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5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
第2课时 利用导数解决函数单调性综合问题
探究点一 利用导数判断含参函数的单调性
探究点二 已知单调性或单调区间求参数
探究点三 利用导数研究函数增减快慢
【学习目标】
1.进一步理解函数的导数与其单调性的关系.
2.能求简单的含参函数的单调区间及根据函数单调性求参数的取值范围.
3.利用导数研究函数的增减快慢情况.
探究点一 利用导数判断含参函数的单调性
例1（1） 已知函数，讨论 的单调性.
解：由，得，令，解得 或
.
①当时，因为，所以函数在 上单调递增；
②当时，由，得 ，
由，得 ，
所以函数在，上单调递增，在 上单调递减；
③当时，由，得 ，
由，得，所以函数在， 上单调递
增，在 上单调递减.
综上，当时，函数在 上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在 上单调递减；
当时，函数在，上单调递增，在 上单调递减.
（2）已知函数，讨论 的单调性.
解：由 ，得
.
①若，则 .
由，得，即在 上单调递增；
由，得，即在 上单调递减.
②若，则令，得或 .
当时， ，
由，得或，即在， 上单调递增，
由，得，即在 上单调递减；
当时，,此时恒成立，即在 上单调递增；
当时， ，
由，得或，即在， 上单调递增，
由，得，即在 上单调递减.
综上可得，当时，在上单调递增，在 上单调递减；
当时，在，上单调递增，在 上单调递减；
当时，在 上单调递增；
当时，在，上单调递增，在 上单调递减.
变式（1） 已知函数,讨论函数 的单调性.
解： .
若,则,在 上单调递增;
若,则当时,,当时, ,
在上单调递减,在 上单调递增;
若,则当时,,当时, ,
在上单调递减,在 上单调递增.
综上可知，当时，在上单调递增；当时， 在
上单调递减，在上单调递增；当时，在 上单
调递减，在 上单调递增.
（2）已知函数，讨论 的单调性.
解：因为 ,所以
.
当时，，所以在 上单调递增；
当时，令，解得 ,
由，得,由，得 ,
所以在上单调递减，在 上单调递增.
综上所述，当时，在 上单调递增；
当时，在上单调递减，在 上单调递增.
［素养小结］
（1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
（2）划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论.
探究点二 已知单调性或单调区间求参数
例2（1） 已知在上单调递增，则实数 的取值范围
是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由已知可得在上恒成立，即 对任意
恒成立.
因为在上的最小值为 ,所以 ，故选D.
（2）函数在区间上单调递减，则 的取值范围
是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，因为函
数在区间上单调递减，所以在
上恒成立，即对任意恒成立.
令， ，则，设,，
则 ，所以在上单调递增，
所以，所以,即 的取值范围是 .
（3）已知函数，若函数在区间 上单调递减，
求实数 的取值范围.
解：,.
令 ,解得,则的单调递减区间为
在区间 上单调递减,
解得,即实数的取值范围是 .
变式（1） 已知,若函数在区间 上单调递减，
在区间上单调递增，则 ___ .
1
[解析] 由，得，
因为函数在区间 上单调递减，在区间上单调递增，
所以 ，解得 .
（2）若函数在区间上有单调递增区间，则实数
的取值范围是_________.
[解析] ，由题意得在 上有解，即
在上有解.
根据对勾函数的性质可知在 上单调递增，
所以，故实数的取值范围是 .
（3）已知函数，若函数在区间 上不单调,求实数
的取值范围.
解:,.
令,解得 或,
函数在区间上不单调, 或,
解得或,故实数 的取值范围是 .
［素养小结］
利用导数解决函数单调性问题的一般步骤:
（1）确定函数的定义域；
（2）求导函数 的零点；
（3）若已知函数的单调性求参数,则由单调性可得或 ,再
利用函数与方程思想求解.
拓展 已知 .
（1）若函数在区间上单调递增，求实数 的取值范围；
解:，，
在区间 上单调递增，在上恒成立，对
任意 恒成立，对任意恒成立，
， .
当时，，，则的取值范围是 .
（2）若在区间上存在单调递增区间，求实数 的取值范围.
解:由在上存在单调递增区间，得在 上有解，即
在时有解，，.
当 时，，，则的取值范围是 .
探究点三 利用导数研究函数增减快慢
例3（1） 已知函数 的图象是下列四个图象之一，且
其导函数的图象如图所示，则函数 的图象是
( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由导函数的图象可知，当时，，所以函数 在
上单调递增.
因为在上单调递增，所以函数在 上的图象越来越陡峭，
又在上单调递减，所以函数在 上的图象越来越平缓.故选B.
（2）（多选题）某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果原油
的温度（单位：）与时间 （单位：小时）的关系式为
，那么原油温度的变化最慢时， 的值可能为( )
CD
A.2 B. C. D.0
[解析] 由题意，得,令,得或 ,此时原油温度
的变化最慢.故选 .
变式（1） 如图，点，在函数 的图象上，且
，为的导函数，则与 的大小关系是( )
A
A. B. C. D.不能确定
[解析] 由函数的图象可知，函数 的图象在A处比在B处更平缓，所以
，又，，所以 .故选A.
（2）函数，的导函数 ，
的图象如图所示，则， 的图象可能是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由，的图象知，， 的图象都是上升
的，但是的图象上升得越来越慢， 的图象上升得越来越快，
排除A，C；
又因为，所以函数, 的图象在 处的切线斜
率相等，排除B.故选D.
［素养小结］
导数绝对值的大小反映了函数值变化的快慢：函数值变化（增大或减小）越快，
导数的绝对值越大，函数的图象越陡峭；函数值变化（增大或减小）越慢，导
数的绝对值越小，函数的图象越平缓.
利用导数研究函数单调性的注意事项
（1）在利用导数研究函数的单调性时，首先要确定函数的定义域，在定义域内，
通过讨论导数的符号来判断函数的单调性.
（2）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中
间不能用“ ”连接，可用“，”隔开或用“和”连接.
（3）在对函数划分单调区间时，除了注意使导数等于零的点外，还要注意在定
义域内不连续的点和不可导的点.
（4）区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响.
讨论含参数的函数的单调性
例（1） [2024·浙江宁波高二期末] 已知函数 ，讨论函数
的单调性；
解:因为，所以, .
①当时，,在 上单调递减；
②当时，由得，由得 ，
所以在上单调递减，在 上单调递增.
综上，当时，在上单调递减；当时，在 上单
调递减，在 上单调递增.
（2）已知函数，当时,讨论 的单调性.
解:的定义域为, .
当时,,当时,, 单调递减，
当时,, 单调递增.
当时, ，
当,即时,在 上恒成立,
所以在 上单调递减，
当时,,当时,, 单调递减，
当时,, 单调递增.
综上,当时,在上单调递减,在 上单调递增;
当时,在,上单调递减,在 上单调递增;
当时,在 上单调递减.
练习册
一、选择题
1.函数 的单调递减区间是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
由得，即，所以函数的单调递减区间为
.故选A.
2.已知在区间上单调递增，则 的最大值为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.0
[解析] 由题意可知
在区间 上单调递增，，即对任意
恒成立.
令， ，
则是增函数，，，故 的最大值为3，故选C.
3.已知是的导函数,的图象如图所示,则 的图象可能是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由的图象可以看出,在区间内,导函数 单调递增，在区间
内，导函数单调递减,所以函数的图象在 内越来越陡峭,
在 内越来越平缓.故选D.
4.[2024· 福建南平一中高二月考] 已知函数在区间 上单
调递减，则实数 的取值范围为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，
又在区间 上单调递减，
所以，即，即对任意恒成立.
因为 ，是减函数，所以，故 .故选A.
5.如图所示，阴影部分的面积是关于 的函数，
则该函数的图象是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题图可知，阴影部分的面积随 的增大而减小，排除B，C；
因为图形上窄下宽，,所以随 的增大而增大，排除D.故选A.
6.若函数在定义域上恰有三个单调区间，则 的取值范围是
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为函数在定义域 上恰有三个单调区间，所以其导函数
在定义域上有两个不同的变号零点，
又，所以 ，故选A.
7.[2024· 江苏苏州实验中学高二月考]已知函数
在上不单调，则 的取值范围是 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题意得 ，
因为函数在上不单调，
所以关于的方程 有两个不等的实根，且在上有解.
由 ，解得或，
所以，即 .故选A.
8.（多选题）若函数在区间 上单调，则实
数 的值可能是( )
AC
A.4 B.3 C.2 D.1
[解析] 由题意得函数的定义域为，.
由 ，可得,则函数的单调递增区间为；
由，可得 , 则函数的单调递减区间为.
因为在区间 上单调，所以或，
解得或 ，结合选项可得A,C符合题意.故选 .
9.（多选题）函数 在定义域上单调递增的必要
不充分条件可以是( )
AC
A. B. C. D.
[解析] 由函数在定义域 上单调递增，得
对任意 恒成立，即
对任意恒成立.
当时，可得 ，则，不满足题意；
当时，可得 ，且，则 .
综上，函数在定义域上单调递增的充要条件为 .
分析选项可知只有A，C符合题意.故选 .
二、填空题
10.设函数（为常数），若在上单调递增，则 的一
个可能值为____________________________.
0（答案不唯一，即可）
[解析] 由函数，可得，
因为在 上单调递增，
所以当时，恒成立，即当时，
恒成立，所以，故 的一个可能值为0.
11.[2024·河南许昌高二期末] 若函数在 内不单
调，则实数 的取值范围是______.
[解析] 由题意得函数的定义域为，，
令 ，得，
当时，，当时， ,
所以若函数在内不单调，
则 ，解得，故的取值范围是 .
12.已知函数的单调递减区间为 ，若
，则 的最大值为___.
6
[解析] 由，得 .
令,即，解得 ，
所以函数的单调递减区间为，
所以 ，
解得，所以 的最大值为6.
三、解答题
13.（1）已知函数，讨论函数 的单
调性.
解:由题得,令,得
或 .
①若,即,则当或时，,即 在
,上单调递增，当时，,即 在
上单调递减；
②若,即,则恒成立,所以在 上单调递增；
③若,即 ,
则当或时，,即在， 上单调
递增，当时，,即在 上单调递减.
综上所述,当时,在,上单调递增,在 上单
调递减；
当时,在 上单调递增；
当时,在,上单调递增,在 上单调递减.
（2）求函数 的单调递减区间.
解:由题意得函数的定义域是 ，
.
①当时，在上恒成立，故在 上单调递减；
②当时，若，则，若，则 ，所以
在上单调递减，在 上单调递增.
综上可知，当时，的单调递减区间为；当时， 的单
调递减区间为 .
14.设函数 .
（1）求函数 的单调区间；
解：，令，得 .
若，则当时，，单调递增，当时， ，
单调递减；
若，则当时，，单调递减，当时， ，
单调递增.
综上所述，当时，函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是
；
当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是 .
（2）若函数在区间内单调递增，求 的取值范围.
解：因为在区间内单调递增，
所以由（1）可知，当时， ，即，
当时，，即，
故 的取值范围是 .
15.不等式 的解集为_______．
[解析] 由 ，
可得 .
设，则 恒成立，
所以在 上是减函数，
所以,即,解得 ,
所以不等式的解集为 .
16.已知函数，， .
（1）若函数存在单调递减区间，求 的取值范围；
解:因为，，所以 .
因为在上存在单调递减区间，
所以当时， 有解，即有解.
设，则 .
因为，所以，所以且 .
（2）若函数在上单调递减，求 的取值范围.
解:因为在上单调递减，所以当时， 恒
成立，即恒成立.
设，则 .
因为，当时，，所以 ，
所以且 .第2课时 利用导数解决函数单调性综合问题
1.A [解析] 由f(x)=(x-3)ex,得f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,由f'(x)<0得(x-2)ex<0,即x<2,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,2].故选A.
2.C [解析] 由题意可知f'(x)=3x2-a.∵f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,∴f'(x)≥0,即a≤3x2对任意x∈[1,+∞)恒成立.令g(x)=3x2,x∈[1,+∞),则g(x)是增函数,∴g(x)min=g(1)=3,∴a≤3,故a的最大值为3,故选C.
3.D [解析] 由f'(x)的图象可以看出,在区间内,导函数f'(x)单调递增,在区间内,导函数f'(x)单调递减,所以函数f(x)的图象在内越来越陡峭,在内越来越平缓.故选D.
4.A [解析] 因为f(x)=ln x-ax,所以f'(x)=-a,又f(x)在区间[1,3]上单调递减,所以f'(x)≤0,即-a≤0,即a≥对任意x∈[1,3]恒成立.因为y=,x∈[1,3]是减函数,所以ymax=1,故a≥1.故选A.
5.A [解析] 由题图可知,阴影部分的面积S随h的增大而减小,排除B,C;因为图形上窄下宽,S'<0,所以S'随h的增大而增大,排除D.故选A.
6.A [解析] 因为函数f(x)=ax3+x在定义域R上恰有三个单调区间,所以其导函数在定义域R上有两个不同的变号零点,又f'(x)=3ax2+1,所以a<0,故选A.
7.A [解析] 由题意得f'(x)=+2(x-1)-m=(x>0),因为函数f(x)在(2,+∞)上不单调,所以关于x的方程2x2-(m+2)x+m=0有两个不等的实根,且在(2,+∞)上有解.由2x2-(m+2)x+m=(x-1)(2x-m)=0,解得x=1或x=,所以>2,即m>4.故选A.
8.AC [解析] 由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-=.由f'(x)≥0,可得x≥3,则函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞);由f'(x)≤0,可得0
9.AC [解析] 由函数f(x)=ax2-(a+2)x+2ln x在定义域(0,+∞)上单调递增,得f'(x)=ax-(a+2)+=≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,即ax2-(a+2)x+2≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立.当a=0时,可得-2x+2≥0,则00,且Δ=(a+2)2-8a=(a-2)2≤0,则a=2.综上,函数f(x)=ax2-(a+2)x+2ln x在定义域上单调递增的充要条件为a=2.分析选项可知只有A,C符合题意.故选AC.
10.0(答案不唯一,a≤0即可) [解析] 由函数f(x)=x3+,可得f'(x)=3x2-,因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x∈(0,+∞)时,f'(x)≥0恒成立,即当x∈(0,+∞)时,a≤3x4恒成立,所以a≤0,故a的一个可能值为0.
11.[2,4) [解析] 由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-,令f'(x)=0,得x=2,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,所以若函数f(x)=x2-4ln x在(k-2,k+2)内不单调,则0≤k-2<212.6 [解析] 由f(x)=2x3-mx2+2(m>0),得f'(x)=6x2-2mx(m>0).令f'(x)<0,即6x2-2mx<0,解得00)的单调递减区间为,所以b-a=≤2,解得m≤6,所以m的最大值为6.
13.解:(1)由题得f'(x)=x2+ax+(a-1)=(x+a-1)(x+1),令f'(x)=0,得x=-1或x=1-a.
①若1-a<-1,即a>2,则当x<1-a或x>-1时,f'(x)>0,即f(x)在(-∞,1-a),(-1,+∞)上单调递增,当1-a②若1-a=-1,即a=2,则f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在R上单调递增;
③若1-a>-1,即a<2,
则当x<-1或x>1-a时,f'(x)>0,即f(x)在(-∞,-1),(1-a,+∞)上单调递增,当-1综上所述,当a>2时,f(x)在(-∞,1-a),(-1,+∞)上单调递增,在(1-a,-1)上单调递减;
当a=2时,f(x)在R上单调递增;
当a<2时,f(x)在(-∞,-1),(1-a,+∞)上单调递增,在(-1,1-a)上单调递减.
(2)由题意得函数f(x)的定义域是(0,+∞),
f'(x)=-+=.
①当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递减;
②当a>0时,若0,则f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.
综上可知,当a≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞);当a>0时,f(x)的单调递减区间为.
14.解:(1)f'(x)==,令f'(x)=0,得x=.
若k>0,则当x<时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x>时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
若k<0,则当x<时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
综上所述,当k>0时,函数f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是;
当k<0时,函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.
(2)因为f(x)在区间(-1,1)内单调递增,所以由(1)可知,当k>0时,≥1,即015.(-3,1) [解析] 由cos(3-x)+x2+2x-3可得cos(3-x)-(3-x)设f(x)=cos x-x,则f'(x)=-sin x-1≤0恒成立,
所以f(x)在R上是减函数,
所以3-x>x2+x,即x2+2x-3<0,解得-3所以不等式的解集为(-3,1).
16.解:(1)因为h(x)=ln x-ax2-2x,x∈(0,+∞),所以h'(x)=-ax-2.因为h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,所以当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,即a>-有解.设G(x)=-(x>0),则a>G(x)min.因为G(x)=-1,所以G(x)min=-1,所以a>-1且a≠0.
(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减,所以当x∈[1,4]时,h'(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥-恒成立.设m(x)=-(x∈[1,4]),则a≥m(x)max.因为m(x)=-1,当x∈[1,4]时,∈,所以m(x)max=-,所以a≥-且a≠0.第2课时 利用导数解决函数单调性综合问题
【学习目标】
1.进一步理解函数的导数与其单调性的关系.
2.能求简单的含参函数的单调区间及根据函数单调性求参数的取值范围.
3.利用导数研究函数的增减快慢情况.
◆ 探究点一 利用导数判断含参函数的单调性
例1 (1)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R),讨论f(x)的单调性.
(2)已知函数f(x)=(x-2)(aex-x)(a∈R),讨论f(x)的单调性.
变式 (1)已知函数f(x)=-2a2ln x+x2+ax(a∈R),讨论函数f(x)的单调性.
(2) 已知函数 f(x)=e2x+(1-2a)ex-ax(a∈R),讨论f(x)的单调性.
[素养小结]
(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时,要在函数的定义域内讨论.
◆ 探究点二 已知单调性或单调区间求参数
例2 (1)已知f(x)=x3-ax在(-∞,-1]上单调递增,则实数a的取值范围是 ( )
A.a>3 B.a≥3
C.a<3 D.a≤3
(2)函数f(x)=sin 2x-ksin x+x在区间上单调递减,则k的取值范围是 ( )
A.[-3,+∞) B.[3,+∞)
C.[0,+∞) D.[-3,3]
(3)已知函数f(x)=x3-3x2+1,若函数f(x)在区间上单调递减,求实数m的取值范围.
变式 (1) 已知f(x)=ex-ax-1,若函数 f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增,则a= .
(2)若函数f(x)=(x-m)2+ln x在区间(1,2)上有单调递增区间,则实数m的取值范围是 .
(3)已知函数f(x)=x3+3x2,若函数f(x)在区间[m,m+1]上不单调,求实数m的取值范围.
[素养小结]
利用导数解决函数单调性问题的一般步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)求导函数f'(x)的零点;
(3)若已知函数f(x)的单调性求参数,则由单调性可得f'(x)≥0或f'(x)≤0,再利用函数与方程思想求解.
拓展 已知g(x)=2x+ln x-.
(1)若函数g(x)在区间[1,2]上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若g(x)在区间[1,2]上存在单调递增区间,求实数a的取值范围.
◆ 探究点三 利用导数研究函数增减快慢
例3 (1)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象是 ( )
A B C D
(2)(多选题)某厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果原油的温度f(x)(单位:℃)与时间x(单位:小时)的关系式为f(x)=x3-x2+8 (0≤x≤6),那么原油温度的变化最慢时,x的值可能为 ( )
A.2 B. C. D.0
变式 (1)如图,点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))在函数f(x)的图象上,且x2A.f'(x1)>f'(x2)
B.f'(x1)C.f'(x1)=f'(x2)
D.不能确定
(2)函数y=f(x),y=g(x)的导函数y=f'(x),y=g'(x)的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是 ( )
A B
C D
[素养小结]
导数绝对值的大小反映了函数值变化的快慢:函数值变化(增大或减小)越快,导数的绝对值越大,函数的图象越陡峭;函数值变化(增大或减小)越慢,导数的绝对值越小,函数的图象越平缓.第2课时 利用导数解决函数单调性综合问题
一、选择题
1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递减区间是 ( )
A.(-∞,2] B.[0,3]
C.[1,4] D.[2,+∞)
2.已知f(x)=x3-ax在区间[1,+∞)上单调递增,则a的最大值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.0
3.已知f'(x)是f(x)的导函数,f'(x)的图象如图所示,则f(x)的图象可能是 ( )
A B C D
4.[2024·福建南平一中高二月考] 已知函数f(x)=ln x-ax在区间[1,3]上单调递减,则实数a的取值范围为 ( )
A.a≥1 B.a>1
C.a≥ D.a>
5.如图所示,阴影部分的面积S是关于h(0≤h≤H)的函数,则该函数的图象是 ( )
A B
C D
6.若函数f(x)=ax3+x在定义域R上恰有三个单调区间,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.(-∞,0]
D.[0,+∞)
7.[2024·江苏苏州实验中学高二月考] 已知函数f(x)=mln x+(x-1)2-m(x-1)在(2,+∞)上不单调,则m的取值范围是 ( )
A.(4,+∞)
B.(-∞,4]
C.(-∞,0)
D.(0,+∞)
8.(多选题)若函数f(x)=x2-9ln x在区间[m-1,m+1]上单调,则实数m的值可能是( )
A.4 B.3
C.2 D.1
9.(多选题)函数f(x)=ax2-(a+2)x+2ln x在定义域上单调递增的必要不充分条件可以是( )
A.a≥2 B.a=2
C.a≥1 D.a>2
二、填空题
10.设函数f(x)=x3+(a为常数),若f(x)在(0,+∞)上单调递增,则a的一个可能值为 .
11.[2024·河南许昌高二期末] 若函数f(x)=x2-4ln x在(k-2,k+2)内不单调,则实数k的取值范围是 .
12.已知函数f(x)=2x3-mx2+2(m>0)的单调递减区间为(a,b),若b-a≤2,则m的最大值为 .
三、解答题
13.(1)已知函数f(x)=x3+x2+(a-1)x+1(a∈R),讨论函数f(x)的单调性.
(2)求函数f(x)=+aln x(a∈R)的单调递减区间.
14.设函数f(x)=(k≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围.
15.不等式cos (3-x)+x2+2x-316.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x,a≠0.
(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.第2课时 利用导数解决函数单调性综合问题
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由f(x)=x3+ax2+b,得f'(x)=3x2+2ax,令f'(x)=0,解得x=0或x=-.
①当a=0时,因为f'(x)=3x2≥0,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
②当a>0时,由f'(x)>0,得x∈∪(0,+∞),
由f'(x)<0,得x∈,
所以函数f(x)在,(0,+∞)上单调递增,在上单调递减;
③当a<0时,由f'(x)>0,得x∈(-∞,0)∪,
由f'(x)<0,得x∈,所以函数f(x)在(-∞,0),上单调递增,在上单调递减.
综上,当a=0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
当a>0时,函数f (x)在,(0,+∞)上单调递增,在上单调递减;
当a<0时,函数f (x)在(-∞,0),上单调递增,在上单调递减.
(2)由f(x)=(x-2)(aex-x),得f'(x)=aex-x+aex(x-2)-(x-2)=(x-1)(aex-2).
①若a≤0,则aex-2<0.
由f'(x)>0,得x<1,即f(x)在(-∞,1)上单调递增;
由f'(x)<0,得x>1,即f(x)在(1,+∞)上单调递减.
②若a>0,则令f'(x)=(x-1)(aex-2)=0,得x=1或x=ln.
(i)当01,
由f'(x)>0,得x<1或x>ln,即f(x)在(-∞,1),上单调递增,
由f'(x)<0,得1(ii)当a=时,ln =1,此时f'(x)≥0恒成立,即f(x)在R上单调递增;
(iii)当a>时,ln <1,
由f'(x)>0,得x1,即f(x)在,(1,+∞)上单调递增,
由f'(x)<0,得ln综上可得,当a≤0时,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
当0当a=时,f(x)在R上单调递增;
当a>时,f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减.
变式 解:(1)f'(x)=+x+a==(x>0).
若a=0,则f'(x)=x>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
若a<0,则当x∈(0,-2a)时,f'(x)<0,当x∈(-2a,+∞)时,f'(x)>0,
∴f(x)在(0,-2a)上单调递减,在(-2a,+∞)上单调递增;
若a>0,则当x∈(0,a)时,f'(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,
∴f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
综上可知,当a=0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时, f(x)在(0,-2a)上单调递减,在(-2a,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
(2)因为f(x)=e2x+(1-2a)ex-ax,所以f'(x)=2e2x+(1-2a)ex-a=(2ex+1)(ex-a).
当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在R上单调递增;
当a>0时,令f'(x)=0,解得x=ln a,
由f'(x)<0,得x0,得x>ln a,
所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
综上所述,当a≤0时,f(x)在R上单调递增;
当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
探究点二
例2 (1)D (2)B [解析] (1)由已知可得f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,-1]上恒成立,即a≤3x2对任意x∈(-∞,-1]恒成立.因为y=3x2在(-∞,-1]上的最小值为3×(-1)2=3,所以a≤3,故选D.
(2)由f(x)=sin 2x-ksin x+x,得f'(x)=2cos 2x-kcos x+1,因为函数f(x)在区间上单调递减,所以f'(x)=2cos 2x-kcos x+1≤0在上恒成立,即k≥4cos x-对任意x∈恒成立.令t=cos x,x∈,则t∈(0,1),设g(t)=4t-,t∈(0,1),则g'(t)=4+>0,所以g(t)=4t-在(0,1)上单调递增,所以g(t)(3)解:∵f(x)=x3-3x2+1,∴f'(x)=3x2-6x.令f'(x)=3x2-6x<0,解得0变式 (1)1 (2) [解析] (1)由f(x)=ex-ax-1,得f'(x)=ex-a,因为函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增,所以f'(0)=e0-a=0,解得a=1.
(2)f'(x)=2(x-m)+(x>0),由题意得f'(x)>0在(1,2)上有解,即m(3)解:∵f(x)=x3+3x2,∴f'(x)=3x2+6x.令f'(x)=3x2+6x≥0,解得x≥0或x≤-2,∵函数f(x)在区间[m,m+1]上不单调,∴m<-2拓展 解:(1)∵g(x)=2x+ln x-,∴g'(x)=2++,x>0.∵g(x)在区间[1,2]上单调递增,∴g'(x)≥0在[1,2]上恒成立,∴2++≥0对任意x∈[1,2]恒成立,∴a≥-2x2-x对任意x∈[1,2]恒成立,∴a≥,x∈[1,2].当x∈[1,2]时,=-3,∴a≥-3,则a的取值范围是[-3,+∞).
(2)由g(x)在[1,2]上存在单调递增区间,得g'(x)>0在[1,2]上有解,即a>-2x2-x在x∈[1,2]时有解,∴a>,x∈[1,2].当x∈[1,2]时,=-10,∴a>-10,则a的取值范围是(-10,+∞).
探究点三
例3 (1)B (2)CD [解析] (1)由导函数的图象可知,当x∈[-1,1]时,f'(x)>0,所以函数f(x)在[-1,1]上单调递增.因为f'(x)在[-1,0]上单调递增,所以函数f(x)在[-1,0]上的图象越来越陡峭,又f'(x)在[0,1]上单调递减,所以函数f(x)在[0,1]上的图象越来越平缓.故选B.
(2)由题意,得f'(x)=x2-2x,令f'(x)=0,得x=0或x=,此时原油温度的变化最慢.故选CD.
变式 (1)A (2)D [解析] (1)由函数f(x)的图象可知,函数f(x)的图象在A处比在B处更平缓,所以|f'(x1)|<|f'(x2)|,又f'(x1)<0,f'(x2)<0,所以f'(x1)>f'(x2).故选A.
(2)由y=f'(x),y=g'(x)的图象知,y=f(x),y=g(x)的图象都是上升的,但是y=f(x)的图象上升得越来越慢,y=g(x)的图象上升得越来越快,排除A,C;又因为f'(x0)=g'(x0),所以函数y=f(x),y=g(x)的图象在x=x0处的切线斜率相等,排除B.故选D.