数.
2.利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤：
1.求复合函数的导数,关键是搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外层向内层逐
层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.
例1（1） 已知函数，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 .
故选D.
（2）[2024·杭州二中高二期末] 已知，则 ____________.
[解析] .
2.复合函数求导法则的应用
利用复合函数的求导法则可以求抽象函数的导数.
例2 求证：
（1）可导的奇函数的导函数是偶函数；
证明：设 是可导的奇函数，
则 ，
两边对求导，得 ，
即，得 ，
从而 为偶函数，故原命题成立.
（2）可导的周期函数的导函数是周期函数.
证明： 设 是可导的周期函数，
T为 的一个周期，
则对定义域内的每一个，都有 ，
两边对求导，得 ，
即 ，
从而也是以 为周期的周期函数，故原命题成立.
练习册
一、选择题
1.[2024·浙江宁波镇海中学高二期中]函数在 处的导数是( )
A
A. B. C.2 D.4
[解析] 由，得 ，所以函
数在处的导数是 ，故选A.
2.设,若,则 的值为( )
B
A. B. C.1 D.
[解析] 由,得,由,解得 .故
选B.
3.[2024·河北张家口高二期末]已知是自然对数的底数，则函数
的图象在原点处的切线方程是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以,，所以 ，所以
函数的图象在原点处的切线方程是 ，故选B.
4.[2024·福建南平高二期末]函数，则 ( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 因为 ，所以
，故选D.
5.[2024·湖南名校高二联考]已知直线与曲线 相切，则
的值为( )
D
A. B. C.2 D.1
[解析] 设切点坐标为，由，得 ，所以切线
的斜率，则，
又 ，即，所以，
所以由 ，得 .故选D.
6.曲线在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 对函数求导得 ，所
以曲线在处的切线斜率为，且当时， ，
所以曲线在处的切线方程为 ，即
.
直线交轴于点，交轴于点 ，因此，所
求三角形的面积为 .
7.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，
这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量
（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足的函数关系式是 ，
则铯137的含量在 年时的瞬时变化率为( )
A
A.太贝克/年 B. 太贝克/年
C. 太贝克/年 D.300太贝克/年
[解析] 依题意， ，所以铯137的
含量在年时的瞬时变化率为
（太贝克/年），故选A.
8.（多选题）下列求函数的导数正确的是( )
AC
A. B.
C. D.
[解析] ， ，
， ，故
选 .
9.（多选题）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数
在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记 ，若
在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在 内是凸
函数的是( )
ABD
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，由，得 ，则
，则在内恒有 ，故A符合题意；
对于B，由，得 ，则，则在 内
恒有，故B符合题意；
对于C，由，得 ，
则，则在内恒有 ，故C不符合题意；
对于D，由，得，则，
则在 内恒有，故D符合题意.故选 .
二、填空题
10.函数的导函数 ____________________.
[解析] 由 ，得
.
11.[2024·吉大附中实验学校高二期末] 一个质点的位移（单位：）与时间
（单位：）满足函数关系式，则当 时，该质点
的瞬时速度为____ .
[解析] 因为，所以 ，则
，
故当时，该质点的瞬时速度为 .
12.已知函数，则___，曲线 在点
处的切线方程为_______________.
1
[解析] 因为 ，所以
，所以 ，所以
.
因为 , ，所以所求切线方程为
，即 .
三、解答题
13.求下列函数的导数：
（1） ;
解:
（2） ;
解: .
（3） ；
解: .
（4） .
解: .
14.设函数 .
（1）求导函数 ；
解：由 ，
得 .
（2）若曲线在点处的切线方程为，求， 的值.
解：由题意得，切点既在曲线上，又在切线 上，
将代入切线方程，得，则切点坐标为 ，
所以解得
15.[2024·重庆西南大学附中高二月考] 阅读材料：求函数 的导函数.
解：，， ，
即， .
借助上述思路，曲线，在点 处的切线方程为
___________.
[解析] ， ，
，即 ，
.
当时，， 曲线，在点处的切线
方程为 ，即 .
16.求证：“可导函数的图象关于直线 对称”的充要条件是“导函数
的图象关于点 中心对称”.
证明:若可导函数的图象关于直线对称，则 恒成
立，所以，故 ，即
，因此导函数的图象关于点 中心对称，必
要性成立；
若导函数的图象关于点中心对称，则 恒成
立，即，因此（ 为常数），
令，得，所以 ，
因此可导函数的图象关于直线 对称，充分性成立.得证.5.2.3 简单复合函数的导数
【课前预习】
知识点
2.y'x=y'u·u'x 乘积
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× [解析] (2)根据题意得y'=2(2x+1)×2=8x+4.
(3)y'=e2x-1(2x-1)'=2e2x-1.
(5)y'=·(2x+1)'=.
2.解:y=2xcos x是由u=2x及v=cos x相乘得到的.y=ln(x+2)是由u=x+2(x>-2)与y=ln u经过复合得到的,即y可以通过中间变量u表示成自变量x的函数.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)BCD [解析] 对于A,y=xln x是由u=x及v=ln x相乘得到的,不是复合函数;对于B,函数y=(3x+6)2是由y=u2与u=3x+6经过复合得到的,是复合函数;对于C,函数y=esin x是由y=eu与u=sin x经过复合得到的,是复合函数;对于D,函数y=sin是由y=sin u与u=x+经过复合得到的,是复合函数.故选BCD.
(2)解:①y=ln(x2+3x-4)是由y=ln u和u=x2+3x-4(x>1或x<-4)经过复合得到的.
②y=esin(x+2)是由y=eu,u=sin v和v=x+2经过复合得到的.
探究点二
例2 解:(1)原函数可看作y=u4,u=2x-1的复合函数,则y'x=y'u·u'x=(u4)'·(2x-1)'=4u3·2=8(2x-1)3.
(2)y==(1-2x可看作y=,u=1-2x的复合函数,则y'x=y'u·u'x=-·(-2)=(1-2x=.
(3)原函数可看作y=sin u,u=-2x+的复合函数,则y'x=y'u·u'x=-2cos u=-2cos=-2cos.
(4)原函数可看作y=10u,u=2x+3的复合函数,则y'x=y'u·u'x=10u×2×ln 10=(ln 100)102x+3.
(5)原函数可看作y=ln u,u=4x-1的复合函数,则y'x=y'u·u'x=·4=.
变式 解:(1)设y=eu,u=3x+2,则y'x=(eu)'·(3x+2)'=3eu=3e3x+2.
(2)设y=5log2u,u=2x+1,则y'x=5(log2u)'·(2x+1)'==.
(3)设y=u5,u=3x-,则y'x=(u5)''=5u4·=5.
(4)设y=cos u,u=2x+1,则y'x=(cos u)'·(2x+1)'=-2sin u=-2sin(2x+1).
(5)设y=sin u,u=-3x,则y'x=(sin u)'·' =-3cos u=-3cos=3sin 3x.
探究点三
例3 (1)B (2)2 [解析] (1)f'(x)=2xe1-mx+x2·e1-mx·(-m)+m=2xe1-mx-mx2e1-mx+m,根据导数的几何意义可得f'(1)=2e1-m-me1-m+m=2,所以(e1-m-1)(2-m)=0,所以e1-m-1=0或2-m=0,所以m=1或m=2,故选B.
(2)设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切于点(x0,y0),则y0=1+x0,y0=ln(x0+a),∴1+x0=ln(x0+a).对于y=ln(x+a),y'=,∴y'==1,即x0+a=1,∴x0=-1,∴a=2.
变式 (1)A (2) [解析] (1)设切线方程为y=kx,与y=x2+x联立,得x2+(1-k)x=0,所以Δ=(1-k)2=0,解得k=1,所以切线方程为y=x.设直线y=x与曲线y=ex-1+ax相切于点(x1,y1),因为y'=ex-1+a,所以有解得故选A.
(2)∵函数f(x)=cos的图象过点,
∴cos=0,∴ω·+=nπ+(n∈Z),
∴ω=2n+(n∈Z),又f'(x)=-ωsin,∴k=f'=-sin=-sin=±(n∈Z).∵|k|<1,
∴<1(n∈Z),∴n=0,即ω=.
拓展 解:s'(t)=3cos·=cos,将t=18代入s'(t),得s'(18)=cos=.s'(18)表示18时时,潮水高度上升的瞬时速度为 米/时.5.2.3 简单复合函数的导数
1.A [解析] 由y==(x+1,得y'=(x+1·(x+1)'=,所以函数y=在x=3处的导数是=,故选A.
2.B [解析] 由f(x)=ln(2x-1),得f'(x)=,由f'(x0)==1,解得x0=.故选B.
3.B [解析] 因为f(x)=e2x-1,所以f(0)=0,f'(x)=2e2x,所以f'(0)=2,所以函数f(x)的图象在原点处的切线方程是y=2x,故选B.
4.D [解析] 因为f(x)=+cos 2x,所以f'(x)=-2sin 2x=--2sin 2x,故选D.
5.D [解析] 设切点坐标为(x0,3x0),由y=ln(3x-a)+2,得y'=,所以切线的斜率k==3,则3x0-a=1,又3x0=ln(3x0-a)+2,即3x0=ln 1+2,所以x0=,所以由3x0-a=1,得a=3x0-1=3×-1=1.故选D.
6.C [解析] 对函数y=xe-2x+1求导得y'=e-2x+1-2xe-2x+1=(1-2x)e-2x+1,所以曲线y=xe-2x+1在x=1处的切线斜率为y'|x=1=-,且当x=1时,y=,所以曲线y=xe-2x+1在x=1处的切线方程为y-=-(x-1),即y=-x+.直线y=-x+交x轴于点A(2,0),交y轴于点B,因此,所求三角形的面积为×2×=.
7.A [解析] 依题意,M'(t)=-×600×ln 2=-20×ln 2,所以铯137的含量M在t=30年时的瞬时变化率为M'(30)=-20×2-1ln 2=-10ln 2(太贝克/年),故选A.
8.AC [解析] [ln(2x+1)]'=,(e5x-4)'=5e5x-4,()'=··(2x-1)'=,'=2cos,故选AC.
9.ABD [解析] 对于A,由f(x)=sin,得f'(x)=cos,则f″(x)=-sin,则在内恒有f″(x)<0,故A符合题意;对于B,由f(x)=ln(x-2),得f'(x)= ,则f″(x)=-,则在内恒有f″(x)<0,故B符合题意;对于C,由f(x)=x3+2x-1,得f'(x)=3x2+2,则f″(x)=6x,则在内恒有f″(x)>0,故C不符合题意;对于D,由f(x)=xe-x,得f'(x)=(1-x)e-x,则f″(x)=(x-2)e-x,则在内恒有f″(x)<0,故D符合题意.故选ABD.
10.excos 2x-2exsin 2x [解析] 由f(x)=excos 2x,得f'(x)=(ex)'cos 2x+ex(cos 2x)'=excos 2x-2exsin 2x.
11.-3 [解析] 因为s=3t3-(2t+1)2+1,所以s'=9t2-4(2t+1),则s'|t=1=9-4×(2+1)=-3,故当t=1 s时,该质点的瞬时速度为-3 m/s.
12.1 y=3x-π-1 [解析] 因为f(x)=cos3x-f'(0)sin x+2x,所以f'(x)=-3cos2xsin x-f'(0)cos x+2,所以f'(0)=-f'(0)+2,所以f'(0)=1.因为f(π)=-1+2π,f'(π)=3,所以所求切线方程为y-(-1+2π)=3(x-π),即y=3x-π-1.
13.解:(1)y'=(e-0.05x+1)'=e-0.05x+1·(-0.05x+1)'=-0.05e-0.05x+1.
(2)y'='=cos·'=2πcos.
(3)y'===.
(4)y'==
.
14.解:(1)由f(x)=aexln x+,
得f'(x)=(aexln x)'+'=aexln x++.
(2)由题意得,切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x-1)+2上,
将x=1代入切线方程,得y=2,则切点坐标为(1,2),
所以解得
15.y=4x-3 [解析] ∵y=(2x-1)x+1,∴ln y=(x+1)·ln(2x-1),∴(ln y)'=[(x+1)ln(2x-1)]',即·y'=ln(2x-1)+,∴y'=(2x-1)x+1.当x=1时,y'=4,∴曲线y=(2x-1)x+1,x∈在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.
16.证明:若可导函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(x)=f(2a-x)恒成立,所以f'(x)=[f(2a-x)]',故f'(x)=-f'(2a-x),即f'(x)+f'(2a-x)=0,因此导函数y=f'(x)的图象关于点(a,0)中心对称,必要性成立;
若导函数y=f'(x)的图象关于点(a,0)中心对称,则f'(x)+f'(2a-x)=0恒成立,即[f(x)-f(2a-x)]'=0,因此f(x)-f(2a-x)=C(C为常数),令x=a,得C=0,所以f(x)=f(2a-x),
因此可导函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,充分性成立.得证.5.2.3 简单复合函数的导数
【学习目标】
理解简单复合函数的导数,能求简单复合函数的导数.
◆ 知识点 复合函数的求导法则
1.复合函数
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f[g(x)].
2.复合函数的导数
一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f[g(x)],它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 ,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=ln(2x2+x)是函数y=ln u,u=2x2+x的复合函数. ( )
(2)函数y=(2x+1)2的导数是y'=4x+2. ( )
(3)函数y=e2x-1的导数为y'=2e2x-1. ( )
(4)函数y=cos(2x2+x)的导数是y'=-(4x+1)sin(2x2+x). ( )
(5)函数y=ln(2x+1)的导数是y'=. ( )
2.观察函数y=2xcos x及y=ln(x+2)的结构特点,它们分别是由哪些基本初等函数组成的
◆ 探究点一 复合函数的概念
例1 (1)(多选题)下列函数是复合函数的有 ( )
A.y=xln x B.y=(3x+6)2
C.y=esin x D.y=sin
(2)指出下列函数的复合关系:
①y=ln(x2+3x-4);②y=esin(x+2).
[素养小结]
若f(x)与g(x)均为基本初等函数,则函数y=f[g(x)]和函数y=g[f(x)]均为复合函数.
◆ 探究点二 复合函数的导数
例2 求下列函数的导数:
(1)y=(2x-1)4;(2)y=;
(3)y=sin;(4)y=102x+3;
(5)y=ln(4x-1).
变式 求下列函数的导数:
(1)y=e3x+2 ;(2)y=5log2(2x+1);
(3)y=;(4)y=cos(2x+1);
(5)y=sin.
[素养小结]
复合函数求导的步骤:
(1)正确分清复合关系,选定中间变量;
(2)分步计算对应变量的导数;
(3)把中间变量代回,将导函数写成关于自变量的函数.
整个过程简记为“分解→求导→回代”,熟练后,可以省略中间过程,若遇多重复合,则可多次用中间变量求导.
◆ 探究点三 复合函数导数的应用
例3 (1)已知f(x)=x2e1-mx+mx,若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为2,则m= ( )
A.1 B.2或1
C.-1或2 D.2
(2)已知直线y=x+1与曲线y=ln (x+a)相切,则a的值为 .
变式 (1)若存在过点(0,0)的直线与曲线y=x2+x和曲线y=ex-1+ax都相切,则a= ( )
A.0 B.-1 C.1 D.e
(2)已知函数f(x)=cos的图象在点处的切线斜率为k,若|k|<1,则ω= .
[素养小结]
与复合函数有关的切线问题,关键是牢记复合函数的求导方法,准确求出函数的导数,再利用导数的几何意义求解.
拓展 某港口在一天24小时内潮水的高度s(t)(单位:米)与时间t(单位:时)近似满足函数关系式s(t)=3sin(0≤t≤24),求该函数在t=18时的导数,并解释它的实际意义.5.2.3 简单复合函数的导数
一、选择题
1.[2024·浙江宁波镇海中学高二期中] 函数y=在x=3处的导数是 ( )
A. B.
C.2 D.4
2.设f(x)=ln(2x-1),若f'(x0)=1,则x0的值为 ( )
A. B.
C.1 D.
3.[2024·河北张家口高二期末] 已知e是自然对数的底数,则函数f(x)=e2x-1的图象在原点处的切线方程是 ( )
A.y=x B.y=2x
C.y=ex D.y=e2x
4.[2024·福建南平高二期末] 函数f(x)=+cos 2x,则f'(x)= ( )
A.-2sin 2x
B. --sin 2x
C.+sin 2x
D. --2sin 2x
5.[2024·湖南名校高二联考] 已知直线y=3x与曲线y=ln (3x-a)+2相切,则a的值为 ( )
A. B.ln +
C.2 D.1
6.曲线y=xe-2x+1在x=1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ( )
A.e B.
C. D.
7.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足的函数关系式是M(t)=600×,则铯137的含量M在t=30年时的瞬时变化率为 ( )
A.-10ln 2太贝克/年
B.300ln 2太贝克/年
C.-300ln 2太贝克/年
D.300太贝克/年
8.(多选题)下列求函数的导数正确的是 ( )
A.[ln(2x+1)]'=
B.(e5x-4)'=e5x-4
C.()'=
D.'=-2cos
9.(多选题)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=[f'(x)]',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在内是凸函数的是 ( )
A.f(x)=sin
B.f(x)=ln(x-2)
C.f(x)=x3+2x-1
D.f(x)=xe-x
二、填空题
10.函数f(x)=excos 2x的导函数f'(x)= .
11.[2024·吉大附中实验学校高二期末] 一个质点的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)满足函数关系式s=3t3-(2t+1)2+1,则当t=1 s时,该质点的瞬时速度为 m/s.
12. 已知函数f(x)=cos3x-f'(0)sin x+2x,则f'(0)= ,曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为 .
三、解答题
13.求下列函数的导数:
(1)y=e-0.05x+1;
(2)y=sin;
(3)y=ln ;
(4)y=.
14.设函数f(x)=aexln x+.
(1)求导函数f'(x);
(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.
15.[2024·重庆西南大学附中高二月考] 阅读材料:求函数y=ex的导函数.
解:∵y=ex,∴x=ln y,∴(x)'=(ln y)',
即1=·y',∴y'=y=ex.
借助上述思路,曲线y=(2x-1)x+1,x∈在点(1,1)处的切线方程为 .
16.求证:“可导函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称”的充要条件是“导函数y=f'(x)的图象关于点(a,0)中心对称”.
