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5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
第1课时 函数的单调性与导数
探究点一 利用导数判断函数的单调性
探究点二 利用函数单调性解决函数与导函数图
象问题
【学习目标】
了解导数对函数单调性的影响，利用导数求函数的单调区间（其中多项式
函数一般不超过三次）.
知识点一 函数的单调性与导函数的关系
1.在区间内函数的单调性与导函数 的正负之间的关系如下表所示：
的正负 的单调性
单调递____
单调递____
增
减
如：函数在上单调递增， ,在
上单调递减， ，如图所示.
2.对于可导函数来说,“”是“ 在某个区间上单调递增”的
____________条件,“”是“ 在某个区间上单调递减”的____________
条件.
充分不必要
充分不必要
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在某个区间内，如果，那么函数 在这个区间内单
调递增.( )
√
（2）在某个区间内，如果，那么函数 在这个区间内单
调递减.( )
√
（3）函数的单调递增区间为 .( )
×
[解析] 由，得，
令 ，得或，所以函数的单调递增区间为,
.
（4）“对任意,都有”是“在 内单调递增”的充要条
件.( )
×
[解析] 当在内单调递增时，导数不一定恒大于0.
例如: 在内单调递增,但 .
知识点二 利用导数判断函数的单调性的一般步骤
第1步，确定函数 的________;
第2步，求出导数 的______;
第3步，用的零点将的定义域划分为若干个______，列表给出 在
各区间上的______，由此得出函数 在定义域内的________.
定义域
零点
区间
正负
单调性
探究点一 利用导数判断函数的单调性
例1 利用导数判断下列函数的单调性:
（1） ;
解：因为,所以函数的定义域为 ,
在上恒成立，所以函数在 上单调递增.
（2） ；
解：因为，所以 .
令，得或；
令，得.
所以 在和上单调递增，在 上单调递减.
（3） ;
解：因为,所以函数的定义域为 ,
.
由,可得;由,可得 或.
综上可知，函数在上单调递增，在, 上单调递减.
（4） .
解：因为， ，所以
,.
令 ，即，解得;
令，即，解得 .
所以在上单调递减，在 上单调递增.
变式 求下列函数的单调区间.
（1） ；
解：因为, ，所以
， .
令，得，所以函数在 上单调递增；
令，得，所以函数在 上单调递减.
综上可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 .
（2） ；
解：因为,，所以 ,
.
令，得.
因为，所以， .
当时，，即函数在 上单调递增；
当或时，，即函数在， 上单调递减.
综上可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 ，
.
（3） ；
解：因为，所以.
令 ,得或,所以函数在，上单调递减；
令 ,得，所以函数在上单调递增.
综上可知，函数 的单调递减区间为,,单调递增区间为 .
（4）， .
解：因为，，所以， .
令，得，又因为，所以，即 在
上单调递增；
令，得，又因为，所以 ，即 在
上单调递减.
综上可知，函数，的单调递增区间为 ，单调递
减区间为 .
［素养小结］
判断函数单调性的方法有以下几种：
（1）利用函数单调性的定义，在定义域内任取,，且 ，通过判断
的符号来确定函数的单调性.
（2）图象法，观察函数图象的变化趋势直接判断.
（3）利用导数判断可导函数在内的单调性，其步骤是：①求 ；
②确定在 内的符号；③得出结论.
拓展 [2024·江苏东台高二期末] 已知函数, .
（1）求曲线在点 处的切线方程；
解：因为,，所以, ，所以,
又,所以曲线在点处的切线方程为 ，
即 .
（2）求证：在 上是增函数.
证明：由（1）知,，
因为，所以 ，
又，所以，
所以在 上是增函数.
探究点二 利用函数单调性解决函数与导函数图象问题
例2（1） 已知函数的图象如图所示，则其导函数 的图象
可能是____.（填序号）
②
[解析] 由函数的图象可知，函数在上单调递增，在
上单调递减，故在区间上有，在区间上有 ，
即导函数 的图象可能是②.
（2）已知函数的导函数 的下列信息：
当时，；当或时，；当或
时， .
若，,试画出函数 的大致图象.
解：当时，，可知在区间 上单调递增；
当或时，，可知在区间和 上单调递减；
当或时，.
又，，所以函数 的大致图象如图所示.
变式（1） 设函数 的图象如图所示，则导函数
的图象可能为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由函数的图象可知，函数在， 上单调递减，
在上单调递增， 当或时，，当 时，
.故选C.
（2）设是函数的导函数，则 的图象可能是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由，得或，
由，得，
所以 在,上单调递增，在 上单调递减.
只有C选项中的图象符合题意.故选C.
［素养小结］
函数图象的变化可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升，符
号为负，图象下降.看导函数的图象时，主要是看图象在 轴上方还是下方，即
关心导数值的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图象还是
其导函数图象.
1.在区间上,是在 上单调递增的充分不必要条件.例如:若
，则,即,,而函数在 上
单调递增.
学生易误认为只要在上有,则在 上是常函数,要明白个别
导数为零不影响函数的单调性,同时要强调只有在这个区间上恒有 ,函数
在这个区间上才为常函数.
2.函数在区间 上单调递增或单调递减的判定可依据单调性的定义或导
数,应根据问题的具体条件选用适当方法,有时需将区间 划分成若干个小区
间,在每个小区间上分别判定单调性.
3.利用导数确定函数 的单调性的步骤:
（1）确定函数 的定义域;
（2）求出函数的导数 ;
（3）解不等式,得函数的单调递增区间，解不等式 ，得函数
的单调递减区间.
1.利用导数讨论函数的单调性的注意点：
（1）在利用导数讨论函数的单调性时，首先要确定函数的定义域，解决问题的
过程只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.
（2）在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意
在定义域内的间断点.
例1 求下列函数的单调区间：
（1） ；
解：, ，
, ,
令,得 ,
令，得 ,
在上单调递减，在 上单调递增.
（2） ；
解：的定义域是 ,
,
令,得或 ,
令，得且 ,
故函数在上单调递增，在， 上单调递减，
在 上单调递增.
（3） .
解：函数的定义域为, ,
故函数的单调递增区间为， .
例2 （多选题）[2024·江苏扬州中学高二月考] 下列函数在定义域上是增函数
的有( )
AC
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，由，得,所以在定义域 上
是增函数，故A正确；
对于B，由，得，当 时，，
当时，，所以在定义域 上不是增函数，故B错误；
对于C，由,得，
所以 在定义域上是增函数，故C正确；
对于D，由,得 的定义域为,，
当时,,当 时,，
所以在定义域上不是增函数，故D错误.故选 .
2.处理函数与导函数的图象间关系的方法：研究一个函数 的图象
与其导函数 图象之间的关系时,要抓住各自的关键要素,对原函数,应重点考
察其图象在哪个区间上是上升的，在哪个区间上是下降的，而对于导函数,则应
考察其函数值在哪个区间上大于零，在哪个区间上小于零,并考察这些区间与原
函数的单调区间是否一致.
例3（1） 已知函数的导函数为， 的图象如图
所示，则 的图象可能是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由的图象可知，当时，，且的值随 的增大逐渐
减小，此时的图象应是上升的，且越来越平缓；
当时， ，且的值随的增大逐渐增大，此时 的图象应是
上升的，且越来越陡峭.
分析选项可知D中图象符合题意，故选D.
（2）[2024·陕西榆林高二期末]函数的导函数是 ，若
的图象如图所示，则 的图象可能是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由导函数的图象可知，当或时，；
当 时，.
所以函数的单调递增区间为和 ，单调递减区间为 ，
分析选项可知只有C中图象符合题意.故选C.
练习册
一、选择题
1.函数 的单调递增区间为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，
令，即 ,解得，
所以该函数的单调递增区间为 ,故选C.
2.若是可导函数，则“，”是“在 内单调递增”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由，，可得在D内单调递增；
由 在D内单调递增，可得，，且在D内不恒为零.
所以“，”是“ 在D内单调递增”的充分不必要条件.故选A.
3.[2024·陕西榆林高二期末]函数 的单调递减区间为( )
D
A. B. C. D.
[解析] ，，
令 , 得，
函数的单调递减区间为 ,故选D.
4.关于在 上的单调性，下列说法正确的是( )
C
A.在 上单调递增
B.在 上单调递减
C.在上单调递减，在 上单调递增
D.在上单调递增，在 上单调递减
[解析] 由，得，
令，解得 ，又，在上单调递增，
同理可得该函数在 上单调递减.故选C.
5.已知的导函数 的图象如图所示，
则 的图象最有可能是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得在和 上单调递
减，在 上单调递增，故选A.
6.已知函数，若 ，则( )
B
A.是减函数 B. 是增函数
C.是常函数 D. 既不是减函数也不是增函数
[解析] 由题意知，因为 ，
所以在上恒成立，所以在 上为增函数.故选B.
7.[2024·浙江余姚中学高二期中]已知函数 的图象如图所示其中
是函数的导函数，则 的图象可能是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由函数的图象可得，当时，，则 ，
即单调递增；
当时，，则，即 单调递减；
当时，，则，即单调递减；
当 时，，则，即单调递增.
故 的单调递增区间为，，单调递减区间为 .故选C.
8.若函数为自然对数的底数在 的定义域上单调递增，则称
函数具有性质.下列函数中具有 性质的为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 对于A，，其定义域为 ，则 ，，
，
在 上不恒成立，在的定义域上不单调递增，
故A不符合题意；
对于B, ，其定义域为，则 ，
，
当 时，，当时，，
在的定义域 上先减后增，故B不符合题意；
对于C，，其定义域为 ，则，
，
显然在的定义域 上不单调，故C不符合题意；
对于D，，其定义域为，
则 ， ，
在上恒成立，
在的定义域 上单调递增，故D符合题意.故选D.
9.（多选题）[2024·广西玉林四校高二联考]
如图是函数的导函数在 内
的图象，则下列说法正确的是( )
BC
A.在区间上单调递增 B.在区间 上单调递增
C.在区间上单调递增 D.在区间 上单调递增
[解析] 由题图知当时，,所以在区间, 上
单调递增，B，C正确；
当时，，当 时，，
所以在区间上单调递减，在 上单调递增，A错误；
当时，，所以在区间 上单调递减，D错误.
故选 .
二、填空题
10.函数 的单调递增区间为______.
[解析] 函数的定义域为,.
当 时,,单调递增；
当时，，单调递减.
所以 的单调递增区间为 .
11.已知函数 的图象如图所示，则不等式
的解集为 _______________.
[解析] 由的图象可得在 ，上单调递增，在 上单调递减，
所以当时， ，当时，.
由 ，得或即 或
解得或 ，所以原不等式的解集为 .
12.[2024·福州重点学校高二期中] 已知 ，则满足
的实数 的取值范围是_______.
[解析] 因为，所以函数的定义域为 ，
，故函数 为奇函数.
因为对任意的恒成立，所以函数在 上为减函数.
由可得，所以 ，解得
，即实数的取值范围是 .
三、解答题
13.求下列函数的单调区间.
（1） ；
解:函数的定义域为 ，
.
令，则，解得或 ，
所以函数的单调递增区间为和 ；
令，则，解得或 ，
所以函数的单调递减区间为和 .
（2） ；
解:函数的定义域为,,
令 ,可得，令，可得，
所以函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（3） ；
解:函数的定义域为， .
令，得；令，得或 ．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和 .
（4） .
解:由题可得
．令，得或，
因为 ，所以或 或 .
当时，,单调递增;
当 时，, 单调递减;
当时，,单调递减;
当 时，, 单调递增.
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 ．
14.已知函数,判断的单调性，并比较与 的大小.
解:由题意得的定义域为,.
当时, ,函数单调递增;
当时,,函数单调递减.
综上可知,函数 在上单调递增,在 上单调递减.
因为函数在上单调递减,所以,即 ,
所以,即 ,
又因为是定义在上的增函数,所以 .
15.已知定义在上的函数的导函数为，且满足 ，
，则 的解集为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 令，则由题意知，故 在
上是增函数.
因为，所以可化为 ，即
，解得，故不等式的解集为 .故选D.
16.已知函数和 的图象分别如图①②所示，试分别画出其导函
数图象的大致形状.
①
②
解：分别画出函数和的导函数和 的图象的
大致图形如图①②所示.
①
②5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
第1课时 函数的单调性与导数
【课前预习】
知识点一
1.增 减 2.充分不必要 充分不必要
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)× [解析] (3)由f(x)=x3-x,得f'(x)=x2-1=(x+1)(x-1),令f'(x)>0,得x<-1或x>1,所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞).
(4)当f(x)在(a,b)内单调递增时,导数不一定恒大于0.例如:f(x)=x3在(-1,1)内单调递增,但f'(x)=3x2≥0(-1
知识点二
定义域 零点 区间 正负 单调性
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)因为f(x)=x3+x,所以函数f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2+1>0在R上恒成立,所以函数f(x)在R上单调递增.
(2)因为f(x)=x3-3x+1,所以f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).令f'(x)>0,得x>1或x<-1;令f'(x)<0,得-1(3)因为f(x)=,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)==-.由f'(x)>0,可得-10.综上可知,函数f(x)在(-1,0)上单调递增,在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递减.
(4)因为f(x)=xln x,x∈(0,+∞),所以f'(x)=(xln x)'=x'ln x+x(ln x)'=ln x+1,x∈(0,+∞).令f'(x)<0,即ln x+1<0,解得00,即ln x+1>0,解得x>.所以f(x)=xln x在上单调递减,在上单调递增.
变式 解:(1)因为f(x)=3x2-2ln x,x∈(0,+∞),所以f'(x)=6x-==,x∈(0,+∞).
令f'(x)>0,得x>,所以函数f(x)在上单调递增;
令f'(x)<0,得0综上可知,函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)因为f(x)=,x∈(-∞,2)∪(2,+∞),所以f'(x)==,x∈(-∞,2)∪(2,+∞).
令f'(x)=0,得x=3.因为x∈(-∞,2)∪(2,+∞),所以ex>0,(x-2)2>0.
当x>3时,f'(x)>0,即函数f(x)在(3,+∞)上单调递增;
当x<2或2综上可知,函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞),单调递减区间为(-∞,2),(2,3).
(3)因为f(x)=x2e-x=,所以f'(x)==.令f'(x)<0,得x<0或x>2,所以函数f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减;令f'(x)>0,得0(4)因为f(x)=x+sin x,x∈(0,π),所以f'(x)=+cos x,x∈(0,π).
令f'(x)>0,得cos x>-,又因为x∈(0,π),所以0令f'(x)<0,得cos x<-,又因为x∈(0,π),所以综上可知,函数f(x)=x+sin x,x∈(0,π)的单调递增区间为,单调递减区间为.
拓展 解:(1)因为f(x)=ex+cos x,x≥0,所以f'(x)=ex-sin x,x≥0,所以f'(0)=1,又f(0)=2,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-2=x,即x-y+2=0.
(2)证明:由(1)知f'(x)=ex-sin x,x≥0,因为x≥0,所以ex≥1,又-1≤sin x≤1,所以f'(x)=ex-sin x≥1-sin x≥0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数.
探究点二
例2 (1)② [解析] 由函数y=f(x)的图象可知,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,故在区间(-∞,0)上有f'(x)>0,在区间(0,+∞)上有f'(x)<0,即导函数y=f'(x)的图象可能是②.
(2)解:当00,可知f(x)在区间(0,5)上单调递增;
当x>5或x<0时,f'(x)<0,可知f(x)在区间(-∞,0)和(5,+∞)上单调递减;
当x=5或x=0时,f'(x)=0.又f(0)<0,f(5)>0,所以函数f(x)的大致图象如图所示.
变式 (1)C (2)C [解析] (1)由函数y=f(x)的图象可知,函数f(x)在(-∞,1),(4,+∞)上单调递减,在(1,4)上单调递增,∴当x<1或x>4时,f'(x)<0,当10.故选C.
(2)由f'(x)>0,得x<0或x>2,由f'(x)<0,得05.3.1 函数的单调性
第1课时 函数的单调性与导数
一、选择题
1.函数y=3x-x3的单调递增区间为 ( )
A.(0,+∞) B.(-∞,-1)
C.(-1,1) D.(1,+∞)
2.若f(x)是可导函数,则“f'(x)>0,x∈D”是“f(x)在D内单调递增”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.[2024·陕西榆林高二期末] 函数f(x)=2ln x-x的单调递减区间为 ( )
A.(-∞,2) B. (0,2)
C. (-2,2) D. (2,+∞)
4.关于y=xln x在(0,e)上的单调性,下列说法正确的是 ( )
A.在(0,e)上单调递增
B.在(0,e)上单调递减
C.在上单调递减,在上单调递增
D.在上单调递增,在上单调递减
5.已知y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是 ( )
A B
C D
6.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R),若a2-3b<0,则 ( )
A.f(x)是减函数
B.f(x)是增函数
C.f(x)是常函数
D.f(x)既不是减函数也不是增函数
7.[2024·浙江余姚中学高二期中] 已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则y=f(x)的图象可能是( )
A B C D
8.若函数g(x)=exf(x)(e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的为 ( )
A.f(x)=x2-1 B.f(x)=x3
C.f(x)=sin x D.f(x)=ln x
9.(多选题)[2024·广西玉林四校高二联考] 如图是函数f(x)的导函数f'(x)在(-3,5)内的图象,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)在区间(-2,1)上单调递增
B.f(x)在区间(1,2)上单调递增
C.f(x)在区间(4,5)上单调递增
D.f(x)在区间(-3,-2)上单调递增
二、填空题
10.函数f(x)=的单调递增区间为 .
11.已知函数f(x)的图象如图所示,则不等式<0的解集为 .
12.[2024·福州重点学校高二期中] 已知f(x)=-5x+sin x,则满足f(a2)+f(-4)>0的实数a的取值范围是 .
三、解答题
13.求下列函数的单调区间.
(1)f(x)=x4-2x2+3;
(2)f(x)=x2-2ln x;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=sin x(1+cos x)(0≤x≤2π).
14.已知函数f(x)=,判断f(x)的单调性,并比较20232024与20242023的大小.
15.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)+f'(x)>0,f(3)=1,则ex·f(x)>e3的解集为 ( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,3) D.(3,+∞)
16.已知函数y=f(x)和y=g(x)的图象分别如图①②所示,试分别画出其导函数图象的大致形状.
②5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
第1课时 函数的单调性与导数
1.C [解析] 因为y=3x-x3,所以y'=3-3x2,令y'>0,即3-3x2>0,解得-12.A [解析] 由f'(x)>0,x∈D,可得f(x)在D内单调递增;由f(x)在D内单调递增,可得f'(x)≥0,x∈D,且f'(x)在D内不恒为零.所以“f'(x)>0,x∈D”是“f(x)在D内单调递增”的充分不必要条件.故选A.
3.D [解析] ∵f(x)=2ln x-x(x>0),∴f'(x)=-1=(x>0),令f'(x)<0,得x>2,∴函数f(x)=2ln x-x的单调递减区间为(2,+∞),故选D.
4.C [解析] 由y=xln x,得y'=ln x+x·=ln x+1,令y'>0,解得x>,又e>,∴y=xln x在上单调递增,同理可得该函数在上单调递减.故选C.
5.A [解析] 由题意可得f(x)在(-∞,-2)和(0,+∞)上单调递减,在(-2,0)上单调递增,故选A.
6.B [解析] 由题意知f'(x)=3x2+2ax+b,因为Δ=4a2-12b=4(a2-3b)<0,所以f'(x)>0在R上恒成立,所以f(x)在R上为增函数.故选B.
7.C [解析] 由函数y=xf'(x)的图象可得,当x<-1时,xf'(x)<0,则f'(x)>0,即f(x)单调递增;当-10,则f'(x)<0,即f(x)单调递减;当01时,xf'(x)>0,则f'(x)>0,即f(x)单调递增.故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为(-1,1).故选C.
8.D [解析] 对于A,f(x)=x2-1,其定义域为R,则g(x)=exf(x)=ex(x2-1),∴g'(x)=ex(x2-1)+2xex=ex(x2+2x-1),∵g'(x)≥0在R上不恒成立,∴g(x)在f(x)的定义域R上不单调递增,故A不符合题意;对于B,f(x)=x3,其定义域为R,则g(x)=exf(x)=ex·x3,
∴g'(x)=ex·x3+3ex·x2=ex(x3+3x2)=ex·x2(x+3),∵当x<-3时,g'(x)<0,当x>-3时,g'(x)>0,∴g(x)在f(x)的定义域R上先减后增,故B不符合题意;对于C,f(x)=sin x,其定义域为R,则g(x)=exf(x)=exsin x,∴g'(x)=ex(sin x+cos x)=exsin,显然g(x)在f(x)的定义域R上不单调,故C不符合题意;对于D,f(x)=ln x,其定义域为(0,+∞),则g(x)=exf(x)=exln x,x∈(0,+∞),∵g'(x)=ex>0在(0,+∞)上恒成立,∴g(x)在f(x)的定义域(0,+∞)上单调递增,故D符合题意.故选D.
9.BC [解析] 由题图知当x∈(1,2)∪(4,5)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(1,2),(4,5)上单调递增,B,C正确;当x∈(-2,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,1)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-2,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,A错误;当x∈(-3,-2)时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(-3,-2)上单调递减,D错误.故选BC.
10.(0,1) [解析] 函数f(x)=的定义域为(0,+∞),f'(x)=-.当00,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的单调递增区间为(0,1).
11.∪(1,2) [解析] 由f(x)的图象可得f(x)在,(2,+∞)上单调递增,在上单调递减,所以当x∈∪(2,+∞)时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0.由<0,
得或即或解得112.(-2,2) [解析] 因为f(x)=-5x+sin x,所以函数f(x)的定义域为R,f(-x)=5x+sin(-x)=5x-sin x=-f(x),故函数f(x)为奇函数.因为f'(x)=cos x-5<0对任意的x∈R恒成立,所以函数f(x)在R上为减函数.由f(a2)+f(-4)>0可得f(a2)>-f(-4)=f(4),所以a2<4,解得-213.解:(1)函数f(x)的定义域为R,
f'(x)=4x3-4x=4x(x2-1)=4x(x+1)(x-1).
令f'(x)>0,则4x(x+1)(x-1)>0,解得-11,
所以函数f(x)的单调递增区间为(-1,0)和(1,+∞);
令f'(x)<0,则4x(x+1)(x-1)<0,解得x<-1或0所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(0,1).
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-=,令f'(x)>0,可得x>1,令f'(x)<0,可得0(3)函数f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),
f'(x)=.
令f'(x)>0,得x>3;令f'(x)<0,得x<2或2所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞),单调递减区间为(-∞,2)和(2,3).
(4)由题可得f'(x)=cos x(1+cos x)+sin x(-sin x)=2cos2x+cos x-1 =(2cos x-1)(cos x+1).
令f'(x)=0,得cos x=或cos x=-1,因为0≤x≤2π,所以x=或x=π或x=.
当0≤x<时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当当π0,f(x)单调递增.
所以函数f(x)的单调递增区间为和,单调递减区间为.
14.解:由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=.当00,函数f(x)单调递增;当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.综上可知,函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.
因为函数f(x)在(e,+∞)上单调递减,所以f(2023)>f(2024),即>,所以2024×ln 2023>2023×ln 2024,即ln 20232024>ln 20242023,又因为y=ln x是定义在(0,+∞)上的增函数,所以20232024>20242023.
15.D [解析] 令g(x)=exf(x),则由题意知g'(x)=ex·[f'(x)+f(x)]>0,故g(x)在R上是增函数.因为f(3)=1,所以ex·f(x)>e3可化为ex·f(x)>e3f(3),即g(x)>g(3),解得x>3,故不等式的解集为(3,+∞).故选D.
16.解:分别画出函数y=f(x)和y=g(x)的导函数y=f'(x)和y=g'(x)的图象的大致图形如图①②所示.
②5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
第1课时 函数的单调性与导数
【学习目标】
了解导数对函数单调性的影响,利用导数求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
◆ 知识点一 函数的单调性与导函数的关系
1.在区间(a,b)内函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系如下表所示:
f'(x)的正负 f(x)的单调性
f'(x)>0 单调递
f'(x)<0 单调递
如:函数f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,f'(x)>0,在(-∞,0)上单调递减,f'(x)<0,如图所示.
2.对于可导函数y=f(x)来说,“f'(x)>0”是“f(x)在某个区间上单调递增”的 条件,“f'(x)<0”是“f(x)在某个区间上单调递减”的 条件.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增. ( )
(2)在某个区间(a,b)内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减. ( )
(3)函数f(x)=x3-x的单调递增区间为(-∞,-1)∪(1,+∞). ( )
(4)“对任意x∈(a,b),都有f'(x)>0”是“f(x)在(a,b)内单调递增”的充要条件. ( )
◆ 知识点二 利用导数判断函数的单调性的一般步骤
第1步,确定函数y=f(x)的 ;
第2步,求出导数f'(x)的 ;
第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个 ,列表给出f'(x)在各区间上的 ,由此得出函数y=f(x)在定义域内的 .
◆ 探究点一 利用导数判断函数的单调性
例1 利用导数判断下列函数的单调性:
(1)f(x)=x3+x;
(2)f(x)=x3-3x+1;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=xln x.
变式 求下列函数的单调区间.
(1)f(x)=3x2-2ln x;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=x2e-x;
(4)f(x)=x+sin x,x∈(0,π).
[素养小结]
判断函数单调性的方法有以下几种:
(1)利用函数单调性的定义,在定义域内任取x1,x2,且x1(2)图象法,观察函数图象的变化趋势直接判断.
(3)利用导数判断可导函数f(x)在(a,b)内的单调性,其步骤是:①求f'(x);②确定f'(x)在(a,b)内的符号;③得出结论.
拓展 [2024·江苏东台高二期末] 已知函数f(x)=ex+cos x,x≥0.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求证:f(x)在[0,+∞)上是增函数.
◆ 探究点二 利用函数单调性解决函数与导函数图象问题
例2 (1)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则其导函数y=f'(x)的图象可能是 .(填序号)
(2)已知函数f(x)的导函数f'(x)的下列信息:
当00;当x>5或x<0时,f'(x)<0;当x=5或x=0时,f'(x)=0.
若f(0)<0,f(5)>0,试画出函数f(x)的大致图象.
变式 (1)设函数y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为 ( )
A B
C D
(2)设f'(x)=x2-2x是函数f(x)的导函数,则y=f(x)的图象可能是 ( )
A B
C D
[素养小结]
函数图象的变化可以通过导数的正负来分析判断,即符号为正,图象上升,符号为负,图象下降.看导函数的图象时,主要是看图象在x轴上方还是下方,即关心导数值的正负,而不是其单调性.解决问题时,一定要分清是函数图象还是其导函数图象.